浙江省名校协作体2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

2024学年第二学期浙江省名校协作体试题 高三年级数学学科 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ▲ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则 A． B． C． D． 3．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ▲ ） A． B． C． D． 4．一个底面边长为的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ▲ ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，且为等差数列，若，则（ ▲ ） A．13 B．26 C．30 D．33 6．已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为（ ▲ ） A． B． C． D．2 7．已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得，则的最小正周期不可能为（ ▲ ） A． B． C． D． 8．设函数，若，则的最小值为（ ▲ ） A． B． C． D．0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ▲ ） A．有一组数1，2，3，5，这组数的第75百分位数是3 B．在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 C．随机变量，若，则 D．用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则， 10．若正实数满足，则下列不等式正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 11．已知直棱柱的所有棱长均为，动点满足，则下列说法正确的是（ ▲ ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，三棱锥的外接球的表面积为 D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，常数项是 ▲ ． 13．已知定义在上的函数，满足是偶函数， 是奇函数，则 ▲ ． 14．如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知的内角的对边分别是，已知． （I）求角的大小； （II）若为上一点，且为的角平分线，求线段的长． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，是棱的中点，． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （I）求函数的单调区间； （II）若对于任意恒成立，求整数的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知离心率为的椭圆与轴正半轴、轴正半轴分别交于、两点且． （I）求椭圆的标准方程； （II）设经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点．若面积为，求直线的方程； （III）点，点在椭圆上，且满足（记直线的斜率为，直线斜率为），过点作的垂线，垂足为，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求出此定值，若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和．已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”． （I）若，判断是否为“完美集”，并说明理由； （II）若集合是“完美集”，证明：是奇数； （III）若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”．已知集合是“等差完美集”，求的最小值． 命题：桐乡高级中学 缙云中学 审校：玉环中学 温州中学 学科网（北京）股份有限公司 $$