山西省晋城市高中联考2024-2025学年高三上学期阶段性测试（三）数学试题

数学试题 第 1页（共 4页） 数学试题 第 2页（共 4页） 绝密★启用前 2024—2025学年（上）高中毕业班阶段性测试（三） 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题纸上。写在 本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求. 1．已知集合    2 2 0 , 1P x x x Q x x a      ，则P Q P 的充要条件是 A． 0 1a  B．0 1a  C．0 1a  D．0 1a  2．以边长为 2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 A．8π B．4π C．8 D．4 3．若向量    1,2 , 3, 4a b      ，则 a  在b  上的投影向量为 A． 33 44, 25 25      B． 33 44, 25 25      C．  33,44 D． 11 5 25  4．函数   3 sin 2 2x x x xf x   的部分图象大致为 A． B． C． D． 5．在 3世纪，古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一 定义.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0 1e  是地， 轨迹为椭圆；当 1e  时，轨迹为抛物线；当 1e  时，轨迹为双曲线.现有方程  2 2 22 1 4 4k x y x y x      表示的曲线是双曲线，则 k的取值范围为 A． 10, 5       B． 1 , 5      C．  5, D．  0,5 6．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心 的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的 运动过程可近似为一单摆运动，其离开平衡位置的位移 s（单位；cm）和时间 t（单位：s）的函数关 系式为： 1 πsin 0, 0, 3 2 s A t A               ，若振幅是 2，图像上相邻最高点和最低点的距离是 5， 且过点  1,2 ，则和的值分别为 A． ππ, 6 B． π2π, 3 C． ππ, 6  D． 2π, 3   7．在公差不为 0的等差数列 na 中， 1 2 31 2, , , ,k k ka a a a a 成公比为 3的等比数列，则 3k  A．14 B．34 C．41 D．86 8．已知定义在 R上的函数  f x 满足： 1 12f x       为奇函数，      0 0, 3 2f f x f x  ，且对任意 2 1 0x x  ，都有 2 1( ) ( )f x f x ，则 ln 3 3 f       A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D．1 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．若 1 1 iz   ， 2 2iz  ，则 A． 21 2z z B． 1 2 1z z z  C． 2 1 z z 在复平面内对应的点在第二象限 D． 1 22z z  是实数 10．已知四棱锥P ABCD 的底面为正方形， PA 底面 , 2ABCD PA AB  ，平面 过点 A且与侧棱 , ,PB PC PD的交点分别为 E，F，G，若直线PC 平面 ，则 A．直线 / /BD 平面 B．直线 EG 直线 AF C．直线 PA与平面 所成的角为45 D．截面四边形 AEFG的面积为 4 3 3 11．在平面直角坐标系 xOy中，已知任意角以坐标原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过 点  0 0,P x y ，且  0OP r r  ，定义   0 03si cos 2 y x r    ，称“  si cos ”为“正余弦函数”.对于“正余弦函 数    si cosf x x ”，下列结论中正确的是 A．将  f x 图象向右平移 π 3 个单位长度，得到的图象关于原点对称 B．  f x 在区间 2π,2π 上的所有零点之和为 2π 3 C．  f x 在区间 π 3π, 3 4      上单调递减 数学试题 第 3页（共 4页） 数学试题 第 4页（共 4页） D．  f x 在区间  0,7π 上有且仅有 5个极大值点 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 若椭圆 2 2 1 1 3 x y k k     的焦点在 y轴上，则实数 k的取值范围是 . 13．已知 nS 为等差数列 na 的前 n项和.若 16 0S  ， 7 9 0a a  ，则当 nS 取最小值时， n的值为 . 14． ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知  2 cos cosb a C c A  ，c是 a，b的等比中项， 且 ABC 的面积为 2 3，则 a b  ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数   3 23 4 2 2 f x x x ax    ． （I）若函数      36ln 4 9g x x x a x f x     ，求  g x 的单调区间； （II）若  f x 有两个都小于 0的极值点，求实数 a的取值范围． 16．（15分） 已知数列 na 有递推关系 *1 7 8 4N , 3 4 3 n n n n aa n a a         ， 1 69 29 a  ，记 ( Z)n na b k k   ，若数列 nb 的递 推式形如： 1 n n n rbb pb q   （ , , Rp q r 且 , 0p r  ），也即分子中不再含有常数项. （I）求实数 k的值； （II）证明： 1 3 5nb       为等比数列，并求其首项和公比. 17．（15分） 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率 是 1 2 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 2 3 ．假设各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）分别求甲队以3: 0,3:1,3: 2胜利的概率； （Ⅱ）若比赛结果为3: 0或3:1，则胜利方得3分，对方得 0分；若比赛结果为3: 2，则胜利方得 2分、对 方得1分．求乙队得分 X 的分布列及数学期望． 18．（17分） 如图，在三棱台 1 1 1ABC ABC- 中， 1 1 18, 5, 4BC AB AC BC CC     ， ,M O分别为 1 1BC ，BC的中点，侧 面 1 1BCC B 为等腰梯形. （I）证明：平面 ABC 平面 AOM ； （Ⅱ）记二面角 1A BC C  的大小为 π 6 ，求直线 1BB 与平面 1 1AACC所成角的正弦值. 19．（17分） 已知双曲线C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     经过点 A  2,0 ，且点A到C的渐近线的距离为 2 21 7 ． （I）求双曲线 C的方程； （Ⅱ）过点  4,0 作斜率不为 0的直线 l与双曲线C交于M，N两点，直线 4x  分别交直线 AM，AN于 点 E，F．试判断以 EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理 由．