云南省曲靖市宣威市第六中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

高二年级9月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 由小到大排列的4个数据1，3，5，的极差是中位数的2倍，则这4个数据的 第75百分位数是（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 2. 已知复数满足，且的实部与虚部相等，则满足条件的复数有（ ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 3. 已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 5. 已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若的周长等于，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行六面体所有村长都为1，底面为正方形，，则对角线的长度为（ ） A. B. C.2 D. 8. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题。（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列选项正确的是（ ） A.若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是 B.“”是“直线与直线垂直”的充要条件 C.“”是“直线与直线平行”的充要条件 D.直线的倾斜角的取值范围是 10. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且的周长为8，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 可以为 D. 可以为直角 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若某圆台上、下底面的半径分别为1,3，且圆台的体积为 ，则该圆台的母线与底面所成角的正切值为 。 13. 已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，写出一条满足上述条件的直线的方程 。 14. 已知圆和直线交于，两点，定点(1,1)，若，则的值 。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程. 16.（15分）已知圆:，直线:. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 17.（15分）在中，角,,所对的边分别为,,，已知，角的平分线交边于点，且. （1） 求； （2） 若，求的面积. 18.（15分）如下图， 平面， 平面，，，，. （1）求证：平面； （2）试求当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为. 19.（17分）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为,．且椭圆经过点。 （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$■口口口 高二数学月考答题卡 饵、解答遇（共7分，解答发写出文字说月，证明过程晚前算步程） 15.(13分》 16(15分) 4幻 专场号 用金草 在意事项 算想馆，专生等多川用他字诗笔线复子笔增写学校.座说.姓名用使位号。用南 图的笔起考好的财点数字染盟.特直清洁，不睫。适洋破 一，集透图共的分 13对4A)D时LAJ UE]te]Dpd G【四9)sB到 2TA)g1nA1Cgc口.m 二、多透圆（共1移分》 gd回 o1eC间 11 CAJ CB0 (03 En] 三，端空圆（择小题5分，其1s分） 12 3 此区域禁止答题 ■ 1715分) ■ 题 ■ ■ ■ 1917分) 题 ■ ■ @ ■ 回 ■ ■ ■ ■ 高二9月月考试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 由小到大排列的4个数据1，3，5，的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ B ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 解：这四个数据的极差为，中位数为.由题意，得，解得. 因为，所以所求为.故选B. 2. 已知复数满足，且的实部与虚部相等，则满足条件的复数有（ B ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 解：由题意，可设，则，解得.故满足条件的复数有2个．故选B． 3. 已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ C ） A. B. C. D. 解：由与共线，得，解得.则.易知向量在向量上的投影向量为，故选C. 4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ B ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 解：因为， ， 所以将的图象向左平移（个）单位长度可得到的图象.故选B. 5. 已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若的周长等于，则椭圆的离心率为（ A ） A. B. C. D. 解：不妨设点A在第一象限，由得，所以,，所以.记椭圆的左焦点为，由对称性，可知四边形为等腰梯形，所以所以的周长等于，所以椭圆的离心率为．故选A． 6. 7. . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 10. 10. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且的周长为8，则（ AC ） A. B. 的离心率为 C. 可以为 D. 可以为直角 解：由，得.如右图，的周长为，则.故.所以椭圆的离心率为，A正确，B错误. 当轴，即为通径时，，且，所以，故可以为 ，C正确. 由椭圆的性质，知当A为椭圆的上、下顶点时，最大，此时，且，故，即不可能为直角，D错误. 故选 . 11. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若某圆台上、下底面的半径分别为1,3，且圆台的体积为 ，则该圆台的母线与底面所成角的正切值为  ． 解：设圆台的高为，则 ，解得. 取圆台的轴截面，如右图所示.则所求为．故填. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分） 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程. 答案： （1）因为边上的高所在直线方程为，所以边所在直线的斜率为，又顶点在直线上，所以直线的方程为，即，解方程组得顶点. （2）设，则，所以，即，解方程组，得点，所以直线的方程为，即. 16 已知圆:，直线:. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 答案： （1）直线的方程经整理得.由解得即直线恒过点. （2）因为直线恒过圆内一点，所以当直线经过圆心时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线垂直于时，被截得的弦最短.由点可知直线的斜率，所以当直线被圆截得的弦最短时，直线的斜率为，于是有，解得.此时，直线的方程为，即.又，所以最短弦长是.故直线被圆截得的弦最短时的值是，最短弦长是. 17（15分） 在中，角,,所对的边分别为,,，已知，角的平分线交边于点，且. （1） 求； （2） 若，求的面积. 【考点】 正弦定理余弦定理三角形的面积公式 【解】（1） 由及正弦定理，可得 又，所以，即.所以. （2）由题意，可知，即.化简，得. 在中，由余弦定理，得，即.解得或（舍去）. 所以. 18. （15分） 如下图， 平面， 平面，，，，. （1） 求证：平面； （2） 试求当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为. 解：证明：因为 平面， 平面，所以，，. 又，所以，，两两垂直. 设.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如右图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， ，，. 设，因为,，所以,. 所以是平面的一个法向量.（4分） 因为，所以平面. 又因为 平面，所以平面.（6分） 另解：易得平面平面，从而由面面平行的性质定理，可得平面. [答案] 易得，，. 设是平面的法向量，则即 设，则,，所以.（10分） 设直线与平面所成角为 ， 则，解得.（14分） 所以当时，直线与平面所成角的正弦值为.（15分） 19. （17分） 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，左、右焦点分别为,． （1） 若椭圆经过点，判断的形状. （2） 在（1）的条件下，设是椭圆的右顶点，，是椭圆上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点． 解：由题意，得， 所以离心率.（3分） 椭圆的方程为.因为椭圆经过点， 所以，解得，，所以椭圆的方程为．（5分） ,，则,. 因为，所以是钝角三角形，且是最大边（对应钝角）. 又，所以是钝角且非等腰三角形.（8分） 易知.设，，直线的方程为，且. 联立消去，得. 易得，得.所以，．（11分） 因为， 所以. 化简得．（14分） 所以， 化简得，解得，即直线恒过定点．（17分） 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$