辽宁省大连市中山区2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年辽宁省大连市中山区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1．下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．观察如图中尺规作图的痕迹，在中，线段BD一定是（ ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角在边OA、OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，就可以知道射线OC是的角平分线．依据的数学基本事实是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 4．如图，，添加一个条件，不能直接证明的是（ ） A． B． C． D． 5．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 7．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知点P在的平分线OC上，于点F，于点E，若，则PF的长为（ ） A．3 B．2 C．1 D．4 9．如图，在中，，DE垂直平分AB交BC于点D．若的周长为，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，AD与BC交于点O，和关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．计算的结果为________． 12．计算：_________． 13．已知，则________． 14．如图，在和中，，则_______°． 15．如图，在中，，则BC的长度为_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题10分）计算：（1）；（2）． 17．（本小题6分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）直接写出的坐标 18．（本小题7分）如图，D在AB上，E在AC上，，求证：． 19．（本小题8分）如图，是的外角，． （1）请作出的角平分线AD；（要求、尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 20．（本小题9分）阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型，直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则AB与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 图1 图2 图3 图4 图5 如图3，为了证明点C的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，证明即可． （1）请完成图3中的证明： （2）如图4，在等边中，E是AB中点，AD是的平分线，P是AD上的动点．若，则的最小值是_____； （3）如图5，在中，，AD平分，分别在AD，AC上取点M，N，连接CM，MN，则的最小值是______． 21．（本小题10分）定义：多项式A化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式A，B，C满足．如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”． （1）若均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”?请判断并说明理由； （2）若均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 22．（本小题13分）如图1，在中，，点D在AC上，点E在BC延长线上，． 图1 图2 图3 （1）求证：； （2）如图2，过点A作，交ED延长线于点F，若．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长AF交EB延长线于点H，若．求HC的长度． 23．（本小题12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到． 进而得到______，_______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． 图1 图2 图3 【模型应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点且，连接BD．求的度数； 【模型拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，若点E坐标为，点F在直线BD上，点G在x轴上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点G的坐标． 答案和解析 1．【答案】A 【解析】解：选项A的交通标志能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B、C、D的交通标志均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：A． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案． 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴． 2．【答案】B 【解析】解：由作图可知，故线段BD是的高． 故选：B． 根据作图痕迹判断出线段BD是三角形ABC的高即可． 本题考查作图复杂作图，解题的关键是读懂图象信息． 3．【答案】D 【解析】解：由图可知，， 在和中， ∴， ∴， ∴射线OC是的角平分线． 因此依据的数学基本事实是：三边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 由三边对应相等得，再根据全等三角形对应角相等得出，即可判断． 本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 4．【答案】D 【解析】解：由得到，即， A、添加，能得到，故本选项不符合题意； B、添加，能得到，故本选项不符合题意； C、添加，能得到，故本选项不符合题意； D、添加，不能得到，故本选项符合题意； 故选：D． 利用全等三角形的判定方法，结合图形和条件，逐一判断即可 本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 5．【答案】C 【解析】【分析】 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【解答】 解：①当这个角是顶角时，底角； ②当这个角是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故选：C． 6．【答案】C 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 根据合并同类项、单项式乘单项式、零指数幂及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可． 本题主要考查合并同类项、单项式乘单项式、零指数幂及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7．【答案】D 【解析】解：长方形的面积为． 故选：D． 根据单项式乘多项式法则求解即可． 本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 8．【答案】A 【解析】解：∵点P在的平分线OC上，， ∴，∵，∴， 故选：A． 根据角平分线性质得出，代入求出即可． 本题考查了角平分线性质的应用，注意；角平分线上的点到角两边的距离相等． 9．【答案】B 【解析】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴， ∵的周长为， 即， 故选：B． 根据线段垂直平分线得出，进而利用三角形的周长解答即可． 此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出解答． 10．【答案】A 【解析】解：如图，连接AC、BD， ∵和关于直线PQ对称， ∴，∴， 故B、C、D选项正确， AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确， 故选：A． 根据和关于直线PQ对称得出，然后逐项判断即可． 本题考查轴对称的性质，关于某条直线对称的两个三角形全等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 11．【答案】 【解析】解： 故答案为：． 根据同底数幂的除法法则进行解题即可． 本题考查同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 利用平方差公式计算即可求得答案． 本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 13．【答案】 【解析】解：∵， ∴； 故答案为：． 原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值． 本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 14．【答案】110 【解析】解：在和中， ∴， ∴，∵，∴， 故答案为：110． 证明，由全等三角形的性质得出 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 15．【答案】9 【解析】解：如图，在中，， ∴，∴ 又∵，∴， ∴，∴． 故答案为：9． 根据等腰三角形的性质和判断方法进行计算即可． 本题考查等腰三角形的判定和形状，掌握等腰三角形的判定和性质是正确解答的关键． 16．【答案】解：（1）原式： （2）． 【解析】（1）根据单项式乘单项式的运算法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 本题考查了单项式乘单项式的运算，多项式乘多项式的运算，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 17．【答案】解：（1）如图所示，即为所求； （2）点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为． 【解析】（1）依据轴对称的性质，即可得到关于y轴对称的； （2）依据各顶点的位置，即可得到点的坐标． 本题主要考查了作图-轴对称变换作图，解答本题的关键是运用轴对称的性质得到对称点的位置． 18．【答案】解：在与中， ∴， ∴． 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角． 根据全等三角形的判定定理ASA可以证得，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论． 19．【答案】（1）解：如图，射线AD即为所求． （2）证明：∵， ∴，∴． ∵AD为的平分线，∴， ∴，∴，∴． 【解析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）由等腰三角形的性质可得，则．根据角平分线的定义可得 ，则，即可得，再根据平行线的判定可得． 本题考查作图-基本作图、平行线的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．【答案】4 4.8 【解析】（1）证明：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，∴， 在中，∵， ∴，即的值最小： （2）解：∵AD是的平分线， ∴可在AC上找到点E关于直线AD对称的对称点， 作出点，连接，则， 过点B作，如图， 由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直AC时，有最小值，即的 最小值是BF的长度， ∵等边三角形每条边上的高相等， ∴的最小值为， 故答案为：4； （3）解：取点N关于AD的对称点E． ∵AD平分，∴点E在AB上．∵点N与点E关于AD对称， ∴．∴． 当时，CE有最小值，即有最小值． ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：4.8． （1）根据轴对称的性质和三角形的三边关系即可得到结论； （2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解： （3）取点N关于AD的对称点E，由轴对称图形的性质可知，从而得到 ，当点C、M、E在一条直线上且时，有最小值，然后证 明为直角三角形，最后利用面积法求得CE的值即可． 本题几何变换综合题，主要考查轴对称-最短路径问题，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． 21．【答案】解：（1）∵ ， ∴，∵，∴， ∴， ∵， ∴B是A的“好多项式”： （2）∵ ， 当时，∴，∴， 当时，∵，∴． 【解析】（1）根据“好多项式”的定义判断即可： （2）根据“极好多项式”的定义列式计算即可． 本题考查了单项式乘单项式，完全平方公式，正确地理解新定义是解题的关键． 22．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，∴． （2）证明：如图2，在BC上截取，连接DM，∵， ∴，∵， ∴， ∵，∴， ∴是等边三角形，∴， ∴是等边三角形，∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，∵， ∴，∴． （3）解：如图3，延长DF至点L，使，连接BL， ∵，∴，∵， ∴，∴， 在和中，， ∴， ∴，∴， ∵，∴， 在和中， ∴，∴， ∵， ∴，∴， ∴HC的长度为11． 【解析】（1）由，得， 则，即可证明； （2）在BC上截取，连接DM，由，得，因为 ，所以， 则是等边三角形，再证明是等边三角形，进而证明，得，推 导出，所以； （3）延长DF至点L，使，连接BL，由，得，推导出 ，再证明，则，再推导出 ，进而证明，得，求，求得 ，则． 此题重点考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 23．【答案】DE；AE 【解析】解：（1）∵， ∴，在和中， ∴ ∴， 故答案为：DE；AE； （2）如图2，过点D作于点H， 图2 ∴，∵，∴， ∴，∵， ∴，∴， 在和中， ∴， ∴，∵， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∵， ∴， 即； （3）分三种情况：①当时，如图3，过点F作轴于M， ∵， ∴是等腰直角三角形，∴， 同理得：， ∴， ∴，∴，∴； ②当时，如图4，过点F作轴于P， ∵，∴ 同理得：， ∴， ∴∴，∴： 同题：如图5，． ∴，∴； ③当时，如图6，过点F作轴于Q．过点E作于H， 同理得：， ∴， ∴，∴，∴， ∵， ∴， ∴，∴． 综上，点G的坐标为或或或． （1）根据全等三角形的性质可得结论： （2）如图2，过点D作于点H，证明，则， 后证明是等腰直角三角形，从而可解答此题： （3）分三种情况讨论：①当时，如图3，过点F作轴于M；②当时， 如图4，过点F作轴于P；③当时，如图6，过点F作轴于Q，过点E作 于H，证明三角形全等，同理可得结论． 本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$