5.2.1 基本初等函数的导数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.2导数的运算 第五章 一元函数的导数及其应用 课时1 基本初等函数的导数 新知探究 探究一：利用导数公式求函数的导数 情境设置 已知函数：，， ， ，， . 问题：函数①②③④⑤⑥的导数分别是什么？ 2 新知生成 知识点一 基本初等函数的导数公式 1.常函数： 若(c为常数), 则 2.幂函数： 若(, 且), 则 3.正弦函数： 若, 则 4. 余弦函数： 若, 则 5.指数函数： 若 (, 且), 则 特别地,若 , 则 6.对数函数： 若 (, 且), 则 特别地,若 , 则 3 一、利用导数公式求函数的导数 例题1 求下列函数的导数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) . 【解析】(1) . (2) . (3) . (4) 因为 ， 所以 . (5) 因为 ，所以 . 4 反思感悟 方法总结 求简单函数的导函数的基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐. (2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 5 新知运用 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) . 【解析】(1) . (2) . (3) . (4) ， . (5) ， . 6 二、导数公式的实际应用 例题2 已知某质点的运动方程是𝑠(𝑡)=sin 𝑡 . (1)求该质点在时的瞬时速度； (2)求该质点运动的加速度方程. 【解析】(1) 速度 ， ，即质点在时的瞬时速度为 . (2) ， 加速度 . 7 反思感悟 方法总结 由导数的定义可知，导数是函数在某一点处的瞬时变化率，所以求某个量的瞬时变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. 8 新知运用 跟踪训练2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为，物价(单位：元)与时间 (单位：年)之间的关系为，其中为时的物价.假定某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ (精确到0.01元/年，参考数据：，， ) 【解析】 根据基本初等函数的导数公式表，有 ， 所以 ， 所以在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨. 9 新知探究 探究三：利用导数公式解决曲线的切线问题 情境设置 问题1：导数 的几何意义是什么？ 问题2：利用导数的几何意义解决曲线过某点的切线问题有哪两种情况？ 【解析】(1)若已知点是切点，则在该点处的切线的斜率就是该点处的导数； (2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 10 新知生成 知识点二 曲线的切线 曲线在点处的切线方程为 . 11 三、利用导数公式解决曲线的切线问题 例题3 求下列已知函数 . (1)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑀(−1,−1) 处的切线方程； (2)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)过点𝐸(4,0) 的切线方程. 【解析】(1)由题意可知，，所以 . 又 ，所以曲线 在点处的切线方程为，即 . (2)令所求切线在曲线上的切点坐标为，则 ， 所以切线方程为，即 . 又点在切线上，所以，解得或 ， 所以所求切线方程为或 . 12 反思感悟 方法总结 求过点与曲线相切的切点坐标的步骤： (1)设切点坐标 ； (2)求导函数； (3)求切线的斜率； (4)列出关于的方程，解方程求 ； (5)将代入求 ，得切点坐标. 13 新知运用 跟踪训练3 求满足下列条件的切线方程： (1) 过原点且与曲线 相切； (2) 斜率为且与曲线 相切. 【解析】(1) ，设切点坐标为 ，切线方程为，所以， ，因为切点坐标为 ，所以，所以 ， 所以切线方程为 . (，因为切线的斜率为，所以，所以，则切点为 ， ，即 . 14 随堂检测 1. 已知函数，则 ( ) . A.1 B. C. D. 2. 曲线在点，处的切线的斜率为( ) . A.2 B. C.3 D. 3. 已知函数，，则的解为 ___. B C 1 15 随堂检测 4.若直线与曲线相切，则切点坐标为_______. 【解析】设切点坐标为， 函数的导数为，且直线的斜率为, . 又，解得 ， 切点坐标为 . 16 课堂小结 1.知识清单： (1)利用导数公式求函数的导数； (2)导数公式的实际应用; (3)利用导数公式解决曲线的切线问题. 17 $$