2025年中考数学模拟测试卷-江苏省南京市适用

2025年中考数学模拟测试卷-江苏省南京市适用 一．选择题（共6小题） 1．（2025•柳州一模）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀” 2．（2025•碑林区校级一模）信阳毛尖是中国十大名茶之一，如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•福田区一模）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+1）2＝1 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝1 4．（2025•虹口区一模）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 5．（2025•虹口区一模）已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在抛物线y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2 6．（2025•虹口区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论中，正确的是（　　） A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0 二．填空题（共10小题） 7．（2025•金山区一模）已知a、b是不等于0的实数，7a＝5b，那么 　 　． 8．（2025•江北区模拟）计算： 　 　． 9．（2025•江北区模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以点O为旋转中心将点（﹣2，3）逆时针旋转90°后，它的对应点的坐标是 　 　． 10．（2025•长宁区一模）已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果，那么的值为 　 　时，DE∥BC． 11．（2025•长宁区一模）已知抛物线y＝（k+2）x2+6x﹣5的开口向下，那么k的取值范围是 　 　． 12．（2025•深圳模拟）露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高OE＝2m，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，OE⊥OF，OF交AB于点G，OG＝1m．在同一时刻，附近一根长为1m的标杆在地面的影长为2m，则FG为 　 　m． 13．（2025•江北区模拟）如图，直线y＝ax（a≠0）与反比例函数的图象交于A、B两点，点C为反比例函数图象上另一点，连接AC，点D为线段AC的中点，若点B、点C的横坐标分别为﹣1和﹣3，S△ABD＝4，则k值是 　 　． 14．（2025•长宁区一模）如图，点A位于点C的北偏西60°方向，点B位于点C的东北方向，线段AB为一条东西向的公路的一部分，如果点C到公路AB的距离是米，那么公路AB的长为 　 　米．（结果保留根号） 15．（2024秋•东台市期末）如图1所示的是中国南宋数学家杨辉在《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”，该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中一组斜数列字母a1，a2，a3，…代替，如图2，则a59+a60的值为　 　． 16．（2025•山东模拟）如图，A是⊙O外一点，连接OA交⊙O于点B，D是OA的中点，C是⊙O上一点且满足CD＝OD，分别连接AC，BE，CE，若∠A＝24°，则∠E＝　 　°． 三．解答题（共11小题） 17．（2024秋•德清县期末）计算： （1）； （2）． 18．（2024秋•江都区期末）解方程： （1）2（x+2）＝3x﹣1； （2）． 19．（2024秋•高邮市期末）先化简，再求值：，其中a＝3． 20．（2024秋•崇明区期末）如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，CB于点E，F，FG⊥AB，垂足为G． （1）求证：∠CFA＝∠AED． （2）若CE＝3厘米，BG＝4厘米，求BC的长． 21．（2024秋•阜宁县期末）某超市第一次用11000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 60 80 售价（元/件） 80 100 （1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品各100件，甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次购进的两种商品都售完以后获得的总利润刚好与第一次获得的总利润相等，求第二次购进的乙商品是按原价打几折销售的？ 22．（2024秋•临海市期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）m，宽为a m（a＞6）． （1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为a m的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加a m，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 23．（2024秋•巢湖市期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（0，3），（1，1），（2，2）． （1）以点C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A1B1C，画出△A1B1C（点A，B的对应点分别为点A1，B1），并直接写出点A1的坐标． （2）以点O为位似中心，将△ABC按相似比为2放大，得到△A2B2C2，在网络中画出△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为点A2，B2，C2），并直接写出点C2的坐标． 24．（2024秋•清江浦区期末）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表： x 0 m 2 3 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）m＝ 　 　，n＝ 　 　； （2）小球的落点是A，求点A的坐标． 25．（2024秋•清江浦区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，以AC上一点O为圆心过点A作⊙O，⊙O交AB于点D，DB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠B＝40°，OA＝6，求的长． 26．（2024秋•宿迁期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+6分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C（﹣3，0）． （1）求直线BC的关系式； （2）在直线BC上是否存在点D，使得S△ABD＝S△ABO？若存在，求出点D坐标；若不存请说明理由； （3）如图2，D（10，0），P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ，连接QA，QD．请直接写出QB﹣QD的最大值：　 　． 27．（2024秋•西山区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，11）且与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，7），直线y＝﹣x+7与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P是第一象限抛物线上一个动点，连接PB、PC，设P点横坐标为m，△PBC的面积为S．是否存在点P使S有最大值？若存在，请求出S的最大值和点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）记抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点横坐标为n，求代数式T的值． 2025年中考数学模拟测试卷-江苏省南京市适用 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B D A B 一．选择题（共6小题） 1．（2025•柳州一模）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀” 【解答】解：A、投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上，是随机事件，不符合题意； B、投掷飞镖一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； C、从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球，是必然事件，符合题意； D、玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 2．（2025•碑林区校级一模）信阳毛尖是中国十大名茶之一，如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从左面看可得到左右相邻的2个长方形． 故选：B． 3．（2025•福田区一模）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+1）2＝1 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝1 【解答】解：由原方程移项，得 x2+2x＝1， 等式的两边同时加上12，得 x2+2x+12＝1+12， 配方，得 （x+1）2＝2． 故选：B． 4．（2025•虹口区一模）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC4， 则∠B的正切值为， 故选：D． 5．（2025•虹口区一模）已知（﹣3，y1）、（0，y2）和（1，y3）都在抛物线y＝（x+2）2上，那么y1、y2和y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2 【解答】解：抛物线y＝（x+2）2图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， （﹣3，y1）距离对称轴1个单位长度， （0，y2）距离对称轴2个单位长度； （1，y3）距离对称轴3个单位长度， 根据开口向上，距离对称轴越远，函数值越大可得：y1＜y2＜y3． 故选：A． 6．（2025•虹口区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论中，正确的是（　　） A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下， ∴a＜0， 故A选项错误，不符合题意； ∵0， ∴0， ∴b＜0， 故B选项正确，符合题意； ∵抛物线的图象与y轴的正半轴相交， ∴c＞0， 故C选项错误，不符合题意； 根据函数图象，当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， 故D选项错误，不符合题意， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 7．（2025•金山区一模）已知a、b是不等于0的实数，7a＝5b，那么 　　． 【解答】解：∵7a＝5b， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2025•江北区模拟）计算： 　3　． 【解答】解： ＝4﹣1 ＝3， 故答案为：3． 9．（2025•江北区模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以点O为旋转中心将点（﹣2，3）逆时针旋转90°后，它的对应点的坐标是 　（﹣3，﹣2）　． 【解答】解：令点A为（﹣2，3），旋转后的对应点为点B，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵点A坐标为（﹣2，3）， ∴OM＝2，AM＝3． 由旋转可知， ∠AOB＝90°，AO＝BO， ∵AM⊥x轴，BN⊥x轴， ∴∠AMO＝∠BNO＝90°， ∴∠A+∠AOM＝∠AOM+∠BON＝90°， ∴∠A＝∠BON． 在△AOM和△OBN中， ， ∴△AOM≌△OBN（AAS）， ∴BN＝OM＝2，ON＝AM＝3， ∴点B的坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． 10．（2025•长宁区一模）已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果，那么的值为 　　时，DE∥BC． 【解答】解：时，DE∥BC． 理由如下：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE＝∠ABC， ∴DE∥BC． 故答案为：． 11．（2025•长宁区一模）已知抛物线y＝（k+2）x2+6x﹣5的开口向下，那么k的取值范围是 　k＜﹣2　． 【解答】解：∵抛物线y＝（k+2）x2+6x﹣5的开口向下， ∴k+2＜0， ∴k＜﹣2． 故答案为：k＜﹣2． 12．（2025•深圳模拟）露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高OE＝2m，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，OE⊥OF，OF交AB于点G，OG＝1m．在同一时刻，附近一根长为1m的标杆在地面的影长为2m，则FG为 　3　m． 【解答】解：由题意得：EO：OF＝1：2， ∵OE＝2m， ∴OF＝4m， ∴FG＝OF﹣OG＝4﹣1＝3（m）． 故答案为：3． 13．（2025•江北区模拟）如图，直线y＝ax（a≠0）与反比例函数的图象交于A、B两点，点C为反比例函数图象上另一点，连接AC，点D为线段AC的中点，若点B、点C的横坐标分别为﹣1和﹣3，S△ABD＝4，则k值是 　﹣3　． 【解答】解：∵直线y＝ax（a≠0）与反比例函数的图象交于A、B两点， ∴点A和点B关于点O对称． ∵点B的横坐标为﹣1， ∴点A的横坐标为1， 则点B的坐标可表示为（﹣1，﹣k），点A的坐标可表示为（1，k）． 又∵点D为线段AC的中点，且S△ABD＝4， ∴S△ABC＝2S△ABD＝8． 过点C作x轴的平行线，交AB于点M， ∵点B坐标可表示为（﹣1，﹣a），也可表示为（﹣1，﹣k）， ∴a＝k． ∵点C坐标为（﹣3，）， 则将y代入y＝ax得， x， ∴点M的横坐标为， ∴CM． ∵S△BCM+S△ACM＝S△ABC， ∴， 解得k＝﹣3， ∴k的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 14．（2025•长宁区一模）如图，点A位于点C的北偏西60°方向，点B位于点C的东北方向，线段AB为一条东西向的公路的一部分，如果点C到公路AB的距离是米，那么公路AB的长为 　（300+100）　米．（结果保留根号） 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， 由题意得CD＝100m，∠DCB＝45°，∠DCA＝60°， 在Rt△DCB中，AD＝tan∠DCA•CD300（m）， 在Rt△DCA中，BD＝tan∠DCB•CD＝1100（m）， ∴AB＝AD+BD＝300+100（m）， 即公路AB的长为（300+100）m． 故答案为：（300+100）． 15．（2024秋•东台市期末）如图1所示的是中国南宋数学家杨辉在《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”，该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中一组斜数列字母a1，a2，a3，…代替，如图2，则a59+a60的值为　3600　． 【解答】解：由题知， a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…， 所以（n为正整数）． 当n＝59时， ． 当n＝60时， ， 所以a59+a60＝1770+1830＝3600． 故答案为：3600． 16．（2025•山东模拟）如图，A是⊙O外一点，连接OA交⊙O于点B，D是OA的中点，C是⊙O上一点且满足CD＝OD，分别连接AC，BE，CE，若∠A＝24°，则∠E＝　33　°． 【解答】解：如图，OC， ∵D是OA的中点，CD＝OD， ∴CDOA， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°， ∴∠E∠AOC＝33°． 故答案为：33． 三．解答题（共11小题） 17．（2024秋•德清县期末）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝﹣3 ； （2） ＝2×1﹣（﹣2）×（﹣2） ＝2﹣4 ＝﹣2． 18．（2024秋•江都区期末）解方程： （1）2（x+2）＝3x﹣1； （2）． 【解答】解：（1）原方程去括号得：2x+4＝3x﹣1， 移项，合并同类项得：﹣x＝﹣5， 系数化为1得：x＝5； （2）原方程去分母得：12﹣2（2x﹣5）＝3（3﹣x）， 去括号得：12﹣4x+10＝9﹣3x， 移项，合并同类项得：﹣x＝﹣13， 系数化为1得：x＝13． 19．（2024秋•高邮市期末）先化简，再求值：，其中a＝3． 【解答】解： • • ， 当a＝3时，原式． 20．（2024秋•崇明区期末）如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，CB于点E，F，FG⊥AB，垂足为G． （1）求证：∠CFA＝∠AED． （2）若CE＝3厘米，BG＝4厘米，求BC的长． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴∠ACF＝∠ADE＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAG+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAG， ∴∠CFA＝∠AED； （2）解：∵∠CEF＝∠AED， ∴∠CEF＝∠CFA， ∴CE＝CF＝3， ∵AF平分∠CAB，AC⊥BC，FG⊥AB， ∴FG＝CF＝3， ∵∠FGB＝90°， ∴FG2+BG2＝BF2， ∴BF5， ∴BC＝BF+CF＝8． 21．（2024秋•阜宁县期末）某超市第一次用11000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 60 80 售价（元/件） 80 100 （1）该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品各100件，甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次购进的两种商品都售完以后获得的总利润刚好与第一次获得的总利润相等，求第二次购进的乙商品是按原价打几折销售的？ 【解答】解：（1）设该超市第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品2x件， 根据题意得：60x+80×2x＝11000， 解得：x＝50， ∴2x＝2×50＝100（件）． 答：该超市第一次购进甲种商品50件，乙种商品100件； （2）设第二次购进的乙商品是按原价打y折销售的， 根据题意得：（80﹣60）×100+（10080）×100＝（80﹣60）×50+（100﹣80）×100， 整理得：10y﹣80＝10， 解得：y＝9． 答：第二次购进的乙商品是按原价打九折销售的． 22．（2024秋•临海市期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）m，宽为a m（a＞6）． （1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为a m的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加a m，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 【解答】解：（1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜， 根据题意得：10， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×25＝50（千克）． 答：甲组每分钟采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘25千克的蔬菜； （2）A类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： A类蔬菜的单位面积产量为（千克）； B类蔬菜的单位面积产量为（千克）， ． ∵a＞6， ∴a﹣6＞0，a2＞0，a﹣2＞0， ∴0， ∴0， ∴， ∴A类蔬菜的单位面积产量大； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数）， 根据题意得：（2a﹣2+14）（a+a）＝n（2a﹣2）a， ∴n2， 又∵a＞6，a为整数，且n为正整数， ∴或． 答：a的值为8或15． 23．（2024秋•巢湖市期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（0，3），（1，1），（2，2）． （1）以点C为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A1B1C，画出△A1B1C（点A，B的对应点分别为点A1，B1），并直接写出点A1的坐标． （2）以点O为位似中心，将△ABC按相似比为2放大，得到△A2B2C2，在网络中画出△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为点A2，B2，C2），并直接写出点C2的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求． 由图可得，点A1的坐标为（1，0）． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 由图可得，点C2的坐标为（4，4）． 24．（2024秋•清江浦区期末）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如表： x 0 m 2 3 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）m＝ 　1　，n＝ 　6　； （2）小球的落点是A，求点A的坐标． 【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为（4，8）， ∴， 解得：， ∴yx2+4x， 当x＝6时，y62+4×6＝﹣18+24＝6， ∴n＝6， 当y时，x2+4x， 解得：x＝1或x＝7（舍去）， ∴m＝1， 故答案为：1；6； （2）， 解得：，， ∵O（0，0）， ∴A（，）． 25．（2024秋•清江浦区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，以AC上一点O为圆心过点A作⊙O，⊙O交AB于点D，DB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠B＝40°，OA＝6，求的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵EF是BD的中垂线， ∴ED＝EB， ∴∠B＝∠EDB， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠EDB+∠ODA＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°， ∴OE⊥PE， ∵OE是⊙O的半径， ∴PE是⊙O的切线； （2）解：∵∠B＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵OA＝6， ∴的长． 26．（2024秋•宿迁期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+6分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C（﹣3，0）． （1）求直线BC的关系式； （2）在直线BC上是否存在点D，使得S△ABD＝S△ABO？若存在，求出点D坐标；若不存请说明理由； （3）如图2，D（10，0），P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ，连接QA，QD．请直接写出QB﹣QD的最大值：　2　． 【解答】解：（1）对于y＝﹣x+6，当x＝0时，y＝6，即点B（0，6）， 设直线BC的表达式为：y＝kx+6， 将点C的坐标代入上式得：0＝﹣3k+b，则k＝2， 故BC的表达式为：y＝2x+6； （2）存在，S△ABD＝S△ABO，理由： 过点O作直线n∥AB，交BC于点D，取BM＝OB＝6，过点M作直线m∥BC交直线BC于点D′， 则点D（D′）为所求点， 则直线m、n的表达式分别为：y＝﹣x+12或y＝﹣x， 分别联立上述两式和BC的表达式得：2x+6＝﹣x+12或2x+6＝﹣x， 解得：x＝2或﹣2， 即点D（﹣2，2）或（2，10）； （3）已知A（6，0），B（0，6），D（10，0）， 设P（m，0）（m＞0）， 在Rt△BOP中，OB＝6，OP＝m， ∵△BPQ是等腰直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴BP＝QP； 如图2所示，过点Q作QT⊥x轴于T， 在Rt△BOR，△PTQ中，∠BOP＝∠PTQ＝90°，∠BPO+∠QPA＝∠QPA+∠PQT＝90°， ∴∠BPO＝∠PQT， ∴Rt△BOP≌Rt△PTQ（AAS）， ∴OP＝TQ＝m，OB＝PT＝6， ∴AT＝OP+PT﹣OA＝m+6﹣6＝m， ∴AT＝QT，且QT⊥x轴， ∴△ATQ是等腰直角三角形，∠QAT＝45°， 则点Q的轨迹在射线AQ上， 如图3所示，作点D关于直线AQ的对称点R， 连接QR，BR，AR，A（6，0），B（0，6），D（10，0）， ∵△ATQ是等腰直角三角形，即∠QAT＝45°，根据对称性质， ∴∠QAR＝45°， ∴RA⊥x轴，且△DQA≌△RQA， ∴AR＝AD＝10﹣6＝4，则R（6，4）， 如图所示，当点B，R，Q在一条直线上时，QB﹣QD的值最大，最大值为BR的值； ∴由勾股定理得：BR2， 故答案为：2． 27．（2024秋•西山区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，11）且与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，7），直线y＝﹣x+7与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P是第一象限抛物线上一个动点，连接PB、PC，设P点横坐标为m，△PBC的面积为S．是否存在点P使S有最大值？若存在，请求出S的最大值和点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）记抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点横坐标为n，求代数式T的值． 【解答】解：（1）由题意得， ， ∴， ∴y＝﹣x2+4x+7； （2）如图， 作PD⊥x轴于D，交BC于E， 由﹣x+7＝﹣x2+4x+7， x1＝0，x2＝5， ∴xB＝5， P（m，﹣m2+4m+7），E（m，﹣m+7）， ∴PE＝（﹣m2+4m+7）﹣（﹣m+7）＝m2+5m， ∴S△PBCPE•xB（m）2， ∴当m时，S△PBC最大， 当m时，y， ∴P（）； （3）由题意得， ﹣n2+4n+7＝0， ∴n2﹣4n﹣7＝0， ∴n5﹣4n2﹣8n3+4n2+6n﹣4 ＝n3（n2﹣4n﹣7）﹣n（n2﹣4n﹣7）﹣（n+4） ＝﹣（n+4）， ∴t． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$