专题1.8 勾股定理与折叠（3种几何模型和5类题型）（模型梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（湘教版）

专题1.8 勾股定理与折叠（3种几何模型和5类题型）（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 勾股定理中折叠模型是比较多的一种实际应用，折叠的本质是轴对称，折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等，还要注意对称轴，对应点被对称轴垂直平分，本专题共梳理出以下三种折叠模型，通过勾股定理建立方程得以解决。 【模型一】折叠构造直角三角形 折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。 【模型二】折叠构造全等三角形 折叠前后图形重合，因而产生了全等三角形，通过对应边相等、对应角相等进行线段、角的转化，通过勾股定理建立方程，从而达到解决问题的目的。 【模型三】折叠构造等腰三角形 由折叠产生角平分线，由由特殊图形的边平行，从而通过“平行线+ 角平分线”得等腰三角形，再利用勾股定理解决问题。 【题型目录】 【题型1】折叠构造直角三角形.........................................................1 【题型2】折叠构造全等三角形.........................................................3 【题型3】折叠构造等腰三角形.........................................................4 【题型4】直通中考...................................................................4 【题型5】拓展延伸...................................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】折叠构造直角三角形 【例1】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． （1）写出点F的坐标． （2）求的长． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合．若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【题型2】折叠构造全等三角形 【例2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，D为边上一点，连接，将△ABD沿折叠至所在平面内，得到，与交于点F，连接，若，，，则的长为 【变式2】（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，中，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在内部（不包括边上）时，的取值范围为 ． 【题型3】折叠构造等腰三角形 【例3】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，点E在长方形纸片的边上，已知，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为． （1）求证：； （2）求折叠后的长． 【变式1】（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，沿折叠长方形纸片，点D落到点E处，交于点F，若，，则 ． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型4】直通中考 【例1】（2019·广西桂林·中考真题）将矩形按如图所示的方式折叠，为折痕，若顶点都落在点处，且点在同一条直线上，同时点在另一条直线上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ． 【题型5】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【例2】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3） 如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 勾股定理与折叠（3种几何模型和5类题型）（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 勾股定理中折叠模型是比较多的一种实际应用，折叠的本质是轴对称，折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等，还要注意对称轴，对应点被对称轴垂直平分，本专题共梳理出以下三种折叠模型，通过勾股定理建立方程得以解决。 【模型一】折叠构造直角三角形 折叠构造直角三角形是比较常见的一种模型，将直角三角形沿着某条线段进行折叠，可以得到另外一个直角三角形，然后设未知数，表示出这个三角形的三边长，利用勾股定理列出方程，求出未知数的值。 【模型二】折叠构造全等三角形 折叠前后图形重合，因而产生了全等三角形，通过对应边相等、对应角相等进行线段、角的转化，通过勾股定理建立方程，从而达到解决问题的目的。 【模型三】折叠构造等腰三角形 由折叠产生角平分线，由由特殊图形的边平行，从而通过“平行线+ 角平分线”得等腰三角形，再利用勾股定理解决问题。 【题型目录】 【题型1】折叠构造直角三角形.........................................................1 【题型2】折叠构造全等三角形.........................................................5 【题型3】折叠构造等腰三角形........................................................10 【题型4】直通中考..................................................................13 【题型5】拓展延伸..................................................................16 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】折叠构造直角三角形 【例1】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． （1）写出点F的坐标． （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由点D的坐标可知，，根据翻折的性质可知，由勾股定理可求得，进而可求出点F的坐标． （2）设，由折叠得，则，在△中，利用勾股定理即可求解． 解：（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中， ∴，， 由折叠的性质的可知：， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：设，由折叠得，则， ∵， ∴， 在△中，， 解得： ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合．若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，得到，，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵将沿折叠，点恰好与延长线上的点重合， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：； ∴； 故选B． 【变式2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理计算是解题关键． 设，由折叠的性质可得：，从而在中利用勾股定理求解即可． 解：设， ∵， ∴由折叠的性质可得：， ∵， ， 即，解得：， ． 即的长度为， 故选：C 【变式3】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理；根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 【题型2】折叠构造全等三角形 【例2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）的长为． 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 解：（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，D为边上一点，连接，将△ABD沿折叠至所在平面内，得到，与交于点F，连接，若，，，则的长为 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得过B作交的延长线于H，根据勾股定理即可得到结论． 解：将沿折叠至所在平面内，得到，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过B作交的延长线于H， ， ， 设，则， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题）全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2】（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，中，，点P为上一个动点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点Q，当点Q落在内部（不包括边上）时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，再作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，结合点落在内部（不包括边上），即可得到的取值范围． 解：过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上， , ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点A的对应点为点，则点落在边上，   ， ∵由折叠可知：， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在内部（不包括边上）时， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称中的折叠问题、含角的直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形的判定，熟知折叠前后两个三角形全等是解答本题的关键． 【题型3】折叠构造等腰三角形 【例3】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，点E在长方形纸片的边上，已知，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为． （1）求证：； （2）求折叠后的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，根据等角对等边即可得出结论； （2）在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 解：（1）证明：在长方形中，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； （2）解：在长方形中，，由折叠知， 设，那么， 在中，， 即． 解得，即， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，沿折叠长方形纸片，点D落到点E处，交于点F，若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的翻折应用，涉及等腰三角形的判定，熟练掌握翻折中的勾股定理是解题的关键．利用翻折和平行判定，再在中利用勾股定理列式解决即可． 解：∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， 由翻折得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，  在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型4】直通中考 【例1】（2019·广西桂林·中考真题）将矩形按如图所示的方式折叠，为折痕，若顶点都落在点处，且点在同一条直线上，同时点在另一条直线上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设CD=2a，AD=2b，根据Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2，可得即a2+（2b）2=（3a）2，进而得出的值． 解：由折叠可得，， ∴分别为的中点， 设， 则，， ∵， ∴中，， 即， ∴， 即， ∴， ∴的值为， 故选B． 【点拨】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【例2】（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，根据勾股定理求解即可． 解：当落在边上时，如图（1）： 设交于点， 由折叠知：, ,, ，， 设，则在中， 在中， 即． 当落在边上时，如图（2） 因为折叠， ． 故答案为：或 【点拨】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【题型5】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）的长为． 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 解：（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3） 如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5；（2）6；（3）t的值为2.5或10 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点拨】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$