第2章 二元一次方程组（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第2章 二元一次方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、二元一次方程(组)的整数解 【解惑】已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（    ） A． B．1 C．或3 D．或 【融会贯通】 1．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3 2．若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为 . 3．已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值． 类型二、二元一次方程组的换组求解 【解惑】如果方程组的解与方程组的解相同，则，的值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2023 2．已知关于，的两个方程组和的解相同，则 ． 3．已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的平方根． 类型三、二元一次方程组的误解 【解惑】在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的平方根为（    ） A．±3 B．3 C．9 D．±9 【融会贯通】 1．两位同学在解方程组时，甲同学由 正确地解出 乙同学因把 写错了解得 那么 的正确的值应为（　　） A． B． C． D． 2．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则 ． 3．甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值． 类型四、二元一次方程组的整体代换法 【解惑】已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于x，y的方程组 的解为 请直接写出关于m、n的方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ． 3．在数学课上，老师教给了同学们一种新的解方程组的方法，例如：解方程组 时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． (1)用上述方法解方程组 (2)若方程组的解是，求方程组的解． 类型五、二元一次方程组的新定义运算 【解惑】对于实数x、y定义新运算：（其中a，b为常数），已知，则的值为（    ） A．9 B．8 C．4 D．3 【融会贯通】 1．对于实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为．所以．若x，y满足方程组，则（    ） A．13 B．26 C．30 D．60 2．对于定义一种新运算（是非零常数）．例如．若，，则 ． 3．对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． 类型六、二元一次方程组的应用——平行线问题 【解惑】已知，如图1，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，，且． (1)求α，β； (2)如图2，若点G，H分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论； (3)若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图3），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【融会贯通】 1．某市为提升山海健康步道夜景效果，在两条笔直平行的景观道，上安装旋转灯，旋转灯A的光射线自顺时针旋转至再回转，灯B的光射线自旋转至再回转，灯A为激光灯，灯B为灯，分为两种型号，型号一每秒转，型号二每秒转，这两种型号的灯购买费用如下表： 购买型号一数量（个） 购买型号二数量（个） 总价（元） 1 2 145 3 4 335    (1)如图1，若灯A的光射线顺时针旋转，光线与交于C点，D为上一点，且，求． (2)如图2，若灯A每秒转，其先转20秒后灯B开始转40秒后，两灯的光束的夹角为．请你判断所安装的是哪个型号的灯，并求该型号灯单个购买费用． (3)如图3，在转动过程中，若某一时刻两灯的光束交于点O，此时点E为射线上一点，与的角平分线交于点F，求和的数量关系． 2．佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内），灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转，当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动．    (1)若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？ (2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． (3)如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 3．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，过点作于点，与有何数量关系，并说明理由； （2）如图2，在（1）问的条件下，点，在上，连接，，，若平分，平分，，，求的度数． 类型七、二元一次方程组的应用——图表信息问题 【解惑】在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 【融会贯通】 1．如图，从左向右依次摆放序号分别为，，，．．．的小正方形卡片，每个小正方形卡片上均画有若干个小圆点．其中任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等．    (1)分别求出，的值； (2)当时，所有这些小正方形纸片上的小圆点数量之和是多少？ (3)小明说，第个小正方形卡片上的小圆点的个数是个，请直接判断他的说法是否正确． 2．如表，在3×3的方阵中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等． 3 4 ﹣2 备用表 3 4 ﹣1 ﹣2 2 6 5 0 1 (1)求，的值； (2)在备用表中完成此方阵图． 3．为了让居民树立起“节约水，保护水”的用水概念，某市的居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水计费价格表的部分信息． 每户每月用水量 自来水销售价格/（元/t） 污水处理价格/（元/t） 10t及以下 m 0.8 超过10t但不超过20t的部分 n 0.8 超过20t的部分 3.20 0.8 （说明：①每户产生的污水量等于该用户自来水用量：②水费=自来水费用+污水处理费用） 已知小李家去年6月份用水10t，缴纳水费25元；7月份用水15t，缴纳水费45.5元． （1）求表中的m，n的值； （2）小李家去年8月份的水费正好是家庭月收入的1%，已知小李家的月收入为8000元，求小李家8月份的用水量． 类型八、二元一次方程组的新定义应用 【解惑】阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：________，________． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 【融会贯通】 1．定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 2．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 3．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 类型九、二元一次方程组的整体思想 【解惑】阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． (1)请按照小强的解法解出这个方程组； (2)用整体代入法解方程组 【融会贯通】 1．先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 2．先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足，①，，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 3．阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为， 解得，∴，∴原方程组的解为． (1)若方程组的解是，试求方程组的解； (2)仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 类型十、阅读理解 【解惑】【阅读理解】 我们把形如（a、b均为整数，且．）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，∵，∴，∵y为正整数， 1，2，3，故原方程的正整数解有3个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（k为正整数），则 ，，，，故原方程的正整数解有1个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于x和y的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出m的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中A 类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 【融会贯通】 1．【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组 解：（1）把代入得：解得：． 把代入得：． 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）得： 得； 【类比迁移】（1）若，则______． （2）运用整体代入的方法解方程组． 【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买瓶消毒液、支测温枪、套防护服共需元；打折后购买瓶消毒液、支测温枪、套防护服共需元，比不打折时少花了多少钱？ 2．阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任意实数a与bi相加记作a+bi．由此，我们将形如a+bi（a，b均为实数）的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．对于复数a+bi（a，b均为实数），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它是纯虚数．例如3+2i，，﹣，i都是虚数，它们的实部分别是3，，，0，虚部分别是2，，，，并且以上虚数中只有i是纯虚数． 阅读理解以上内容，解决下列问题： （1）化简：﹣2i2＝ ；（﹣i）3＝ ． （2）已知复数：m2﹣1+（m+1）i（m是实数） ①若该复数是实数，则实数m＝ ； ②若该复数是纯虚数，则实数m＝ ． （3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值． 3．阅读理解，并解决问题： “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解． 例：当代数式的值为7时，求代数式的值． 解：因为，所以． 所以． 以上方法是典型的整体代入法． 请根据阅读材料，解决下列问题： （1）已知，求的值． （2）我们知道方程的解是，现给出另一个方程，则它的解是　　　　． 【一览众山小】 1．下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知有理数，满足，则 ． 5．已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足方程，则k的值为 ． 6．方程组的解与的和是，则 ． 7．李阿姨要为家里添加餐具，分别买了型号不同的大、小两种碗，共花了80元．已知小碗每只6元，大碗每只8元，李阿姨买了大、小碗各几只？ 8．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ 9．新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． (1)小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； (2)原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 10．某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 二元一次方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、二元一次方程(组)的整数解 【解惑】已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（    ） A． B．1 C．或3 D．或 【答案】D 【分析】利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， 得， 解得， ∵为整数，为整数， ∴， ∴的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组． 【融会贯通】 1．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3 【答案】C 【分析】先求出方程组的解，由方程组的解为正整数分析得出a值． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解为正整数， ∴a＝0时，；a＝2时，， ∴满足条件的所有整数a的和为0+2＝2． 故选：C． 【点睛】此题考查了已知二元一次方程组的解求参数，解题的关键是求出方程组的解，由方程组解的情况分析得到a的值． 2．若关于的二元一次方程组的解为整数，则满足条件的所有的值的和为 . 【答案】 【分析】把看作已知数由加减消元法求得，由方程组的解为整数，确定出的值即可． 【详解】解：， 得， 解得： ∵关于、的方程组的解为整数， ∴， ∴满足条件的所有的值的和为． 故答案为：． 3．已知关于x和y的方程组有正整数解，求整数a的值． 【答案】1或2或4或10 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用有理数的整除的性质解答是解题的关键．利用加减法求出方程组的解，利用已知条件得到关于a的关系式，利用有理数的整除的性质解答即可得出结论 【详解】解：， 由得： ， ∴当时，， ∵有正整数解 ∴，且或2或3或4或6或12 ∴， 当，则，此时，（舍）； 当，则，此时，（舍）； 当，则，此时，； 当，则，此时，； 当，则，此时，； 当，则，此时，， ∴整数a的值为1或2或4或10． 类型二、二元一次方程组的换组求解 【解惑】如果方程组的解与方程组的解相同，则，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两方程组的解相同，可得出方程组的解为，代入后可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意方程组的解与方程组的解相同，则有 ， 解得：， 将，代入得， ， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2023 【答案】B 【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，即可求出所求． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 把，代入得：， 解得：， 则原式． 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 2．已知关于，的两个方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程，先根据方程组和的解相同，得方程组的解是方程组和的解，再由，得，然后将代入和中，得，由此可得的值，理解二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵方程组和的解相同， ∴方程组的解是方程组和的解， 解方程组，得， 将代入和， 得， 得：， ∴， 故答案为：． 3．已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，平方根，由同解方程求解x，y值是解题的关键． 根据两方程组的解相同可将和重新组成方程组，解方程组可求解x，y值，即可得关于a，b的方程组，进而可求解的值． 【详解】解：∵方程组的解和的解相同， ∴方程组的解和的解相同， 解得：， ∴， 解得：， ∴， 即代数式的平方根为． 类型三、二元一次方程组的误解 【解惑】在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的平方根为（    ） A．±3 B．3 C．9 D．±9 【答案】A 【分析】根据方程组的解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可解得a，b的值，进而即可求解. 【详解】解：将代入②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴，即：的平方根是±3， 故选 A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和平方根的定义，能求出a、b的值是解题的关键． 【融会贯通】 1．两位同学在解方程组时，甲同学由 正确地解出 乙同学因把 写错了解得 那么 的正确的值应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入得，由方程组中第二个式子可得：．再由，可得a，b的值，从而可得答案． 【详解】解：把代入得： ， 由②得：， ∵乙同学因把 写错了解得 ， ∴， ∴，解得：， ∴B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组． 2．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则 ． 【答案】10 【分析】将代入方程组可得，再将代入方程可得，然后解方程组可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组可得，解得， 将代入方程可得， 联立，解得， 则， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 3．甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，代数式的值计算，熟练掌握解方程组的解的性质，是解题的关键． 把，代入，求得a值，把，代入，求得b值，后求的值即可． 【详解】解：把，代入， 得， 解得， 把，代入， 得， 解得， 所以． 类型四、二元一次方程组的整体代换法 【解惑】已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解，解二元一次方程组是解题的关键． 由题意得，关于，的方程组的解是，进而可得关于，的方程组的解． 【详解】解：∵关于，的方程组的解是， ∴关于，的方程组的解是，即， ∴关于，的方程组的解是， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知关于x，y的方程组 的解为 请直接写出关于m、n的方程组 的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据关于x，y的方程组 的解为 ，得出，结合关于m、n的方程组 ，得出，进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵关于x，y的方程组 的解为 ， ∴ ∵关于m、n的方程组 ∴ 解得 故选：B 2．已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴，解得：； 故答案为：． 3．在数学课上，老师教给了同学们一种新的解方程组的方法，例如：解方程组 时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． (1)用上述方法解方程组 (2)若方程组的解是，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程组的解，解一元二次方程组，根据题中给出的整体代入的方法求解方程组是解题关键． （1）根据题中给出的方法，利用整体代入法求解方程组即可； （2）根据题意可得出，再利用加减消元法求解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得， 将代入③，得， 解得， 所以方程组的解为； （2）方程组的解是， 由题意可得， 解得． 类型五、二元一次方程组的新定义运算 【解惑】对于实数x、y定义新运算：（其中a，b为常数），已知，则的值为（    ） A．9 B．8 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算；因此此题可根据题中所给新定义运算建立方程组，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴； 故选A． 【融会贯通】 1．对于实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为．所以．若x，y满足方程组，则（    ） A．13 B．26 C．30 D．60 【答案】D 【分析】先利用加减消元法求出方程组的解，再根据所给的新定义代值计算即可． 【详解】解：解方程组得， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义下的实数运算，正确求出方程组的解是解题的关键． 2．对于定义一种新运算（是非零常数）．例如．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先根据题意确定关于的二元一次方程，求解即可确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， ∴． 故答案为：． 3．对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组： （1）根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据新定义的法则，结合，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴； （2）根据题意得， ， 解得． 类型六、二元一次方程组的应用——平行线问题 【解惑】已知，如图1，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，，且． (1)求α，β； (2)如图2，若点G，H分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论； (3)若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图3），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不变，． 【分析】（1）利用非负数的性质可知：； （2）结论．只要证明即可解决问题； （3）结论：的值不变，．如图3中，作的平分线交的延长线于．只要证明，即可； 【详解】（1）证明：， ； （2）解：． 理由：∵， ∵平分 ， ∵， ， ∴； ， ， ， ∴， ， ， ； （3）解：的值不变，． 理由：如图3中，作的平分线交的延长线于． ∵， ， ，， ， ∴， ， 设，， 则有：，可得， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、非负数的性质、解二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 【融会贯通】 1．某市为提升山海健康步道夜景效果，在两条笔直平行的景观道，上安装旋转灯，旋转灯A的光射线自顺时针旋转至再回转，灯B的光射线自旋转至再回转，灯A为激光灯，灯B为灯，分为两种型号，型号一每秒转，型号二每秒转，这两种型号的灯购买费用如下表： 购买型号一数量（个） 购买型号二数量（个） 总价（元） 1 2 145 3 4 335    (1)如图1，若灯A的光射线顺时针旋转，光线与交于C点，D为上一点，且，求． (2)如图2，若灯A每秒转，其先转20秒后灯B开始转40秒后，两灯的光束的夹角为．请你判断所安装的是哪个型号的灯，并求该型号灯单个购买费用． (3)如图3，在转动过程中，若某一时刻两灯的光束交于点O，此时点E为射线上一点，与的角平分线交于点F，求和的数量关系． 【答案】(1) (2)50 (3) 【分析】（1）根据题意可知，，根据平角的定义和平行线的性质即可得出答案； （2）设两灯的光束交于点，过作，根据平行线的性质得 ，则，根据题意得 ，进而算出，根据“转速二转过的角度时间”列出算式计算，设设型号一的灯单价为元，型号二的灯单价为元，根据题意列出二元一次方程组，再求解即可； （3）设与交于点，根据平行线的性质得，即，，根据角平分线的性质得，再根据角平分线的性质和三角形外角性质得 ，以此化简即可解答． 【详解】（1）解：∵灯的光射线顺时针旋转，光线与交于点， （2）解：设两灯的光束交于点，过作， 由题意可得， ∴， ∴， ∴灯的旋转速度为(度/秒) ∴安装的是型号二的灯， 设型号一的灯单价为元，型号二的灯单价为元， 根据题意得：， 解得∶， 型号一的灯单价为45元，型号二的灯单价为50元， ∴该型号灯单个购买费为50元； （3）解：设与交于点，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∵、分别为与的角平分线， ∴， ∵ ∴，即， ， 即 即． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、二元一次方程组的应用、角平分线的性质、三角形外角 性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 2．佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内），灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转，当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动．    (1)若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？ (2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． (3)如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 【答案】(1)买灯A单价是万元，买灯B的单价是万元； (2)秒，秒，秒； (3) 【分析】（1）列二元一次方程组求解即可； （2）分三种情况画出图形，根据角的关系列出方程求解即可； （3）过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可. 【详解】（1）解：设买灯A和灯B的单价分别是万元和万元，根据题意，得： 解得： 答：买灯A单价是万元，买灯B的单价是万元． （2）解：设旋转时间为秒， 灯A的光射线第一次从射线顺时针旋转至射线所需的时间为：(秒)， 灯B的光射线从射线顺时针旋转到射线所需的时间为：(秒)， ①当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：    作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 于是有：， 解得：； ②当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：    此时，，， 于是有：， 解得：； ③当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：    此时，， ， 于是有：， 解得：； 综上可得，当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为：秒，秒，秒 （3）解：与的数量关系是： 过点作，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵作与的角平分线并交于点F， ∴， ∴ 即. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，平行线的判定和性质，角平分线的定义，构造图形并正确分类是解题的关键. 3．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，过点作于点，与有何数量关系，并说明理由； （2）如图2，在（1）问的条件下，点，在上，连接，，，若平分，平分，，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）9° 【分析】（1）先过点作，根据同角的余角相等，得出，再根据平行线的性质，得出，即可得到，可得； （2）先过点作，根据角平分线的定义，得出，再设，，根据，可得，根据，可得，最后解方程组即可得到． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∵， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，过点作， ∵平分，平分， ∴，， 由（1）可得， ∴， 设，， 则，，，， ∴， ∵，， ∴， 中，由，可得 ，① 由，可得 ，② 由①②联立方程组，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 类型七、二元一次方程组的应用——图表信息问题 【解惑】在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1                        图2                  图3                            图4 (1)在图2的“等和格”方格图中，可得__________（用含的代数式表示）； (2)在图3的“等和格”方格图中，可得__________，__________； (3)在图4的“等和格”方格图中，可得__________． 【答案】(1) (2)；2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，找出关于a，b的方程（或方程组）是解题的关键． （1）根据“等和格”的定义，即可得出，变形后即可用含b的代数式表示出a； （2）根据“等和格”的定义，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求出a，b的值； （3）根据“等和格”的定义，即可得出关于a，b的二元二次方程组，方程①变形后可得出方程③，方程②变形后可得出方程④，再将③代入④中即可求出b的值． 【详解】（1）解：依题意得：， ． 故答案为：． （2）依题意得：， 解得：． 故答案为：；2． （3）依题意得：， 由①可得：③， 由②可得：④， 将③代入④中得：． 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图，从左向右依次摆放序号分别为，，，．．．的小正方形卡片，每个小正方形卡片上均画有若干个小圆点．其中任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等．    (1)分别求出，的值； (2)当时，所有这些小正方形纸片上的小圆点数量之和是多少？ (3)小明说，第个小正方形卡片上的小圆点的个数是个，请直接判断他的说法是否正确． 【答案】(1)， (2) (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查图形变化的规律， （1）根据任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等，建立关于，的方程组即可解决问题； （2）根据卡片上小圆点个数变化的规律即可解决问题； （3）根据卡片上小圆点个数变化的规律即可解决问题； 能根据所给图形发现卡片上小圆点的个数按，，，循环出现是解题的关键． 【详解】（1）解：∵任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等， ∴， 解得：； （2）由题知，连续个相邻卡片上小圆点的个数之和为：， 又∵， ∴， 故这些小正方形纸片上的小圆点数量之和是； （3）正确． 理由：∵卡片上小圆点的个数按，，，循环出现， ∴， ∴第个小正方形卡片上的小圆点的个数是个， ∴小明的说法正确． 2．如表，在3×3的方阵中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等． 3 4 ﹣2 备用表 3 4 ﹣1 ﹣2 2 6 5 0 1 (1)求，的值； (2)在备用表中完成此方阵图． 【答案】(1)，； (2)﹣1，2，6，5，0，1 【分析】（1）根据题意构造关于，的二元一次方程组进行求解； （2）利用（1）结果代入计算求值． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得：， ∴，； （2）将，代入方阵， 可得， ， 解得，， ∴， 解得， 故答案为：﹣1，2，6，5，0，1． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组解决方阵问题的能力．关键是能根据题意列出方程组并进行求解． 3．为了让居民树立起“节约水，保护水”的用水概念，某市的居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水计费价格表的部分信息． 每户每月用水量 自来水销售价格/（元/t） 污水处理价格/（元/t） 10t及以下 m 0.8 超过10t但不超过20t的部分 n 0.8 超过20t的部分 3.20 0.8 （说明：①每户产生的污水量等于该用户自来水用量：②水费=自来水费用+污水处理费用） 已知小李家去年6月份用水10t，缴纳水费25元；7月份用水15t，缴纳水费45.5元． （1）求表中的m，n的值； （2）小李家去年8月份的水费正好是家庭月收入的1%，已知小李家的月收入为8000元，求小李家8月份的用水量． 【答案】（1）m=1.7，n=3.3；（2）23.5吨 【分析】（1）根据等量关系：“小李家去年6月份用水10t，缴纳水费25元；7月份用水15t，缴纳水费45.5元”可列方程组求解即可． （2）先求出小李家8月份的水费，小李家8月份的用水量范围，再根据8月份的水费正好是家庭月收入的1%，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得： ， 解得：； （2）当用水量为20吨时，水费为： 25+（20-10）×（3.3+0.8）=66（元）， 8000×1%=80元， ∵66＜80， ∴小李家8月份的用水量超过30吨， （80-66）÷（3.2+0.8）+20 =23.5（吨）． 故小李家8月份的用水量是23.5吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题干找出合适的等量关系． 类型八、二元一次方程组的新定义应用 【解惑】阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于．记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． (1)填空：________，________． (2)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下面问题： 已知：，（x，y为实数），求x，y的值． 【答案】(1)，1 (2)， 【分析】（1）根据，结合，解答即可． （2）根据实部等于实部，虚部等于虚部，构造方程组解答即可． 本题考查了新知识的拓展学习，正确理解新知识，并转化成已学知识解答是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴，， 故答案为：，1． （2）解：， ∴， 解得 故x的值为，y的值为． 【融会贯通】 1．定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到； （2）根据表格的数据求得，即可求得这个方程的共轭二元一次方程； （3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中与的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）解：方程中，当时，；当时，， ， 解得， 这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 共轭方程组的解是， ． 2．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【详解】（1）解：与它的“变更方程”为， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； （3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵是整数， ∴． 3．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 类型九、二元一次方程组的整体思想 【解惑】阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． (1)请按照小强的解法解出这个方程组； (2)用整体代入法解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握整体代入法解方程组是解本题的关键； （1）由①得：，再代入②得：可得，再进一步求解即可； （2）由①得：③，把③代入②得：可得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：． （2）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 整理得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【融会贯通】 1．先阅读材料： 解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由第一个方程得到，再把③代入②求出x的值，进而求出y的值即可． 【详解】解： 由①得：， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为． 2．先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，我们需要求解的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足，①，，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大，其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 【答案】(1)；1 (2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 (3) 【分析】（1）利用可得出的值，利用可得出的值； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，再乘5即可求出结论； （3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由可得出的值，即的值． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：． 故答案为：；1； （2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 依题意，得：， 由可得， ； 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． （3）解：依题意，得：， 由可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 3．阅读材料：善于思考的小聪同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，，原方程组可化为， 解得，∴，∴原方程组的解为． (1)若方程组的解是，试求方程组的解； (2)仿照小聪同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，，则原方程组可化为，解出m，n，代入得到，再解出关于x，y的方程组即可． 【详解】（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， ∴原方程组的解为． 类型十、阅读理解 【解惑】【阅读理解】 我们把形如（a、b均为整数，且．）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，∵，∴，∵y为正整数， 1，2，3，故原方程的正整数解有3个，分别为 ，，； 若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如，则 ，设（k为正整数），则 ，，，，故原方程的正整数解有1个，为 ． 【问题解决】 （1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解； （2）若关于x和y的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出m的值； 【应用迁移】 （3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中A 类型笔记本7本，B类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确． 【答案】（1），  （2）  （3）吴老师的判断正确 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，根据题意，找到解题思路. （1）根据题意, 可得, 根据均为正整数, 即可求解; （2）根据正整数解的解法计算即可； （3）设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，根据题意，可得根据均为正整数，即可求解. 【详解】（1）∵, ∴, ∵均为正整数, ∴，； （2）解：∵， ∵, ， 又∵ ∴, ∴, ∵二元一次方程有且只有一个正整数解， ∴； 设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，根据题意， 可得即， ∵均为正整数, 设（k为正整数），则 ， ， ， 不能为整数， 故原方程无正整数解． ∴吴老师的判断正确． 【融会贯通】 1．【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化难为易． （1）解方程组 解：（1）把代入得：解得：． 把代入得：． 所以方程组的解为 （2）已知，求的值． 解：（2）得： 得； 【类比迁移】（1）若，则______． （2）运用整体代入的方法解方程组． 【实际应用】（3）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资，已知打折前购买瓶消毒液、支测温枪、套防护服共需元；打折后购买瓶消毒液、支测温枪、套防护服共需元，比不打折时少花了多少钱？ 【答案】（1）23；（2）；（3）比不打折时少花了元 【分析】（1）求即可； （2）将看作一个整体进行分析计算即可； （3）通过观察发现打折前和打折后的数量关系，通过运算得到所求． 【详解】解：（1）， 得：． 故答案为：； （2）由可得：， 把代入得：， 解得：， 将代入③中的，， 解得：， 方程组的解为； （3）设打折前消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元， 打折后消毒液、测温枪和防护服的单价为元，元，元， 则、、分别为每瓶消毒液、每支额温枪、每套防护服少花的钱， 由题意可得， ， ，得： ， 得： ， 左右两边乘得， ， 比不打折时少花了元． 【点睛】本题考查三元一次方程组，注意运用整体代入是关键． 2．阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任意实数a与bi相加记作a+bi．由此，我们将形如a+bi（a，b均为实数）的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．对于复数a+bi（a，b均为实数），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它是纯虚数．例如3+2i，，﹣，i都是虚数，它们的实部分别是3，，，0，虚部分别是2，，，，并且以上虚数中只有i是纯虚数． 阅读理解以上内容，解决下列问题： （1）化简：﹣2i2＝ ；（﹣i）3＝ ． （2）已知复数：m2﹣1+（m+1）i（m是实数） ①若该复数是实数，则实数m＝ ； ②若该复数是纯虚数，则实数m＝ ． （3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值． 【答案】（1）2，；（2）①；②1；（3）． 【分析】（1）利用化简各式即可得； （2）①根据题中定义可得，解方程即可得； ②根据题中的新定义可得，，利用平方根解方程即可得； （3）根据题中的新定义列出关于的方程组，解二元一次方程组即可得． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：2，； （2）①若该复数是实数，则， 解得， 故答案为：； ②若该复数是纯虚数，则， 解得， 故答案为：1； （3）由题意得：， 解得． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程、解二元一次方程组，理解题中的新定义是解题关键． 3．阅读理解，并解决问题： “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造，…，有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解． 例：当代数式的值为7时，求代数式的值． 解：因为，所以． 所以． 以上方法是典型的整体代入法． 请根据阅读材料，解决下列问题： （1）已知，求的值． （2）我们知道方程的解是，现给出另一个方程，则它的解是　　　　． 【答案】（1）2020；（2）， 【分析】（1）先将所求代数式进行整理变形，再将已知式子的值代入求值即可得解； （2）所解方程与已知方程形式一样，故可得或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】解：（1） ∵ ∴原式 ∴ 的值为； （2）∵方程的解是 ∴方程则有：或 ∴， ∴的解为：，． 【点睛】本题考查了整体思想在代数求值、解一元二次方程中的运用，“整体思想”是数学中的一种重要思想，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清晰，演算简单，复杂问题迎刃而解． 【一览众山小】 1．下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．不是一次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； B．该方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意； C．不是一次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D．该方程组含有三个未知数，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．正确得出等量关系是解题的关键． 根据题意可得等量关系：①男生人数+女生人数=35；②男生种树的总棵树+女生种树的总棵树=87棵，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】该班男生有人，女生有人， ∵该班共35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵， ∴得． 故选：D． 3．已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【详解】a．当时，关于的方程组为， 解得， 所以， 当时，， 所以当时，方程组的解也是的解，正确； b．解方程组，得， 所以， 所以无论取何值，的值不可能互为相反数，正确； c．由得， 所以原方程组的正整数解是，共2对，错误； d．， 得，， 因为， 所以， 解得，正确； 所以正确的有． 故选：C． 4．已知有理数，满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，以及乘方和绝对值的非负性，解二元一次方程组：熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 利用乘方的偶次方的非负性和绝对值的非负性求出a与b的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：1． 5．已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足方程，则k的值为 ． 【答案】 【分析】首先结合得，求出x，y的值，再将，的值代入得出答案即可． 本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解得， 将代入， 得， 解得． 故答案为：． 6．方程组的解与的和是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法求出方程组的解，再根据与的和是列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， 把代入①得，， 解得， ∵与的和是， ∴， 解得， 故答案为：． 7．李阿姨要为家里添加餐具，分别买了型号不同的大、小两种碗，共花了80元．已知小碗每只6元，大碗每只8元，李阿姨买了大、小碗各几只？ 【答案】小碗4只，大碗7只或小碗8只，大碗4只或小碗12只，大碗1只 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出方程的解．根据题意设大碗个，小碗个，列出相应的二元一次方程，然后根据、均为正整数，即可解答本题． 【详解】解：设大碗个，小碗个 、均为正整数 或或 答：小碗4只，大碗7只或小碗8只，大碗4只或小碗12只，大碗1只． 8．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ 【答案】每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、准确找出等量关系，列出二元一次方程是解题的关键； 设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元，根据1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元，列出二元一次方程组求解即可； 【详解】解：（1）设每个“神舟”模型的进价为x元，每个“天宫”模型的进价为y元，由题意得 解得． 答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元． 9．新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． (1)小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； (2)原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 【答案】(1)见解析 (2)有5种购买方案，当时，，花费最高 【分析】本题考查二元一次方程组的实际问题和一元一次不等式的实际问题，正确理解题意，找出数量关系并列出方程组或不等式是解题的关键． （1）根据题意，设、两种年货单价分别为、元，列出方程组求解，然后结合实际说明即可； （2）设购买种年货个，列出不等式组求解，然后结合实际情况即可求解； 【详解】（1）解：设、两种年货单价分别为、元， 即， 解得：， ∵种年货单价不应为负， ∴小宏记录错误． （2）解：设购买种年货个，则种年货个， 即：， 即， 解得：， ∵年货个数为正数， ∴可以取、、、、， ∴共有5种购买方案； ∵是关于的一次函数， ∴随的增大而减小， 即当时，取最大值，， ∴当时，花费最高； 10．某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）． 情境 内容 图形 情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． 情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒． 情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4． 根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完 (2)能，理由见解析 (3)丙纸板的张数为张或张 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张， 由题意得：， 解得：， 答：做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完； （2）解：能，理由如下， ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∴当竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为； （3）解：设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个， 由题意得：， 解得：， ∵纸板的使用率为， ∴、均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴或， ∴丙纸板的张数为张或张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确的识图、找准等量关系列出方程组是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$