微专题:不等式-2025届高考数学二轮专题复习

微专题　不等式 课前学习任务 高考定位 1．不等式问题是高考的热点，主要涉及不等式的性质及应用、一元二次不等式及其解法以及基本不等式及其应用． 2．不等式问题可能单独考查，也可能与其他知识交汇命题，难度中档偏下． 核心归纳 1．不等式的常用性质 (1)若ab>0，且a>b⇔<. (2)若a>b>0，m>0⇒<；若b>a>0，m>0⇒>. 2．一元二次不等式的解法 设方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根为x1，x2(x1<x2)，则 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1，或x>x2}， (2)ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}． 3．基本不等式及其应用 (1)基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤ . 其中和 分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．要根据题目需要选择合适的形式． (2)利用基本不等式求最值 ①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. ②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 课堂学习任务 真题再现 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2} C．{－2} D．2 2．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝ C．y＝2x＋22-x D．y＝ln x＋ 3．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 4．(2021·天津卷)若a>0，b>0，则＋b的最小值为________． 考点突破 考点一　不等式的性质及应用 例1　(1)已知a，b∈R，ab≠0，且a<b，则(　　) A．>　　 B．ab<b2 C．a3<b3 D．lg |a|<lg |b| (2)设a＝t－，c＝t(2＋t)，其中－1<t<0，则(　　) A．b<a<c B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a 训练1　已知实数a，b，c，d满足：a>b>0>c>d，则下列不等式一定正确的是(　　) A．a＋d>b＋c B．ad>bc C．a＋c>b＋d D．ac>bd 训练2　若a＝，则(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a 考点二　一元二次不等式的解法及应用 例2　(1)若关于x的不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，5) C．(－∞，－3) D．(－∞，2) (2)若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为(　　) A．[－1，4] B． C．[－1，0]∪ D． 训练3　已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a<0，若p为假命题，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 训练4　当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是_________． 考点三　基本不等式及应用 例3　 (1)已知正实数x，y满足＝1，则4xy－3x的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 (2)早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若2a＋2b＝1，则(4a＋1)(4b＋1)的最小值为(　　) A． B． C． D． 训练5　设x>0，y>0，＋2y＝2，则x＋的最小值为(　　) A． B．2 C． D．3 训练6　已知ab>0，a2＋ab＋2b2＝1，则a2＋2b2的最小值为(　　) A． B． C． D． 课后学习任务 1．若不等式kx2＋(k－6)x＋2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是(　　) A．2≤k≤18　 B．－18<k<－2 C．2<k<18 D．0<k<2 2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则(　　) A．0<a≤1 B．0<ab≤1 C．a2＋b2>2 D．1<b<2 3．已知a，b，c∈R，则下列选项中是“a<b”的充分不必要条件的是(　　) A．> B．ac2<bc2 C．a2<b2 D．3a<3b 4．当x>0，y>0时，.这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋μyxλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：，则≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为(　　) A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039 5．已知当x>0时，不等式x2－mx＋16>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－8，8) B．(－∞，8] C．(－∞，8) D．(8，＋∞) 6．设x>0，则函数y＝的最小值为(　　) A．6 B．7 C．10 D．11 7．若函数y＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象所过定点恰好在椭圆＝1(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为(　　) A．6 B．12 C．16 D．18 8．数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数f(x)＝aex＋be－x(其中a，b为非零常数，e＝2.718 28…)来表示，当f(x)取到最小值为2时，下列说法正确的是(　　) A．此时x＝ln a B．此时a＋b的最小值为2 C．此时2a＋2b的最小值为2 D．此时ln a ln b的最小值为0 9．(多选)下列命题正确的是(　　) A．若a<b<0，则a2>ab>b2 B．若a<b<0，则ac2<bc2 C．若0<a<b<c，则> D．若0<a<b，则2a＋>2 10．(多选)已知正数m，n满足，则(　　) A．mn B．m2＋n22 C．m＋n D．∃m，n∈(0，＋∞)，2mn 11．(多选)已知正数a，b满足a(a＋b)＝1，下列结论中正确的是(　　) A．a2＋b2的最小值为2－2 B．2a＋b的最小值为2 C．的最小值为 D．的最大值为1 12．)若实数x，y，z0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是________． 13．若∃x∈，使2x2－λx＋1<0成立，则实数λ的取值范围是________． 14．已知x>0，y>0，xy＋2x－y＝10，则x＋y的最小值为________． 答案与解析 课堂学习任务 1．C　因为N＝＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝，所以M∩N＝{－2}．故选C. 2．C　对于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意； 对于B，因为0<|sin x|≤1，y＝＝4，当且仅当|sin x|＝2时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y＝2x＋22-x＝2x＋＝4，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以其最小值为4，C符合题意； 对于D，y＝ln x＋，函数定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，而ln x∈R且ln x≠0，如当ln x＝－1，y＝－5，D不符合题意． 3．BC　因为ab≤2≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤32，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；因为x2＋y2－xy＝1变形可得y2＝1，设x－＝cos θ，y＝sin θ，所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋sin ∈，所以当x＝时满足等式，但是x2＋y2≥1不成立，所以D错误．故选B、C. 4．∵a>0，b>0，∴，当且仅当且＝b，即a＝b＝时等号成立，所以＋b的最小值为2. 答案：2 聚焦热点 热点一 例1　(1)C　当a＝－2，b＝1时，<，故A、D错误； 当a＝－2，b＝－1时，ab＝2>1＝b2，故B错误； 对于C，因为a<b，所以a－b<0，因为ab≠0，所以a≠0且b≠0，则a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝<0，所以a3<b3，故C正确． (2)C　由－1<t<0，故∈(－∞，－1)，故a＝t－>0，由对勾函数性质可得b＝t＋<－(1＋1)＝－2，c＝t(2＋t)<0，且c＝t·(2＋t)＝t2＋2t＝(t＋1)2－1≥－1，综上所述，有b<c<a. 训练1　C　对于A、B、D，取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－4，满足a>b>0>c>d，显然a＋d＝－2<－1＝b＋c，ad＝－8<－2＝bc，ac＝－4＝bd，A、B、D错误；对于C，a>b>0>c>d，则a＋c>b＋d，C正确． 训练2　A　因为a－c＝>0，所以a>c.c－b＝，因为2－2＝4>0，且2>0，2>0，所以2>2，所以c－b>0，所以c>b.故a>c>b. 热点二 例2　(1)D　不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，仅需(x2－6x＋2)max>a即可，令f(x)＝x2－6x＋2，因为f(x)的对称轴为x＝－＝3，f(0)＝2，f(5)＝－3，所以由一元二次函数的图象和性质得(x2－6x＋2)max＝2，所以a<2，故选D. (2)C　命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，其否定为真命题，即“∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则即解得所以实数x的取值范围为[－1，0]∪. 训练3　D　因为命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a<0，所以¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2－a≥0，又因为p为假命题，所以¬p为真命题，即∀x∈R，x2＋2x＋2－a≥0恒成立，所以Δ≤0，即22－4(2－a)≤0，解得a≤1，故选D. 训练4　解析：当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，所以当1≤x≤2时，a≥恒成立，则a≥，令g(x)＝x＋，则g(x)在[1,2]单调递增，所以g(x)max＝g(2)＝2＋，所以a≥. 答案： 热点三 例3　(1)B　由x>0，y>0，且＝1，可得xy＝x＋y.所以4xy－3x＝4x＋4y－3x＝x＋4y.又因为x＋4y＝(x＋4y)＝5＋≥9，当且仅当，即x＝3，y＝时取等号，所以4xy－3x的最小值为9. (2)D　不妨设m＝2a，n＝2b，则m>0，n>0，所以1＝m＋n≥当且仅当m＝n＝时取等号，即0<mn≤，当且仅当m＝n＝时取等号，所以(4a＋1)(4b＋1)＝(m2＋1)(n2＋1)＝(mn)2＋m2＋n2＋1＝(mn)2＋(m＋n)2－2mn＋1＝(mn)2－2mn＋2＝(mn－1)2＋1， 所以当mn＝时，(mn)2－2mn＋2取得最小值，故选D. 训练5　C　因为＋2y＝2，所以＋y＝1，因为x>0，y>0，所以x＋＝＝. 当且仅当即时取等号． 训练6　A　因为ab>0，得：a2＋2b2≥2ab(当且仅当a＝b时成立)，即得：ab≤(a2＋2b2)，则1＝a2＋ab＋2b2≤a2＋2b2＋(a2＋2b2)＝(a2＋2b2)，得：a2＋2b2≥，所以a2＋2b2的最小值为，故选A. 课后学习任务 1．C　2.B　3.B 4．C　依题意，则≈3.037. 5．C　当x>0时，由x2－mx＋16>0得m<x＋，因为x>0，故x＋＝8，当且仅当x＝即x＝4时等号成立，因为当x>0时，m<x＋恒成立，得m<8，故选C. 6．D　∵x>0，∴y＝＋1＝11，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，所以函数y＝的最小值为11，故选D. 7．C　由题意得，函数y＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象所过定点为，则＝1，所以m＋n＝(m＋n)＝10＋≥10＋2 ＝16，当且仅当，即m＝12，n＝4时等号成立． 8．B　函数f(x)＝aex＋be－x，a，b为非零常数，ex>0，e－x>0，由f(x)取到最小值为2，得a>0，b>0， 对于A，aex＋be－x≥2＝2，则ab＝1，当且仅当aex＝be－x，即e2x＝时取等号，此时ex＝，x＝－ln a，A错误； 对于B，a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1取等号，B正确； 对于C，2a＋2b≥2≥4，当且仅当a＝b＝1取等号，C错误； 对于D，ln a ln b≤2＝2＝0，当且仅当a＝b＝1取等号，D错误． 9．AC　对A，因为a<b<0，则两边同乘a得a2>ab，两边同乘b得ab>b2，则a2>ab>b2，故A正确； 对B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误； 对C，因为0<a<b，则>，又因为c>0，所以>，故C正确； 对D，举例a＝2，b＝8，则2a＋＝8，而2＝8，此时两者相等，故D错误． 10．AD　对于选项A，，则mn≥，当且仅当m＝n＝时等号成立，故A正确； 对于选项B，应用重要不等式得：m2＋n2≥2mn(m＝n时取得等号)，接选项A中mn≥，当m＝n＝时取得等号，m2＋n2≥2mn≥2×＝1(当m＝n＝时能取得等号)，即m2＋n2的最小值为1，与m2＋n2≥2矛盾，故B错误； 对于选项C，因为，则＝＝1，m＋n＝×(m＋n)＝，其中＝2，当m＝n＝取得等号，则m＋n≥，即m＋n的最小值为，且m＋n＝<，故C错误； 对于选项D，2≥mn⇔2≥4mn⇔2≥4mn＋，且，得：mn＋≤2，而mn＋≥2 ＝2，当且仅当mn＝1时等号成立，即∃m，n∈(0，＋∞)，mn＝1，2＝mn，故D正确；故选A、D. 11．AC　由a(a＋b)＝1可得－a＝b， 对于A，a2＋b2＝a2＋2＝2a2＋－2，当且仅当2a2＝时，即a＝时取等号，故A正确； 对于B，2a＋b＝2a＋≥2，当且仅当a＝时，即a＝1时等号成立，但此时b＝0，故等号取不到，故B错误， 对于C，，记f(a)＝a(1－a2)(1>a>0)，f′(a)＝(1－a2)－2a2＝1－3a2，当0<a<，f′(a)>0，f(a)单调递增，当<a<1，f′(a)<0，f(a)单调递减，故f(a)max＝f＝，故的最小值为，故C正确； 对于D，由于－a＝b>0⇒0<a<1，b>0，<1，故最大值不可能为1，故D错误，故选A、C. 12．解析：因为x＋y＝4－z，2x－y＝5－z，故x＝3－，由x，y，z≥0得解得0≤z≤3， 故M＝4x＋3y＋5z＝4＋3＋5z＝＋15∈[15，19]. 答案：[15，19] 13．解析：由2x2－λx＋1<0可得，λx>2x2＋1，因为x∈，所以λ>2x＋，根据题意，λ>min即可，设f(x)＝2x＋，易知f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)min＝f＝2，所以λ>2. 答案： 14．解析：因为x>0，y>0且xy＋2x－y＝10，所以x＝， 所以x＋y＝－1， 当且仅当＝y＋2，即y＝2时，等号成立， 故x＋y的最小值为4－1. 答案：4－1 学科网（北京）股份有限公司 $$