精品解析：安徽省马鞍山市花园初级中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线y=在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A. k＜3 B. k≥3 C. k＞3 D. k≠3 3. 已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A. B. 2a=3b C. D. 3a=2b 4. 把函数 的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数与反比例函数分别交于两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP >PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是（ ） A. -4 B. 12- C. 12+ D. +4 8. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=(k＞0，x＞0)的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM=2MA，若AB=3，那么点N的横坐标为(　　) A. B. C. 4 D. 6 9. 已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（ ） A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤ 10. 如图，抛物线y= a1x2与抛物线y=a2x2 +bx的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M、N，若，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），则抛物线的对称轴是__________． 12. 已知，则______． 13. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，ABx轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值为_____． 14. 若，则直线一定经过第_______限． 15. 已知点在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为______． 16. 在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G，当直线与图象G有4个交点时，则m的取值范围是_______． 17. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________． 18. 如图，抛物线交轴于、两点(在的左侧)，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是_____． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19. 已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长． 20. 已知抛物线与轴相交于点，，求抛物线的解析式． 21. 已知A(－2，1)、B(n，－2)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点. (1) 求此反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围. 22. 我市高新区某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的售价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：． （1）工人甲第几天生产的产品数量为60件？ （2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数关系图象如图，工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，第几天时，利润最大，最大利润是多少？ 23. 如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． （1）如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ （2）在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 24. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则P为“美好点”． （1）在点，，中，是“美好点”的有 （2）若“美好点”在直线（b为常数）上，求a和b的值； （3）若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数顶点式的性质，抛物线的顶点式方程为，其中顶点坐标为． 【详解】解：∵ ∴顶点坐标为， 故选B． 2. 若双曲线y=在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A. k＜3 B. k≥3 C. k＞3 D. k≠3 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可解． 【详解】解：∵双曲线在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴k-3＞0 ∴k＞3 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； 当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 3. 已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A. B. 2a=3b C. D. 3a=2b 【答案】B 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：由得，3a=2b， A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意； B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意； C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意； D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积． 4. 把函数 的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象的平移变换规律，自变量加减左、右平移； 函数值加减上、下平移．属于基础题． 根据二次函数的平移变换规律求解即可． 【详解】解：把函数 的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为，即， 故选：B． 5. 如图，一次函数与反比例函数分别交于两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象，发现： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集是或． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 7. 大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP >PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是（ ） A. -4 B. 12- C. 12+ D. +4 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到AP=AB，然后把AP=8代入后可求出AB的长． 【详解】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴AP=AB， ∴AB=（cm）， 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割以及分母有理化．把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB．并且线段AB的黄金分割点有两个． 8. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=(k＞0，x＞0)的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM=2MA，若AB=3，那么点N的横坐标为(　　) A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值即可． 【详解】过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D， ∵△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=OB=3，∠AOB=∠ABO=60°， 又∵OM=2MA， ∴OM=2，MA=1， 在Rt△MOD中，∠OMD=90-∠MOD =30°， OD=OM=1，MDOD， ∴点M的坐标为 (1，)， ∴反比例函数的关系式为：y=， 设OC=a，则BC=3-a，NC=， 在Rt△BCN中，∠BNC=90-∠NBC =30°， ∴NC=BC， ∴= (3-a)， 解得：， (舍去)， ∴点N的横坐标为， 故选：B． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、反比例函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键． 9. 已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（ ） A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a=，代入9a+3b+c<0可判断⑤． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a<0， ∵对称轴x==1>0， ∴b=-2a， ∴b>0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c>0， ∴abc<0，①错误； ∵b=-2a， ∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②错误； 由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③错误； 当x=1时，y有最大值，y=a+b+c， 当x=n时，y=an2+bn+c， a+b+c>an2+bn+c， 即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确； 当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0， ∵b=-2a，即a=， 代入9a+3b+c<0得9（）+3b+c<0， +c<0， -3b+2c<0，即2c<3b，⑤正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线图像和二次函数系数之间的关系，熟知抛物线图像和二次函数系数之间的关系是解题关键． 10. 如图，抛物线y= a1x2与抛物线y=a2x2 +bx的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M、N，若，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设 ，则由抛物线的对称性可知，，从而可得，，再由即可得到，再根据即可得到． 【详解】解：设 ， ∴由抛物线的对称性可知，， ∴，， ∵， ∴即， 又∵， ∴， ∴即， ∴或（舍去）， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，解题的关键在于能够求出． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 抛物线经过点A（-3，0），B（1，0），则抛物线的对称轴是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为二次函数与x轴的交点是关于对称轴对称的两点,根据对称性可得:抛物线的对称轴,故答案为:. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，代入计算即可解题． 【详解】解：设，则 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 13. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，ABx轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值为_____． 【答案】-10 【解析】 【分析】设点坐标为，则点坐标为，根据，求解即可． 【详解】解：设点坐标为，则点坐标为 则 解得，(舍去) 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合．解题的关键是用未知数表示出面积中的长度． 14. 若，则直线一定经过第_______限． 【答案】三，四 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 由，可得，当时，，直线经过一，三，四象限；当时，直线为经过二，三，四象限；即可得到答案． 【详解】解：∵， ，，， ， 当时，， ∴直线为，经过一，三，四象限； 当时，有， ， ∴直线为，经过二，三，四象限； 综上所述，直线一定经过第三，四象限； 故答案为：三，四． 15. 已知点在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入中得，则，由题意知，求得值，进而可得直线解析式，然后将代入求解可得值． 【详解】解：将代入中得， ∴， ∵最大值为9， ∴， 解得， 将代入，得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16. 在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G，当直线与图象G有4个交点时，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 如图，解方程得，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图，当时，， 解得：， 则， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解， 即， 解得：， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故答案为：． 17. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH． 【详解】解：当时，，解得：或， 结合图形可知：， 故答案为：4 【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值． 18. 如图，抛物线交轴于、两点(在的左侧)，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据抛物线解析式求出点，，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论． 【详解】解：令，则， 解得，， ，， ，， 令，则， ， ， ， 为中点， ， 由沿折叠所得， ， 在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当，，在同一直线上时，最小， 过点作，垂足为， ，， ， ， 又， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19. 已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长． 【答案】a=12，b=15，c=21． 【解析】 【分析】根据比例的性质，可得a、b、c的关系，根据a、b、c的关系，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【详解】设=x， 得a=4x，b=5x，c=7x． ∵a+b+c=48， ∴4x+5x+7x=48， 解得x=3， ∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21． 【点睛】本题考查的知识点是比例的性质，解题的关键是熟练的掌握比例的性质. 20. 已知抛物线与轴相交于点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算． 直接把点代入抛物线解析式，求解即可． 【详解】解：把点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为：． 21. 已知A(－2，1)、B(n，－2)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点. (1) 求此反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围. 【答案】(1)y=－ ； y= －x－1； (2)当 0<x<1 或 x<-2 时，一次函数的值大于反比例函数的值. 【解析】 【分析】（1）把A（-2，1）代入反比例函数求出m值即可得反比例函数解析式，把B（n，-2）代入反比例函数解析式可得n值，把A、B两点坐标代入一次函数y=kx+b列方程组即可求出a、b的值，可得一次函数解析式；（2）观察图象得到当0<x<1 或 x<-2 时，一次函数的图象都在反比例函数图象的上方，即一次函数的值大于反比例函数的值． 【详解】把A（-2，1）代入y=得m=1（-2）=-2， ∴反比例函数解析式为：y=， 把B（n，-2）代入y=得：-2=， 解得：n=1， ∴B点坐标为（1，-2） 把A、B两点坐标代入y=kx+b得， 解得：k=-1，b=-1， ∴一次函数解析式为：y=-x-1， （2）如图：观察图象得到当0<x<1 或 x<-2 时，一次函数的图象都在反比例函数图象的上方，即一次函数的值大于反比例函数的值． 【点睛】本题是一个函数与方程，不等式相结合的题目，正确理解函数的图象的坐标，函数与自变量的关系是解决本题的关键． 22. 我市高新区某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的售价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：． （1）工人甲第几天生产的产品数量为60件？ （2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数关系图象如图，工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，第几天时，利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）工人甲第10天生产的产品数量为60件；（2），第11天时，利润最大，最大利润是845元． 【解析】 【分析】（1）将分别代入和，根据x的取值范围选择合适的解即可； （2）由函数图象，分段求出P与x的函数关系，再由总利润=每件的利润产品数量可得W与x的函数关系式，结合关系式和x的取值范围确定利润的最大值即可. 【详解】解：（1）根据题意，得： ∵若8x=60，得：x=＞4，不符合题意； ∴5x+10=60， 解得：x=10， 答：工人甲第10天生产的产品数量为60件； （2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40， 当4＜x≤14时，设P=kx+b， 将（4，40）、（14，50）代入，得：， 解得：，∴P=x+36； ①当0≤x≤4时，W=（60﹣40）•8x=160x． ∵W随x的增大而增大，∴当x=4时，W最大=640元； ②当4＜x≤14时，W=（60﹣x﹣36）（5x+10）=﹣5x2+110x+240=﹣5（x﹣11）2+845，∴当x=11时，W最大=845． ∵845＞600，∴当x=11时，W取得最大值，845元， 答：第11天时，利润最大，最大利润是845元． 【点睛】本题考查了二次函数的在利润问题中的应用，正确理解题意，列出函数关系式是解题的关键. 23. 如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． （1）如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ （2）在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】（1） 线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2） ①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 【解析】 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 24. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则P为“美好点”． （1）在点，，中，是“美好点”的有 （2）若“美好点”在直线（b为常数）上，求a和b的值； （3）若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可； （2）对于点，对应图形的周长为：，面积为，因为点是“美好点”，故，即可求解； （3）根据点是“美好点”确定点的坐标，再分三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点不是“美好点”； 对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点是“美好点”； 对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点是“美好点”； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于点，对应图形的周长为，面积为， ∵点是“美好点”， ∴，解得：， 当时，将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 当时，将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 故或； 【小问3详解】 解：存在， 理由： 设点的坐标为， 由题意得：，即， 解得：或（舍去）或0（舍去）， 故点的坐标为； 设点的坐标为， 则， 当时，则，解得：（舍去）或12； 当时，则，解得：； 当时，则，解得：； 综上点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的定义，两点之间距离公式，解一元二次方程等知识点，这种新定义的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般比较容易． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $