第七章 相交线与平行线复习与小结（第3课时 平行拐点专题）-2024-2025学年七年级下册数学（人教版2024）

平行拐点专题 第七章 相交线与平行线复习与小结 | 第3课时 | 第七章 相交线与平行线 知识复习 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 平行线的 判定 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行线的 性质 互逆 证平行，用判定 知平行，用性质 角 度 数量关系 直 线 位置关系 直 线 位置关系 角 度 数量关系 ∠1=∠2 ∠1=∠3 ∠1+∠4=180° 角度 a∥b 判定 性质 a//c，b//c 平行 a⊥c ， b⊥c 垂直 平 行 角 度 a∥b a∥b ∠1=∠2 ∠1=∠3 ∠1+∠4=180° ………… 平行线的判定与性质 探究新知 例1 如图，若AB//CD，BD一个根有韧性的橡皮筋，点E是一颗钉子。 (1)如图(1)猜想∠B、∠D与∠BED 的大小关系． (2)如图(2)猜想∠B、∠D与∠BED 的大小关系，并证明． (3)如图(3)猜想∠B、∠D与∠BED 的大小关系，并证明． (4)请总结这类题解题方法. (5)随着动点E的运动还会有那些情况？直接写出∠B、∠D与∠BED 的大小关系式． 图(1) 图(2) 图(3) 例1 如图，若AB//CD，BD一个根有韧性的橡皮筋，点E是一颗钉子。 (2)如图(2)猜想∠B、∠D与∠BED 的大小关系，并证明． (2)解：过点E 向右作EF//AB． ∴∠B=∠BEF． ∵AB//CD， ∴EF//CD． ∴∠D =∠DEF． ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB， 即∠B＋∠D＝∠DEB． 图(2) F 例1 如图，若AB//CD，BD一个根有韧性的橡皮筋，点E是一颗钉子。 (3)如图(3)猜想∠B、∠D与∠BED 的大小关系，并证明． 解：过点E 向左作EF//AB． ∴∠B+∠BEF＝180°． ∵AB//CD， ∴EF//CD． ∴∠D +∠DEF＝180°． ∴∠B＋∠D+∠DEB ＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°， 即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°． F 解法二 例1 如图，若AB//CD，BD一个根有韧性的橡皮筋，点E是一颗钉子。 (5)随着动点E的运动还会有那些情况？直接写出∠B、∠D与∠BED 的大小关系式． 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 图(5) 图(6) 解：∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下： 如图，过E点向左侧作EF∥AB， 又∵AB∥CD，∴EF∥CD. ∴∠FEC＝∠C. 又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC， ∴∠BEF＝∠BEC－∠C. ∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°. ∴∠B＋∠BEC－∠C＝180°. 例2 如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系． 试说明理由． F 知识小结 平行拐点常用图形及结论 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 图(5) 图(6) ∠D+∠E+∠C= 360° ∠D+∠B=∠E ∠D+∠E+∠C= 360° ∠D-∠B=∠E ∠B-∠D=∠E ∠D-∠B=∠E 拓展与应用 C A B D E 1.如图, AB∥CD,则 : A C D B E2 E1 当有1个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360° 当有2个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540° 当有3个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720° C D A B E1 E2 E3 当有 n个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C = (n-1)×180° … A B C D E1 E2 En 当左边有2个角，右边有1个角时： ∠A+∠C= ∠E 当左边有2个角，右边有2个角时： ∠A+∠F= ∠E +∠D 当左边有3个角，右边有2个角时: ∠A+∠ F1 +∠C = ∠ E1 +∠ E2 A B C D E C A B D E F E1 C A B D E2 F1 C A B D E1 F1 E2 Em F2 Fn ∠A+∠F1 +∠ F2 +…+∠Fn=∠E1 +∠E2 +…+∠Em+∠D 当左边有(n+1)个角，右边有(m+1)个角时：左方角和=右方角和 拓展与应用 2.如图, AB∥CD,则 : 课堂练习 1.如图1,已知 AB∥CD, ∠1=30°, ∠2=90°,则∠3= ° 2.如图2,若AE∥CD, EBF=135°,∠BFD=60°,∠D=( ) A.75° B.45° C.30° D.15° 图1 图2 60 D 3.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为(　　) A．70° B．65° C．35° D．5° B 图3 4.如图1，直线AB∥CD∥EF，则∠α＋∠β－∠ r ＝________． 180° 5.如图2，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，求∠1＋∠2＝_______． 6.如图3，将一块含有60°角的直角三角尺放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为(　　) A．15° B．25° C．35° D．45° A 图1 图2 图3 60° 8. 如图2，若 AE∥CD，∠EBF = 135°，∠BFD = 60°， 则∠D = ( ) A. 75° B. 45° C. 30° D. 15° D 图2 7.如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为(　　) A．95° 　B．105° C．110° D．115° B 9.如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由． F 解：过点E 向右作EF//AB． ∴∠B=∠1． ∵∠BEF＝∠B＋∠D ∴∠D =∠2 ∴EF//CD． ∴AB//CD， 1 2 解：∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由： 过O向左作OM∥AB，过P向右作PN∥CD，如图所示． ∵AB∥CD， ∴OM∥PN∥AB∥CD. ∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC. ∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4. ∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF. 10.如果将折一次改为折两次，如图，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？给出理由． M N $$