精品解析：江西省九江市十校联考2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据真数大于0表示集合，解一元二次不等式化简集合，利用集合的基本运算确定答案. 【详解】由得，，故， 由得，或，故或， ∴，∴. 故选：A. 2. 若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程，利用复数的运算法则和复数相等的概念求解即可. 【详解】因为是关于方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得， 故选：D 3. 设函数满足，当时，，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式和特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为函数满足，当时，， 所以 ， 故选：C 4. 已知向量且向量方向相反，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量相反的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量且向量方向相反， 当时，，不满足题意， 当时，，解得，且， 所以，，且， 经检验只有满足题意， 故选：D 5. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，独立事件的概率公式即可求解. 【详解】, 即，解得. 故选：D. 6. 如图，在矩形中，，在上且，将沿折起到，使得平面，点在线段上，若平面，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线平行可得平面，进而根据面面平行可得，即可求解. 【详解】作交于，连接．则四边形是平行四边形，， 由，不在平面内，在平面内，可得平面． 又平面，，平面， 所以平面平面． 又平面平面，平面平面，所以， 因此． 故选：C 7. 已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由方程解得，得到的可能取值，根据题意可得，解出的取值范围即可. 【详解】由方程，可得， 所以， 当时，， 所以的可能取值为， 因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，解得，即的取值范围是， 故选：D 8. 已知，点P为直线上的一动点，点Q为上的一动点，则|的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得，即可根据，根据三点共线即可得三点共线时，且垂直于直线时距离最小，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】设，则， 令，则且， 所以，得对任意成立， 则，则， 当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，即点M到直线的距离，等于． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线的倾斜角为，直线与抛物线相交于两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式可得，即可结合选项求解. 【详解】由，选项AB错误． ，故， 故，CD正确． 故选：CD 10. 首项为正数的数列满足．则以下结论正确的是（ ） A. 若为奇数，则对一切都是奇数 B. 若数列单调递增，则 C. 若时，数列单调递增 D. 对任意，不等式都成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据可得即可求解A，利用作差可得即可根据同号求解D，根据即可求解CB. 【详解】若，则也是奇数，因为为奇数，所以对一切都是奇数A正确． 因为且数列都是正数， 故，故同号，所以不等式成立，故选项D正确． 对于B，数列单调递增，只需得或者，故选项B错误， 当时，，故， 由于，故， 又，故， 同理，故， 又，故， 同理可得，且故数列单调递增，C正确． 故选：ACD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据求导即可求解A，根据奇偶性的定义即可求解B，利用假设法得矛盾求解C，根据对称性可得，进而可得，从而可得求解D. 【详解】由，可得，则， 令，得，A正确． 令，则，故为偶函数，B正确． 假设的图象关于点对称，则，则，即关于直线对称，又不是常函数，这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立，C不正确． 因为的图象关于点对称，所以，令，则， 则（C为常数），则， 从而，即， 由，得，D错误． 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：根据对称得，进而可得，求导可得，从而得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某中学高一有学生人，其中男生人，现采用分层抽样的方法从中抽取人，对他们的身高进行了统计．若男生身高的平均数和方差分别为和，女生身高的平均数和方差分别为和，据此可以估计该校高一年级学生的平均身高是__________，总体方差为__________．（答案保留一位小数） 【答案】 ①. 165.2 ②. 51.5 【解析】 【分析】利用男、女生身高的平均数计算总体身高的平均数，利用方差的定义推导出总体方差公式，代入数据可得结果. 【详解】由题意得，高一男生人，女生人，男、女生人数比为：，所以样本中男生23人，女生27人． 记男生身高为，平均数为，方差为， 女生身高为，平均数为，方差为， 记总体平均数为，方差为， 则， 根据方差的定义，总体方差为： 由可得， 同理可得：， 所以 . 故答案为：165.2，51.5. 13. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线C的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，表示其他边长，利用双曲线定义可得，在和中分别利用余弦定理可得的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 如图，设，则， 由双曲线定义得，，， ∴，故. 在中，， 在中，， ∵， ∴，故，即， ∴曲线C的离心率． 故答案为：. 14. 已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理结合空间向量线性运算，用表示，利用模长公式可计算间的距离. 【详解】 以向量为基底，由题知：或， ∴， 当时，，∴， 当时，，∴． 故答案为：或． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，内角的对边分别为，，过点作，交线段于点，且． （1）求的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即可； （2）利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，，所以，解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由第（1）问可知， 又因为，所以， 所以在中由正弦定理， 解得， 又因为，所以， 所以的面积． 16. 树人中学高一年级围棋队有运动员3名，其中种子选手2名；高二年级围棋队有运动员5名，其中种子选手3名，现从这8名运动员中随机选择4人去阳光中学参加校际友谊赛． （1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个年级”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值． 【答案】（1） （2）分布列： 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出对应的概率即可求出分布列，进而求均值即可. 【小问1详解】 由己知得基本事件的个数为：， 事件包含的基本事件个数为 故事件发生的概率. 【小问2详解】 由题意随机变量的所有可能取值为1，2，3，4， ， ， 随机变量的分布列为 1 2 3 4 . 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定单调性， （2）分离参数得在区间上恒成立， 构造函数，只需，利用导数求解函数的最值即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 令，则， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． 【小问2详解】 由题意在区间上恒成立， 即恒成立， 即在区间上恒成立， 令，只需， 因为， 令，有， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 18. 已知点在离心率为的椭圆上，过点的直线与椭圆只有1个公共点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求直线的方程； （3）若直线与直线相交于点，证明：以为直径的圆经过椭圆的右焦点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程和几何性质列方程组求解即可； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，令判别式等于0解出即可； （3）联立直线与直线，解出点坐标，进而得到以为直径的圆的方程，判断该方程是否过右焦点即可. 【小问1详解】 由题意可知该椭圆中，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，联立解得， 此时点的直线与椭圆有2个公共点，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程，消去得， 因为直线与椭圆只有1个公共点，所以， 解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 联立方程，解得， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以该圆的方程为， 令可得，解得或， 所以以为直径的圆经过点，即椭圆的右焦点． 19. 已知在空间直角坐标系中，球的半径为1．对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面，唯一的公共点叫切点，球心和切点的连线垂直于切平面，类似于二元一次方程表示平面内的直线，三元一次方程可以表示空间的平面．例如：方程表示经过三点的平面．方程表示坐标平面． （1）求球在点处的切平面方程，并求该平面与坐标平面的交线在平面内的直线方程； （2）过球面上任意一点作切平面，若平面分别与x，y，z的正半轴相交于三点，求面积的最小值； （3）过球外一个定点作球的切平面有无数个，全体切点所确定的平面记为面．设是球外两个定点，证明：若面，则面． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）在球的切平面上任取一点，则，利用向量垂直的坐标表示求解即可； （2）设为球面上一点，在平面上任取一点，则，利用向量垂直的坐标表示可得，进而解出坐标，利用等体积法结合基本不等式求最小值即可； （3）设，分别求出面和面的方程，将代入即可证明. 【小问1详解】 在球的切平面上任取一点，则， 即， 即，即， 又坐标平面的方程为， 联立方程组得交线方程为. 【小问2详解】 设为球面上一点，则， 在平面上任取一点，则， 即， 即， 即， 因为平面与分别与的正半轴相交，则， 平面分别交轴于点， 因为三棱锥体积，所以， 又因为，所以， 因此，当且仅当时等号成立. 【小问3详解】 设， 过作球的切平面，其切点为， 由（2）知，处的切平面方程为， 又因为都在这些切平面上，所以， 即所有切点均符合方程， 即面的方程为①， 同理，面的方程为②， 若面，即， 于是，即点坐标符合②，所以面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 设函数满足，当时，，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 0 4. 已知向量且向量方向相反，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，在上且，将沿折起到，使得平面，点在线段上，若平面，则的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，点P为直线上的一动点，点Q为上的一动点，则|的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线的倾斜角为，直线与抛物线相交于两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 首项为正数的数列满足．则以下结论正确的是（ ） A. 若为奇数，则对一切都是奇数 B. 若数列单调递增，则 C. 若时，数列单调递增 D. 对任意，不等式都成立 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某中学高一有学生人，其中男生人，现采用分层抽样的方法从中抽取人，对他们的身高进行了统计．若男生身高的平均数和方差分别为和，女生身高的平均数和方差分别为和，据此可以估计该校高一年级学生的平均身高是__________，总体方差为__________．（答案保留一位小数） 13. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线C的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为__________． 14. 已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为__________． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，内角的对边分别为，，过点作，交线段于点，且． （1）求的大小； （2）求的面积． 16. 树人中学高一年级围棋队有运动员3名，其中种子选手2名；高二年级围棋队有运动员5名，其中种子选手3名，现从这8名运动员中随机选择4人去阳光中学参加校际友谊赛． （1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个年级”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 18. 已知点在离心率为的椭圆上，过点的直线与椭圆只有1个公共点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求直线的方程； （3）若直线与直线相交于点，证明：以为直径的圆经过椭圆的右焦点． 19. 已知在空间直角坐标系中，球的半径为1．对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面，唯一的公共点叫切点，球心和切点的连线垂直于切平面，类似于二元一次方程表示平面内的直线，三元一次方程可以表示空间的平面．例如：方程表示经过三点的平面．方程表示坐标平面． （1）求球在点处的切平面方程，并求该平面与坐标平面的交线在平面内的直线方程； （2）过球面上任意一点作切平面，若平面分别与x，y，z的正半轴相交于三点，求面积的最小值； （3）过球外一个定点作球的切平面有无数个，全体切点所确定的平面记为面．设是球外两个定点，证明：若面，则面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $