第十七章 勾股定理（A卷提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 2．（本题3分）在直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（    ）m的路，却踩伤了花草． A．5 B．4 C．3 D．2 4．（本题3分）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)(　　) A．3 B．5 C． D．4 5．（本题3分）园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知，，，，且，这块草坪的面积是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A．B．C． D． 7．（本题3分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 8．（本题3分）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 9．（本题3分）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 10．（本题3分）如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 12．（本题3分）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米． 13．（本题3分）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 14．（本题3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则 ． 15．（本题3分）在中，，，边上的高，则边之长等于 ． 16．（本题3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米? 18．（本题4分）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动． 项目主题 测量隧道的长度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量示意图    数据说明 ，米，米 特别说明 测量过程中注意保障人身安全！ 请你根据以上测量结果，计算隧道的长度． 19．（本题6分）如图，△ABC中，AB=2，BC=，AC=．分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点M，N．直线MN分别交AB，AC于点D，E．试求BD的长， 20．（本题6分）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标． 21．（本题8分）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由． 22．（本题10分）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 23．（本题10分）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 24．（本题12分）已知点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝OB，点C为AB的中点，AB＝ (1) 如图1，求的面积. (2) 如图2，E、F分别为上的动点，且∠ECF＝45°，求证： 25．（本题12分）如图，在长方形中，，，E为边上的中点，点F从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点C运动，连接，，．设点F运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)是否存在某一时刻，使得？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（本题3分）在直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标的知识，勾股定理的运用，掌握点到轴的距离是点的纵坐标的绝对值，根据题意，作轴于点，则，，再根据勾股定理，求出答案． 【详解】解：如图所示， 作轴于点，则，， 在中， ， 故选：． 3．（本题3分）如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（    ）m的路，却踩伤了花草． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】结合题意，根据勾股定理计算得花圃内一条“路”的长度，从而完成求解． 【详解】根据题意，得：长方形花圃的四个角为 ∴花圃内的一条“路”长 ∴仅仅少走了 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 4．（本题3分）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)(　　) A．3 B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得： 解得：x=4.2， 答：折断处离地面的高度OA是4.2尺． 故选C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 5．（本题3分）园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知，，，，且，这块草坪的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．连接，先根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形．从而用求和的方法求面积． 【详解】解：连接，则由勾股定理得， ∵，即， ∴． 这块草坪的面积． 故选：D． 6．（本题3分）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了学生对定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 7．（本题3分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 8．（本题3分）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点处，则芦苇的长是（    ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长13尺． 故选：C． 9．（本题3分）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的内壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短距离，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，利用勾股定理求出即可求解，找出蚂蚁到达蜂蜜的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意得，，，， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为， 故选：．    10．（本题3分）如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的性质，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：如图，为边上的高， ， ，， ， 解得：． 故选：B． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【详解】解：过C作平行地面，连接， 由题意得，米，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：13． 12．（本题3分）如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的应用，地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米， 则红地毯至少要米长， 故答案为：17． 13．（本题3分）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 【答案】10 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．根据题意可得，，再根据勾股定理可得的长，即可得两轮船的距离． 【详解】解：如图，    根据题意可知：，， ∴（海里）． ∴两轮船相距10海里． 故答案为：10． 14．（本题3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则 ． 【答案】169 【分析】根据“垂美”四边形，得到AC⊥BD，由勾股定理得，由此求出答案． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴AC⊥BD， ∴， ∴ ∵， ∴169， 故答案为：169． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义构建勾股定理的等式是解题的关键． 15．（本题3分）在中，，，边上的高，则边之长等于 ． 【答案】14或4 【分析】本题考查了勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 根据题意作出两个图，分两种情况分别求解即可． 【详解】①如图，在中，，，边上的高，    ∴， ， ∴． ②如图，在中，，，边上的高，    ∴， ， ∴． 16．（本题3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度． 【答案】135 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，平行线的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据网格与勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形网格的边长为1， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据格点的性质可得，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米? 【答案】0.9米. 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据梯子的长度不变求出CE的长，根据AE=AC-CE即可得出结论． 【详解】由题意得，， 在中，根据勾股定理得： = =0.7， 在中，根据勾股定理得： 答：梯子的顶部下滑0.9米. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 18．（本题4分）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动． 项目主题 测量隧道的长度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量示意图    数据说明 ，米，米 特别说明 测量过程中注意保障人身安全！ 请你根据以上测量结果，计算隧道的长度． 【答案】720米 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意． 根据题意证明为直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为直角三角形． 米，米， （米）． 即隧道的长度为720米． 19．（本题6分）如图，△ABC中，AB=2，BC=，AC=．分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点M，N．直线MN分别交AB，AC于点D，E．试求BD的长， 【答案】． 【分析】先根据三角形ABC三边的长度，利用勾股定理逆定理可得∠B=90°，再连接CD，设BD=x，则AD=CD=2-x，在Rt△BCD中，根据BC2+BD2=CD2列出关于x的方程求解可得． 【详解】解：∵AB=2，BC=，AC=， ∴AB2+BC2=4+3=7=BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°， 如图，连接CD， 设BD=x，则AD=CD=2-x， 在Rt△BCD中，∵BC2+BD2=CD2， ∴（）2+x2=（2-x）2， 解得：x=，即BD=． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和线段中垂线的性质及勾股定理及其逆定理． 20．（本题6分）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标． 【答案】E（4，8），D（0，5） 【分析】先根据勾股定理求出BE的长，从而可得出CE的长，求出E点坐标．在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的长，从而得出D点坐标． 【详解】解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴， ∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8， ， ∴CE=4， ∴E（4，8） 在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2， 又∵DE=OD， ∴（8-OD）2+42=OD2 ∴OD=5 ∴D（0，5） 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理等知识点，关键在于找到直角三角形． 21．（本题8分）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)的形状是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和勾股定理可以求得、和的值； （2）先判断，然后根据（1）中的结果和勾股定理的逆定理，即可说明理由； 【详解】（1）解：、，，， 故答案为：，，； （2）解：的形状是直角三角形； 理由如下： ∵ ，，；且 ∴的形状是直角三角形． 22．（本题10分）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 23．（本题10分）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出的长； （1）根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：四边形的面积． 24．（本题12分）已知点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝OB，点C为AB的中点，AB＝ (1) 如图1，求的面积. (2) 如图2，E、F分别为上的动点，且∠ECF＝45°，求证： 【答案】（1）72（2）见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；（2）连接OC,在OB上截取OM=AF，连接CM、ME,通过证得△ACF≌△OCM，得出CM=AF,∠OCM=∠ACF，再通过角度的计算得出∠ECM=∠ECF=45°，得到△ECF≌△ECM，得出ME=EF，然后在Rt△MOE中通过勾股定理证明. 【详解】（1）∵OA⊥OB ∴OA2+OB2=AB2 ∵OA＝OB， AB＝ ∴2OA2 =AB2 ∴AO=BA=12 故S△ABO= （2）连接OC,在OB上截取OM=AF，连接CM、ME,如图2， ∵△AOB, △COA, △OCB均为等腰直角三角形， ∴∠A=∠B=∠BOC=45°，OC=AC， 在△ACF和△OCM中 ∴△ACF≌△OCM， ∴CM=CF,∠OCM=∠ACF， ∵∠ACO=∠ACF+∠ECF+∠OCE=90°，∠ECF=45°， ∴∠ACF+∠OCE=45°=∠OCM+∠OCE=∠ECM=∠ECF 在△ECF和△ECM中 ∴△ECF≌△ECM，∴ME=EF， 在Rt△MOE中，∠MOE=90°， ∴ 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、全等三角形的性质和证明，解题的关键是根据题意作出辅助线. 25．（本题12分）如图，在长方形中，，，E为边上的中点，点F从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点C运动，连接，，．设点F运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)是否存在某一时刻，使得？如果存在，求出t的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)8 (2)存在， 【分析】（1）根据勾股定理求出，进而可以解决问题； （2）通过证明，从而利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）在长方形中，，，E为的中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 由题意得， 在中，由勾股定理得， 当时，， 解得（负值已舍去）， 即当时，； （2）存在，理由如下： 在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，理解题意，准确列出方程是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$