2025年上海市崇明区中考数学一模试卷

2025年上海市崇明区中考数学一模试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于(    ) A. B. C. D. 2.在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值(    ) A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 大小不变 D. 不能确定 3.如果抛物线的顶点是它的最高点，那么m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知直线l上三点A、B、C，且，下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是(    ) A. B. C. D. 6.二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ①；②；③；④当时， 其中所有正确结论的序号是(    ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.如果，那么的值为______. 8.计算：______. 9.如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是______. 10.已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么______用含向量式子表示 11.已知线段，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长线段______. 12.如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积之比是______. 13.如图，，AE：：2，，那么BD的长等于______. 14.点D、E分别在的边AB、AC上，如果，那么______时， 15.已知点、都在抛物线的图象上，那么与的大小关系是______填“>”、“<”或“=” 16.如图，长方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上.已知的边BC长120cm，高AH为40cm，且长方形DEFG的长DG是宽DE的2倍，那么DE的长度是______ 17.如图，在中，点G是重心，过点G作，交BC于点D，联结CG，如果，那么______. 18.四边形ABCD中，，，，，，将AB沿过点A的一条直线折叠，点B的对称点落在四边形ABCD的对角线上，折痕交边BC于点点P不与点B重合，那么PC长为______. 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题10分 计算： 20.本小题10分 已知抛物线的顶点为P，与y轴相交于点 求点P、Q的坐标； 将该二次函数图象向上平移，使平移后所得图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为M，求的值. 21.本小题10分 如图，四边形ABCD中，，AC与BD相交于点C，，， 求CO的长； 设，，试用、表示 22.本小题10分 九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面AB的中点C处竖直上升20米到达D处，测得实验楼顶部E的俯角为，综合楼顶部F的俯角为，已知实验楼BE高度为8米，且图中点A、B、C、D、E、F在同一平面内，求综合楼AF的高度. 参考数据：，，，，，，精确到米 23.本小题12分 如图，在中，AD是边BC上的中线，点E在AD上不与A、D重合，联结BE、CE，并延长CE交AB于点F， 求证：∽； 当时，求证： 24.本小题12分 已知在直角坐标平面xOy中，抛物线经过点、、三点. 求该抛物线的表达式； 点P是抛物线在第一象限内的动点，点P的横坐标为 ①如果是以PC为斜边的直角三角形，求m的值； ②在y轴正半轴上存在点H，当线段PH绕点H逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点Q重合，此时点Q的横坐标为，求的值. 25.本小题14分 已知中，，，，，垂足为D，点F是线段CD上一点不与C、D重合，过点B作交AF的延长线于点E，AE与BC交于点H，联结 求证：； 当时，求CE的长； 当是等腰三角形时，求CH的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：， ， 故选： 坡度=坡角的正切值，据此直接解答． 此题考查的是坡度和坡角的关系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡． 2.【答案】C  【解析】解：在锐角中，如果各边长都缩小为原来的， 那么每个角的大小都不变， 则的正弦值不变， 故选： 锐角三角函数值只与角的大小有关系，据此进行判断即可． 本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：抛物线的顶点是它的最高点， 抛物线图象的开口向下， ， ， 故选： 根据题意，得到抛物线图象的开口向下，则抛物线解析式二次项系数小于0，从而得到结果． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：如图， ， 点B是AC的中点， 故选： 根据题意画出图形判断即可． 本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，正确画出图形． 5.【答案】A  【解析】解：在三角形纸片ABC中，，， A、，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项不符合题意； C、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项不符合题意； D、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项不符合题意； 故选： 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：二次函数的图象与y轴的正半轴相交， ， 故结论①正确，符合题意； 二次函数的对称轴在y轴的左侧， ， 故结论②正确，符合题意； 当时，， ， 故结论③不正确，不符合题意； 当时，函数图象位于x轴的上方， 当时，， 故结论④正确，符合题意． 正确的结论为①②④． 故选： 根据二次函数图象与x轴的交点，与y轴的交点，对称轴，逐一对各结论进行判断，即可得到结果． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7.【答案】2  【解析】解：， ， 故答案为： 根据比例的性质进行计算，即可解答． 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：原式 去括号合并同类向量即可． 本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则． 9.【答案】  【解析】解：由题知， 将抛物线向左平移3个单位后， 所得抛物线的表达式为 故答案为： 根据“左加右减”的平移法则即可解决问题． 本题主要考查了二次函数图象及几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：与单位向量方向相反，且长度为5，那么 故答案为： 根据单位向量的意义解决问题即可． 本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11.【答案】  【解析】解：由题知， 因为点P是线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段， 所以 又因为， 所以 故答案为： 根据黄金分割的定义进行计算即可． 本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 12.【答案】1：4  【解析】解：两个相似三角形的相似比是1：2， 故答案为：1： 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出． 本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单． 13.【答案】10  【解析】解：， ：： ，AE：：2，， ， 故答案为： 根据平行线分线段成比例进行计算即可． 本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：，， ∽， ， ， 由，可推导出，从而证明∽，进而证明， 故答案为： 由，证明∽，得，则，所以由可推导出，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明∽，推得，进而推导出是解题的关键． 15.【答案】>  【解析】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 点、都在抛物线的图象上， ， 故答案为： 根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要熟悉二次函数的性质及二次函数的图象． 16.【答案】24  【解析】解：设AH交DG于点L， 长方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上， ，， 是的高， ， ， ，四边形DEHL是矩形， ， ， ∽， ， ，，， ， ， 解得， 的长度是24cm， 故答案为： 设AH交DG于点L，由长方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上，AH是的高，得，则，四边形DEHL是矩形，所以，可证明∽，得，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 17.【答案】18  【解析】解：连接BG并延长，交AC于点M， 点G是的重心， 点M为AC的中点，且BG：： ， ：：： ， ， ， ， ， 故答案为： 连接BG并延长，交AC于点M，根据重心的性质得出BG：：1，进而得出BD：CD，再结合的面积可求出的面积，最后再求出的面积，据此可解决问题． 本题主要考查了三角形的重心及平行线分线段成比例，熟知三角形重心的性质及平行线分线段成比例是解题的关键． 18.【答案】或  【解析】解：如图，当点B的对称点落在对角线AC上时， 由折叠可得，，，， ， ，，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ； 如图，当点B的对称点落在对角线BD上时，设AP与BD相交于点G， 由折叠可得，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∽， 即， ， ； 综上，PC长为或， 故答案为：或 分点B的对称点落在对角线AC上和落在对角线BD上两种情况，分别画出图形解答即可求解． 本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 19.【答案】解：   【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20.【答案】解：， 顶点P的坐标为， 当时，， 点的坐标为； 抛物线与y轴的交点Q的坐标为， 把抛物线向上平移3个单位经过坐标原点， 平移后的抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ， ，   【解析】先利用配方法把一般式配成顶点式得到，则根据二次函数的性质得到P点坐标，然后计算自变量为0所对应的函数值得到Q点的坐标； 把抛物线向上平移3个单位经过坐标原点，则平移后的抛物线解析式为，再解方程得，接着计算出MQ的长，然后根据正弦的定义求解． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和解直角三角形． 21.【答案】解：， ， ， ； ， 又，   【解析】利用平行线分线段成比例定理求解； 求出，再根据可得结论． 本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则． 22.【答案】解：如图：延长BE交DG于点N，延长AF交DG于点M， 由题意得：，，，，米， 米， 米， 在中，， 米， 点C是AB的中点， ， 米， 在中，， 米， 米， 综合楼AF的高度约为米．  【解析】延长BE交DG于点N，延长AF交DG于点M，根据题意可得：，，，，米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出DN的长，再根据线段中点的定义可得，从而可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23.【答案】证明：是边BC上的中线， ， ，， ∽， ， ， ， ∽ ∽， ， ， ，即， ， ∽， ， ，， ， ，   【解析】由AD是边BC上的中线，得，由，，证明∽，得，所以，因为，所以∽； 由∽，得，而，所以，因为，所以∽，则，由，，得，则，所以 此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明∽及∽是解题的关键． 24.【答案】解：由题意得：， 则，则， 即； ①设点， 由点P、A、C的坐标得，，，， 如果是以PC为斜边的直角三角形，则， 即， 解得：不合题意的值已舍去； ②设点，点，点， 将直线PH平移到点O，则此时，点， 将点线段绕点O逆时针方向旋转时得到点，将点向上平移t个单位得到的点为， 该点即为点Q，即且， 整理得：， 即  【解析】由待定系数法即可求解； ①由，即，即可求解； ②将直线PH平移到点O，则此时，点，将点线段绕点O逆时针方向旋转时得到点，将点向上平移t个单位得到的点为，该点即为点Q，即且，即可求解． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 25.【答案】证明：， ， ， ， ， ∽， 即； 解：，， ∽， ， ， ， ， ， 如图所示，作，垂足是G， ， ， 在中，，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ，即， ； 解：①当时， ， ， ， ， ，即，， ， ，， ≌， ， ， 在中，， ，即； ②当时， ， ， ， ，即， ； ③当时， ， ， ， ， ， ， ， 由可知，在中，， ， ， ，即； 综上所述，或或  【解析】根据题意，，证明∽即可求证； 根据题意可得∽，则有，由，得到，如图所示，作，垂足是G，由勾股定理、三角函数的计算得到，在中，，则有，得到，再根据，即可求解； 根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当时，可证AH平分，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得HG；第二种情况：当时，可得，则，即，即可求解；第三种情况：当时，结合的计算即可求解． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$