精品解析：河南省南阳市内乡县2024—2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋期期中九年级数学巩固与练习 （满分：120分 时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 4. 把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，0 B. 2，－5，0 C. 2，－3，－1 D. 2，5，0 5. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 8. 一元二次方程化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 9. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的根是______． 12. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段________． 13. 若，则代数式的值等于______． 14. 如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是________（写出一个即可）． 15. 如图，在矩形中，，，点P，Q分别在和上，，M为上一点，且满足．连接、，若，则的长为_________． 三、解答题（共75分） 16. 如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 17. （1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 18. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 19. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． （1）如果，，求的长． （2）如果，求的长． 20. 如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 21. 某校社会实践小组为了测量一次大型运动会的主火炬台（如图）顶端距离地面的高度（如图），小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，火炬台的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到火炬顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米，已知点、、、与火炬台的底端在同一直线上，，，（平面镜大小忽略不计） （1）求与的等量关系； （2）请你根据以上数据，计算该火炬台的高度 22. 在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当t为多少时，的长度等于？ （2）当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 23. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期中九年级数学巩固与练习 （满分：120分 时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 2. 下列二次根式与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义求解即可； 【详解】、、和是同类二次根式， 和不是同类二次根式； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 3. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 4. 把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，0 B. 2，－5，0 C. 2，－3，－1 D. 2，5，0 【答案】B 【解析】 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数、一次项系数、常数项的概念即可得出结果． 【详解】解：方程， 整理得：， 则二次项系数为2，一次项系数为－5，常数项为0． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数． 5. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 【答案】B 【解析】 【分析】由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， 原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，不等式的性质，正确估算出的范围是解题关键．先化简，再估算的大小，最后利用不等式的性质，即可得到答案． 【详解】解：， ，且， ，即， ， 即的值应在4和5之间， 故选：B． 7. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题关键是掌握位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．由可得，从而和的相似比为，即可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为， ∵的周长为8， ∴的周长为24． 故选：C 8. 一元二次方程化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可． 【详解】解：∵2x2-3x+1=0， ∴2x2-3x=-1， ， ， ， ∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：， 故选：A． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 9. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：B 10. 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方根解方程即可． 【详解】解：移项，得 开平方，得. 12. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例，则可以列出比例式，代入数值求解即可得到答案； 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：2． 13. 若，则代数式的值等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】由可得，可得，再利用整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，代数式的求值，熟练的利用整体法求解代数式的值是解本题的关键． 14. 如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴，， ∴， 同理可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在矩形中，，，点P，Q分别在和上，，M为上一点，且满足．连接、，若，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】可令的长为x，证明，可得，即，从而可得，，最后利用进行求解即可． 【详解】解：设的长为x， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，通过相似比找出其他线段与的关系是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）长方形的周长为米 （2）购买地砖需要花费元 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【小问1详解】 解： （米）． 答：长方形的周长为米． 【小问2详解】 解： （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 17. （1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 18. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 19. 如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． （1）如果，，求的长． （2）如果，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在t使为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，的面积为． （2）不存在t使为等腰三角形，理由： 由题意可得：，，， ∴， ∵为钝角三角形；且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴不存在t使为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由四边形为矩形，，，可得，，，结合，再解方程并检验即可； （2）由题意可得：，，，可得，由为钝角三角形；且为等腰三角形，可得，建立方程，再利用方程根的判别式可得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得：或； ∵， ∴不符合题意，则， ∴当时，的面积为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用，利用图形面积与等腰三角形的性质建立方程求解是解本题的关键． 21. 某校社会实践小组为了测量一次大型运动会的主火炬台（如图）顶端距离地面的高度（如图），小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，火炬台的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到火炬顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米，已知点、、、与火炬台的底端在同一直线上，，，（平面镜大小忽略不计） （1）求与的等量关系； （2）请你根据以上数据，计算该火炬台的高度 【答案】（1）； （2）该火炬台的高度为米． 【解析】 【分析】（）由，，得，证明，然后根据相似三角形的性质即可求解； （）由，，得，证明，然后根据相似三角形的性质和，即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形得判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：，理由： ∵点与火炬台的底端在同一直线上，，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：米， ∴（米）， ∵点与火炬台的底端在同一直线上，，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴，即， 由（）得：， ∴， ∴（米）， 答：该火炬台的高度为米． 22. 在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当t为多少时，的长度等于？ （2）当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了由动点产生的相似三角形问题．熟练掌握勾股定理，相似三角形性质是解题的关键． （1）利用勾股定理得出，列方程，解方程，即可得出结论； （2）根据，分和两种情况，建立方程求解，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵中，，，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ，或， ∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴当与相似时， 一种情况是 ， ∴， ∴； 另一种情况是 ， ∴， ∴， 故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似． 23. 如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $