第2章 二元一次方程组（基础类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第2章 二元一次方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、二元一次方程的定义与解 【解惑】下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程”，即可解答． 【详解】A．是二元一次方程，此选项符合题意； B．是一元二次方程，不是二元一次方程，此选项不符合题意； C．不是二元一次方程，此选项不符合题意； D．是一元一次方程，不是二元一次方程，此选项不符合题意； 故选：A． 【融会贯通】 1．若是二元一次方程的解，则a的值为（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知二元一次方程解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入到得到关于的方程即可求解． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ， ， 故选：B． 2．若关于字母、的方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．利用二元一次方程定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 3．已知二元一次方程，当时， ． 【答案】1 【分析】本题关键是将二元一次方程转化为关于y的一元一次方程来解答．当一个未知数的值确定时，即可求出另一个未知数的值．将代入方程中，解出即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：1 类型二、二元一次方程组的定义与解 【解惑】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 【详解】解：、含有三个未知数，不符合题意； 、符合二元一次方程组的定义，符合题意； 、未知数项的次数是，不符合题意； 、未知数在分母上，不是整式方程，不符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键． 【详解】解：A选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项符合题意； B选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； C选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； D选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 故选：． 2．若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组求解． 【详解】解：“”可以是：， 故答案为：．（答案不唯一，符合即可） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 3．写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．据此求解即可． 【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 类型三、三元一次方程组的定义与解 【解惑】方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加减消元法求解即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：． 由得：， 解得：． 由得：， 解得：． 故原方程组的解为． 故选D． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键． 【融会贯通】 1．若二元一次方程，，有公共解，则k的取值为（   ） A．3 B．-3 C．-4 D．4 【答案】D 【分析】先利用方程和组成方程组，求出x、y，再代入求出k值. 【详解】由题意，得： 解得： 将代入中，得：， 解得：. 故选D. 【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单. 2．已知，，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查三元一次方程组的解法，设，则整理得出，，，，代入求得t，进一步代入求得x的值． 【详解】解：设， 则，，， 代入得： 解得：， ， 故答案为：． 3．若，则_________； 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质可得，解方程组求出的值即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 类型四、列二元一次方程组 【解惑】《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得： ． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，由图形可发现小长方形墙砖的一个长与两个宽的和为，五个宽的和为，据此即可列方程组． 【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得 ． 故选：C 2．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三百，得酒十斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有300钱，买得10斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．设醇酒为斗，行酒为斗，根据“今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有300钱，买得10斗酒”列出方程组． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 3．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 【答案】/35厘米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键． 设每块墙砖的长为，宽为，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得： 解得：， ． 类型五、已知二元一次方程组的解求参 【解惑】已知是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的解．把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程，得， 解得． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知是方程的一组解，则m的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键． 把解代入方程，转化为关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得， 故选：B． 2．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．如果将二元一次方程组的第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且是这个方程组的解，你能求出原方程组吗？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为a，被遮住的x的系数为b，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：设被遮住的y的系数为a，被遮住的x的系数为b， 由题意得，方程组的解为， ∴， ∴， ∴原方程组为． 类型六、二元一次方程组的应用——古代问题 【解惑】列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为，乙带钱的数量为，则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”，即可列出关于x，y的二元一次方方程组，此题得解． 【详解】解：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲甲共有钱50，可得， 如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50可得：， 可列方程组． 故选：D． 【融会贯通】 1．《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设合伙人数为x人，金价y，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设合伙人数为x人，金价y钱． ∵每人出钱400，会多出3400， ∴； ∵每人出钱300，会多出100， ∴． 联立两方程组成方程组得：， 故选：A． 2．《九章算术》是我国古代的数学著作，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．那么学生人数为 人，该书的单价为 元． 【答案】 7 53 【分析】本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．设有学生x人，书的价格为y元，根据题意，得，解方程组即可． 【详解】解：设有学生x人，书的价格为y元，根据题意，得： ， 解得． 即有学生7人，书的价格为53元， 故答案为：7，53． 3．程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 【答案】醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据33位客人总共饮下了19瓶酒，醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶． 根据题意，得 解得； 答：他们醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶． 类型七、二元一次方程组的应用——数字问题 【解惑】如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用，表示，的式子，结合，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：则，即，正确； 丙：，正确； 故选：D． 【融会贯通】 1．有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，则这个两位数是（    ） A．47 B．56 C．63 D．84 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，先设十位上的数字为x，个位上的数字为y，再结合“十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，”进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设十位上的数字为x，个位上的数字为y， 根据题意，得 解得 这个两位数是63． 2．(数字与数位)把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如的逆序数为，如果一个两位数等于其逆序数与的平均数，这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字与数位问题，求解不定方程，能正确用字母表示出数字，并根据题意列式是解题的关键．设这个两位数为，则其逆序数为，列出式子，并求解不定方程即可． 【详解】解：设这个两位数为，则其逆序数为， 根据题意得：， 化简得：， 又由、的取值只能从到， 则其解为：， 这个两位数是， 故答案为：． 3．一个三位数的最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数比原数的3倍少10，求原数． 【答案】284 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是根据题意得出二元一次方程，根据x、y都为正整数，得出方程的解． 设十位数为x，个位数为y，分别表示出原数、移动后的数，根据所得的三位数比原数的3倍少10，可得出方程组，解出即可． 【详解】解：设十位数为x，个位数为y， 由题意得：， 整理得：， ∵x、y均为正整数， ∴， 可得原数为284． 类型八、二元一次方程组的应用——年龄问题 【解惑】年前母亲的年龄是女儿年龄的倍，年后，母亲的年龄比女儿年龄的倍多岁．那么现在这对母女的年龄和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意，设现在这对母女的年龄分别为岁，岁；根据题意，列出方程，进行解答，即可． 【详解】解：设现在这对母女的年龄分别为岁，岁； ∴， 解得：， ∴现在这对母女的年龄和为（岁）． 故选：C． 【融会贯通】 1．一天，小杨问数学老师有多少岁了，老师想了想，说：“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了．”根据语境，若设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键．设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁，根据“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了”列方程组即可． 【详解】解：设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁， 由题意得：， 故选：D． 2．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，其中有一道周瑜寿属的题目原文为“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符”，意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数．若设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，列方程组为： ， 故答案为：． 3．有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为25岁，乙、丙的年龄之和为26岁，甲、丙的年龄之和为27岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？ 【答案】甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁 【详解】解：设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，丙的年龄为z岁， 依题意，得，解得 答：甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁． 类型九、解二元一次方程组 【解惑】（教材母题变式）用加减法解下列方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）整理方程组，再用加减消元法解方程组即可； （2）两个方程相加得到得，解得．再求出即可． 【详解】（1）解： 整理，得 ①-②，得，解得． 把代入②，得，解得， 所以原方程组的解是 （2） ①+②，得，解得． ②-①，得，解得， 所以原方程组的解是 【融会贯通】 1．解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的一般方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． （3）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1） ②－①，得，解得． 把代入①，得，解得． 所以方程组的解是 （2） ①＋②，得，解得． 把代入②，得，解得． 所以方程组的解为． （3） ①＋②，得，解得． ①－②，得，解得． 所以方程组的解为 2．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法两种． （1）把①代入②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）得出，求出，再把代入求出即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． 3．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）由②，得③，利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 由②，得．③ 把③代入①，得． 把代入③，得， 原方程组的解为 （2） ，得， 解得． 把代入①，得， 原方程组的解为 类型十、解三元一次方程组 【解惑】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）把三元一次方程组化为二元一次方程组再运用加减消元法求解即可； （2）先将和消去，解出，再解出和即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入得， 联立方程组得， 由得， 解得， 把分别代入得，， 原方程组的解为； （2）解：， 由，得： 由，得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是：． 【融会贯通】 1．解下列方程组． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组； （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）利用加减消元法求出解即可； （3）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）把代入得：， 解得， 把代入得：， ∴方程组的解为； （2） 得，， 解得， 把代入得：， ∴方程组的解为； （3） 得，， 解得 把代入得：， 把，代入得：， ∴方程组的解为． 2．解下列方程组： (1) (2)解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，熟练掌握相应方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法求解即可； （2）先代入消元，再加减消元求解即可． 【详解】（1）解：由得，， 解得， 把代入得，， 解得， 原方程组的解为； （2）解：把代入得， 联立方程组得， 由得， 解得， 把分别代入得，， 原方程组的解为． 3．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，掌握消元法是解题关键． （1）用加减消元法解方程即可； （2）先利用加减消元消去，再利用加减消元算出、的值，最后带入即可求得的值． 【详解】（1）解：， 得：， 解得． 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为； （2）解： 得：④， 得：， 把代入②得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为． 【一览众山小】 1．下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，牢记“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”是解题的关键．利用二元一次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可． 【详解】解：方程是二元一次方程，选项A符合题意； B.方程是二元二次方程，选项B不符合题意； C.方程是一元一次方程，选项C不符合题意； D.方程是二元二次方程，选项D不符合题意． 故选： 2．方程的正整数解有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查方程的特殊解，用一个未知数表示成另一个未知数是解题的关键． 把方程化为用一个未知数表示成另一个未知数的形式，再根据x、y均为正整数求解即可． 【详解】解：方程可化为， x、y均为正整数， 且为2的倍数， 当时，， 当时，， 方程的正整数解为， 故答案为：B． 3．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：现在有数人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人，物品的价格是多少钱？若设人数共有人，物品的价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 4．已知，用含的式子表示的形式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是解二元一次方程的基本运算技能，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1即可．把含有x或y的项移到等号一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项，系数化1就可用含y或x的式子表示x或y． 【详解】解： 移项得：， 系数化1得：， 故答案为：． 5．已知是二元一次方程的一个解，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 6．已知关于，的二元一次方程中的系数让墨迹盖住了，但是知道它有一个解是，，那么让墨迹盖住的的系数●的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程的解，解一元一次方程，设，将方程的解代入得到，求解即可． 【详解】解：设， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 7．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤． 先用求出，再将代入①，求出y的值，即可解答． 【详解】解： ，得， 即． 把代入①，得， 解得． ∴ 8．解方程组： 【答案】 【分析】由①得到③，由②得到④，则得，解得，把代入③得，，解得，即可得到方程组得到解． 【详解】解： 由①得，③， 由②得，④， 得，， 解得， 把代入③得，，解得， ∴方程组的解是． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入法和加减法，根据方程组的特点选择合适的方法是解题的关键． 9．已知，若m满足，求m的值． 【答案】 【分析】题目主要考查被开方数的非负性，不等式组及二元一次方程组，根据题意得出，然后由得到，进而整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得． ①＋②，得， 即， 解得． 10．随着全球对健康饮食和营养均衡的日益关注，许多学校开始重视学生的午餐质量．某配餐公司承接了为当地中学提供营养餐的任务，他们需要确保每餐都含有充足的蛋白质和碳水化合物，以满足学生日常学习和成长的需求．为了达到这一目标，该配餐公司决定使用两种主要的食材――甲食材和乙食材．这两种食材的营养成分如下表所示： 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 单位 单位 每克所含碳水化合物 单位 单位 根据营养学专家的建议，每位中学生每餐需要摄入21单位的蛋白质和40单位的碳水化合物．那么，为了满足这些营养需求，每餐应该使用甲、乙两种食材各多少克? 【答案】每餐需要甲食材65克，乙食材2克 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出方程组求解即可． 【详解】解：设每餐需要甲食材x克，乙食材y克， 根据题意得：， 解得：， 答：每餐需要甲食材65克，乙食材2克． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 二元一次方程组思维导图 【类型覆盖】 类型一、二元一次方程的定义与解 【解惑】下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若是二元一次方程的解，则a的值为（   ） A． B．5 C．1 D． 2．若关于字母、的方程是二元一次方程，则 ． 3．已知二元一次方程，当时， ． 类型二、二元一次方程组的定义与解 【解惑】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（   ） A． B． C． D． 2．若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是 ． 3．写出一个解为的二元一次方程组，可以是 ． 类型三、三元一次方程组的定义与解 【解惑】方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若二元一次方程，，有公共解，则k的取值为（   ） A．3 B．-3 C．-4 D．4 2．已知，，满足，且，则 ． 3．若，则_________； 类型四、列二元一次方程组 【解惑】《九章算术》是中国古代的数学专著，第七章“盈不足”盈亏问题，记录这样一道问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？译文为：有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，设共有x人，物品单价y元，则下面方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三百，得酒十斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有300钱，买得10斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 3．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 类型五、已知二元一次方程组的解求参 【解惑】已知是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【融会贯通】 1．已知是方程的一组解，则m的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为 ． 3．如果将二元一次方程组的第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且是这个方程组的解，你能求出原方程组吗？ 类型六、二元一次方程组的应用——古代问题 【解惑】列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱的数量为，乙带钱的数量为，则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代的数学著作，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．那么学生人数为 人，该书的单价为 元． 3．程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 类型七、二元一次方程组的应用——数字问题 【解惑】如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 【融会贯通】 1．有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，则这个两位数是（    ） A．47 B．56 C．63 D．84 2．(数字与数位)把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如的逆序数为，如果一个两位数等于其逆序数与的平均数，这个两位数是 ． 3．一个三位数的最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数比原数的3倍少10，求原数． 类型八、二元一次方程组的应用——年龄问题 【解惑】年前母亲的年龄是女儿年龄的倍，年后，母亲的年龄比女儿年龄的倍多岁．那么现在这对母女的年龄和是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一天，小杨问数学老师有多少岁了，老师想了想，说：“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了．”根据语境，若设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 2．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，其中有一道周瑜寿属的题目原文为“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符”，意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数．若设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，则可列方程组为 ． 3．有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为25岁，乙、丙的年龄之和为26岁，甲、丙的年龄之和为27岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？ 类型九、解二元一次方程组 【解惑】（教材母题变式）用加减法解下列方程组： (1) (2)． 【融会贯通】 1．解下列方程组： (1) (2) (3) 2．解方程组： (1) (2) 3．解下列方程组： (1) (2) 类型十、解三元一次方程组 【解惑】解方程组： (1) (2) 【融会贯通】 1．解下列方程组． (1)； (2)； (3)． 2．解下列方程组： (1) (2)解方程组 3．解下列方程组： (1)； (2)． 【一览众山小】 1．下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的正整数解有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：现在有数人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人，物品的价格是多少钱？若设人数共有人，物品的价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．已知，用含的式子表示的形式是 ． 5．已知是二元一次方程的一个解，则k的值为 ． 6．已知关于，的二元一次方程中的系数让墨迹盖住了，但是知道它有一个解是，，那么让墨迹盖住的的系数●的值为 ． 7．解方程组： 8．解方程组： 9．已知，若m满足，求m的值． 10．随着全球对健康饮食和营养均衡的日益关注，许多学校开始重视学生的午餐质量．某配餐公司承接了为当地中学提供营养餐的任务，他们需要确保每餐都含有充足的蛋白质和碳水化合物，以满足学生日常学习和成长的需求．为了达到这一目标，该配餐公司决定使用两种主要的食材――甲食材和乙食材．这两种食材的营养成分如下表所示： 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 单位 单位 每克所含碳水化合物 单位 单位 根据营养学专家的建议，每位中学生每餐需要摄入21单位的蛋白质和40单位的碳水化合物．那么，为了满足这些营养需求，每餐应该使用甲、乙两种食材各多少克? 6 学科网（北京）股份有限公司 $$