山东省济南市莱芜区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（五四制）

2024-2025学年山东省济南市莱芜区九年级(上)期末数学试卷(五四学制) 一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.如图所给几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 2.下列函数中,当时,y随x的增大而减小的是( ) A. B. C. D. 3.如图,将转盘八等分,分别涂上红、绿、蓝三种颜色,则转动的转盘停止时,指针落在红色区域的概率为( ) A. B. C. D. 4.下列结论正确的是( ) A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 圆周角等于圆心角的一半 C. 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 5.如图,在中,,若,,则( ) A. B. C. D. 6.如图,AB是的直径,点C、D在上,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 7.如图,已知在平面直角坐标系中,的顶点,,函数的图象经过点C,则( ) A. 4 B. 3 C. D. 2 8.圆锥的底面圆的半径为10,圆锥母线长为20,则圆锥侧面展开图的面积为( ) A. B. C. D. 9.已知二次函数的图象如图所示,则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是( ) A. B. C. D. 10.二次函数的图象如图所示,对称轴是直线,下列结论:①;②方程必有一个根大于2且小于3:③;④对于任意实数m,都有其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题:本题共5小题,每小题4分,共20分。 11.皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲,表演时,用灯光把男影照射在银幕上,艺人在幕后一边操纵剪膨,一边演唱,并配以音乐,皮影戏也称为影戏、灯影戏.土影戏等,则皮影形成的影子是_投影填“平行”或“中心” 12.已知抛物线与关于原点成中心对称,若抛物线的解析式为,则抛物线的解析式为_. 13.如图,在平面直角坐标系中, OABC的顶点O是坐标原点,点A在x轴的正半轴上,点C在函数的图象上,点B在函数的图象上.若,则k的值为_. 14.如图,在正十边形中,连接、、,则_ 15.如图,在边长为4的菱形ABCD中,,以点D为圆心,菱形的高DF为半径画弧,交AD于点E,交CD于点G,则图中阴影部分的面积是_. 三、解答题:本题共10小题,共90分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 计算: 17.本小题7分 如图,直线与双曲线相交于、B两点,与x轴相交于点 分别求一次函数与反比例函数的解析式; 当时,求关于x的不等式的解集. 18.本小题7分 如图,在中,,,,求AB的长结果保留根号 19.本小题8分 如图,直线AC与相切于点C,射线AO与交于点D、E,连接CD、 求证:; 若,,求的长. 20.本小题8分 一只不透明的袋子中装有三个乒乓球,球面上分别标有数字3、4、5,这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同. 搅匀后从中任意摸出一个乒乓球,求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率; 搅匀后先从袋子中任意摸出一个球,将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字,不放回,再从袋中余下的球中任意摸出一个球,将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字,求这个两位数恰好是奇数的概率请用画树状图或列表等方法说明理由 21.本小题9分 小颖爸爸买了一盏新台灯,如图1放置在水平桌面l上,底座的高AB为4cm,长度均为18cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上. 转动连杆BC、CD,使成平角,如图2,求连杆端点D离桌面l的高度DE; 为了让光线更佳,他将中的连杆CD再绕点C逆时针旋转,经试验后发现,如图3,当时,台灯光线最佳.求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米? 22.本小题10分 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式,某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗.已知板栗的成本价为6元,每日销售量与销售单价元满足一次函数关系,表格记录的是有关数据,设公司销售板栗的日获利为元 元 7 8 9 2700 2600 2500 求日销售量y与销售单价x之间的函数关系式;不用写自变量的取值范围 当销售单价定为多少时,销售这种板果日获利w最大?最大利润为多少元? 23.本小题10分 如图,AB为的直径,C为BA延长线上一点,D为上一点,连结AD,作于点E,交CD于点F,若, 求证:CD是的切线; 若,,求EF的长. 24.本小题12分 如图,一次函数与反比例函数的图象交于点A和点,与y轴交于点 求一次函数与反比例函数的表达式; 过点A作轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点,设直线OP与线段AD交于点E,当::1时,求点P的坐标; 在的条件下,点M是直线OP上的一个动点,当是以BC为斜边的直角三角形时,求点M的坐标. 25.本小题12分 如图,抛物线过点,, 求抛物线的表达式; 设P是直线BC上方抛物线上一点,求出的最大面积及此时点P的坐标; 若点M是线段OC上的一动点,连接AM,求的最小值. 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解:从上面可看,是一个带圆心的圆. 故选: 找到从上面看所得到的图形即可. 本题考查了简单几何体的三视图,俯视图是从物体的上面看得到的视图. 2.【答案】D 【解析】解:A、,正比例函数,,故y随x增大而增大,不符合题意; B、,一次函数,,故y随x增大而增大,不符合题意; C、,反比例函数,,故当时,y随x增大而增大,不符合题意; D、,二次函数,对称轴为y轴,开口向下,当时,y随x增大而减小,符合题意; 故选: 根据一次函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可进行解答. 本题主要考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的性质,正比例函数的性质,熟知以上知识是解题的关键. 3.【答案】B 【解析】解:共分成了8部分,其中红色区域有3部分, 指针落在红色区域的概率为 故选: 用红色区域的个数除以所有区域的个数的和即可求得答案. 此题主要考查了几何概率,利用符合题意数据与总数的比值=概率求出是解题关键. 4.【答案】C 【解析】解:经过半径的外端且与半径垂直的直线是该圆的切线, “垂直于半径的直线是圆的切线”这一说法是错误的, 故A不符合题意; 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半, “圆周角等于圆心角的一半”这一说法是错误的, 故B不符合题意; 圆内接四边形的对角互补,且圆内接四边形的任何一个外角都与它相邻的内角互补, 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角,故C符合题意; 平分弦不是直径的直径垂直于这条弦, “平分弦的直径垂直于这条弦”的说法是错误的, 故D不符合题意, 故选: 垂直于半径的直线如果不经过半径的外端,则该直线不是圆的切线,可判断不符合题意;因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,所以“圆周角等于圆心角的一半”这一说法是错误的,可判断B不符合题意;因为圆内接四边形的对角互补,且圆内接四边形的任何一个外角都与它相邻的内角互补,所以圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角,可判断C符合题意;由平分弦不是直径的直径垂直于这条弦,可知“平分弦的直径垂直于这条弦”的说法是错误的,可判断D不符合题意,于是得到问题的答案. 此题重点考查切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理等知识,正确理解和掌握这些定理是解题的关键. 5.【答案】B 【解析】解:设, , , , , , , 故选: 设,可得,根据,得,根据勾股定理得,再根据正弦的定义计算即可. 本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是关键. 6.【答案】C 【解析】解:如图,连接AD, 是的直径, , , , , 四边形ABCD为内接四边形, , , 故选: 连接AD,根据圆周角定理得到,根据直角三角形的性质求出,再根据圆内接四边形的性质求出 本题考查的是圆内接四边形的性质,熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 7.【答案】D 【解析】解:如图,作轴, , , 又, ∽, ,, 和都是等腰直角三角形, 设点C的坐标为,则, 解得或舍去, , 故选: 先证明∽,由相似得到和都是等腰直角三角形,设点C的坐标为,则,继而求出点C坐标,由梯形面积减去两个三角形面积即可得到结果. 本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握以上知识点是关键. 8.【答案】B 【解析】解:圆锥的底面圆的半径为10, 圆锥的底面圆的周长为, 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为, 圆锥侧面展开图的面积为:, 故选: 根据扇形面积公式计算即可. 本题考查的是圆锥的计算,掌握扇形面积公式是解题的关键. 9.【答案】B 【解析】解:根据二次函数图象与y轴的交点可得,根据抛物线开口向上可得,由对称轴在y轴左边可得a、b同号,故, 则反比例函数的图象在第一、三象限, 一次函数经过第一、二、四象限, 故选: 首先根据二次函数图象与y轴的交点可得,根据抛物线开口向上可得,由对称轴在y轴左边可得a、b同号,故,再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案. 此题主要考查了二次函数图象,一次函数图象,反比例函数图象,关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号. 10.【答案】C 【解析】解:根据图象可知:,, 对称轴是直线, ,即 , 故①正确. 方程,即为二次函数与x轴的交点, 根据图象已知一个交点,关于对称, 另一个交点 故②正确. , , 根据图象,令, , , , , 故③正确. 时,函数y有最大值, 对于任意实数m,有,即故④不正确. 综上①②③正确. 故选: 根据函数图象分别判断a、b、c的正负,求出abc的正负,可以判断①;将方程转化为函数与x轴的交点,利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围,可以判断②;根据图象,令,得到,即,因为,所以得出,可以判断③;根据二次函数的最值即可判断④. 本题主要考查二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,抛物线与x轴的交点,利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键. 11.【答案】中心 【解析】解:皮影形成的影子是中心投影. 故答案为:中心. 根据中心投影的定义判断即可. 本题考查中心投影,平行投影,解题的关键是理解中心投影,平行投影的定义. 12.【答案】 【解析】解:抛物线的解析式为, 抛物线的开口向下,顶点坐标为, 抛物线,抛物线关于原点中心对称, 抛物线的开口向上,顶点坐标为, 抛物线的解析式为 故答案为: 根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标,然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标,即可求解. 此题主要考查了二次函数图象与几何变换,掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解题的关键. 13.【答案】12 【解析】解:作于D, , , , 设,则, 点B在函数的图象上, , 故答案为: 作于D,由等腰三角形三线合一的性质得出,利用平行四边形的性质可知,故设,则,代入函数即可求得k的值. 本题考查了等腰三角形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,平行四边形的性质,表示出点B的坐标是解题的关键. 14.【答案】72 【解析】解:设正十边形内接于,连接,, 则, 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 故答案为: 设正十边形内接于,连接,,得出,进而得出 本题主要考查多边形的内角和外角,作出辅助线是解题的关键. 15.【答案】 【解析】解:连接DB, 菱形ABCD的边长为4, ,, , , , , , 又, , , 故答案为: 连接OB,先求出的面积,进而得出菱形ABCD的面积,再求出扇形DEG的面积即可解决问题. 本题主要考查了扇形面积的计算、菱形的性质及等边三角形的判定与性质,熟知扇形的面积公式及菱形的性质是解题的关键. 16.【答案】解: 【解析】先根据有理数的乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根的运算法则计算,再合并即可. 本题考查了实数的运算,特殊角的三角函数值,熟练掌握各运算法则是解题的关键. 17.【答案】解:将,代入,得, 解得:, 一次函数的解析式为, 双曲线过点, , 反比例函数的解析式为; 由,解得或, 点B的坐标为, 观察图象,当时,关于x的不等式的解集是或 【解析】将已知点坐标代入函数表达式,即可求解; 两函数解析式联立成方程组,求出点B的坐标,然后根据图象即可解决问题. 本题是反比例函数与一次函数的交点问题,主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、函数与不等式;数形结合是解题的关键. 18.【答案】解:作于D, , , , , 【解析】作于D,根据直角三角形的性质得出,,即可求得AB的长. 本题考查了解直角三角形,解题的关键是熟练掌握特殊直角三角形的性质,学会作出辅助线构建直角三角形解决问题; 19.【答案】证明:连接OC, 直线AC与相切于点C, , 射线AO与交于点D、E, 是的直径, , ,, 解:,, ∽, , ,, , , , , , , , 是等边三角形, , , 的长是 【解析】连接OC,由直线AC与相切于点C,证明,而DE是的直径,则,所以,,则; 由,,证明∽,得,因为,,所以,则,求得,由,,得,可证明是等边三角形,则,根据弧长公式求得 此题重点考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识,正确地作出辅助线是解题的关键. 20.【答案】解:由题意知,共有3种等可能的结果,其中摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的结果有1种, 摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为 列表如下: 3 4 5 3 34 35 4 43 45 5 53 54 共有6种等可能的结果,其中这个两位数恰好是奇数的结果有:35,43,45,53,共4种, 这个两位数恰好是奇数的概率为 【解析】由题意知,共有3种等可能的结果,其中摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的结果有1种,利用概率公式可得答案. 列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数恰好是奇数的结果数,再利用概率公式可得出答案. 本题考查列表法与树状图法、概率公式,熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键. 21.【答案】解:如图2中,作于 , 四边形ABOE是矩形, , , , , 即连杆端点D离桌面l的高度DE为; 过点D作于E,过点C作于G,于K,如图3所示: 由题意得:,,,, 在中,, , , , , 在中,, , , 即连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了 【解析】如图2中,作于解直角三角形求出OD即可解决问题. 过C作,,由题意得,,,,解直角三角形即可得到结论. 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题. 22.【答案】解:设y与x之间的函数关系式为, 把,和,代入得: , 解得, 日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为; 由题意得: , ,对称轴为直线, 当时,w有最大值为19600元. 当销售单价定为20元时,销售这种板栗日获利w最大,最大利润为19600元. 【解析】用待定系数法求解即可; 由题意可得w关于x的二次函数,将其写成顶点式,然后根据二次函数的性质可得答案. 本题考查了二次函数在实际问题中的应用,理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键. 23.【答案】证明:连结OD,则, , 于点E, , , , 是的半径,且, 是的切线. 解:为的直径,于点E,交CD于点F, , , ∽, 设, ,,, ,, , , , ,, 是等边三角形, , , , , , 的长为 【解析】连结OD,则,所以,而,,所以,即可证明CD是的切线; 由AB为的直径,于点E,得,则,所以∽,设,由,,得,,则,求得,再证明是等边三角形,推导出,所以,则 此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识,正确地作出辅助线是解题的关键. 24.【答案】解:将点代入和得, ,, , 一次函数的解析式为, 反比例函数的解析式为; 联立, 解得,, , 如图,一次函数中,当时,, , , ::1, , 解得, , 直线OP的解析式为, , , , ; 如图,取BC的中点G,连接MG, , , ,, 点, , , 设, , 解得,, 或 【解析】将点代入和,求出,; 分别表示出梯形ODAC和的面积,从而得出E的坐标,求出直线OP的解析式,与双曲线且交点即可; 取BC的中点G,连接MG,设,根据可得,解方程即可. 本题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,三角形的面积,直角三角形斜边上直线的性质等知识,求出直线OP的解析式是解题的关键. 25.【答案】解:由题意得:, 则,则, 故抛物线的表达式为:; 由抛物线的表达式知,点, 由点B、C的坐标得,直线BC的表达式为:, 过点P作轴交BC于点H, 设点,则点,则, 则面积, 即的最大面积为,此时,则点; 过点A作于点H,交OB于点M,则此时最小, 理由:由点B、C的坐标知,,则, 故为最小, 则, 即的最小值为 【解析】由题意得:,则,则,即可求解; 由面积,即可求解; 过点A作于点H,交OB于点M,则此时最小,即可求解. 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$