精品解析：陕西省西安市经开第一学校2024-2025学年上学期八年级期中数学试题

2024-2025学年第一学期期中学情调研 八年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列是无理数的是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知点，点，且直线轴，则a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 点（﹣2，6）在正比例函数y＝kx图象上，下列各点在此函数图象上的是（　　） A. （3，1） B. （﹣3，1） C. （1，3） D. （﹣1，3） 5. 下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A. a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B. a：b：c＝5：12：13 C. ∠A+∠B＝∠C D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 6. 一次函数的图象向下平移2个单位长度后，与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，则以下对a的估算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方形中，，E为边上一点，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点A的对应点为点，当落在边上时，的长为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如图．，两地之间的路程为4500米，甲乙两人骑车都从地出发，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，乙在，之间的地追赶上甲，当乙追赶上甲后，乙立即返回地，甲继续往地前行．甲到达地后停止骑行，乙骑行到达地时也停止（乙在地掉头时间忽略不计），在整个骑行过程中，甲和乙都保持各自速度匀速骑行，甲乙两人相距的路程（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） ①甲的速度为150米/分 ②乙的速度为240米/分 ③图中点的坐标为 ④乙到达地时，甲与地相距900米 A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④ 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 若在轴上，则_______． 12. “凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格图中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点 C的坐标为______． 13. 已知点都在直线上，那么_________（填“>”“<”或“=”）． 14. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ___________． 15. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 16. 如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 __________________． 三、解答题（共9小题，应写出必要的解答过程，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3） （4）． 18. 在数轴上作出表示的点． 19. 如图，有一四边形纸片，，测得，，，，求这张纸片的面积． 20. 已知的算术平方根是1，的平方根是，是的立方根，求的平方根． 21. 如图所示，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 23. 我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x＋8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求AB的长和点C的坐标； (2)求直线CD的表达式． 25. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒． （1）当点经过点时，求直线的函数解析式； （2）求的面积关于的函数解析式； （3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中学情调研 八年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列是无理数的是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，掌握无理数是无限不循环小数成为解题的关键． 根据无理数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A． 4是有理数，不符合题意； B． 是有理数，不符合题意； C． 是无理数，符合题意； D． 是有理数，不符合题意． 故选C． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】点（1，-5）所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】此题考查点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3. 已知点，点，且直线轴，则a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解答的关键．根据轴得到，解方程求解即可． 【详解】解：∵点，点，且直线轴， ∴， 解得， 故选：A． 4. 点（﹣2，6）在正比例函数y＝kx图象上，下列各点在此函数图象上的是（　　） A. （3，1） B. （﹣3，1） C. （1，3） D. （﹣1，3） 【答案】D 【解析】 【分析】把点（﹣2，6）代入正比例函数y＝kx可求得k，再把选项中所给点的坐标代入进行判断即可． 【详解】解：将点（-2，6）代入正比例函数：y=kx得：6=-2k， 解得：k=-3， 故函数的表达式为：y=-3x， 当x=1时，y=-3，当x=3时，y=-9，当x=-3时，y=9，当x=-1时，y=3． 故选D． 【点睛】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知正比例函数图象上点的坐标特点． 5. 下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A. a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B. a：b：c＝5：12：13 C. ∠A+∠B＝∠C D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和，直角三角形两个锐角互余，逐项分析即可 【详解】A.， ， 故该选项能判断△ABC为直角三角形，符合题意； B. a：b：c＝5：12：13，设， 则， ， 故该选项能判断△ABC为直角三角形，符合题意； C. ∠A+∠B＝∠C，， 故该选项能判断△ABC为直角三角形，符合题意； D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 设， ， 解得 故该选项不能判断△ABC为直角三角形，不符合题意； 故选ABC 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和是解题的关键． 6. 一次函数的图象向下平移2个单位长度后，与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减”的原则写出新直线解析式，由解析式求得平移后的图象与y轴交点的坐标． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为． 令，则， 即平移后的图象与y轴交点的坐标为． 故选：B． 7. 已知实数，则以下对a的估算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解决问题的关键． 先估算出的取值范围，据此得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，两者一致即为正确答案，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，正比例函数的图象经过第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，正比例函数的图象经过第二、四象限，选项的图象符合要求； 故选：． 9. 如图，在长方形中，，E为边上一点，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点A的对应点为点，当落在边上时，的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，，再由勾股定理求得，得，最后由列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中， ，，， ，，，, 将沿折叠，点的对应点为点， ，, 在中，， ∴, ，且 ∴. 解得. 故选：C 10. 如图．，两地之间的路程为4500米，甲乙两人骑车都从地出发，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，乙在，之间的地追赶上甲，当乙追赶上甲后，乙立即返回地，甲继续往地前行．甲到达地后停止骑行，乙骑行到达地时也停止（乙在地掉头时间忽略不计），在整个骑行过程中，甲和乙都保持各自速度匀速骑行，甲乙两人相距的路程（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） ①甲的速度为150米/分 ②乙的速度为240米/分 ③图中点的坐标为 ④乙到达地时，甲与地相距900米 A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和函数图象可以得到甲、乙的速度，从而可以求得乙到达A地时，甲与B地相距的路程，据此求解即可判断． 【详解】解：由图象可得， 甲的速度为：900÷6=150（米/分），故①正确； 乙的速度为：150×15÷（15-6）=250（米/分），故②不正确； 乙骑行到A地时，甲骑车用的时间为：15+（15-6）=24（分）， 则乙到达A地时，甲与B地相距的路程是：4500-150×24=900（米），故④正确； 4500-900=3600，则M(24，3600)，故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 若在轴上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记轴上的点的纵坐标为是解题的关键． 根据x轴上的点的纵坐标为列式计算即可得解． 【详解】解：∵在轴上， ∴， 解得， 故答案为：． 12. “凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格图中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点 C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，画出直角坐标线是解题的关键．根据已知坐标建立平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据点，建立直角坐标系， 故， 故答案为：． 13. 已知点都在直线上，那么_________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题关键是掌握当自变量的系数为负数时，y随x的增大而减小，本题依此求解即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故答案为：． 14. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故答案为：． 15. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 16. 如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，等腰直角三角形，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出的周长最小时、的位置． 延长，截取，连接，延长，过点，作于点，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出当、、、在同一直线上时，的周长最小，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长，截取，连接，延长，过点，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，且此时的周长等于的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，应写出必要的解答过程，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法，再约分即可； （2）先化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简，然后合并同类二次根式即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 18. 在数轴上作出表示的点． 【答案】 结合勾股定理作图如下，点即表示的点； 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理再利用尺规作图即可求解； 【详解】解： 19. 如图，有一四边形纸片，，测得，，，，求这张纸片的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ． ， ， 四边形纸片的面积 ． 所以这张纸片的面积为． 20. 已知的算术平方根是1，的平方根是，是的立方根，求的平方根． 【答案】的平方根是 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义求出的值，进而即可求出答案． 【详解】解：的算术平方根是1， ， ， 的平方根是， ， ， 是的立方根， ， ， 的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义和性质，解题的关键是熟练掌握其基本知识，属于中考常考题型． 21. 如图所示，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？ 【答案】向外滑了13米 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理在实际生活中的运用，理解题目中云梯的长度不变，正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，运用勾股定理求出的长，再求的长，然后利用勾股定理即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，米， ∴（米）， 在直角中，米， ∴米， ∴向外滑了米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接各点，根据点所在坐标系中的位置写出其坐标即可； （2）利用三个点所在正方形的面积减去三个点所在三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 23. 我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ 【答案】（1）， （2）选择方案甲更省钱 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意建立函数解析式是关键． （1）根据所给优惠方案分别计算对应的函数关系式即可； （2）根据（1）中解析式，求出当时，两个函数的函数值，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意，得， ； 【小问2详解】 解：当时， （元）， （元）， ， ∴选择方案甲更省钱． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x＋8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求AB的长和点C的坐标； (2)求直线CD的表达式． 【答案】（1）AB的长10；点C的坐标为（16，0）；（2）直线CD的解析式． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数与直线的交点，求得的坐标，进而求得，根据勾股定理即可求得的长，根据折叠的性质可知，从而求得，即可求得点的坐标； （2）设点，则，在中，根据勾股定理求得的值，进而求得点的坐标，结合（1）中点的坐标，待定系数法求解析式即可． 【详解】解：（1）当x=0时，， B点的坐标为（0，8）， OB=8， 当y=0,则，解得x=6， A点的坐标为（6，0）， OA=6， AB =， 折叠， ， ， ， （2）设点，则， 在中， ， 即， 解得， ， 设直线 的解析式为， 则， 解得． 直线 的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，折叠；待定系数法求一次函数的解析式，熟悉勾股定理的内容，熟悉折叠的性质，是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒． （1）当点经过点时，求直线的函数解析式； （2）求的面积关于的函数解析式； （3）点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先利用长方形的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法求的函数解析式； （2）分点P在上和点P在上两种情况，根据三角形面积公式列分段函数； （3）分，，三种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质分别求解． 【小问1详解】 解：长方形的顶点分别在轴与轴上，， ，，， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当点P在上时，，即， ，边上高为6， ； 当点P在上时，，即， ，边上高为， ， 的面积关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：存在，， 满足条件的点在上， 若为等腰三角形，分三种情况考虑： 当时， 在中，，， ， ， ； 当时，过点P作于点Q， ， ， ； 当时，过点D作于点E， 在中，， ， ， ， 综上可知，满足条件的P点坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，化为最简二次根式等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $