2025年重庆市中考数学一轮复习核心考点突破课件：一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 　　课标要求 1. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二 次方程. 2. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等. 3. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 4. 经历估计方程解的过程. 5. 了解一元二次方程的根与系数的关系. 考点精讲 知识点梳理 一、一元二次方程及其解法 1. 一元二次方程必须同时满足以下四个条件. （1）必须是 　整式方程　； （2）必须只含有 　1　个未知数； （3）所含未知数的最高次数必须是 　2　； 整式方程 1 2 （4）二次项系数不为 　0　. 注意：对于方程ax2＋bx＋c＝0，只有当 　a≠0　时才是一元二次方程；如 果说ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，那么必然隐含着 　a≠0　. 0 a≠0 a≠0 　　2.一元二次方程的解法. 解法 适用情况 方法步骤及注意事项 直接开 平方法 ax2＋c＝0（a≠0， ac≤0） 口诀：方程没有一次项， 直接开方最理想 移项、二次项系数化为1，得x2＝－ . 两边开方，得x＝± （x＋m）2＝n（n≥0） 两边开方，得x＋m＝± 即x＝ ± －m 解法 适用情况 方法步骤及注意事项 配方法 所有一元二次方程，一般 用于： （1）二次项系数化为1 后，一次项系数是偶数； （2）各项的系数较小且便 于配方 （1）把二次项系数化为1，即方程两边同 除以二次项系数； （2）把常数项移到方程等号的另一边， 即x2＋px＝－q； （3）在方程两边同时加上一次项系数一 半的平方，把方程整理成（x2＝ －q＋（2的形式； （4）运用直接开平方法解方程 解法 适用情况 方法步骤及注意事项 因式分解 法 方程左边能化为两个一次 因式相乘，右边为0，形如 （ax＋b）（cx＋d）＝0 或x（ax＋b）＝0 一移：方程的右边＝0； 二分：方程左边因式分解； 三化：方程化为两个一元一次方程； 四解：写出方程的两个解 公式法 所有一元二次方程 求根公式为x （b2－ 4ac≥0）. 在使用求根公式时： （1）要先将一元二次方程化为一般式； （2）确定a，b，c的值时要带符号 　　失分警告：对于形如2x（x－1）＝3（x－1）的一元二次方程，应先将 方程化为一般式（或将方程等号一边化为0，另一边通过提公因式法变为两个因式 的积）后再求解，切勿直接约去公因式求解导致丢根. 二、根的判别式 1. 根的判别式. b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式. 2. 方程根的情况与判别式的关系. （1）b2－4ac＞0⇔方程有 　两个不相等　的实数根； （2）b2－4ac＝0⇔方程有 　两个相等　的实数根（x1＝x2＝－ ； （3）b2－4ac≥0⇔方程有 　两个　实数根； （4）b2－4ac＜0⇔方程 　没有　实数根. 注意：由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元 二次方程的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为0这个隐含条件. 两个不相等 两个相等 两个 没有 3. *方程根与系数的关系. 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac＞0）的两实数根分别为 x1，x2，则x1＋x2＝ 　－ 　，x1x2＝ 　​ 　. － ​ 4. 常见的代数式变形. （1 ； （2 （x1＋x2）2－2x1x2； （3 . 三、常见数学问题与等量关系 1. 变化率问题. （1）若基础量为a，平均增长率为x％，则第一次增长后为 　a（1＋ x，第二次增长后为 　a（1＋x％），若增长两次后的量为b，则有  　 ； （2）若基础量为a，平均下降率为x％，则第一次下降后为 　a（1－ x，第二次下降后为 　a（1－x％），若下降两次后的量为b，则有 　 a. a（1＋x％） a（1＋x％）2 a（1＋x％）2＝b a（1－x％） a（1－x％）2 a（1－x％）2＝b 2. 面积问题. 如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影＝ 　（a－2x）（b－2x）　； （a－2x）（b－2x） 如图2、图3、图4，设阴影道路的宽为x，则S空白＝ 　（a－x）（b －； 如图5，靠墙围篱笆，篱笆总长度为m，平行于墙的一边长为x，那么所围篱 笆的面积为S＝ 　x· 　. （a－x）（b－x） x· 3. 利润问题. 单件利润＝售价－进价（成本价）， 总利润＝单件利润×销售量. （1）提价减销量：进价为a元，售价为b元时，每天的销量为m件，售价每 增加d元，每天的销量减少c件.设每天的利润为n元. ①当售价增加到x元时，可列方程为 　（x－a n　； ②当售价增加了x元时，可列方程为 　（b＋x－a）（m－ n　； （x－a n （b＋x－a）（m－ n （2）降价提销量：进价为a元，售价为b元时，每天的销量为m件，售价每 降低d元，每天的销量增加c件.设每天的利润为n元. ①当售价降低到x元时，可列方程为 　（x－a n　； ②当售价降低了x元时，可列方程为 　（b－x－a）（m n　. （x－a n （b－x－a）（m n 4. 握手、单循环赛与送礼物问题. （1）握手、单循环赛总次数为 （n为人数）； （2）送礼物总份数为n（n－1）（n为人数）. 考题类型精析 例1　下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　　） A. x2 1 B. ax2＋bx＋c＝0 C. （x－1）（x＋2）＝1 D. 3x2－2xy－5y2＝0 【思路点拨】本题主要考查一元二次方程的概念.在解题时，首先要看是否是 整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是否是2. 【答案】C 例2　用公式法解方程：2x2＋3x－1＝0. 【思路点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力.在解题时，熟练掌握一元 二次方程的求根公式是解题的关键. 【答案】解：∵a＝2，b＝3，c＝－1， ∴Δ＝32－4×2×（－1）＝17＞0. ∴x1 x2 . 例3　（2023南开）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx－2＝0的一个根是－ 1，则a－b＋3的值为（　　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【思路点拨】把x＝－1代入原方程求得a－b的值，然后即可求得代数式 的值. 【答案】C 例4　已知关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的 取值范围是（　　　） A. m≤2 B. m≥2 C. m≤2且m≠1 D. m≥2且m≠1 【思路点拨】本题考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：Δ＞0⇔方程 有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数 根.在解题时，根据条件得到Δ≥0，从而解关于m的不等式即可.需要注意的是本 题中的方程是一元二次方程，故应有m－1≠0. 【答案】C 例5　（2023育才）已知多项式M＝2x2－3x－2，多项式N＝x2－ax＋3. ①若M＝0，则代数式 的值为 ； ②当a＝－3，x≥4时，代数式M－N的最小值为－14； ③当a＝0时，若M·N＝0，则关于x的方程有两个实数根. 以上结论中，正确的有（　　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【思路点拨】本题考查了配方的应用和一元二次方程的解法，解题的关键是 掌握一元二次方程的解法. 【答案】B 例6　如图，在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸 边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽 为x cm，那么x满足的方程为 　　　　　　. 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元 二次方程是解题的关键.在解题时，可得挂图长为（80＋2x）cm，宽为（50＋ 2x）cm，根据挂图的面积为5 400 cm2，即长×宽＝5 400，列方程即可. 【答案】（80＋2x）（50＋2x）＝5 400 命题点1　解一元二次方程 1. 方程x2＋4x＋3＝0的两个解分别为（　D　） A. x1＝1，x2＝3 B. x1＝－1，x2＝3 C. x1＝1，x2＝－3 D. x1＝－1，x2＝－3 D 重庆中考真题回顾 2. 解方程：x2－2x－5＝0. 解：∵x2－2x－5＝0，∴x2－2x＝5， ∴x2－2x＋1＝5＋1，∴（x－1）2＝6， ∴x－1＝± ∴x1＝1 x2＝1－ . 命题点2　一元二次方程根的判别式 3. 一元二次方程2x2＋3x＋1＝0的根的情况是（　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 A 4. 已知一元二次方程（k＋3）x2－4x＋2＝0有实数解，则实数k的取值范围 是 　k≤－1且k≠－3　. 命题点3　一元二次方程的实际应用 5. （2024重庆A卷）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021 年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 　1 0. 6. （2024重庆B卷）重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行 航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设 第二、三两个季度安全运行架次的平均增长率为x.根据题意，可列方程为 　200 （1＋x）2＝401　. k≤－1且k≠－3 10％ 200 （1＋x）2＝401 7. （2023重庆A卷）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1 501个，并按计划 逐月增长，预计八月份将提供岗位1 815个.设七、八两个月提供就业岗位数量的 月平均增长率为x.根据题意，可列方程为 　1 501（1＋x）2＝1 815　. 8. （2023重庆B卷）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩， 第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩.设该市新建智能充电 桩个数的月平均增长率为x.根据题意，可列方程为 　301（1＋x）2＝500　. 1501（1＋x）2＝1815 301（1＋x）2＝500 基础过关 1. （2023育才）用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是（　C　） A. （x＋4）2＝－7 B. （x＋4）2＝－9 C. （x＋4）2＝7 D. （x＋4）2＝25 2. 已知m为一元二次方程x2＋3x－2 025＝0的根，那么2m2＋6m的值为（　D　） A. －4 050 B. －2 025 C. 0 D. 4 050 C D 当堂检测 3. （2022温州）若关于x的方程x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值是 （　C　） A. 36 B. －36 C. 9 D. －9 4. （2023八中）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，每轮传染 中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，则可列方程为 （　D　） A. 1＋2x＝64 B. 1＋x2＝64 C. 1＋x＋x2＝64 D. （1＋x）2＝64 C D 5. （2023万州）某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元.经市场调研发 现：销售单价为22元时，可销售40个，销售单价每上涨1元，销量将减少3个.如果 这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元.设这种文具盒的销售单价上 涨x元.根据题意可列方程为（　A　） A. （22＋x－15）（40－3x）＝156 B. （x－15）[40－3（x－22）]＝156 C. （22＋x）（40－3x）＝156 D. （22＋x）（40－3x）－15×40＝156 A 6. （2024江西）已知方程（m＋2 4x＋1＝0是关于x的一元二次方 程，则m＝ 　2　. 7. （2024巴蜀）已知m为方程x2＋x－3＝0的一个根，则代数式m3＋2m2－2m＋ 6的值为 　9　. 2 9 8. （2024九龙坡）如图是一个长40 m、宽30 m的矩形花园，现要在花园中修建等 宽的两条纵向小道和一条横向小道，剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为 1 008 m2，设小道的宽度为x m.根据题意，可列方程为 　（30－x）（40－2x）＝ 1 008　. （30－x）（40－2x）＝ 1008 9. （2024大渡口）解方程：x2＋12x＋27＝0； x1＝－3，x2＝－9. 10. （2024渝北）解方程：（2x－1）2＝2（2x－1）. x1 x2 . 11. （2022随州）已知关于x的一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2＋1＝0有两个 不等实数根x1，x2. （1）求k的取值范围； 解：（1）根据题意，得Δ＝（2k＋1）2－4（k2＋1）＞0. 解得k . （2）若x1x2＝5，求k的值. 解：（2）根据题意，得x1x2＝k2＋1. ∵x1x2＝5，∴k2＋1＝5，∴k1＝－2，k2＝2. ∵k ∴k＝2. 12. （2023南开）最近，山东淄博凭借烧烤爆红网络，无数“撸串”爱好者纷纷 涌入淄博，甲、乙两个旅行团计划自驾游淄博.两个旅行团计划同一天出发，沿着 不同的路线旅行至相同目的地.甲旅行团走A路线，全程1 600 km，计划旅行4 天；乙旅行团走B路线，全程2 000 km，由于B路线高速公路较多，计划旅行3天. 甲、乙两旅行团开始各有20人参团，甲旅行团计划每人每天的平均花费为500元， 而甲旅行团实际又加入了a人（a＞0），经统计，甲旅行团每增加1人，每人每天 的平均花费将减少20元；乙旅行团人数不变，每人每天的平均花费始终为400元. 若两个旅行团旅行天数与各自原计划天数一致，且甲旅行团的总花费比乙旅行团 总花费多16 000元，求a的值. 解：根据题意，得4×（500－20a）（20＋a）－3×400×20＝16 000. 整理，得a2－5a＝0. 解得a1＝5，a2＝0（不符合题意，舍去）. 答：a的值为5. 能力提升 13. （2022遂宁）已知m为方程x2＋3x－2 022＝0的根，那么m3＋2m2－2 025m ＋2 022的值为（　B　） A. －2 022 B. 0 C. 2 022 D. 4 044 14. （2022内江）已知x1，x2是关于x的方程x2－2x＋k－1＝0的两实数根，且2x2－1，则k的值为 　2　. B 2 15. （2022贵阳）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分 别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这 两个方程. ①x2＋2x－1＝0； 解：①利用公式法：x2＋2x－1＝0， Δ＝22－4×1×（－1）＝4＋4＝8， ∴x ＝－1± . ∴x1＝－1 x2＝－1－ . ②x2－3x＝0； 解：②利用因式分解法：x2－3x＝0， ∴x（x－3）＝0.∴x1＝0，x2＝3. ③x2－4x＝4； 解：③利用配方法：x2－4x＝4. 两边都加上4，得x2－4x＋4＝8. ∴（x－2）2＝8.∴x－2＝±2 . ∴x1＝2＋2 x2＝2－2 . ④x2－4＝0. 解：④利用因式分解法：x2－4＝0， ∴（x＋2）（x－2）＝0. ∴x1＝－2，x2＝2. $$