河南省焦作市修武县第一中学2024届高三第四次模拟考试（五月份）数学试题

绝密★启用前 2024届高三年级第四次模拟考试（五月份） 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知复数，且，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 4 2. 已知椭圆的长轴长与短轴长之差为2，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. C. D. 2 3. 若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ） A. 赞成的不赞成的有9人 B. 赞成的不赞成的有11人 C. 对都赞成的有21人 D. 对都不赞成的有8人 5. 已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则（ ） A. 1763 B. 1935 C. 2125 D. 2303 8. 已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D. 数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32 10. 设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得 11. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为______． 13. 如图，已知在中，点在边上，为的平分线，且，，则______；_____. 14. 若不等式在上恒成立，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，．D，E分别为边上的中点，现将以为折痕折起，使点A到达点的位置． （1）连接，证明：; （2）若平面与平面所成二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据： x 159 165 170 176 180 y 67 71 73 76 78 （1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求． 参考数据：，， 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线平行，求函数的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 18. 在直角坐标系xOy中，点到直线的距离等于点到原点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）点A，B，C，D在上，A，B是关于轴对称的两点，点位于第一象限，点位于第三象限，直线AC与轴交于点，与轴交于点，且B，H，D三点共线，证明：直线CD与直线AC的斜率之比为定值． 19. 已知数列是等比数列，，，，成等差数列. （1）求的通项公式和； （2）数列满足；当时，；当时，.记数列的前项和为. ①若，求的值； ②若，求证：. 绝密★启用前 2024届高三年级第四次模拟考试（五月份） 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ； ②. . 【14题答案】 【答案】6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明：方法一：如图，取的中点G， 因为D，E分别为的中点，所以． 因为，所以． 又因为平面， 所以平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面，交线为． 因为G为的中点，且， 所以，因为平面，所以平面． 又因为，所以平面． 因为平面，所以． 方法二：因为， 则且， 故 所以，即． （2）． 【16题答案】 【答案】（1）因为y与x的相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系． （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）①； ②∵，，∴ ∴，（，，） 即 ∵，∴对，都有. 另一方面，∵，，（，，） ∴对，都有 ∴ ∵，， ∴ ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2024届高三年级第四次模拟考试（五月份) 数学·命题报告 一、试题命制依据 1.严格遵循高中数学教学材料和课程标准。 2.参照近三年新高考全国卷与2024年教育部适应性考试样卷的试题模式和命题风格。 3.依据高中整体教学内容安排，考查高中数学全部内容。 4.结合学生实际情况，调控试题难度，整体难度较为中等。 5.检查学生知识掌握程度，为后续学习和复习备考提供有效的参考数据，更好地制定教学计划。 二、知识点及题型分布 1.本次考试考查内容为高中数学全部知识。 2.题型分布：单项选择题(8)+多项选择题(3)+填空题(3)+解答题(5)。 3.复数，平面解析几何，函数与导数，集合与常用逻辑用语，空间向量与立体几何，三角函数与解三角形，数列，计数 原理与概率统计，平面向量。 三、试题评析 首先，在难度方面，新高考数学试题相较于传统高考试题更加注重学生的数学思想和解决问题的能力。试题的难度 往往不仅仅体现在计算的复杂程度上，更加注重对知识的综合运用和创造性思维的考察。在本次的试题中，通过多 知识点交叉融合，要求学生灵活应用数学知识解决实际问题，如第6题结合正弦函数的对称性、参数求解及图像分 析，第15题涉及球的表面积计算及立体几何中的内切外接问题，这些设计意在培养学生的创造性思维和综合解题 能力。 其次，在命题特点方面，新高考数学试题注重将数学与实际相结合，突出数学的应用性和实用性。试题的背景和实 际情境往往与学生日常生活和社会实践紧密相关，通过解决实际问题来考察学生的数学思维和解决问题的能力。同 时，试题也更加注重学生的创新和拓展思维，引导学生思考更深层次的数学问题，并展示数学的美和哲学；例如： 引入如“等比差”数列等新概念，如第7题，要求学生理解新定义并运用累加法、累乘法求解，展示数学的抽象 美和逻辑深度。 本次模拟考试数学试题的设计紧贴新高考改革趋势，通过难度的合理设置、题型的多样化以及与实际问题的紧密结 合，有效检验了学生对数学知识的掌握情况，同时也为教师提供了教学反馈，有助于后续学习和复习备考策略的调 整。试题在考查基础的同时，更注重引导学生深入思考、灵活应用，体现了数学学科的教育目标和价值导向。 四、难度比例饼状图 5.26% 10.53% 42.11% 42.1% ■较易☐适中圆较难□困难 五、多维细目表 题号 难度系数 详细知识点 一、单项选择题 1 0.94 复数的相等；求复数的模；共轭复数的概念及计算； 2 0.85 根据椭圆方程求α、b、c;求椭圆的离心率或离心率的取值范围； 3 0.80 根据函数的单调性求参数值； 4 0.80 判断两个集合的包含关系；交并补混合运算： 5 0.80 球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题； 6 0.60 正、余弦齐次式的计算；诱导公式五、六；二倍角的正切公式： 7 0.65 累加法求数列通项；由递推关系式求通项公式：累乘法求数列通项； 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）：用和、差角的正弦公式化简、求值： 8 0.60 求six型三角函数的单调性； 二、多项选择题 1 0.75 相关系数的意义及辨析；方差的性质；指定区间的概率；总体百分位数的估计； 数量积的坐标表示；己知两点求斜率；椭圆上点到焦点的距离及最值：椭圆中焦点 2 0.55 三角形的其他问题； 3 0.65 函数奇偶性的应用：函数周期性的应用：函数对称性的应用：简单复合函数的导数： 三、填空题 1 0.94 数量积的坐标表示；向量模的坐标表示：求投影向量： 2 0.85 几何图形中的计算： 3 0.65 由导数求函数的最值（不含参）：利用导数研究不等式恒成立问题： -2 四、解答题 1 0.75 证明线面垂直；证明面面垂直；线面角的向量求法；已知面面角求其他量； 2 0.75 求回归直线方程：相关系数的意义及辨析：相关系数的计算；求离散型随机变量的均值： 3 0.65 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求已知函数的极值；利用导数证明不等式： 求抛物线的轨迹方程；抛物线中的定值问题；直线与抛物线交点相关问题：根据韦达定 4 0.65 理求参数； 5 0.60 错位相减法求和；分组（并项）法求和；数列新定义；数列综合： 3一