精品解析：湖南省永州市蓝山县2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024年下期期中学业质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 在，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 要使分式有意义，则应满足下列哪个条件（ ） A. B. C. D. 3. 不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 测得某人的头发直径为0.00000000835米，这个数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 6. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( ) A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° 7. 三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 若关于x分式方程有增根，则a的值是 （ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　） A. 1cm B. 2cm或 C. 2cm D. 1cm或 二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 在一个三角形中，三个内角的度数之比为，则这个三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 12. 化简=____． 13. 计算：______． 14. 如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分面积为________． 15. 命题“等角的余角相等”的逆命题是：___________. 16. 将一副直角三角尺按图所示的位置放置，使含角的三角尺的一条直角边和含角的三角尺的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是________°． 17. 若，则分式的值为_____． 18. 如图，在中，，的面积是，点为的中点，点为线段上的动点，点为边上的动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算： 20. 解分式方程： （1） （2）． 21. 化简式子（1），并在﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值． 22. 如图，点E、F在线段上，，， 证明：． 23. 如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 24. 蓝山县供销超市用6000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍．试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ 25. 我们已经学过如果关于x的分式方程满足 （a，b分别为非零整数），且方程的两个根分别为． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如： 可化为 ∴ 再如： 可化为 ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）“十字方程”，则 ， ； （2）“十字方程”两个解分别为，求的值； （3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值． 26. 如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点． （1）求证：△△． （2）猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） （3）在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期中学业质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 在，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式定义，注意是常数，所以不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：分式有，共个，，，，是整式， 故选A 2. 要使分式有意义，则应满足下列哪个条件（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零． 根据分式分母不为0，则分式有意义进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故选：B． 3. 不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查分式基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 测得某人的头发直径为0.00000000835米，这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：D． 6. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( ) A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案． 【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°， 由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠B=30°， ∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°， 故选B． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 7. 三角形三条边大小之间存在一定的关系，以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为，，的三条线段能构成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为，，的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 8. 某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里，根据题意即可列出分式方程. 【详解】解：设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里， 依题意得：． 故选D． 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程. 9. 若关于x分式方程有增根，则a的值是 （ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，正确解分式方程得到是解题的关键．先解分式方程得到，再根据分式方程有增根得到，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 故选A． 10. 如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　） A. 1cm B. 2cm或 C. 2cm D. 1cm或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有关动点问题的全等三角形应用，掌握和两种全等情况是解本题的关键． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可． 【详解】解：①若，则，，可得：，， 解得：，； ②若，则，，可得：，， 解得：， 的长度为1cm或． 故选：D． 二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 在一个三角形中，三个内角的度数之比为，则这个三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，三角形的内角和定理，三角形的分类．设该三角形三个内角的度数分别为，，，根据三角形的内角和定理即可列出方程，求解得到各内角的度数，即可解答． 【详解】解：设该三角形三个内角的度数分别为，，，则 ， 解得：， ∴这个三角形的三个内角为，，， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角 12. 化简=____． 【答案】1 【解析】 【详解】 解：原式=-==1． 故答案为1． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，再根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．证明，则，利用割补法可得阴影部分面积． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， 图中阴影部分面积． 故答案为：30． 15. 命题“等角的余角相等”的逆命题是：___________. 【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角相等． 【解析】 【分析】命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论．把命题的条件和结论交换即可得其逆命题． 【详解】“等角的余角相等”改写成“如果两个角相等，那么它们的余角也相等”． 所以：“等角的余角相等”的条件是：两个角相等； 结论是：它们的余角也相等，逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．． 故答案为如果两个角的余角相等，那么这两个角相等． 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 16. 将一副直角三角尺按图所示的位置放置，使含角的三角尺的一条直角边和含角的三角尺的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是________°． 【答案】75 【解析】 【分析】利用对顶角相等求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质是解题的关键． 17. 若，则分式的值为_____． 【答案】﹣4. 【解析】 【分析】将已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到m+n=2mn，代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】，可得， ＝﹣4； 故答案为﹣4. 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键 18. 如图，在中，，的面积是，点为的中点，点为线段上的动点，点为边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点作于，由等腰三角形三线合一可得为的垂直平分线，即得，进而得，即可得的最小值即为垂线段的长，利用三角形面积求出即可求解，得出的最小值为垂线段的长是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的最小值即为垂线段的长， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案：． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数的意义，先根据绝对值、乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义化简，再算乘法，后算加减． 【详解】解： 20. 解分式方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，正确记忆运算法则是解题关键． （1）两边都乘以得到，解方程并检验即可； （2）两边都乘以得，解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：， 两边都乘以得，， 解得， 当时，， 是分式方程的解． 【小问2详解】 解：， 两边都乘以得， 解得， 当时，， 是增根，分式方程无解． 21. 化简式子（1），并在﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，1. 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从-2，-1，0，1，2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答即可． 【详解】（1） ＝[] ＝（） ， 当a＝﹣2时，原式1． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 22. 如图，点E、F在线段上，，， 证明：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再由线段的和差关系可得，据此证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 如图，是的边上的高，平分，若，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识点，掌握三角形的内角和是是解题关键． 由三角形内角和定理可求得的度数，再由是角平分线可求得，在中，利用直角三角形两锐角互余可求得的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是的边上的高，， ∴． 24. 蓝山县供销超市用6000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍．试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？ 【答案】每千克6元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则再次购进该品种苹果的进价是每千克元，利用数量=总价÷单价，结合再次购进苹果的质量是试销时的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设试销时该品种苹果的进价是每千克元．依题意可得： ， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种苹果的进价是每千克6元． 25. 我们已经学过如果关于x的分式方程满足 （a，b分别为非零整数），且方程的两个根分别为． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如： 可化为 ∴ 再如： 可化为 ∴ 应用上面结论解答下列问题： （1）“十字方程”，则 ， ； （2）“十字方程”的两个解分别为，求的值； （3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值． 【答案】（1）－2，－4；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）按照“十字方程”的解法解方程即可； （2）根据“十字方程”的解法求出，，代入求值即可； （3）把方程转化为，求出方程的解，代入计算即可． 【详解】（1）可化为， ∴－2，－4； 故答案为：－2，－4； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （3）解：∵为关于x的“十字方程” ∴ ∴ ∴或 ∵ ∴或 ∴ 【点睛】本题考查了分式方程的特殊解法，解题关键是理解题意，按照题目中的方法进行求解． 26. 如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点． （1）求证：△△． （2）猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） （3）在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】（1）见解析 （2） （3）图见解析，或，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【小问1详解】 证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． 【小问2详解】 解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ 【小问3详解】 解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图： 同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图： 同理，得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $