专题 与平行线有关的计算问题（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

（北师大版）七年级下册数学《第2章 相交线与平行线》 专题 与平行线有关的计算问题 题型一 直接利用平行线的性质或判定求角度 1．（2024秋•洛阳期末）如图，AB∥CD，∠MEB＝40°，则∠CFE＝（　　） A．40° B．50° C．130° D．140° 2．如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（　　） A．154° B．144° C．134° D．124° 3．（2024秋•高新区期末）如图，AB∥CD，若∠1＝52°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　） A．68° B．60° C．52° D．48° 4．（2024秋•遂平县期末）如图．直线a∥b，直线L与a、b分别交于点A、B，过点A作AC⊥b于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．130° B．50° C．40° D．25° 5．如图，一个由4条线段a，b，c，d组成的“鱼”形图案，若∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝140°，则∠4的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 6．（2024秋•泰兴市期末）如图，AB∥CD，直线EF和AB、CD分别交于点G、H，若∠EGB＝（2x+30）°，∠CHF＝（80﹣3x）°，则x的值为（　　） A．10 B．20 C．100 D．110 7．（2024秋•东坡区期末）如图，AB∥CD，∠ACD＝155°，∠AFE＝26°，则∠CEF的度数为 　 　． 8．如图，直线AB∥EF，直线AG，BD分别交直线EF于点C，D．若∠A＝2∠B，∠ECG＝108°，则∠BDF的度数为 　 　°． 9．（2024春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为 　 　． 10．（2024秋•泉山区校级期末）如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1＝41°，求∠ABC的度数． 11．（2024秋•商水县期末）如图，已知DE∥CB，∠B＝∠D． （1）判断AB、CD是否平行，并说明理由． （2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数． 12．（2024秋•长沙期末）如图，直线EF与CD交于点O，OA平分∠COE交直线l于点A，OB平分∠DOE交直线l于点B，且∠1+∠2＝90°． （1）求∠AOB的度数； （2）求证：AB∥CD； （3）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 题型二 借助学具的特征求角度 1．（2023秋•威宁县期末）一把直尺按如图所示摆放，AB∥CD，且∠1＝70°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．30° D．80° 2．（2024秋•顺德区期末）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且∠A＝45°，∠F＝30°．若BC∥EF，则∠CED的度数是（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 3．（2024秋•长沙期末）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝53°，则∠2的度数为（　　） A．53° B．47° C．37° D．27° 4．（2023秋•铜官区期末）如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果∠2＝65°，那么∠1的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．（2024秋•新都区期末）如图，将含有30°的直角三角尺CAB（∠C＝60°）直角顶点A放到矩形DEFH的边DE上，若∠EAB＝15°，则∠FQG的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．45° 6．将一副三角尺如图放置，其中∠D＝∠BAC＝90°，∠F＝30°，∠B＝45°，则∠BCF的度数为（　　） A．105° B．120° C．150° D．165° 7．（2024秋•南关区校级期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝131°，则∠DBC的度数为 　 　． 8．一副三角形板如图放置，DE∥BC，∠C＝∠DBE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，则∠ABD的度数为　 　． 9．（2024秋•碑林区校级期末）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若DE∥AB，则∠1的度数为　 　． 10．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE．则∠AFD的度数是　 　． 11．（2023秋•莲湖区期末）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠2＝55°， 求∠1的度数． 12．将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转． （1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，t＝　 　． （2）当t＝18时，求∠BCD的度数？ （3）在旋转过程中，当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形），求此时t的值为 　 ．（直接写出答案即可） 题型三 实际问题中抽象出平行线模型求角度 1．如图，万岁山大宋武侠城的两条小路AB∥CD，则∠BAE+∠AEC+∠ECD＝（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 2．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝18°，∠FED＝56°，则∠GFH的度数为（　　） A．34° B．36° C．38° D．56° 3．（2024秋•即墨区期末）生活中的椅子一般依据人体工学原理设计，如图为生活中一把椅子的侧面图，从人体脊柱的形势而言，当靠背角度∠DEF＝115°时，能产生较为接近自然腰部的形状，此时最舒适．已知DE与地面平行，支撑杆BD与地面夹角∠ABD＝50°，则制作时用螺丝固定时支撑杆BD和AF需构成夹角∠ACB为（　　） A．70° B．65° C．60° D．50° 4．当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若∠1＝110°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 5．（2024秋•即墨区期末）图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面1平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝57°，AM与CB平行，则∠MAC为（　　） A．55° B．57° C．68° D．125° 6．（2024•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 7．（2024秋•鹿寨县期末）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD＝　 ． 8．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 　 ． 9．乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是 　 ． 10．（2024秋•鹰潭期末）生活现象 如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成． 数学模型 如图2，是杆秤的示意图，AC∥BD，经测量发现∠A＝104°，∠BOE＝76°，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由． 11．（2024秋•广州期中）在如图所示的螳螂示意图中，AB∥DE，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，求∠BCD的度数． 12．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即AB∥CD．活动小组在探索∠APD与∠A，∠D的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使∠A＝∠D时，瞄准最准确．现测得∠A＝160°，∠APD＝40°，判断此时瞄准是否最准确，请说明理由． 题型四 折叠问题中求角度 1．（2024秋•天元区期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFC＝125°，则∠1＝（　　） A．35° B．55° C．70° D．65° 2．如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（　　） A．58° B．64° C．72° D．60° 3．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠1＝115°，则图中∠2的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 4．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为C'、D'．若∠DEF＝α，用含α的式子可以将∠C'FG表示为（　　） A．2α B．90°+α C．180°﹣α D．180°﹣2α 5．（2024秋•襄汾县期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　 　． 6．（2024秋•宛城区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠BGO＝　 　度． 7．（2024秋•萍乡期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　 　°． 8．（2024秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为 　 　°． 9．（2024秋•丹徒区期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠EFC＝30°，则∠DAE等于 　 　． 10．（2024秋•泉州期末）如图，四边形ABCD是一条两边互相平行的纸带，将其沿着EG折叠，使得点B，C分别落在点H，I处，EH与DG相交于点F，若∠EGF＝56°，求∠EFD的度数． 11．在图中，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3． （1）若在图1中，∠DEF＝20°，则图3中∠C2FE的度数是多少？ （2）若∠DEF＝α，请用α表示图3中的∠C2FE的度数． 12．（2024秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置． （1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数． （2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数． （3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）七年级下册数学《第2章 相交线与平行线》 专题 与平行线有关的计算问题 题型一 直接利用平行线的性质或判定求角度 1．（2024秋•洛阳期末）如图，AB∥CD，∠MEB＝40°，则∠CFE＝（　　） A．40° B．50° C．130° D．140° 【分析】根据邻补角概念，得到∠AEM＝140°，再利用两直线平行，同位角相等，得到∠CFE＝∠AEM＝140°，得到结果． 【解答】解：∵∠MEB＝40°， ∴∠AEM＝180°﹣∠MEB＝140°， ∵AB∥CD， ∴∠CFE＝∠AEM＝140°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（　　） A．154° B．144° C．134° D．124° 【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵DA⊥AB，CD⊥DA， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝56°， ∴∠C＝180°﹣∠B＝124°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 3．（2024秋•高新区期末）如图，AB∥CD，若∠1＝52°，∠2＝120°，则∠3的度数为（　　） A．68° B．60° C．52° D．48° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠2+∠DAB＝180°，即可求出∠DAB的度数，再根据平角的定义即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠2+∠DAB＝180°， ∵∠2＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∵∠1＝52°， ∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠DAB＝180°﹣52°﹣60°＝68°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2024秋•遂平县期末）如图．直线a∥b，直线L与a、b分别交于点A、B，过点A作AC⊥b于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．130° B．50° C．40° D．25° 【分析】直接利用垂直的定义得出∠ACB＝90°，再利用平行线的性质得出答案． 【解答】解：∵AC⊥b， ∴∠ACB＝90°， ∵∠1＝50°， ∴∠ABC＝40°， ∵a∥b， ∴∠ABC＝∠2＝40°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了垂线以及平行线的性质，正确得出∠ABC的度数是解题关键． 5．如图，一个由4条线段a，b，c，d组成的“鱼”形图案，若∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝140°，则∠4的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【分析】先由∠1、∠2的关系得到b与c的关系，再利用平行线的性质求出∠4． 【解答】解：∵∠1＝45°，∠2＝45°， ∴∠1＝∠2． ∴b∥c． ∴∠3+∠4＝180°． ∵∠3＝140°， ∴∠4＝180°﹣140°＝40°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 6．（2024秋•泰兴市期末）如图，AB∥CD，直线EF和AB、CD分别交于点G、H，若∠EGB＝（2x+30）°，∠CHF＝（80﹣3x）°，则x的值为（　　） A．10 B．20 C．100 D．110 【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质，可以得到∠EGB和∠CHF的关系，然后即可求得x的值． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠EGB＝∠EHD， ∵∠EHD＝∠CHF， ∴∠EGB＝∠CHF， ∵∠EGB＝（2x+30）°，∠CHF＝（80﹣3x）°， ∴2x+30＝80﹣3x， 解得x＝10， 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质、对顶角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（2024秋•东坡区期末）如图，AB∥CD，∠ACD＝155°，∠AFE＝26°，则∠CEF的度数为 　 　． 【分析】先利用平行线的性质可得∠A＝25°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝155°， ∴∠A＝180°﹣∠ACD＝25°， ∵∠CEF是△AEF的一个外角，∠AFE＝26°， ∴∠CEF＝∠A+∠AFE＝51°， 故答案为：51°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8．如图，直线AB∥EF，直线AG，BD分别交直线EF于点C，D．若∠A＝2∠B，∠ECG＝108°，则∠BDF的度数为 　 　°． 【分析】由∠ECG＝108°，AB∥EF，可得∠A＝72°，而∠A＝2∠B，知∠B∠A＝36°；故∠BDF＝∠B＝36°． 【解答】解：∵∠ECG＝108°， ∴∠ACD＝108°， ∵AB∥EF， ∴∠A＝180°﹣∠ACD＝72°， ∵∠A＝2∠B， ∴∠B∠A＝36°； ∵AB∥EF， ∴∠BDF＝∠B＝36°； 故答案为：36． 【点评】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解题的关键． 9．（2024春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为 　 　． 【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求． 【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°， ∴∠BCF＝∠ABC＝70°， 又∵DE∥CF， ∴∠DCF+∠CDE＝180°， ∴∠DCF＝50°， ∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°． 故答案为：20°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 10．（2024秋•泉山区校级期末）如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1＝41°，求∠ABC的度数． 【分析】过B作BD∥l1，由已知的AB⊥l1，即∠ABD＝90°，根据两条直线分别于第三条直线平行，则这两条直线也平行，再根据两直线平行，内错角相等可求结果． 【解答】解：过B作BD∥l1， ∵AB⊥l1， ∴∠ABD＝90°， ∵l1∥l2，BD∥l1， ∴BD∥l2， ∴∠CBD＝∠1＝41°， ∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝90°+41°＝131°， ∴∠ABC的度数为131°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、垂线的定义，解题关键是过点B作平行线． 11．（2024秋•商水县期末）如图，已知DE∥CB，∠B＝∠D． （1）判断AB、CD是否平行，并说明理由． （2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠D＝∠BCF，从而可求得∠BCF＝∠B，即可判定AB∥CD； （2）由平行线的性质可得∠B+∠BED＝180°，∠F＝∠BEF，结合条件即可求解． 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵DE∥CB， ∴∠D＝∠BCF， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCF＝∠B， ∴AB∥CD； （2）∵DE∥CB， ∴∠B+∠BED＝180°， ∴∠B+∠BEF+∠DEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴∠F＝∠BEF， ∴∠B+∠F+∠DEF＝180°， ∵∠B+∠F＝102°， ∴∠DEF＝78°． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用． 12．（2024秋•长沙期末）如图，直线EF与CD交于点O，OA平分∠COE交直线l于点A，OB平分∠DOE交直线l于点B，且∠1+∠2＝90°． （1）求∠AOB的度数； （2）求证：AB∥CD； （3）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，，然后利用平角定义，以及角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：∠AOB＝90°，从而利用平角定义可得：∠AOC+∠2＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠AOC＝∠1，从而利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答； （3）利用角平分线的定义可得∠2∠DOE，从而可得∠DOE：∠3＝4：5，然后利用平角定义可得∠DOE+∠3＝180°，从而可得∠3＝100°，进而可得∠COE＝∠3＝100°，最后利用角平分线的定义可得∠AOE＝50°，从而利用平角定义进行计算，即可解答． 【解答】（1）解：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE， ∴，， ∴∠AOE+∠BOE∠COE∠DOE（∠COE+∠DOE）180°＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴∠AOB的度数为90°； （2）证明：由（1）得：∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠AOB＝180°﹣90°＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠AOC＝∠1， ∴AB∥CD； （3）解：∵OB平分∠DOE， ∴∠2∠DOE， ∵∠2：∠3＝2：5， ∴∠DOE：∠3＝4：5， ∵∠DOE+∠3＝180°， ∴， ∴∠COE＝∠3＝100°， ∵OA平分∠COE， ， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°， ∴∠AOF的度数为130°． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 题型二 借助学具的特征求角度 1．（2023秋•威宁县期末）一把直尺按如图所示摆放，AB∥CD，且∠1＝70°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．60° C．30° D．80° 【分析】根据题意可得：EF∥HG，从而利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝70°，然后再利用平行线的性质可得∠3＝∠2＝70°，即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：EF∥HG， ∴∠1＝∠3＝70°， ∵AB∥CD， ∴∠3＝∠2＝70°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2024秋•顺德区期末）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且∠A＝45°，∠F＝30°．若BC∥EF，则∠CED的度数是（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【分析】先利用平行线的性质可得∠C＝∠CEF＝45°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵BC∥EF， ∴∠C＝∠CEF＝45°， ∵∠DEF＝60°， ∴∠CED＝∠DEF﹣∠CEF＝15°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2024秋•长沙期末）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝53°，则∠2的度数为（　　） A．53° B．47° C．37° D．27° 【分析】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得答案． 【解答】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AMN＝53°， ∴∠2＝180°﹣90°﹣53°＝37°， 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 4．（2023秋•铜官区期末）如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果∠2＝65°，那么∠1的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据题意∠2＝65°即可算出∠3度数，再利用平行性质即可算出本题答案． 【解答】解：如下图所示： ∵∠2＝65°，一块含有45°角的三角板， ∴∠3＝90°﹣65°＝25°， ∵两个顶点放在直尺的一组对边上， ∴∠3＝∠4＝25°， ∴∠1＝45°﹣25°＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查平行线性质，关键是余角定义，角度计算． 5．（2024秋•新都区期末）如图，将含有30°的直角三角尺CAB（∠C＝60°）直角顶点A放到矩形DEFH的边DE上，若∠EAB＝15°，则∠FQG的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．45° 【分析】先根据∠EAB＝15°，∠CAB＝90°得出∠CAE的度数，再由HF∥DE得出∠CMF的度数，由三角形内角和定理得出∠CQM的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵∠EAB＝15°，∠CAB＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣15°＝75°， ∵HF∥DE， ∴∠CMF＝∠CAE＝75°， ∵∠C＝60°， ∴∠CQM＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∴∠FQG＝∠CQM＝45°． 故选：D． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 6．将一副三角尺如图放置，其中∠D＝∠BAC＝90°，∠F＝30°，∠B＝45°，则∠BCF的度数为（　　） A．105° B．120° C．150° D．165° 【分析】由∠D＝∠BAC，利用“同位角相等，两直线平行”，可得出AC∥DF，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ACE的度数，结合∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE，可求出∠BCE的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠BCF的度数． 【解答】解：∵∠D＝∠BAC＝90°， ∴AC∥DF， ∴∠ACE＝∠F＝30°， ∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣30°＝15°． 又∵∠BCE+∠BCF＝180°， ∴∠BCF﹣180°﹣∠BCE＝180°﹣15°＝165°． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及邻补角，根据各角之间的关系，求出∠BCE的度数是解题的关键． 7．（2024秋•南关区校级期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝131°，则∠DBC的度数为 　 　． 【分析】由平行线是的性质推出∠GED＝∠ADE＝131°，∠DBC+∠GED＝180°，即可求出∠DBC的度数． 【解答】解：∵AD∥EG， ∴∠GED＝∠ADE＝131°， ∵EG∥BC， ∴∠DBC+∠GED＝180°， ∴∠DBC＝49°． 故答案为：49°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠GED＝∠ADE，∠DBC+∠GED＝180°． 8．一副三角形板如图放置，DE∥BC，∠C＝∠DBE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，则∠ABD的度数为　 　． 【分析】根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到∠DC＝45°，∠AB＝60据此可得∠ABD的度数． 【解答】解：Rt△ABC中，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60， ∵BC∥DE，∠EDB＝∠E＝45°， ∴∠DBC＝45°， ∴∠ABD＝60°﹣45°＝15°， 故答案为：15°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 9．（2024秋•碑林区校级期末）一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，若DE∥AB，则∠1的度数为　 　． 【分析】先利用平行线的性质可得∠D＝∠BAF＝60°，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵DE∥AB， ∴∠D＝∠BAF＝60°， ∵∠CAB＝45°， ∴∠1＝180°﹣∠BAF﹣∠CAB＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 10．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE．则∠AFD的度数是　 　． A．25° B．20° C．15° D．10° 【分析】利用三角板的度数可得∠A＝30°，∠D＝45°，由平行线的性质定理可得∠1＝∠D＝45°，利用三角形外角的性质可得结果． 【解答】解：如图， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°， ∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠D＝45°， ∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°， 故答案为：15°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出∠A，∠D的度数是解本题的关键． 11．（2023秋•莲湖区期末）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠2＝55°， 求∠1的度数． 【分析】先根据两直线平行的性质，得到∠3＝∠2，再根据平角的定义，即可得出∠1的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3． ∵∠2＝55°， ∴∠3＝55°． ∵∠1+60°+∠3＝180°， ∴∠1＝65°． 【点评】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 12．将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转． （1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，t＝　 　． （2）当t＝18时，求∠BCD的度数？ （3）在旋转过程中，当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形），求此时t的值为 　 ．（直接写出答案即可） 【分析】（1）当AC为∠DCE的角平分线时，可以求出旋转角，再根据旋转的速度即可求解． （2）当t＝18时，旋转角为90°，可求出∠ACD，即可求出∠BCD． （3）数形结合，分情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）当AC为∠DCE的角平分线时，旋转角为15°， ∴t3， 故答案为3． （2）当t＝18时，旋转角为90°，如图： ∵∠DCE＝30°，∠ACB＝45°， ∴∠ACD＝60°，∠BCD＝60°﹣45°＝15°． （3）当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时，有3种情况： ①当AB∥DE时，如图： 此时，BC与CD重合， t＝（30+40）÷5＝15， ②当AB∥CE时，如图： ∵AB∥CE， ∴∠BCE＝∠B＝90°， ∴∠ACE＝90°+45°＝135°， ∴t＝135÷5＝27， ③当AB∥CD时，如图： ∵AB∥CD， ∴∠BCD＝∠D＝90°， ∴∠ACE＝30°+90°+45°＝165°， ∴t＝165÷3＝33． 综上所述，t＝15或27或33． 【点评】本题考查旋转的性质，角平分线的性质，平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论． 题型三 实际问题中抽象出平行线模型求角度 1．如图，万岁山大宋武侠城的两条小路AB∥CD，则∠BAE+∠AEC+∠ECD＝（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【分析】作辅助线EF∥AB，然后根据平行线的性质，可以得到∠BAE+∠AEC+∠ECD的度数． 【解答】解：过点E作EF∥AB，如图： ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠FEC+∠ECD＝180°， ∵∠AEF+∠FEC＝∠AEC， ∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°， 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质，明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝18°，∠FED＝56°，则∠GFH的度数为（　　） A．34° B．36° C．38° D．56° 【分析】由平行线的性质推出∠BFG二∠FED＝56°，即可求出∠GFH的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BFG＝∠FED＝56°， ∵∠HFB＝18°， ∴∠GFH＝∠BFG﹣∠HFB＝38°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BFG＝∠FED． 3．（2024秋•即墨区期末）生活中的椅子一般依据人体工学原理设计，如图为生活中一把椅子的侧面图，从人体脊柱的形势而言，当靠背角度∠DEF＝115°时，能产生较为接近自然腰部的形状，此时最舒适．已知DE与地面平行，支撑杆BD与地面夹角∠ABD＝50°，则制作时用螺丝固定时支撑杆BD和AF需构成夹角∠ACB为（　　） A．70° B．65° C．60° D．50° 【分析】先求出∠DEC的度数，再求出∠CAB的度数，最后求出∠ACB的度数． 【解答】解：∵∠DEF＝115°， ∴∠DEC＝180°﹣∠DEF＝65°， ∵DE∥AB， ∴∠CAB＝∠DEC＝65°， ∵∠ABD＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABD﹣∠CAB＝65°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质． 4．当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若∠1＝110°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【分析】根据题意可得：AB∥CE，然后利用平行线的性质可得∠ACE＝70°，再利用两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠ACE＝70°，即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：AB∥CE， ∴∠1+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝180°﹣∠1＝70°， ∵AC∥BE， ∴∠2＝∠ACE＝70°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（2024秋•即墨区期末）图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面1平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝57°，AM与CB平行，则∠MAC为（　　） A．55° B．57° C．68° D．125° 【分析】根据平行得到∠BAC+∠ACD＝180°，进而求出∠ACD的度数，∠ACD﹣∠BCD求出∠ACB的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果． 【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行， ∴AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣57°＝123°， ∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝123°﹣68°＝55°， ∵AM∥CB， ∴∠MAC＝∠ACB＝55°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 6．（2024•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF． 【解答】解：如图，过点F作FM∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥FM， ∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°， ∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°． ∵CG∥EF， ∴∠EFA＝∠AGC＝80°． ∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°． ∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 7．（2024秋•鹿寨县期末）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD＝　 ． 【分析】过点B作BF∥AE，如图，由于CD∥AE，则BF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，所以∠ABF＝90°，于是有∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝270°． 【解答】解：过点B作BF∥AE，如图： ∵CD∥AE， ∴BF∥CD， ∴∠BCD+∠CBF＝180°， ∵AB⊥AE， ∴AB⊥BF， ∴∠ABF＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°． 故答案为：270°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 8．（2024秋•鼓楼区校级期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 　 ． 【分析】过∠2顶点做直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解． 【解答】解：过∠2顶点做直线l∥支撑平台， ∴l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°， ∴∠4+∠5+∠3＝30°+180°＝210°， ∵∠4+∠5＝∠2， ∴∠2+∠3＝210°． 故答案为：210°． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 9．乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是 　 ． 【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE． 【解答】解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥CD，∠BAE＝92°， ∴∠CFE＝92°， 又∵∠DCE＝121°， ∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣92°＝29°． 故答案为：29°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 10．（2024秋•鹰潭期末）生活现象 如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成． 数学模型 如图2，是杆秤的示意图，AC∥BD，经测量发现∠A＝104°，∠BOE＝76°，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由． 【分析】由AC∥BD可得∠A+∠ABD＝180°，进而得出∠ABD＝76°，再根据内错角相等，两直线平行可得答案． 【解答】解：OE∥BD，理由如下： ∵AC∥BD， ∴∠A+∠ABD＝180°， ∴∠ABD＝180°﹣104°＝76°， ∴∠ABD＝∠BOE， ∴OE∥BD． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握这些判定和性质解题的关键． 11．（2024秋•广州期中）在如图所示的螳螂示意图中，AB∥DE，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，求∠BCD的度数． 【分析】延长ED交BC于D，交AC于点F，根据平行线的性质得∠CGF＝∠ABC＝124°，利用邻补角的定义求出∠CDG＝108°，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：延长ED交BC于D，交AC于点F， ∵AB∥DE，∠ABC＝124°， ∴∠CGF＝∠ABC＝124°， ∵∠CDE＝72°， ∴∠CDG＝180°﹣∠CDE＝180°﹣72°＝108°， 又∵∠CGF＝∠GCD+∠CDG， ∴∠GCD＝∠CGF﹣∠CDG＝124°﹣108°＝16°， ∴∠BCD＝16°． 故答案为：16°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． 12．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即AB∥CD．活动小组在探索∠APD与∠A，∠D的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使∠A＝∠D时，瞄准最准确．现测得∠A＝160°，∠APD＝40°，判断此时瞄准是否最准确，请说明理由． 【分析】如图所示，过点P作PQ∥AB，利用平行线的性质得到∠APQ＝180°﹣∠A＝20°，∠D＝180°﹣∠DPQ，在求出∠DPQ的度数即可得到答案． 【解答】解：此时瞄准最准确．如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠APQ＝180°﹣∠A＝20°，∠D＝180°﹣∠DPQ， ∵∠APD＝40°， ∴∠DPQ＝∠APD﹣∠APQ＝20° ∴∠D＝160°， 此时瞄准最准确． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型四 折叠问题中求角度 1．（2024秋•天元区期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFC＝125°，则∠1＝（　　） A．35° B．55° C．70° D．65° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠DEF+∠EFC＝180°，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算，即可求出∠1． 【解答】解：∵长方形对边AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC＝180°， ∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣125°＝55°， 由翻折的性质得：∠DEF＝∠MEF＝55°， ∴∠1＝180°﹣55°×2＝70°， 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 2．如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（　　） A．58° B．64° C．72° D．60° 【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠1＝58°， 由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°， ∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°； 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键． 3．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠1＝115°，则图中∠2的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【分析】由邻补角概念和翻折变换性质得出∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，据此知∠CFB′＝50°，结合∠B＝∠B′＝90°知∠2＝90°﹣∠CFB′，从而得出答案． 【解答】解：∵∠1＝115°， ∴∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°， ∴∠CFB′＝50°， 又∵∠B＝∠B′＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠CFB′＝40°， 故选：A． 【点评】本题主要考查翻折变换的性质，解题的关键是掌握翻折变换的对应边、对应角相等的性质及直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质． 4．如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为C'、D'．若∠DEF＝α，用含α的式子可以将∠C'FG表示为（　　） A．2α B．90°+α C．180°﹣α D．180°﹣2α 【分析】由折叠的性质可得：∠DEG＝2α，C'F∥D'E，由AD∥BC可得∠D'GF＝∠DEG＝2α，从而有∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，即可得出结果． 【解答】解：由长方形纸带ABCD及折叠性质可得：∠D'EF＝∠DEF＝α，C'F∥D'E， ∴∠DEG＝2∠DEF＝2α，∠C'FG＝180°﹣∠D'GF， ∵AD∥BC， ∴∠D'GF＝∠DEG＝2α， ∴∠C'FG＝180°﹣2α． 故选：D． 【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记折叠的性质． 5．（2024秋•襄汾县期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　 　． 【分析】先根据平行线的性质求得∠DEF的度数，再根据折叠求得∠DEG的度数，最后计算∠AEG的大小． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠GFE＝56°， 由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°， ∴∠DEG＝112°， ∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°． 故答案为：68° 【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了平行线的性质，解题时注意：矩形的对边平行，且折叠时对应角相等． 6．（2024秋•宛城区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠BGO＝　 　度． 【分析】设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x，根据平角的定义解出x，由矩形的性质进而可以得出∠BGO的度数． 【解答】解：∵∠AOD'：∠D'OG＝4：3， 设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x， 由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x∵∠AOD'+∠D'OG+∠DOG＝180°， 即10x＝180°， 解得x＝18°， ∵AD∥BC， ∴∠BGO＝∠DOG＝3x＝54°， 故答案为：54． 【点评】本题考查了折叠的性质和平角的等于180°，解题关键是发现图中折叠前后重合的角相等． 7．（2024秋•萍乡期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　 　°． 【分析】根据平行线的性质得到∠BDE＝∠B＝40°，根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ADC，根据平角的定义可得∠ADB+∠ADC＝180°，由此可以求出∠ADC的度数即可得到答案． 【解答】解：∵DE∥AB，∠B＝40°， ∴∠BDE＝40°， 由折叠的性质得∠ADE＝∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC＝180°，∠ADB＝∠ADE﹣∠BDE＝∠ADC﹣40°， ∴∠ADC﹣40°+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝110°， ∴∠ADE＝∠ADC＝110°． 故答案为：110． 【点评】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键． 8．（2024秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为 　 　°． 【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数． 【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°， ∴∠ADE＝50°， 又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处， ∴∠ADE＝∠EDF＝50°， ∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 故答案为：80°． 【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键． 9．（2024秋•丹徒区期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠EFC＝30°，则∠DAE等于 　 　． 【分析】由长方形的性质得出∠D＝90°，AD∥BC，再由折叠的性质得出∠DAE＝∠FAE，∠AFE＝∠D＝90°，结合已知∠EFC＝30°即可求出∠AFB的度数，从而求出∠DAE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴∠D＝90°，AD∥BC， 由折叠得，∠DAE＝∠FAE，∠AFE＝∠D＝90°， ∵∠EFC＝30°， ∴∠AFB＝180°﹣∠AFE﹣∠EFC＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， 即60°＝2∠DAE， ∴∠DAE＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了平行线的性质，长方形的性质，折叠的性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键． 10．（2024秋•泉州期末）如图，四边形ABCD是一条两边互相平行的纸带，将其沿着EG折叠，使得点B，C分别落在点H，I处，EH与DG相交于点F，若∠EGF＝56°，求∠EFD的度数． 【分析】利用平行线的性质可得∠BEG＝∠EGD＝56°，再利用折叠的性质可得：∠BEF＝2∠BEG＝112°，然后利用平行线的性质可得∠BEF＝∠EFD＝112°，即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEG＝∠EGD＝56°， 由折叠得：∠BEF＝2∠BEG＝112°， ∵AB∥CD， ∴∠BEF＝∠EFD＝112°， ∴∠EFD的度数为112°． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 11．在图中，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3． （1）若在图1中，∠DEF＝20°，则图3中∠C2FE的度数是多少？ （2）若∠DEF＝α，请用α表示图3中的∠C2FE的度数． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CFE＝160°，根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE＝∠DEF，然后求出∠BFC1，再根据翻折的性质可得∠CFE＝∠EFC1，∠C2FB+∠BFC1，即可得解； （2）同（1）的方法求解即可． 【解答】解：（1）∵矩形对边AD∥BC， ∴CF∥DE， ∴∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°， ∵AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝20°， 由翻折的性质得，∠CFE＝∠EFC1， ∴∠BFC1＝160°﹣20°＝140°， 由翻折的性质得，∠C2FB+∠BFC1， 所以，∠C2FE＝140°﹣20°＝120°； （2）∵矩形对边AD∥BC， ∴CF∥DE， ∴∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣α， ∵AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝α， 由翻折的性质得，∠CFE＝∠EFC1， ∴∠BFC1＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α， 由翻折的性质得，∠C2FB+∠BFC1， 所以，∠C2FE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α． 【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键． 12．（2024秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置． （1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数． （2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数． （3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）． 【分析】（1）根据折叠得到∠BGH＝∠EGH＝110°，再根据平角的定义，利用∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°计算可得； （2）根据折叠得到∠CHG＝∠FHG，再根据平角的定义计算即可； （3）根据互补得到∠BGH+∠CHG＝180°，从而求出∠CHG＝∠FHG＝180°﹣α，分情况继而可得结果． 【解答】解：（1）由折叠可得：∠BGH＝∠EGH＝110°， ∵∠BGH+∠AGH＝180°， ∴∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°＝40°； （2）由折叠可得：∠CHG＝∠FHG， ∴； （3）情况一：∵∠BGH和∠CHG始终互补， ∴∠BGH+∠CHG＝180°， ∵∠BGH＝α， ∴∠CHG＝180°﹣α， ∴∠FHG＝180°﹣α， ∴∠FHC＝∠FHG+∠CHG＝360°﹣2α． 情况二：由第一种情况可知：∠1＝360°﹣2α， ∴∠FHC＝360°﹣（360°﹣2α）＝2α． 【点评】本题考查了折叠的性质，平角的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$