题型08 10类球体的外接球及内切球解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、最值、内切、球心不确定等）

题型08 10类球体的外接球及内切球解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 本节导航 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，它们的外接球半径往往可以直接计算得出，这在高考中是一个基本考察点，通常以选填的形式出现，需要加强练习。 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　 正棱锥类型 , 解出 （2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山西·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·三模）已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 1．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 墙角模型（由三个互相垂直的棱组成）能够直接扩展成一个长方体，然后通过长方体来求解其外接球的半径，从而实现快速解答。 墙角模型（三条直线两两垂直） 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. （2024·甘肃白银·一模）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 1．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1、、，则其外接球的体积是 ． 2．已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，，，若该三棱锥的外接球体积为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 2．三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 对棱相等可以直接通过补形构造出长方体，然后进一步转化为求解长方体的外接球问题，从而实现快速求解。 推导过程: 通过对棱相等, 可以将其补全为长方体, 补全的长方体体对角线为外接球直径, 设长方体的长宽高为别为 或者 （2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，，，那么该三棱锥外接球的表面积是 ． 1．已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 1．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 侧棱垂直于底面的问题可以简单地通过补形为直棱柱来解决，然后直接应用公式进行计算，从而实现快速求解。 侧棱垂直与底面-垂面型， （2024·湖南常德·一模）已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 1．（2024·贵州贵阳·三模）在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的表面积为 . 2．（2024·重庆·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为 ． 1．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，，，底面，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（   ） A． B． C． D． 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 在切接问题中，侧面垂直于底面的模型较为复杂，需要首先确定球心的位置，随后计算半径以求得解答，因此应重点加强练习。 侧面垂直与底面-切瓜模型 如图：平面 平面 ( 为小圆直径) （1）由图知球心必为的外心,即在大圆面上,先求出小圆面直径的长; （2）在中,可根据正弦定理,解出 如图：:平面平面 （1）确定球心的位置,由图知三点共线; （2）算出小圆面半径,算出棱锥的高 （3）勾股定理: ，解出 （2024·江西·一模）在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川·模拟预测）已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为 ． 1．（2024·宁夏固原·一模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 本文旨在整理和分析以二面角为背景的外接球问题，这类问题通常较为复杂，对空间想象力的要求较高。基于此本文先给出一般结论，再对其展开详细应用，大家需重点强化复习. 基本原理 如下图, 所示为四面体 , 已知二面角 大小为 , 其外接球问题的步骤如下: (1) 找出 和 的外接圆圆心, 分别记为 和 . (2) 分别过 和 作平面 和平面 的垂线, 其交点为球心, 记为 . (3) 过 作 的垂线, 垂足记为 , 连接 , 则 . (4) 在四棱雉 中, 垂直于平面 , 如图所示, 底面四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径. 如图, 设 为面 与面 的外接圆圆心, 其半径分别为 , 两相交面的二面角 记为 , 公共弦为 的弦长为, 四面体 球 的半径 .两圆 的弦心距: ; 两圆 的圆心距: , 由于四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径, 而 , 则由正弦定理: ,于是外接球 的半径 可得，进一步整理： 特别地, 当 时, 代入 可得: （2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是_______ 1．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 2．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川南充·二模）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    2．（2024·河南·一模）在四棱锥中，已知平面平面，，若二面角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为 ． 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 数学文化与球体综合是高考中的常考知识点，通过探讨数学文化，我们不仅能弘扬古代数学思想，还能构建数学模型，提炼出解题的关键点。由于题型难度各异，因此需要特别加强练习。 探讨数学文化与球体问题时，会融入数学史、数学故事和数学游戏，新数学概念，考察学生的数学基础和文化素养。这类问题以新颖背景呈现，如古代几何构造，要求学生抽象出数学模型，特别是与球体相关的模型。解题首要任务是理解背景信息，识别球体元素。然后，根据题目要求，结合数学知识，将实际问题转化为数学问题，涉及空间几何知识，如球的性质、距离公式等。解题时需注意常见陷阱和易错点，如误解题意、计算错误等。通过练习和总结，可提升解决这类问题的能力，培养数学思维和文化素养。 印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 . 1．三星堆古遗址作为“长江文明之源“，被誉为人类最伟大的考古发现之一．3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为 2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，刍甍中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ． 1．（2024·四川雅安·模拟预测）如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西安康·模拟预测）一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备用一个半径为的扇形铁片作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）.若该漏斗的容积为，且漏斗的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则当R最小时，球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 最值问题与球体综合是本节课内容中较为复杂的知识点，同时也是高考中的一个难点。同学们需要多总结题型，重点加强练习。 在解决与球体相关的最值问题时，我们通常需要利用球体的几何性质，如半径、表面积、体积等，结合题目中的条件，构建数学模型。这类问题往往涉及到空间几何、代数方程以及不等式等多个知识点，需要综合运用各种解题技巧。 首先，要准确理解题目中的条件，明确所求的最值类型，是最大值还是最小值。然后，根据球体的几何性质，建立与题目条件相关的等式或不等式。在解题过程中，可能需要利用到空间向量、三角函数、基本不等式、导数等数学工具。 例如，在求解球体的外接球或内切球的最值问题时，可以通过分析球心与多面体顶点的关系，以及球心到多面体各面的距离，来构建等式或不等式。通过求解这些等式或不等式，可以得到球体的半径，进而求得最值。 此外，还需要注意题目中的隐含条件，如球体的对称性、多面体的特殊性质等，这些条件往往能够简化解题过程，提高解题效率。 总之，解决最值与球体综合的应用及解题技巧问题，需要熟练掌握空间几何、代数方程以及不等式等知识点，并能够灵活运用各种解题技巧。通过不断练习和实践，可以逐渐提高解题能力和水平 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·青海西宁·模拟预测）在平行四边形中，，，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．在四棱锥中，平面平面ABCD，，，.若四棱锥P-ABCD的外接球为球，且四棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为 . 1．（2024·湖南长沙·一模）已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 . 2．在四棱锥中，底面是直角梯形，，.若，且三棱锥的外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，长为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2024·江苏盐城·一模）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 . 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 内切球的应用体现在其命题载体的独特性上，对于特殊几何体而言，问题相对简单；而对于非特殊几何体，我们可以通过万能公式来求解。 内切球 如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法) （1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积; （2）设内切球半径为,建立等式: （3）解出 结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. （2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川雅安·三模）已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 . 3．如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 1．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.若球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ． 4．已知球是底面半径为4、高为的圆锥的内切球，若球内有一个内接正三棱柱，则当该正三棱柱的侧面积最大时，正三棱柱的体积为 ． 5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）正三棱柱内切球（球与上下底面和侧面都相切）的半径是为棱上一点，若二面角为，则平面截内切球所得截面面积为 . 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 球心不确定类型是本节内容中方法论最为稀缺的类型，需要从试题中提炼命题特点，难度最大，因此需要重点加强复习。 在解决立体几何问题时，常常会遇到球心位置不确定的情况。这类问题看似复杂，实则有一定的解题规律和技巧。 首先，要仔细观察和分析题目给出的图形和条件，明确所求的目标。然后，可以尝试利用空间向量的方法，通过建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为代数问题。在这一过程中，需要巧妙地设定点的坐标，并合理利用向量的数量积、模长等公式。 另外，还可以结合立体几何中的性质定理和判定定理，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等，以及等体积法、割补法等技巧，来进一步求解。 在解题过程中，要保持清晰的思路，逐步推导，避免陷入思维定势。同时，要注意对题目中的特殊条件进行充分挖掘和利用，这些特殊条件往往能简化解题过程。 通过不断练习和总结，可以逐渐掌握这类问题的解题技巧，提高解题效率和准确性。 （2024·湖北荆州·模拟预测）三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，，，顶点P到的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在的内部，则球O的表面积等于（    ） A． B． C． D． 1．已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，．若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 2．在三棱锥中，平面平面BCD，是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．已知球O的体积为，三棱锥的顶点均在球的表面上，，，，，E为AC的中点，当时，三棱锥的体积为 ． 2．正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（    ）. A． B． C． D． 3．已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，过的内切圆圆心，且，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B．π C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 一、单选题 1．（2024·湖南常德·一模）已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·一模）三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁·二模）已知棱长相等的正三棱锥底面的三个顶点均在以为球心的球面上（其中为的中心），球面与棱分别交于点，，．若球的表面积为，则多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 5．为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（    ）    A． B． B． C． D． 6．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知A、B是球O的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽·一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为2的为等边三角形，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），是球与圆锥母线的交点，是底面圆弧上的动点，则（    ） A．球的体积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的最大值为3 D．若为中点，则平面截球的截面面积为 12．（2024·山东·模拟预测）四面体ABCD中，，，，四面体ABCD外接球的表面积记为，则（    ） A．当四面体ABCD体积最大时， B． C．当时， D．可以是 三、填空题 13．（2024·河南·模拟预测）已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 . 14．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，平面五边形由一个直角梯形和一个以为顶角的等腰组成，其中.将沿着翻折，在翻折过程中，当四棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的外接球的体积为，则的长度为 . 15．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型08 10类球体的外接球及内切球解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 本节导航 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 对于长方体、正方体、正棱柱、圆柱、正三棱锥、正四棱锥、圆锥、正四面体等特殊几何体，它们的外接球半径往往可以直接计算得出，这在高考中是一个基本考察点，通常以选填的形式出现，需要加强练习。 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　 正棱锥类型 , 解出 （2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 思路详解：根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积．故选：C． 1．（2024·山西·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 思路详解：依题意，圆柱的底面半径为，高为， 因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为， 则，即，所以球的表面积为，故选：B. 2．（2024·四川凉山·三模）已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 思路详解：由正六棱锥得，底面为正六边形，设底面的中心为，连接， 则，底面，为正六棱锥的高， 所以， 因为正六棱锥的体积为，所以，即， 故点为外接球的球心，半径为2， 故外接球的体积， 故选：C． 1．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 解：球的直径是长方体的体对角线，所以， 解得，所以球的表面积为： 2．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆柱及球的特征计算即可. 【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为， 则，故该球的表面积为. 故选：C 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    技法02 墙角问题的应用及解题技巧 墙角模型（由三个互相垂直的棱组成）能够直接扩展成一个长方体，然后通过长方体来求解其外接球的半径，从而实现快速解答。 墙角模型（三条直线两两垂直） 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. （2024·甘肃白银·一模）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 思路详解：由于两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为. 由，得. 由于平面，所以该三棱锥的体积为. 故选：B 1．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1、、，则其外接球的体积是 ． 思路详解：如图，将三棱锥补形成长方体， 所以该三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 易知， 所以 所以， 故答案为： 2．已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，，，若该三棱锥的外接球体积为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 思路详解： 如图，，，且，，两两垂直， ，设，依题意， 可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为的长方体中， 可得其外接球的半径， 又由，解得， 故，解得， 所以该三棱锥的表面积为 故选：C 1．在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积． 【详解】将三棱锥补全为长方体， 则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R， 则， 所以球的表面积为． 故选答案为：． 2．三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积. 【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设，，， 则，，， 解得，，，. 则长方体的对角线的长为. 所以球的直径是，半径长， 则球的表面积， 故选：C. 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 对棱相等可以直接通过补形构造出长方体，然后进一步转化为求解长方体的外接球问题，从而实现快速求解。 推导过程: 通过对棱相等, 可以将其补全为长方体, 补全的长方体体对角线为外接球直径, 设长方体的长宽高为别为 或者 （2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，，，那么该三棱锥外接球的表面积是 ． 思路详解：由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示： 记该长方体的棱长为，则， 即，所以外接球半径为， ． 故答案为：. 1．已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 思路详解：在四面体中，，，， 则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为， 则，于是， 所以该四面体外接球的表面积为 故答案为： 1．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答. 【详解】三棱锥中，，，， 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图， 设长方体的棱长分别为，，，则，，，则， 因此三棱锥外接球的直径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：A 2．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 侧棱垂直于底面的问题可以简单地通过补形为直棱柱来解决，然后直接应用公式进行计算，从而实现快速求解。 侧棱垂直与底面-垂面型， （2024·湖南常德·一模）已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 思路详解：如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由3，，7，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，， ． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 1．（2024·贵州贵阳·三模）在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的表面积为 . 思路详解：如图，在中，，， 所以， 则由正弦定理可得外接圆半径为， 因为面， 所以三棱锥的外接球半径为， 所以表面积为， 故答案为：. 2．（2024·重庆·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为 ． 思路详解：因为平面平面，所以． 所以在中，由，可求得．在等腰中，． 易知三棱锥是球O内接长方体的一部分（如图），是该长方体的体对角线，故球心O在的中点处． 因为，所以球O的半径为，故球O的表面积为．    故答案为： 1．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，，，底面，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】由题意可得三棱锥的外接球即为以、、为棱的长方体的外接球，计算出该长方体体对角线即的长度结合球的表面积公式即可得. 【点睛】由，故，又底面， 、平面，故，， 故三棱锥的外接球即为以、、为棱的长方体的外接球， 其中为该长方体体对角线，即该三棱锥的外接球的半径， 又，故， 则. 故答案为：. 2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圆半径，再利用为三棱锥的高，为外接球半径），即可求解． 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设的外接圆半径为， 则，所以， 平面，且， 设三棱锥外接球半径为， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：B． 3．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的外接球即可求解体对角线得半径，进而利用体积公式求解. 【详解】将四棱锥放入正方体中，则四棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 设四棱锥外接球的半径为，则，所以， 故四棱锥外接球的体积． 故选：C 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 在切接问题中，侧面垂直于底面的模型较为复杂，需要首先确定球心的位置，随后计算半径以求得解答，因此应重点加强练习。 侧面垂直与底面-切瓜模型 如图：平面 平面 ( 为小圆直径) （1）由图知球心必为的外心,即在大圆面上,先求出小圆面直径的长; （2）在中,可根据正弦定理,解出 如图：:平面平面 （1）确定球心的位置,由图知三点共线; （2）算出小圆面半径,算出棱锥的高 （3）勾股定理: ，解出 （2024·江西·一模）在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 思路详解： 如图，取的中点，连接，， 因为，，所以，因此点就是球心， 又，故是等腰直角三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 设球半径为，则，， 又，则， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球O的表面积为． 故选：D． 1．（2024·四川·模拟预测）已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 思路详解： 如图，因平面平面，，的外心为边的中点， 则三棱锥的外接球球心即为外接圆圆心，设外接球半径为. 在中，，,故由余弦定理可得， ， 即，由正弦定理，，则， 即三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为． 故选：D． 2．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为 ． 思路详解：过点在平面内作作，垂足点为， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则， 所以，三棱锥的外接球的球心为中点， 因为平面平面，平面平面，， 平面，则平面， 设球的半径为，则， 又，，所以，，，， 所以，， 所以，三棱锥的体积为， 解得，因此，球的表面积为. 故答案为：. 1．（2024·宁夏固原·一模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果. 【详解】因为平面平面，， 所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示： 则四面体的外接球即直三棱柱的外接球， 因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为， 所以直三棱柱的外接球的半径， 则球的表面积， 故选：A. 2．（2024·山东泰安·二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为，证明为矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半径，再由球的表面积公式可得. 【详解】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为. 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由球的性质可知，平面， 所以，同理，所以四边形为矩形， 因为，所以，， 所以， 所以外接球的表面积为. 故选：B 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】如图，取的中点，取的中点，连接、，在线段上取一点，使， 过点作平面的垂线，使，连接， 易知四边形是等腰梯形，、、均为等边三角形， 所以， 因为平面， 所以， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，即 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为是的外心，所以， 所以， 所以即为四棱锥外接球的球心， 因为，， 所以 所以， 故选：C. 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 本文旨在整理和分析以二面角为背景的外接球问题，这类问题通常较为复杂，对空间想象力的要求较高。基于此本文先给出一般结论，再对其展开详细应用，大家需重点强化复习. 基本原理 如下图, 所示为四面体 , 已知二面角 大小为 , 其外接球问题的步骤如下: (1) 找出 和 的外接圆圆心, 分别记为 和 . (2) 分别过 和 作平面 和平面 的垂线, 其交点为球心, 记为 . (3) 过 作 的垂线, 垂足记为 , 连接 , 则 . (4) 在四棱雉 中, 垂直于平面 , 如图所示, 底面四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径. 如图, 设 为面 与面 的外接圆圆心, 其半径分别为 , 两相交面的二面角 记为 , 公共弦为 的弦长为, 四面体 球 的半径 .两圆 的弦心距: ; 两圆 的圆心距: , 由于四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径, 而 , 则由正弦定理: ,于是外接球 的半径 可得，进一步整理： 特别地, 当 时, 代入 可得: （2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是_______ 思路详解： 如图，取中点，连接， 因，则，且， 又二面角的平面角为 60°，即， 故 是等边三角形， 分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点， 则点为四面体的外接球的球心， 由已知可得， 连接，易得，故得，，则， 在中，， 故该球的表面积是. 故答案为：. 1．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 思路详解：解：如图，∵，即，∴. ∴球心在过的中点与平面垂直的直线上， 同时也在过的中心与平面垂直的直线上，. ∴这两条直线必相交于球心. ∵二面角的大小为， 易知，， ，， ， ∴三棱锥的外接球的半径为. ∴三棱锥的外接球的体积为. 故答案为： 2．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 思路详解： 如图，因为，，所以， 因为，所以为等边三角形，所以. 取的中点D，连接和，则为二面角的平面角，即. 因为为直角三角形，所以D为的外心.设的外心为， 过点D作平面的垂线，过点作平面的垂线，则交点为球心，连接，.设三棱锥外接球的半径为R. 在中，， 由已知得，在中，由余弦定理得， 即，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 故选：C. 1．（2024·四川南充·二模）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    【答案】 【分析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积. 【详解】将沿折起后，取中点为，连接，， 则，， 可知即为二面角的平面角，即； 设，则， 在中，由余弦定理可得：， 即 解得， 即，可得， 所以与是边长为的等边三角形， 分别记三角形与的重心为、， 则，；； 因为与都是边长为2的等边三角形， 所以点是的外心，点是的外心； 记该几何体的外接球球心为，连接，，    根据球的性质，可得平面，平面， 所以与都是直角三角形，且为公共边， 所以与全等，因此， 所以； 因为，，，平面， 所以平面； 又平面，所以， 连接，则外接球半径为， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径. 2．（2024·河南·一模）在四棱锥中，已知平面平面，，若二面角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】分别取、的中点、，连接，即可证明平面，从而得到，再由，即可得到平面，从而得到为二面角的平面角，即可求出，又三棱锥外接球的球心在直线上，求出三棱锥外接球的半径，即可得到外接球的表面积，再由、、、四点共圆，即可得到三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，从而得解. 【详解】分别取、的中点、，连接． 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，平面，所以，， 因为， 所以，所以， 因为分别为的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的球心在直线上，由知在线段的延长线上． 设，则，即，所以， 所以三棱锥外接球的半径为，表面积为， 因为，，即， 所以、、、四点共圆， 所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 故四棱锥外接球的表面积为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 数学文化与球体综合是高考中的常考知识点，通过探讨数学文化，我们不仅能弘扬古代数学思想，还能构建数学模型，提炼出解题的关键点。由于题型难度各异，因此需要特别加强练习。 探讨数学文化与球体问题时，会融入数学史、数学故事和数学游戏，新数学概念，考察学生的数学基础和文化素养。这类问题以新颖背景呈现，如古代几何构造，要求学生抽象出数学模型，特别是与球体相关的模型。解题首要任务是理解背景信息，识别球体元素。然后，根据题目要求，结合数学知识，将实际问题转化为数学问题，涉及空间几何知识，如球的性质、距离公式等。解题时需注意常见陷阱和易错点，如误解题意、计算错误等。通过练习和总结，可提升解决这类问题的能力，培养数学思维和文化素养。 印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 . 思路详解：由对称性知：该多面体的各顶点在棱长为的正方体的表面上， 如图，设其外接球的球心为，正方形的中心为， 则点到平面的距离，又， 所以该多面体外接球的半径， 故该球的表面积为. 故答案为： 1．三星堆古遗址作为“长江文明之源“，被誉为人类最伟大的考古发现之一．3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为 思路详解：过圆柱的旋转轴和正方体的一条侧棱作截面，得截面图如图所示： 不妨设正方体的棱长为2a，球О的半径为R，则圆柱的底面直径为， 因为正方体的体对角线即为球О直径，故，得， 易知，截面中两个矩形的对角线都是球的直径，正方体的面对角线为， 所以，由勾股定理得：，解得， 球的表面积为， 故答案为： 2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）《九章算术》中记录的“刍甍”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，刍甍中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ． 思路详解：连接，分别取、、中点、、，连接、、， 由底面是正方形，平面，和均为等边三角形， 故，底面，又，故， 则，故， 由为底面正方形中心，，故羡除外接球球心在直线上， 连接、、，设半径为，，则, 由底面，平面，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故，故， 又，故有，即， 又， 故有，解得， 故，即， 则这个几何体的外接球的体积为. 故答案为：. 1．（2024·四川雅安·模拟预测）如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，把多面体放在棱长为的正方体中，结合正方体的结构特征确定球心，求出球半径作答. 【详解】把该多面体放入正方体中，如图， 由于多面体的棱长为，则正方体的棱长为， 因此该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，于是得该多面体的外接球球心是正方体体对角线中点， 该多面体外接球半径等于球心到一个顶点的距离，即正方体面对角线的一半，则，解得， 所以经过该多面体的各个顶点的球的表面积. 故选：A 2．（2024·陕西安康·模拟预测）一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备用一个半径为的扇形铁片作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）.若该漏斗的容积为，且漏斗的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则当R最小时，球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据体积公式可得，即可根据不等式求解的最值，即可得到，,根据勾股定理即可求解球半径. 【详解】设圆锥的底面圆半径以及圆锥的高分别为， 故，所以， 由于， 当且仅当，即时等号成立， 故此时，, 设为球O的半径，则,解得, 故球的表面积为 故选：D    技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 最值问题与球体综合是本节课内容中较为复杂的知识点，同时也是高考中的一个难点。同学们需要多总结题型，重点加强练习。 在解决与球体相关的最值问题时，我们通常需要利用球体的几何性质，如半径、表面积、体积等，结合题目中的条件，构建数学模型。这类问题往往涉及到空间几何、代数方程以及不等式等多个知识点，需要综合运用各种解题技巧。 首先，要准确理解题目中的条件，明确所求的最值类型，是最大值还是最小值。然后，根据球体的几何性质，建立与题目条件相关的等式或不等式。在解题过程中，可能需要利用到空间向量、三角函数、基本不等式、导数等数学工具。 例如，在求解球体的外接球或内切球的最值问题时，可以通过分析球心与多面体顶点的关系，以及球心到多面体各面的距离，来构建等式或不等式。通过求解这些等式或不等式，可以得到球体的半径，进而求得最值。 此外，还需要注意题目中的隐含条件，如球体的对称性、多面体的特殊性质等，这些条件往往能够简化解题过程，提高解题效率。 总之，解决最值与球体综合的应用及解题技巧问题，需要熟练掌握空间几何、代数方程以及不等式等知识点，并能够灵活运用各种解题技巧。通过不断练习和实践，可以逐渐提高解题能力和水平 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 思路详解：∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 1．（2024·青海西宁·模拟预测）在平行四边形中，，，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 思路详解：在中，，则， 所以，则 由题可知，当平面平面时，三棱锥的体积最大. 如图，可将三棱锥补全为正方体，则三棱锥外接球的半径为， 故其外接球的表面积为. 故选：C 2．已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 思路详解：因为球的体积为，故球的半径R满足，故， 而，，，故，故， 故， 设点D到平面ABC的距离为h，则，故， 点D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，因为，所以平面α与平面ABC在球心的异侧，      设球心到平面ABC的距离为d，而△ACB外接圆的半径为，则， 故球心到平面α的距离为，故截面圆的半径为， 设点D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为圆，圆心为△ABC的外心即AB的中点， 当CE最长时CD最长，此时，故CD长度的最大值为. 故选：B． 3．在四棱锥中，平面平面ABCD，，，.若四棱锥P-ABCD的外接球为球，且四棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为 . 思路详解：因为四棱锥有外接球，所以四边形有外接圆， 因为，所以，； 如图，连接，三角形的面积为24，三角形的面积为； 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以三角形的面积最大值为25，即有四边形面积的最大值为49. 设四棱锥的高的最大值为，则的最大值为，解得. 设四棱锥的外接球的球心在底面上的射影为，则为的中点. 设四棱锥的外接球球心在平面上的射影为， 过作于点E,连接, 又,所以且. 因为平面平面，平面平面, 平面, 所以平面，易知四边形为矩形，所以. 设四棱锥的外接球的半径为,连接, 则,, 连接,在中, ，所以，解得, 所以，球的表面积为. 故答案为： 1．（2024·湖南长沙·一模）已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得，故只需求出外接球半径的最小值即可. 【详解】设球的半径为，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为，. 如图，球心在正四棱锥内时，由，可得， 即（*）.    球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式. 又正四棱锥的体积为，则，代入（*）式可得. 通过对关于的函数求导，即， 易得函数在单调递减，在单调递增， 则.从而，球的体积的最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是首先得到，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解. 2．在四棱锥中，底面是直角梯形，，.若，且三棱锥的外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由球的表面积公式得半径，确定球心和点在底面的投影，建立函数关系求解． 【详解】由球的表面积，得， 因为为直角三角形，所以的外接球球心在底面的投影为中点， 而，故在底面的投影为垂直平分线与垂直平分线的交点，即中点， ，，可得， 设，则， 设，令，则， ， 故当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当即时，函数取最大值，此时四棱锥的体积最大，长为． 故选：D    3．（2024·江苏盐城·一模）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球O的半径为R，利用球与圆台相切得和圆台的高为，再利用圆台和球的体积得，再利用对勾函数的图象与性质，计算得结论. 【详解】    因为球O与圆台的上下底面和侧面都相切， 圆台上下底面半径分别为、，且， 由切线长定理有圆台的母线长为， 设球O的半径为R，几何体轴截面上右端点为，下右端点为， 过点作于，则圆台的高，， 则由勾股定理有，化简得， 因为球O与圆台的体积分别为和， 所以， 因为，所以， 令，，由对勾函数可知，时，随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为. 故选：D. 4．（2024·河南·模拟预测）已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】利用已知条件得到为等边三角形、为等腰直角三角形，且面，进而求棱锥外接球半径，即可得表面积. 【详解】由，则底面外接圆半径， 所以，外接圆是以为直径的圆， 又，且二面角的平面角为， 结合对称性，即在以为圆心，2为半径的半圆上， 要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，故， 此时，又，,都在面上，故面， 同时，还要保证面积最大，而， 所以，当且仅当时等号成立，此时最大面积， 综上，棱锥体积最大时，为等边三角形、为等腰直角三角形，且面， 如下图，分别是中点，为的中心，为棱锥外接球球心，    又，， 所以，外接球半径，故其表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定为等边三角形、为等腰直角三角形，且面，再确定外接球球心，进而求半径为关键. 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 内切球的应用体现在其命题载体的独特性上，对于特殊几何体而言，问题相对简单；而对于非特殊几何体，我们可以通过万能公式来求解。 内切球 如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法) （1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积; （2）设内切球半径为,建立等式: （3）解出 结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. （2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（    ） A． B． C． D． 思路详解：圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为D，半径为R， 则，所以， 又， 即， 解得，即内切球的半径为. 故选：B 1．（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 思路详解：球表面积为，则该球半径为， 设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为， 则此圆锥的轴截面面积为 ，解之得， 则该圆锥的侧面积为 故选：B 2．（2024·四川雅安·三模）已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 . 思路详解：设，因为， 所以， 设的内切圆的半径为，则， 即，解得， 因为三棱柱有内切球， 所以， 因为，， 所以直三棱柱的外接球的直径就是以为棱的长方体的对角线，其长为， 所以三棱锥的内切球的表面积为， 三棱锥的外接球的表面积为， 所以三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为. 故答案为：. 3．如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 思路详解：因为底面底面，所以. 又因为，所以，而，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长､宽､高， 因此该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为， 因为，所以. 因为， 所以，故为等边三角形， 由三棱锥的体积公式可得 ， 所以. 故选：C. 1．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为，球为该三棱锥的内切球.若球与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明平面，接着求出，再得到和，从而得到，最后求出球与球的表面积之比即可. 【详解】如图，取的外心，连接，， 则必过，，且平面， 可知为侧棱与底面所成的角，即. 取的中点，连接，.设圆，的半径分别为，， 令，则，，，， 所以，即，从而， 所以，则， 所以球与球的表面积之比为. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题. 2．已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，高为，内切球的半径为， 显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，， 由，整理得，而，解得，， 因此圆台的高，， 则圆台的体积， 内切球的体积，所以. 故选：D 3．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ． 【答案】 【分析】取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，根据题意求出侧棱长以及，，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可. 【详解】如图，取BC和的中点分别为P，Q， 上、下底面的中心分别为，， 设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r， 所以， ，同理． 因为内切球与平面相切，切点在上， 所以①， 在等腰梯形中，②， 由①②得． 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则棱台的高， 所以棱台的体积为． 故答案为：.    4．已知球是底面半径为4、高为的圆锥的内切球，若球内有一个内接正三棱柱，则当该正三棱柱的侧面积最大时，正三棱柱的体积为 ． 【答案】 【分析】画出截面图，利用，得到，由相似比求出球的半径为，再利用正三棱柱的几何性质找到（正三棱柱的高为），最后由侧面积公式结合基本不等式得到最值. 【详解】圆锥与球的轴截面如图所示，为圆锥的顶点，为圆锥的底面直径，D，E为切点，连接，， 则，，且过点，设球的半径为， 由题意可得，故，即， 整理得，得． 设正三棱柱的底面边长为，正三棱柱的高为，则，即， 正三棱柱的侧面积，当且仅当，且，即时取等号， 此时该正三棱柱的侧面积最大，故此时正三棱柱的体积． 故答案为： 5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）正三棱柱内切球（球与上下底面和侧面都相切）的半径是为棱上一点，若二面角为，则平面截内切球所得截面面积为 . 【答案】 【分析】由内切球的半径得正三棱柱的高和底面边长，求球心到平面的距离，勾股定理求截面圆的半径，可得截面面积. 【详解】正三棱柱内切球的半径是，则棱柱的高， 正三角形内切圆的半径是，则， 得， 分别为的中点，则，，， 二面角为，则， 内切圆的圆心为上靠近点的三等分点，内切圆的圆心为上靠近点的三等分点， 为正三棱柱内切球球心，则为的中点， 则，， ，， 由对称性可知，球心到平面的距离等于到直线的距离， 平面中，以为原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 有，，所在直线方程为，即， 则点到直线的距离，即球心到平面的距离， 平面截内切球所得截面圆的半径为，则， 所以截面圆的面积. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 正三棱柱的内切球中，如果内切球的半径为，那么正三棱柱的高为，底面正三角形的边长为，截面圆的半径由球的半径和球心到截面距离利用勾股定理计算. 技法10 球心不确定类型的应用及解题技巧 球心不确定类型是本节内容中方法论最为稀缺的类型，需要从试题中提炼命题特点，难度最大，因此需要重点加强复习。 在解决立体几何问题时，常常会遇到球心位置不确定的情况。这类问题看似复杂，实则有一定的解题规律和技巧。 首先，要仔细观察和分析题目给出的图形和条件，明确所求的目标。然后，可以尝试利用空间向量的方法，通过建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为代数问题。在这一过程中，需要巧妙地设定点的坐标，并合理利用向量的数量积、模长等公式。 另外，还可以结合立体几何中的性质定理和判定定理，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等，以及等体积法、割补法等技巧，来进一步求解。 在解题过程中，要保持清晰的思路，逐步推导，避免陷入思维定势。同时，要注意对题目中的特殊条件进行充分挖掘和利用，这些特殊条件往往能简化解题过程。 通过不断练习和总结，可以逐渐掌握这类问题的解题技巧，提高解题效率和准确性。 （2024·湖北荆州·模拟预测）三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，，，顶点P到的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在的内部，则球O的表面积等于（    ） A． B． C． D． 思路详解：因为，，，所以，故⊥， 取的中点，则点在底面的射影为，连接，则， 又P到的三边距离均等于4，故点在底面的投影为的内心， 过点作⊥，垂足为，作⊥，垂足为，作⊥，垂足为， 故四边形为矩形，又，故四边形为正方形， 设，则， 所以，解得，则， 过点作⊥，垂足为， 设，则， 如图，以，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，则， 其中， 由勾股定理得， ，故，解得， 所以球心O在三棱锥外部， 则，则外接球的表面积为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 1．已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，．若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 思路详解：由，，则△为等腰直角三角形， 若为中点，连接，则，且为面的外接圆圆心， 所以外接球的球心在过垂直于面的直线上， 由三棱锥的体积为，且，故到面的距离， 又，，则面，又面， 所以面面，且面面， 则在面上的射影落在直线上，又， 则或，若外接球的半径为，， 当，如下图示：， ，易知，则， 所以，可得，即， 所以，此时外接球表面积为； 当，如下图示：， ，易知， 所以，可得，即， 所以，此时外接球表面积为； 综上，外接球表面积为或. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：由底面是等腰直角三角形确定棱锥球心的位置，根据体积求到面的距离，结合判断的位置情况，根据已知条件求出外接球半径. 2．在三棱锥中，平面平面BCD，是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 思路详解：因为是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，， 所以AM⊥CD，且， 因为，所以，而， 由勾股定理得：，所以BM=BC， 故为等腰直角三角形，，， 由题意得：球心O在平面ACD的投影与M点重合， 因为平面平面BCD，所以球心O在平面BCD上， 在平面BCD上，过点M作MH⊥CD，故， 球心O在MH上，设OM=x， 由余弦定理得：， 则， 由得：，解得：， 设外接球半径为，则， 故该三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． 1．已知球O的体积为，三棱锥的顶点均在球的表面上，，，，，E为AC的中点，当时，三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意分析可得E就是球O的球心，平面BCD，球的半径，结合锥体的体积公式分析运算. 【详解】连接， 因为，， 所以，E为AC的中点，且， 即，则E就是球O的球心， 因为，，， 所以平面ABD， 平面ABD，所以， 又因为，，平面BCD， 设球O的半径为， 因为球O的体积为，则，解得， 则，，， 所以三棱锥的体积. 故答案为：. 【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． 2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解． 正方体的内切球的直径为正方体的棱长． 3.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长． 4.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 2．正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形求出外接圆的半径，设中点为，连接，过作，则即为点到平面的距离，根据相似即可求出，得到外接球所得截面的面积. 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为， 连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心， 设外接球半径为，则， 在中，，且， 所以，解得，即， 在中，， 过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心， 所以， 则， 所以， 所以截面的面积. 故选：C    【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出外接圆半径以及找到点到平面的距离. 3．已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，过的内切圆圆心，且，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B．π C． D． 【答案】B 【分析】计算，，过分别作平面，平面的垂线， 两垂线交于点，点为三棱取的外接球球心，计算，，再利用勾股定理得到，计算表面积得到答案. 【详解】如图，为线段的中点，，平面，平面， 故，，平面，故平面， 平面，故， 故， 因为为线段的中点且过的内切圆圆心， 故，即. 所以. 取的中点，连接、， 分别在、上取 、的外接圆圆心、. 过分别作平面，平面的垂线， 两垂线交于点， 则点为三棱取的外接球球心. 在中由余弦定理得：， 所以. 设、的外接圆半径分别为、， 三棱锥的外接球半径为. ，解得，同理， 所以，， 所以三㥄锥的外接球表面积为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查了线面垂直，三棱锥的外接球表面积，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和转化能力，其中，确定过圆心的垂线交点是球心再利用勾股定理求解是解题的关键，此方法是常考方法，需要熟练掌握. 4．（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用得共圆，且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，设，过作与平面的垂线，垂足设为，则为的中心，设，外接球的半径为，利用得与重合时，外接球表面积取得最小可得答案. 【详解】如图，连接，因为， 所以，所以， 所以，所以四边形必存在一个外接圆， 且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，则平面， 设，过作与平面的垂线，垂足设为，连接， 则为的中心，且必位于底面的上方， 设，外接球的半径为，则， 所以，所以，当且仅当时， 即与重合时，外接球表面积取得最小值为.    故选：C. 【点睛】思路点睛：利用外接球的球心的性质可确定出球心的位置，再根据半径满足的不等式组得到半径的最小值，从而可得外接球的最小表面积. 5．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值． 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是， 则，∴， 设外接球球心是，则平面，平面，则， 同理，， 又平面，所以，是直角梯形， 设，外接球半径为，即， 则，所以， 在直角中，，， ，，∴， ， 令，则， ， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题． 一、单选题 1．（2024·湖南常德·一模）已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由3，，7，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，， ． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 2．（2025·辽宁沈阳·一模）三棱锥的体积为，和都是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先取的中点，且,进而得出三棱锥的外接球的球心，再计算体积得出，最后计算外接球的表面积即可. . 【详解】 取的中点，因为，连接，所以,三棱锥的外接球的球心， 因为和都是等边三角形，设， 因为平面，所以平面， 所以，所以是直角三角形； 又因为， 所以所以外接球的表面积为. 故选：C. 3．（2024·山东泰安·二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为，证明为矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半径，再由球的表面积公式可得. 【详解】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为. 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由球的性质可知，平面， 所以，同理，所以四边形为矩形， 因为，所以，， 所以， 所以外接球的表面积为. 故选：B 4．（2024·辽宁·二模）已知棱长相等的正三棱锥底面的三个顶点均在以为球心的球面上（其中为的中心），球面与棱分别交于点，，．若球的表面积为，则多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正四面体和球的关系，利用正弦定理求出正四面体的棱长，，作，利用几何关系得到，再利用体积公式及比列关系求出多面体的体积即可. 【详解】设球的半径为，由，得， 依题意，三棱锥为正四面体，且， 设正四面体的棱长为．在等边三角形中， 由正弦定理可得，即，解得． 因为平面，所以，所以． 作，垂足为H，在中，由， 得， 所以在中，． 因为，，所以为线段的中点，所以，所以． 依题意，多面体为正三棱台， 所以，即， 又， 所以正三棱台的体积为． 故选：C． 5．为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（    ）    A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到容器的半径. 【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示:    正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有， 俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形， 正方形的中心到球心的距离与正视图中的相等， 设半球半径为R，已知小球半径， 所以，，，. 所以半球面形状的容器的容积是. 故选：B 6．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，根据球的性质可得平面ABCD，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨论当O在线段上和O在线段的延长线上时2种情况，结合球的性质和表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，连接AC，BD，设， 因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接， 则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q， 根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M． 连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以， 连接EP，FQ，在与中，易知， 所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且． 设，球O的半径为R，连接OE，OA， 当O在线段上时，由球的性质可知， 易得，则，此时无解． 当O在线段的延长线上时，由球的性质可知， ，解得，所以， 所以球O的表面积， 故选：D． 【点睛】求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据一是球心到球面上各点的距离都等于球的半径，二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．由此出发，利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可确定外接球球心的位置． 7．（2024·四川成都·模拟预测）已知A、B是球O的球面上两点，，过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取线段的中点，连接、、、，分析出为等边三角形，四边形为正方形，求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】取线段的中点H，连接、、、，如图所示： 由球的几何性质可知平面，平面 因为，，则是边长为2的等边三角形， 因为H为的中点，则，且， 同理可知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，因为平面， 所以，同理 因为平面，所以，所以四边形为正方形， 故，所以球O的半径为， 因此，球O的表面积为. 故选：A 8．已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设共圆（不与重合），进而确定，找到△，四边形外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设且，求外接球半径最小值，即可得结果. 【详解】由点均在球的球面上，且共圆（不与重合）， 所以（不与重合）， 又为等腰直角三角形，为斜边，即有， 如上图，△、△、△都为直角三角形，且， 由平面图到立体图知：，， 又面面，面面，面， 所以面，同理可得面， 将翻折后，的中点分别为△，四边形外接圆圆心， 过作面，过作面，它们交于，即为外接球球心，如下图示， 再过作面，交于，连接，则为矩形， 综上，，，则为中点， 所以，而，， 令且，则，故，， 所以球半径， 当时，，故球表面积的最小值为. 故选：D 9．（2024·安徽·一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理，求得的外接圆的半径，记的外心为，证得平面，求得，结合球的截面圆的性质，列出方程求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】设的外接圆半径为，因为，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，所以， 记的外心为，连接，，，则， 取，的中点分别为，，则，， 又因为，可得，， 因为，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以，， 因为，平面， 所以平面，可得， 由题意可得外接球的球心在上，或在的延长线上，设外接球的半径为， 则球心到的距离为， 则有，解得， 所以球的表面积， 故选：A.    【点睛】关键点点睛：本题关键在于先确定所在截面小圆的半径，再通过几何关系确定球心所在直线，进而确定球心位置，将球心到的距离表示出来，再用勾股定理解出球半径，进而得到结果. 10．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答. 【详解】如图所示： 由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足， ， 由勾股定理得， 所以， 设点为外接圆的圆心， 则外接圆的半径为，， 设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为， ， 如图所示： 设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点， 而均垂直平分， 所以点在面，面内的射影分别在直线上， 即， 由题意，且二面角为直二面角， 即面面，， 所以，即，可知四边形为矩形，所以， 由勾股定理以及， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 二、多选题 11．（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为2的为等边三角形，球内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），是球与圆锥母线的交点，是底面圆弧上的动点，则（    ） A．球的体积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的最大值为3 D．若为中点，则平面截球的截面面积为 【答案】ACD 【分析】对A，根据相切求出球的半径，再利用球的体积公式即可；对B，写出体积表达式并结合基本不等式即可判断；对C，设，写出的函数表达式，利用导数即可求出其最大值；对D，利用等体积法求出到平面，再求出截面积即可. 【详解】选项A，如图，设底面圆心为，则，，， 因为是边长为2的为等边三角形，则，为中点， 则球的半径球的体积为，故A正确. 选项，作，因为面，， 所以底面，， ，故B错误. 选项C，设，， .. .， 设，则令，解得， 当时，，当时，则， 易知在上单调递减，则在单调递减，且， 则当时，， 单调递增； ，故C正确. 选项，当为中点时，， 由，，，得.. 设点到平面的距离为，，，，代入数据解得. 截面面积为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是设设，，结合余弦定理和勾股定理求出线段和表示式，利用导数求出其最大值即可. 12．（2024·山东·模拟预测）四面体ABCD中，，，，四面体ABCD外接球的表面积记为，则（    ） A．当四面体ABCD体积最大时， B． C．当时， D．可以是 【答案】ACD 【分析】A选项，平面平面时，构造直角三角形求外接球的半径；B选项，利用反证法推理即可判断；C选项,点在平面内的投影是的外心，构造直角三角形求外接球的半径；D选项，验证外接球的半径是否成立. 【详解】设四面体外接球的球心为，半径为， 点在平面内的投影是的外心， 由，为直角三角形，外心是边的中点， 当四面体体积最大时，有平面平面， 设平面的外心为，为中点，连接，则平面， 由，则，，， 平面平面，平面平面， 平面，，则平面， 又平面，则有， 中，，又，则， 同理可得平面，， 所以四边形为矩形，， 中，由，得， 此时，A选项正确； 假设，由,，所以平面， 平面，所以，与矛盾，所以假设不成立，B错误； 当时，，则点在平面内的投影是的外心， 平面，平面，三点共线， 中，， 中，由，得，解得， 此时，C选项正确； 当时，，， 则，即， 四面体外接球的半径成立，此时，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题 13．（2024·河南·模拟预测）已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】利用已知条件得到为等边三角形、为等腰直角三角形，且面，进而求棱锥外接球半径，即可得表面积. 【详解】由，则底面外接圆半径， 所以，外接圆是以为直径的圆， 又，且二面角的平面角为， 结合对称性，即在以为圆心，2为半径的半圆上， 要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，故， 此时，又，,都在面上，故面， 同时，还要保证面积最大，而， 所以，当且仅当时等号成立，此时最大面积， 综上，棱锥体积最大时，为等边三角形、为等腰直角三角形，且面， 如下图，分别是中点，为的中心，为棱锥外接球球心，    又，， 所以，外接球半径，故其表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定为等边三角形、为等腰直角三角形，且面，再确定外接球球心，进而求半径为关键. 14．（2024·重庆·模拟预测）如图所示，平面五边形由一个直角梯形和一个以为顶角的等腰组成，其中.将沿着翻折，在翻折过程中，当四棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的外接球的体积为，则的长度为 . 【答案】 【分析】找到球心位置，分析出锥体体积最大时的状态，设，构造出关于体积的函数表达式，通过三角换元求出其最值. 【详解】记中点为中点为，外接球球心为， 为了区别点，则下图中隐去平面五边形中点，保留翻折后的点， 因为，则，， 且直角三角形外心为，其球心位于过点作底面的垂线，如图所示位置， 设外接球半径为，则，解得， 则有， 记，则有， 由题意知四边形的面积固定，则若要四棱锥体积最大， 则需高最大，即点到底面的距离最大，显然当平面平面时，点到底面的距离最大， 因为，且为中点，则，又因为平面平面， 且平面平面，平面， 则平面，则为四棱锥的高， 过点作的平行线，交所在直线于点，易知四边形为矩形， 则，，所以 则四棱锥体积， 令，，则， 令， 因为，则，则， 则，对称轴为，则在上单调递增， 则，，此时，，. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出球心位置，利用外接球模型，设，构造有关体积的函数表达式，再利用三角换元求出最值即可. 15．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是 【答案】/ 【分析】取中点，连接，推得，即得 是等边三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点，可得点为四面体的外接球的球心，分别求出，即可求得外接球半径即得. 【详解】 如图，取中点，连接， 因，则，且， 又二面角的平面角为 60°，即， 故 是等边三角形， 分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点， 则点为四面体的外接球的球心， 由已知可得， 连接，易得，故得，，则， 在中，， 故该球的表面积是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查三棱锥的外接球的半径求法问题，属于难题. 解题思路在于：先找到二面角的平面角，推得正三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点 ，即外接球球心，结合图形即可求得外接球半径. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$