精品解析：河南省郑州市一八联合国际学校2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

2024-2025学年上期期中学业水平评估 九年级数学试卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题．（本题共10小题） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果是线段一点，并且，，那么的长度为（ ）时，点是线段的黄金分割点． A. B. C. D. 3. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点分别为边上的点，且，若,，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5. 如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是（ ） A. 当∠ABC＝90°时，四边形MNPQ为正方形 B. 当AC＝BD时，四边形MNPQ为菱形 C. 当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形 D. 四边形MNPQ一定为平行四边形 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边、分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 二、填空题．（本题共5小题） 11. 方程的解是______． 12. 如图所示是两木杆在同一时刻的影子，它们是__________（填“太阳光下”或“灯光下”）的投影． 13. 在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是_____． 14. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的______． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___． 三、解答题 16. 解一元二次方程 （1） （2） 17. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．本届亚运会赛事项目共有4个大类，分别是竞技性比赛、球类比赛、对抗性比赛、水上比赛．某体育爱好小组的同学想要了解该校学生最喜爱的赛事项目（只能选择一项），他们随机抽取了200名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中，水上比赛所在扇形的圆心角度数为 ，球类比赛所占百分比为 ； （2）补全条形统计图； （3）甲、乙两名志愿者都将通过抽取卡片的方式决定所去服务的比赛项目，竞技性比赛、球类比赛、对抗性比赛、水上比赛分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者甲从中随机抽取一张，记下字母后放回，志愿者乙再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求志愿者甲、乙抽到相同卡片的概率． 18. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． （1）以为位似中心，作，相似比为，且保证在第三象限； （2）点的坐标为（__________，________）； （3）的面积是________． 19. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点A作于点H，求的长． 20. 如图，红红同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高． 21. 某种服装，若进价为每件86元，按每件130元出售，平均每天可售出20件，后调查发现，单价每降低1元，平均每天的销量可增加5件，若想要每天获利1600元，且每件降价幅度不超过10元，每件应降价多少元？ 22. 如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，的面积等于？ （2）探究经过多少秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与相似？ 23. 已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，． （1）问题发现：如图1所示，若和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是________； （2）类比探究：如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上期期中学业水平评估 九年级数学试卷 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题．（本题共10小题） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A. ，最高次数为3次，故此选项不符合题意； B. ，是一元二次方程，故此选项符合题意； C. ，当时，是一元二次方程，故此选项不符合题意； D. 不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如果是线段一点，并且，，那么的长度为（ ）时，点是线段的黄金分割点． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据黄金比值是计算即可． 【详解】∵是线段的黄金分割点，，， ∴． 故选C． 3. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种， ∴两次摸到相同颜色的棋子的概率， 故选：C． 4. 如图，在中，点分别为边上的点，且，若,，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题. 【详解】∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴EC=4， 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识. 5. 如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是（ ） A. 当∠ABC＝90°时，四边形MNPQ为正方形 B. 当AC＝BD时，四边形MNPQ为菱形 C. 当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形 D. 四边形MNPQ一定为平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到PQ∥AC，PQ＝AC，MN∥AC，MN＝AC，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】连接AC、BD交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点， ∴PQ∥AC，PQ＝AC，MN∥AC，MN＝AC， ∴PQ∥MN，PQ＝MN， ∴四边MNPQ一定为平行四边形，D说法正确，不符合题意； ∠ABC＝90°时，四边形MNPQ不一定为正方形，A说法错误，符合题意； AC＝BD时，MN＝MQ， ∴四边形MNPQ为菱形，B说法正确，不符合题意； AC⊥BD时，∠MNP＝90°， ∴四边形MNPQ为矩形，C说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质和判定，熟练掌握性质和判定定理是解题的关键． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 7. 要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少队伍参加比赛？设应邀请x 个队参赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为： ， 故选：A． 8. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两类基本的尺规作图—尺规作角平分线和线段的垂直平分线、角平分线的定义、对顶角的性质和平行线的判定和性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．易得，于是可根据平行线的性质求出，由题意可得：平分，垂直平分，从而可根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理即可求出，进而可得答案． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 如图，由题意可得：平分，垂直平分， 所以， 所以， 所以． 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边、分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和坐标与图形的性质的知识点，首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标，正确由点坐标的规律发现每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍是解决此题的关键． 【详解】解：正方形边长为1， ， 正方形是正方形的对角线为边， ， 点坐标为， 同理可知点坐标为， 同理可知点坐标为， 点坐标为，点坐标为,,，, ...... 由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍， , 的纵横坐标符号与点的相同，横坐标为正值，纵坐标是， 的坐标为． 故选：． 10. 如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接、,由勾股定理求得,再由直角三角形斜边上的中线性质得出，当在同一直线上时，取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出三点在同一直线上时，取最小值是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接, 在中，, 由勾股定理得：, ,点、分别是、的中点， ,, 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：, 故选：． 二、填空题．（本题共5小题） 11. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 12. 如图所示是两木杆在同一时刻的影子，它们是__________（填“太阳光下”或“灯光下”）的投影． 【答案】灯光下 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影． 【详解】解：因为影子的顶点和木杆的顶点的连线不平行， 所以它们的光线应该是点光源．它们是灯光下的投影． 故答案为：灯光下． 13. 在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是_____． 【答案】100． 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】由题意可得，=0.03， 解得，n=100， 故估计n大约是100， 故答案为100. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截，被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵AB被截成三等分， ∴△AEH∽△AFG∽△ABC， ∴， ∴S△AFG：S△ABC=4：9， S△AEH：S△ABC=1：9， ∴S阴影部分的面积=S△ABC-S△ABC=S△ABC， ∴图中阴影部分的面积是的面积的． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___． 【答案】或10． 【解析】 【分析】由矩形的性质得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根据已知条件得到AM=BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根据折叠的性质得到DC′=DC=5，C′E=CE，根据勾股定理得到C′M=，根据矩形的判定和性质得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再由勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6， ∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2， ∴AM＝BN， ∵AM∥BN， ∴四边形ABNM的矩形， ∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5， ∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E， ∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE， ∵AM＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4， 如图1， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°， NE＝CN﹣CE＝4﹣CE， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（4﹣CE）2+22＝CE2， 解得：CE＝． 如图2， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°， NE＝CE﹣CN＝CE﹣4， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（CE﹣4）2+82＝CE2， 解答：CE＝10， 故答案为或10． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题 16. 解一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解进行求解． （1）直接利用因式分解进行求解； （2）整理后，提取公因式后因式分解进行求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， ∴，， 解得：，． 17. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．本届亚运会赛事项目共有4个大类，分别是竞技性比赛、球类比赛、对抗性比赛、水上比赛．某体育爱好小组的同学想要了解该校学生最喜爱的赛事项目（只能选择一项），他们随机抽取了200名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中，水上比赛所在扇形的圆心角度数为 ，球类比赛所占百分比为 ； （2）补全条形统计图； （3）甲、乙两名志愿者都将通过抽取卡片的方式决定所去服务的比赛项目，竞技性比赛、球类比赛、对抗性比赛、水上比赛分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者甲从中随机抽取一张，记下字母后放回，志愿者乙再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求志愿者甲、乙抽到相同卡片的概率． 【答案】（1）； （2） 补全条形统计图如下图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）先求出水上比赛人数，再利用它的占比乘以即可求出水上比赛所在扇形的圆心角度数，将即可求出球类比赛所占百分比． （2）求出球类比赛女生人数即可补全图形． （3）通过列表求出一共有16种等可能的情况，其中志愿者甲、乙抽到相同卡片的情况有4种，再利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 ；； 水上比赛人数为（人）， 水上比赛所在扇形的圆心角度数为； 球类比赛所占百分比为． 【小问2详解】 球类比赛女生人数为：（人） 【小问3详解】 列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能的情况，其中志愿者甲、乙抽到相同卡片的情况有4种， 所以， 答：甲乙抽到相同卡片的概率是． A B C D A A,A A,B A,C A,D B B,A B,B B,C B,D C C,A C,B C,C C,D D D,A D,B D,C D,D 【点睛】本题考查了条形图与扇形图、利用列表或画树状图并根据概率公式求概率，解题关键是读懂题目包含的信息，牢记概率计算公式． 18. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． （1）以为位似中心，作，相似比为，且保证在第三象限； （2）点的坐标为（__________，________）； （3）的面积是________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化、位似变换，求网格中图形的面积，利用位似的性质正确作出图形是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，分别作出、、的位置，再顺次连接即可得到； （2）根据坐标系即可得出点的坐标； （3）结合点的坐标，利用割补法求出的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由坐标系可得，点的坐标为． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：由坐标系可得，的面积． 故答案为：． 19. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点A作于点H，求的长． 【答案】（1） 证明：在中，对角线，相交于点，，，， ，， ，且， ， 是直角三角形，且， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质： （1）首先根据平行四边形的性质得到，，然后利用勾股定理的逆定理得到，进而证明即可； （2）根据菱形的性质得到，然后利用列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， 解得：． 20. 如图，红红同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，则由即可求解,本题主要考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 21. 某种服装，若进价为每件86元，按每件130元出售，平均每天可售出20件，后调查发现，单价每降低1元，平均每天的销量可增加5件，若想要每天获利1600元，且每件降价幅度不超过10元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价4元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识，设每件应降价x元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每件应降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件降价幅度不超过10元， ∴每件应降价4元． 答：每件应降价4元． 22. 如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，的面积等于？ （2）探究经过多少秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）5或7 （2）或 【解析】 【分析】（1）分别用含t的代数式表示的长，利用面积公式列方程求解即可． （2）分两种情况讨论，结合相似三角形的性质，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∵的面积等于， ∴， 即 ， 整理，得， 解得， 故当t为5或7时，的面积等于． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 当时， ，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得： 综上所述，经过或秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是利用分类思想讨论． 23. 已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，． （1）问题发现：如图1所示，若和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是________； （2）类比探究：如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】（1） （2） ，理由为： 如图2，∵，， ∴，， ∴，，则， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的判定证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得到，证明得到即可得到结论； （3）先根据等腰直角三角形的性质和得到，，证明得到，分点D在线段上时和E在线段上时两种情况，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，则， ∴， 当点D在线段上时，如图4， ∵，，， ∴由得， ∴， 则， ∴； 当E在线段上时，如图5， 则， ∴， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解答的关键是找到全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $