河南省安阳市第十中学、七中、十一中等十校联考2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷

天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 1 页 共 13 页 八年级数学 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.已知一个等腰三角形的两边长分别为 5和 8，则它的周长为（ ） A．18或 21 B．18 C．21 D．22 2.在△EFG中，点 D在 EF的边上，连接 DG，∠E=50°，∠F=20°，若△EDG 为直角三角形，则∠FGD 的度 数为（ ） A．60° B．20° C．70°或 20° D．70° 3.如图，在△MBC中，∠C=30°，MN⊥MB于 M，MN=2cm，MB=MC,则 BC=（ ） A．7 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm 4.如图，点 H是△GBC边 BC上一点，∠BGH=80°，GB=GH=HC，则∠CGH=（ ） A.35° B.25° C.15° D.20° 3题图 4题图 5.如图，△ABC 进行了一次变换之后得到图形①②③④，其中通过轴对称得到的是（ ） A.① B.② C.③ D.④ 6.如图，点 M在 AN上，且 AN⊥AB于 A，BM，CM分别平分∠ABC，∠BCN，AB//CN，若 AN=8，则点 M到 BC的距离是（ ） A.3 B.6 C. 5 D.4 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 2 页 共 13 页 6题图 7题图 8题图 10题图 7.如图，B，M，D在同一直线上，且 GM=5，BD=12，H与 D，B与 G是对应点，△HBM≌△DGM，则 HM= （ ） A.9 B.7 C. 5 D.3 8.如图所示，正五边形 EHBCA 与正方形 HBFG，边长相等，且叠合在一起，连接 AH,则∠AHG=（ ） A.12° B.16° C.15° D.18° 9.在△DEF中，DE=DF，∠EDF=100°，点 G在 EF的边上，连接 DG,若△DEG为直角三角形，则∠DGF=（ ） A.90° B.120° C.130° D.90°或 130° 10.如图，BD是等边△ABC边 AC上的高，M，N分别是 AB，AC上的两个定点，BM=AN=2cm, AD=4.5cm,若在 BD上有一动点 H,使 MH+NH最短，则 MH+NH的最小值为（ ） A.5 cm B.6cm C.8 cm D.7cm 二、填空题(每小题 3分，共 15 分) 11.如图，已知 AM=BM，请你添加一个条件，使△AMH≌△BMG，你添加的条件是_______(填一个即可) 12.如果点 M(3，-2)向右平移 5个单位长度得到点 N，则点 N关于 x轴对称的点的坐标为______________. 13.如图，△ABH与△ACE是一副叠放在一起的三角板，则∠CDH=______________. 14.如图，AM⊥MN于 M，且 MN:NC=1:2，AN=AC，若∠NAC=40°，则∠MAN=______ . 15.如图，M是等边△ABC的边 AB的中点，且 AB=8，MN⊥AC于 N，EN⊥BC于 E，则 BE=____________. 11题图 13题图 14题图 15题 三．解答题（8 题，共 75 分） 16．（10分）用尺规按下列要求作图： （1）作出△DEF的角平分线 FG, 交 DE于 G. （2）作出△DEF的边 DF 的垂直平分线 HN，交 DF于 N，交 EF于 H. 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 3 页 共 13 页 17．（9分）已知一个正多边形的外角比相邻的内角小 120°． （1）求这个正多边形的外角的度数； （2）直接写出这个正多边形的边数． 18.（9分）如图，某快艇由西向东航行，在 M处测得灯塔 P的方位是北偏东 75°，又继续航行 10海里，在 N 处测得灯塔 P的方位是北偏东 60°， （1）此时快艇与灯塔 P的距离 NP是多少海里． （2）若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点 P方圆 4.5海里内有暗礁，如果快艇继续向东 航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 19.（9分）如图，BD＝CM，BM＝CN．AB＝AC，点 D，M，N分别在△ABC的 AB, BC, AC边上. （1）求证：DM=MN． （2）当∠BAC＝56°时，求∠DMN的度数. 20.（9分）（1）如图 1，已知∠3＝∠4，AN=BN，MN交 AB于 M，求证△ANM≌△BNM. （2）如图 2，∠1＝∠2，AD=BN，ND的延长线交 AB于 M，求证：AM=BM． NM 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 4 页 共 13 页 21．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线 DE交 AB于点 D，若 AE＝3， （1）求 BC的长； （2）若点 P是直线 DE上的动点，直接写出 PA+PC的最小值为 ． 22．（10分）如图，点 F为 BC的中点，EA⊥AB，AD⊥AC，且 AD＝AC，AE＝AB．求证：AF＝ 1 2 DE． 23．（10分）如图，AG、BG均是△AGB的两边，AG的垂直平分线 DM交 BG的垂直平分线 EN于点 H. （1）若△GMN的周长为 15cm，求 AB的长. （2）若∠MHN＝80°，求∠MGN的度数． （3）若 M、N是线段 AB的三等分点（点 M在点 N的左侧），直接判断△MGN的形状． H G F 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 5 页 共 13 页 八年级数学 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.已知一个等腰三角形的两边长分别为 5和 8，则它的周长为（ A ） A．18或 21 B．18 C．21 D．22 【解析】解：分两种情况： （1）腰长为 5，则周长为：5+5+8=18 （2）腰长为 8，则周长为：8+8+5=21 综上，周长为 18或 21. 故选：A 2.在△EFG中，点 D在 EF的边上，连接 DG，∠E=50°，∠F=20°，若△EDG 为直角三角形，则∠FGD 的度 数为（ C ） A．60° B．20° C．70°或 20° D．70° 【解析】解：分两种情况： （1）如图 1，GD⊥EF于点 D,则 5，则∠EGD=90°-50°=40° 在△EFG中，∠EGF=180°-50°-20°=110° ∴∠FGD=∠EGF-∠EGD=110°-40°=70° （2）如图 2，GD⊥EG于点 G,由（1）知∠EGF=110°∴∠FGD=∠EGF- ∠EGD=110°-90°=20° 综上，∠FGD=70°或 20°. 故选：C 3.如图，在△MBC中，∠C=30°，MN⊥MB于 M，MN=2cm，MB=MC,则 BC=（ C ） A．7 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm 【解析】解：∵MB=MC， ∴∠B=∠C=30° ∵MN⊥MB ∴∠BMN=90° 在△MBC中，∠BMC=180°-30°-30°=120° ∴∠CMN=120°-90°=30° ∴∠CMN=∠C ∴MN=CN=2 在 Rt△MBN中，∠BMN=90°,∠B=30° 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 6 页 共 13 页 ∴BN=2MN=4 ∴BC=BN+CN=6 故选：C 4.如图，点 H是△GBC边 BC上一点，∠BGH=80°，GB=GH=HC，则∠CGH=（ B ） A.35° B.25° C.15° D.20° 【解析】解：∵GB=GH， ∴∠B=∠BHG= 180 80 2    =50° ∵GH=HC ∴∠CGH=∠C= 1 50 2   =25° 故选：B 5.如图，△ABC 进行了一次变换之后得到图形①②③④，其中通过轴对称得到的是（ A） A.① B.② C.③ D.④ 【解析】解：①由△ABC轴对称变换得到； ②由△ABC平移得到； ③由△ABC旋转 180°得到； ④由△ABC顺时针旋转 90°得到． 故选：A． 6.如图，点 M在 AN上，且 AN⊥AB于 A，BM，CM分别平分∠ABC，∠BCN， AB//CN，若 AN=8，则点 M到 BC的距离是（ D ） A.3 B.6 C. 5 D.4 【解析】解：如图，过点 M作 MD⊥BC于点 D， ∵AN⊥AB，MD⊥BC，BM平分∠ABC ∴MA=MD 同理 MN=MD ∴MA=MN=MD ∵AN⊥AB,AB//CN ∴M,A,N在同一条直线上 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 7 页 共 13 页 ∴MD=MN=MA= 1 2 AN=4 故选：D． 7.如图，B，M，D在同一直线上，且 GM=5，BD=12，H与 D，B与 G是对应点，△HBM≌△DGM，则 HM= （ B ） A.9 B.7 C. 5 D.3 【解析】解：∵△HBM≌△DGM ∴BM=GM=5,HM=DM ∴DM=BD-BM=BD-GM=7 ∴HM=DM=7 故选：B． 8.如图所示，正五边形 EHBCA 与正方形 HBFG，边长相等，且叠合在一起，连接 AH,则 ∠AHG=（ D ） A.12° B.16° C.15° D.18° 【解析】解：五边形内角和：（5-2）×180° =540°，正方 形内角和：（4-2）×180° =360° ∵五边形 EHBCA为正五边形，四边形 HBFG为正方形 ∴∠EHB= 1 5 ×540° =108°,EH=EA ∠GHB= 1 4 ×360° =90° ∴∠AHE=180 108 2    =36°,∠EHG=∠EHB-∠GHB=18° ∴∠AHG=∠AHE-∠EHG=18° 故选：D． 9.在△DEF中，DE=DF，∠EDF=100°，点 G在 EF的边上，连接 DG,若△DEG为直角三角形，则∠DGF=（ D ） A.90° B.120° C.130° D.90°或 130° 【解析】解：∵DE=DF，∠EDF=100° ∴∠E=∠F= 180 100 2    =40° 分两种情况： （1）如图 1，∠EDG=90°，则∠DGF=∠E+∠EDG=40°+ 90°=130° （2）如图 2，∠DGE=90°，则∠DGF=180°-∠DGE=90° 综上，∠GDF=90°或 130°. 故选：D 10.如图，BD是等边△ABC边 AC上的高，M，N分别是 AB，AC上的两个定点，BM=AN=2cm, AD=4.5cm,若在 BD上有一动点 H,使 MH+NH最短，则 MH+NH的最小值为（ D ） 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 8 页 共 13 页 A.5 cm B.6cm C.8 cm D.7cm 【解析】解：如图，∵△ABC是等边三角形，BD是边 AC上的高 ∴AB=AC=BC=2AD=9cm,BD平分∠ABC，∠C=60° ∴CN=AC-AN=7cm 根 据 题 意 ， 作 点 M 关 于 BD 的 对 称 点 M’, 连 接 M’N, 则 M’ 在 BC 上 ,M’N 与 BD 的 交 点 为 H,BM’=BM=2,MH+NH=M’H+NH=M’N ∴CM’=BC-BM’=7cm ∴CM’=CN 又∠C=60° ∴△M’NC是等边三角形 ∴M’N=CN=7cm ∴MH+NH的最小值为 7cm 故选：D． 二、填空题(每小题 3分，共 15 分) 11.如图，已知 AM=BM，请你添加一个条件，使△AMH≌△BMG，你添加的条件是 GM=HM(填一个即可) 【解析】解：答案不唯一：GM=HM或∠A=∠B或∠AHM=∠BGM 12.如果点 M(3，-2)向右平移 5个单位长度得到点 N，则点 N关于 x轴对称的点的坐标 为(8，2) . 【解析】解：M(3，-2)向右平移 5个单位长度得到点 N,则点 N坐标为(8，-2)， ∴N坐标为(8，-2)关于 x轴对称的点的坐标为(8，2) 故答案为：(8，2) 13.如图，△ABH与△ACE是一副叠放在一起的三角板，则∠CDH=165° . 【解析】解：由题意可得，∠CBH=∠A+∠H=135°， ∠CDH=∠CBH+∠C=165° 故答案为：165° 14.如图，AM⊥MN于 M，且 MN:NC=1:2，AN=AC，若∠NAC=40°，则∠MAN=20° . 【解析】解：如图，过点 A作 AD⊥NC于点 D ∵AN=AC，AD⊥NC ∴∠NAD= 1 2 ∠NAC=20°，NC=2ND 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 9 页 共 13 页 ∵MN:NC=1:2 ∴NC=2ND ∴MN=ND，∠M=∠NDA=90° ∴Rt△ANM≌Rt△AND（HL） ∴∠MAN=∠NAD=20° 故答案为：20° 15.如图，M是等边△ABC的边 AB的中点，且 AB=8，MN⊥AC于 N，EN⊥BC于 E，则 BE=5 . 【解析】解：∵△ABC为等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=CB=8 ∵M是边 AB的中点 ∴AM= 1 2 AB=4 在 Rt△AMN中，∠MNA=90°，∠AMN=90°-∠A=30° ∴AN= 1 2 AM=2 ∴CN=AC-AN=8-2=6 在 Rt△CEN中，∠CEN=90°，∠CNE=90°-∠C=30° ∴CE= 1 2 CN=3 ∴BE=BC-CE=8-3=5 故答案为：5 三．解答题（8 题，共 75 分） 16．（10分）用尺规按下列要求作图： （1）作出△DEF的角平分线 FG, 交 DE于 G. （2）作出△DEF的边 DF 的垂直平分线 HN，交 DF于 N，交 EF于 H. 解：（1）如图所示，射线 FG即为所求 （2）如图所示，直线 HN即为所求 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 10 页 共 13 页 17．（9分）已知一个正多边形的外角比相邻的内角小 120°． （1）求这个正多边形的外角的度数； （2）直接写出这个正多边形的边数． 解：（1）设正多边形的外角为 x°，则内角为（180﹣x）°，由题意，得 180﹣x﹣x＝120， 解得 x＝30． ∴正多边形的外角为 30°． （2）这个正多边形的边数为：360°÷30°＝12． 18.（9分）如图，某快艇由西向东航行，在 M处测得灯塔 P的方位是北偏东 75°，又继续航行 10海里，在 N 处测得灯塔 P的方位是北偏东 60°， （1）此时快艇与灯塔 P的距离 NP是多少海里． （2）若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点 P方圆 4.5海里内有暗礁，如果快艇继续向东 航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 解：（1）过 P作 PD⊥MN于点 D， ∵∠PND＝90°﹣60°＝30° 且∠PND＝∠PMN+∠MPN，∠PMN＝90﹣75＝15° ∴∠PMN＝∠MPN， ∴NP＝MN＝10（海里）． （2）∵M处测得小岛 P在北偏东 75°方向， ∴∠PMN＝15°， ∵在 N处测得小岛 P在北偏东 60°方向， ∴∠MPN＝15°， ∴MN＝PN＝10海里， ∵∠PND＝30°， ∴PD＝ 1 2 PN＝5＞4.5， ∴该快艇继续向东航行，没有触礁的危险． 19.（9分）如图，BD＝CM，BM＝CN．AB＝AC，点 D，M，N分别在△ABC的 AB, BC, AC 边上. （1）求证：DM=MN． （2）当∠BAC＝56°时，求∠DMN的度数. （1）证明：∵AB＝AC NM D 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 11 页 共 13 页 ∴∠B＝∠C 在△DBM和△MCN中 BD MC B C BM CN      ∠ ∠ ∴△DBM≌△MCN（SAS）， ∴DM=MN （2）由（1）知 △DBM≌△MCN ∴∠BDM＝∠CMN ∵∠DMC＝∠DMN+∠CMN＝∠B+∠BDM ∴∠DMN＝∠B ∵∠BAC＝56° ∴∠B＝（180°-∠BAC）÷2=62° ∴∠DMN＝62°. 20.（9分）（1）如图 1，已知∠3＝∠4，AN=BN，MN交 AB于 M， 求证△ANM≌△BNM. （2）如图 2，∠1＝∠2，AD=BN，ND的延长线交 AB于 M， 求证：AM=BM． 证明：（1）在△ANM和△BNM中 3 4 AN BN NM NM      ∠ ∠ ∴△ANM≌△BNM（SAS）， （2）在 NM上取一点 H，使 NH＝DM 在△ADM和△BNH中, 1 2 AD BN DM NH      ∠ ∠ ， ∴△ADM≌△BNH（SAS）， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝40NBH，AM＝BH ∵∠HMB＝∠A+∠1,∠MHB＝∠NBH+∠2 ∴∠HMB＝∠MHB ∴BM＝BH. 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 12 页 共 13 页 ∵AM＝BH ∴AM=BM. 21.（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线 DE交 AB于点 D，若 AE＝3， （1）求 BC的长； （2）若点 P是直线 DE上的动点，直接写出 PA+PC的最小值为 ． 解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝ 1 2 （180°-∠BAC）=30°， ∵AB边的垂直平分线交 AB于点 D， ∴BE＝AE＝3， ∴∠BAE＝∠B＝30°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°， 在 Rt△CAE中，∠C＝30°， ∴CE＝2AE＝6， ∴BC＝BE+CE＝3+6＝9； （2）如图，取点 A关于直线 DE的对称点，即点 B， ∵PA＝PB， ∴PA+PC＝PB+PC， 根据两点之间线段最短，则 BC即为 PA+PC的最小值，最小值为 9. 22．（10分）如图，点 F为 BC的中点，EA⊥AB，AD⊥AC，且 AD＝AC，AE＝AB． 求证：AF＝ 1 2 DE． 证明：延长 AF至 N，使 FN＝AF，连接 BN， ∵点 F为 BC的中点， ∴CF＝BF， 在△AFC和△NMB中 AF NF AFC NFB CF BF      ∠ ∠ ∴△AFC≌△NFB（SAS）， ∴AC＝NB，∠ACF＝∠NBF， ∵AB⊥AE，AD⊥AC， ∴∠EAB＝∠DAC＝90°， ∴∠EAD+∠BAC＝360°-90°×2=180°， ∵∠ACF+∠ABF+∠BAC=180° ∴∠EAD=∠ACF+∠ABF=∠NBF+∠ABF=∠ABN. 在△EAD和△ABN中, ∵ AE BA EAD ABN AD BN      ∠ ∠ ， ∴△ABN≌△EAD（SAS）， ∴DE＝AN. F N 9 天才在于积累，聪明在于勤奋。 第 13 页 共 13 页 ∵AF=FN, ∴AN=2AF， ∴AF＝ 1 2 DE. 23．（10分）如图，AG、BG均是△AGB的两边，AG的垂直平分线 DM交 BG的垂直平分线 EN于点 H. （1）若△GMN的周长为 15cm，求 AB的长. （2）若∠MHN＝80°，求∠MGN的度数． （3）若 M、N是线段 AB的三等分点（点 M在点 N的左侧），直接判断△MGN的形状． 解：（1）∵△GMN的周长为 15， ∴GM+MN+GN＝15， ∵DM、EN分别垂直平分 AG和 BG， ∴MA＝MG，NB＝NG， ∴AB＝AM+MN+NB＝GM+MN+GN＝15（cm）； （2）∵∠MHN＝80°， ∴∠MNH+∠NMH＝180°﹣80°＝100°， ∵∠AMD＝∠NMH，∠BNE＝∠MNH， ∴∠AMD+∠BNE＝∠MNH+∠NMH＝100°， ∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣100°＝80°， ∵AM＝GM，BN＝GN， ∴∠A＝∠AGM，∠B＝∠BGN， ∴∠MGN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×80°＝20°． （3）△MGN是等边三角形. （解析：由 M、N是线段 AB的三等分点可知 AM=MN=NB，所以 GM=MN=NG） H G