第13节 二次函数的图象与性质(精讲册)-【练客中考】2025年贵州数学总复习新思路

贵州新中唐教学特讲册 第13节 二次函数的图象与性质 2022年版课标重要变化 ①能用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质（删除） ②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（新增） ③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增），能解决相应的实际问题（改动） ④知道二次函数和一元二次方程之间的关系（新增） ⑤*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数（删除） 核心考点 精讲练 考点二次函数的概念及解析式 如识精讲 例1若函数y=(3-m)xm-"+4x-3是二次 1.二次函数的概念：若两个变量x,y之间的对应关系可 函数 以表示成y=axr2+br+c(a,b,c是常数，且a≠0)的 (1)m的值为 形式，则称y是x的二次函数 (2)将该二次函数的解析式化为顶点式为y= 2.二次函数的解析式 般式 y=ar2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) (3)该二次函数的图象与x轴的交点的横坐标 y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中对称轴是直 顶点式 为 线x=h,顶点坐标是(h,k) y=a(x-x1)(r-2)(a≠0)，其中多，x2 交点式 是抛物线与x轴交点的横坐标 考点2二次函数的图象与性质重点 知识情讲 例2已知二次函数y=-x2+2x+3,尝试探究 解析式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 该函数图象的性质，并回答下列问题 a>0 a<0 (1)请将下表中x与y的对应值填在相应的横 Y+ 线上： 大致图象 2 开口方向 开口向上 开口向下 b (2)对称轴是直线x= ,顶点坐标 对称轴 直线x=- 是 b 4ac-b' 顶点坐标 -2a 4a (3)该二次函数图象与x轴的交点坐标为 在对称轴左侧，y随 在对称轴左侧，y随x ,与y轴的交点坐标为 x的增大而减小：在 的增大而增大；在对 (4)当x<1时，y随x的增大而 当 增减性 对称轴右侧，y随x 称轴右侧，y随x的 x>1时，y随x的增大而 的增大而增大 增大而减小 (5)若点A(-2,y1),B(3,y2),C(7,y3)在该二次 当x=- b时，y有 当x=- 函数的图象上，则，y2,的大小关系 2a 时y有 最值 是 最小值，为如c- 4a 最大值，为4ac-B 4a 40 第三幸属教贵州商中粤 考点3》二次函数的图象与系数a,b,c的 知识桥讲 关系重点】 解析式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)》 例3如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，结 a>0,开口向上： 合图中的信息填空：（在横线上填“>”“<”或 a<0,开口向下 “=”) a 1al越大，抛物线的开口越小； 1a越小，抛物线的开口越大 b=0,对称轴为y轴； ab a,b同号，对称轴在y轴左侧； -101 3玉 a,b异号，对称轴在y轴右侧 例3题图 c=0,抛物线过原点； c>0,抛物线与y轴交于正半轴： (1)a 0,b 0,c 09 c<0,抛物线与y轴交于负半轴 (2)b2-4ac 03 b-4ac=0,抛物线与x轴有唯一交点（顶点）： (3)2a+b 0; b2-4acb2-4ac>0,抛物线与x轴有两个不同的交点； (4)a-b+c 0,4a+2b+c 0: b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点 (5)2a+c 0 【特殊关系】①当x=1时，y=a+b+c;②当x=-1 (6)a+b m(am+b)(m≠1). 时，y=a-b+c;③当x=2时，y=4a+2b+c;④当 x=-2时，y=4a-2b+c 。考点4》待定系数法求二次函数解析式 知识桥讲 重点 类型 解析式设法 例4已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点在原点 y=ax' (1)若该抛物线经过(0,2)，(1,1)，(3,5)三点，则 顶点在x轴上 y=a(x-h): 解析式为y= :(用一般式表示) 顶点在y轴上 (2)已知二次函数的最小值为3，对称轴为直 y=ax+c (或对称轴是y轴) 线x=-1,且经过点(2,8)，则解析式为y= ;(用顶点式表示)》 抛物线过原点 y=ax+bx (3)若该抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)， 顶点+其他点 y=a(x-h)2+k (2,0),且与抛物线y=2x2的形状相同，则解析式 与x轴的两交点+其他点 y=a(x-x1）(x-x3） 为y= (用交点式表示) 任意三个点 y=ax'+bx+c 考点5》二次函数图象的变换 知织精讲 例5已知抛物线y=-x2-4x+5. 平移前的 平移后的 移动方向 规律 (1)将该抛物线先向左平移1个单位，再向下 解析式 解析式 平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数解 向左平移 y=a(x-h+ 析式为y= ;(用顶点式表示) y=a(x- m个单位 m)2+k 给x左加 (2)该抛物线关于x轴对称的抛物线所对应的函 h)2+k 向右平移 y=a(x-h 右减 数解析式为y= (用顶点式表示) m个单位 m)2+k 41 贵州新中唐教学特讲册 向上平移 变式5若抛物线y=a(x-1)2+3先向右平移 y=a(x-h)2 n个单位 给等号右 y=a(x- +k+n 1个单位，再向上平移2个单位后经过点(1， 边整体上 h)2+k 7),则a= 向下平移 y=a(x-h)2 加下减 n个单位 +k-n 考点6》二次函数与方程、不等式的关系 如识精饼 例6如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图 1.二次函数与一元二次方程的关系2022年版课标新增] 象，根据图象解决下列问题： (1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横 坐标台一元二次方程ax2+bx+c=0的根 (2)①二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个 交点b2-4ac>0-一元二次方程ax2+br+c=0有 /2 两个不相等的实数根； 例6题图 ②二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴有且只有一 (1)方程ax2+bx+c=0的解是 ,方程 个交点=b2-4ac=0-一元二次方程ax2+bx+c=0 ax2+bx+c=2的解是 有两个相等的实数根； (2)不等式ax2+bx+c>0的解集是 ③二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点 不等式ax2+br+c<2的解集是 b2-4ac<0-一元二次方程ar2+bx+c=0没有实 (3)关于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0(t 数根 为常数)在-1<x<4的范围内有解，则t的取值 2.二次函数与不等式的关系 (1)不等式ar2+br*c>0的解集曰二次函数y=ax2+ 范围是 bx+c的图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围 (2)不等式a2+br+c<0的解集-二次函数y=ax2+ bx+c的图象位于x轴下方部分对应的x的取值范围 贵州真题随堂测 (建议用时：15分钟) 命题点二次函数的图象与性质(5年3考) c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+ 1.(2023贵州10题3分)已知二次函数y=a2+ b与反比例函数y=-二在同一坐标系内的大 bx+c的图象如图所示，则点P(a,b)所在的象 限是 ()》 致图象为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 第1题图 第2题图 2.(2022黔东南州7题)若二次函数y=ax2+bx+ 42 第三幸高教贵州新中密 3.(2024贵州12题3分)如图，二次函数y=ax2+ 命题点2二次函数图象的变换 bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标 7.(2022黔东南州18题)在平面直角坐标系中， 是-3，顶点坐标为(-1,4)，则下列说法正确 将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°， 的是 () 再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的 (-1.4) 顶点坐标是 命题点3》二次函数与方程、不等式的关系 (贵阳2020.10) -30 8.(2024贵阳市观山湖区模拟)抛物线y1=ax2+ 第3题图 bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的 一个交点为(-3,0)，对称轴为直线x=-1, A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐 将抛物线y,沿着x轴的正方向平移2个单位 标是2 长度得到新的抛物线y2,则当y2<0时，x的取 值范围是 () C.当x<-1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 4.(2022毕节14题)在平面直角坐标系中，已知 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所 示，有下列5个结论：①abc>0;②2a-b=0: ③9a+3b+c>0:④b2>4ac:⑤a+c<b.其中 第8题图 正确的有 () A.-3<x<-1 B.-1<x<1 C.-1<x<3 D.1<x<3 9.(2020贵阳10题3分)已知二次函数y=ax2+ 第4题图 bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点，关于 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根， 其中一个根是3，则关于x的方程ax2+bx+ 5.(2021贵阳13题4分)二次函数y=x2的图象 c+n=0(0<n<m)有两个整数根，这两个整 开口方向是 (填“向上”或“向下”) 数根是 () 6.(2022六盘水15题)如图是二次函数y=x2+ A.-2和0 bx+c的图象，该函数的最小值是 对称轴y B.-4和2 C.-5和3 D.-6和4 第6题图 温著提示 请完成《裸后提升练》P30-31习题 43例32 (2)x≥4(3)x=3 （2)点P的坐标为0,9》， (4)x>3:x<0 △PDE的周长最小值为√3+5. [变式3-】>- [变式3-2]四 例2解：(1)点E的坐标为(2,2)： 贵州真题随堂测 反比例函数的表达式为y=4 1.D2.C3.B (2)m的取值范围是-3≤m≤0. 4.解：(1)答案不唯一，若选点A,B, 贵州真题随堂测 直线AB的函数表达式为y=x+5. (2)不在.理由略 1解：(1)反比例函数的表达式为y=-4 5.x>56.B (2)x的取值范围为-4<x<0或x>1. 第10节一次函数的实际应用 2.解：(1)点A的坐标为A(2,0):m的值为-5. 重难点突破 例1解：(1)员工生产30件产品时，两种方案付给 (②)一次函致的表达式为y=一子+号 的报酬一样多. 3解：（反比例函数的解析式为ym的值为4 (2)方案二y关于x的函数表达式为y=20x+600. 讲 (3)若生产件数x的取值范围为0≤x<30.选择 (2)点B在反比例函数y=的图象上，理由略 方案二： 若生产件数x=30,则选择两种方案都可以： 第13节二次函数的图象与性质 若生产件数x的取值范围为x>30,选择方案一 核心考点精讲练 例2解：(1)制作展板的数量为10件，宣传册的数 量为50件，横幅的数量为10件 例1-1(24+)-4(3)号和- (2)制作三种产品总量的最小值为75件 例2(1)0：3：4：30(2)1：(1,4) 贵州真题随堂测 (3)(-1,0),(3,0):(0.3)(4)增大：减小 1.解：(1)略 (5)2>y1>y (2)笔记本的单价可能是2元或6元 例3(1)<；>；>(2)>(3)=(4)=：> 2.解：(1)甲种产品每箱的价格是80元，乙种产品每 (5)>(6)> 箱的价格是40元. 例4()2-2x+2(2)子(x+2+3 (2)当甲种产品数量为400箱时，该店所获总利润 最大，最大利润为16000元 (3)2(x+3)(x-2) 3.解：(1)每台A型设备的单价为3000元，每台B型 例5(1)-(x+3)2+6(2)(x+2)2-9 设备的单价为2500元. [变式5]2 (2)w与a的函数关系式为m=500a+125000,最少 例6(1)x1=-1,x2=5:x1=0,x3=4 购买费用为131500元. (2)-1<x<5:x<0或x>4(3)0<t≤18 第11节反比例函数及其应用 贵州真题随堂测 核心考点精讲练 1.D2.C3.D4.B5.向上6.-4 例1()一三：减小(2)-2：32 (3)在 7.(1,-3)8.C9.B (4)0<x<2:0<y<4(5)< 提分专题一 抛物线中m≤x≤n的函数最值问题 例21)y=26（3)m-1(4)"2 2 1.解：当a>0时，y=a(x-1)2+3≥3，与题意不符， [变式2]B例3C .n<0. 贵州真题随堂测 .抛物线y=a(x-1)2+3开口向下，对称轴为直 1.B2.C3.C 线x=1, 4解：(1)反比例函数的表达式为y=3 当x<1时，y随x的增大而增大： 当x>1时，y随x的增大而减小 (2)b>c>a,理由略. 当-1≤m≤0时，总有n≥-2，当3≤m<4时， 53661-号 总有n≤-2，且m=-1与m=3关于直线x=1 8.3 对称， 9.解：(1)当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为 当m=-1或m=3时.都有n=-2 y=10x+20. 点P的坐标为(-1，-2)或(3，-2) (2)自动停止加热到水温降到室温的时间为32 将P(-1,-2)或(3，-2)代入y=a(x-1)2+3, 分钟 得-2=4a+3,解得a=-云 5 第12节反比例函数综合题 2.解：二次函数为y=mx2-2mx+3 重难点突破 ∴.抛物线的对称轴为直线x=1. 例1解：(1)反比例函数的表达式为，= 4 当x=-1时，函数值为m+2m+3=3m+3; 当x=1时，函数值为m-2m+3=-m+3: 直线DE的表达式为y,=-2x+6. 当x=2时，函数值为4m-4m+3=3.