8.4乘法公式 （第1课时　完全平方公式）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

苏科版（2024）七年级数学下册 第八章 整式的乘法 8.4 乘法公式 第1课时　完全平方公式 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1．能推导完全平方公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算； 2．在探索完全平方公式的过程中，进一步感悟数形结合的思想． 5.2米 5.2米 27.04平方米 学校中心花园有一块边长为5.2米的正方形绿地，它的面积是多少呢？ 边长为10.2米呢？ 104.04平方米 情景导入 4 小刚，你知道小明为什么算得这么快吗？ 若边长为（a+1）米，面积是多少呢？你会计算吗？ 改为其他类似的多项式呢？ 5 计算下列多项式的积 (1) (a+1)2=__________=_________； a2+2a+1 (2) (a-1)2=__________=_________； a2-2a+1 (a+1)(a+1) (a-1)(a-1) (3) (m+2)2=___________=_________； m2+4m+4 (4) (m-2)2=__________=_________. m2-4m+4 (m+2)(m+2) (m-2)(m-2) 观察计算结果,你能发现什么规律？ a2+2a+12 a2-2a+12 m2+2×2m+22 m2-2×2m+22 新知探究 6 (a+b)2 (a-b)2 请你猜想： =a2+2ab+b2 =a2-2ab+b2 你能证明你的猜想吗？ 用多项式乘法证明： (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 (a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 7 你还能想到其他证明方法吗？ 借助几何图形证明： 如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 . 还可以看成两个小正方形和两个小长方形面积的和， ∴(a+b)2=a2+2ab+b2 b a a b a2 ab ab b2 即a2+ab+ab+b2， 8 借助几何图形证明： 它的面积还可以看成大正方形的面积减去两个小长方形面积的差， 如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 . ∴(a-b)2=a2-2ab+b2. (a-b2) a-b b b a-b ab ab b2 即a2-ab-ab+b2 9 观察这两个公式并思考： (a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2 (a－b)2=a2 － 2ab + b2 公式的左边有什么特点？右边呢？ 把你的发现与小组里的同学相互交流一下. 左边是 的平方 右边是 两项和 (差) 积为二次三项式， 积中两项为两数的平方和， 另一项是两数积的2倍， 且与乘式中间的符号相同. 记忆口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方” 尝试 10 完全平方公式 (a＋b)2=a2 ＋ 2ab + b2 (a－b)2=a2 － 2ab + b2 文字表述： 两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和； 两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差. 公式中的字母a、b既可以表示单项式又可以表示多项式. 概念归纳 11 例 1　用完全平方公式计算： (1) (5+3p)2 解:原式= 第一数 的平方, 加上 第一数 与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方. 52 + 5×3p 2× + (3p)2 =25+30p+9p2 例题讲解 12 例 1　用完全平方公式计算： 解：(2x－7y)2 ＝(2x)2－2·2x·7y＋(7y)2 ＝4x2－28xy＋49y2; (2) (2x－7y)2； (3)(－2a－5)2 (－2a－5)2 ＝(－2a)2－2·(－2a)·5＋52 ＝4a2＋20a＋25. 想一想还有其他解法吗？小组讨论. 13 例 1　用完全平方公式计算： 解：(2x－7y)2 ＝[2x＋(－7y)]2 ＝(2x)2＋2·2x·(－7y)＋(－7y)2 ＝4x2－28xy＋49y2; (－2a－5)2 ＝[－(2a＋5)]2 ＝(2a＋5)2 ＝(2a)2＋2·2a·5＋52 ＝4a2＋20a＋25. (2) (2x－7y)2； (3)(－2a－5)2 (ɑ+b)2=(-ɑ-b)2 简化运算 思考:(a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?小组讨论. 14 例2 用完全平方公式计算:1992. 解 1992 =（200-1）2 =2002-2×200×1+12 =4000-400+1 =39601 例题讲解 用完全平方公式计算： （1）9982； （2）20012. 解： （1） 9982 ＝(1000-2)2 ＝10002-2×1000×2＋22 ＝1000000－4000+4 ＝996004 （2） 20012 ＝(2000 ＋1)2 ＝20002＋2×2000×1＋12 ＝4000000＋4000＋1 ＝4004001 运用完全平方公式可以起到简便运算的作用. 16 用完全平方公式计算： （3）1022； （4）1972. 解：(1)1022 ＝(100＋2)2 ＝1002＋2×100×2＋22 ＝10000＋400＋4 ＝10404. (2)1972 ＝(200－3)2 ＝2002－2×200×3＋32 ＝40000－1200＋9 ＝38809. 17 用完全平方公式计算： （a+b+c)2 试一试 说出自己的想法，小组交流. 解法1: (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2·(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 方法总结： 独立完成其他解法. 把其中两项看成一个整体，再运用完全平方公式计算. 探究 18 课堂练习 1.下面的计算是否正确？如有错误，请改正。 课堂练习 1.下列各式中，与 相等的是( ) B A. B. C. D. 分层练习 2.[2024无锡期中] 下列各式中计算正确的是( ) D A. B. C. D. 22 3.如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个 等式？( ) C A. B. C. D. 23 4.计算： （1） ____________； （2） _________________； （3） ________________； （4） ________________； （5） ________. 24 5.填空： （1）[2024常州金坛区期中] _____； （2） ___. 2 6.填空： （1）（___） ____； （2）（_ _） __. 4 16 7.[2024南京雨花台区期中] 若，则 的值为_____. 25 8.运用完全平方公式计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 26 9.[2024徐州期中] 先化简，再求值： ，其中， . 解：原式 . 当，时，原式 . 27 10.小刚把展开后得到，把 展开后 得到，则 的值为( ) C A.1 B. C.49 D. 综合应用题 如图所示为正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，其 面积之和比其余面积（阴影部分）多 ，则主卧和客卧的周长之差为( ) D A. B. C. D. 28 12.在多项式 中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全 平方公式，则这个单项式为____________. 或 13.如果是一个完全平方式，那么 ___. 2 29 14. （1）已知，，则 ___； 5 [解析] 因为， ， 所以， . 所以，解得 . （2）已知，，则 ____. 29 [解析] 因为， ， 所以 . 30 15.用完全平方公式进行计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 31 16.已知，且 . （1）求 的值； 解：因为 ， 所以 . 所以 . 将代入,得 ， 所以 . （2）求 的值. 解：当, 时， 原式 . 32 17.[2024淮安清江浦区期末] 我们在解题时，经常会遇到“数的平方”， 那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列 各式的规律，回答问题： ； ； ；… （1）请根据上述规律填空：__________________ _______； 1 444 创新拓展题 33 （2）我们知道，任何一个两位数（个位上的数字为 ，十位上的数字为 ）都可以表示为，根据上述规律写出： ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ __________________________________ ，并用所学知识说明你的 结论的正确性. 因为 ， ，所以 . 34 1、完全公式： （a±b）2＝a2±2ab＋b2 2、运用时紧扣公式中的a和b， 注意乘积项的符号. 课堂小结 $$