2.5 三元一次方程组及其解法 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

2.5 三元一次方程组及其解法 一、三元一次方程组的概念 方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组称为三元一次方程组。 二、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想是消元，即通过代入法或加减法，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程进行求解。具体步骤如下： 1.选取一个方程，将其中的一个未知数用另外两个未知数表示出来。 2.将上一步得到的表达式代入其他方程中，消去一个未知数，得到二元一次方程组。 3.解这个二元一次方程组，得到其中两个未知数的值。 4.将求得的未知数值代入原方程组中的任何一个方程，求出第三个未知数的值。 5.综合以上步骤，得到三元一次方程组的解。 巩固课内例1:解三元一次方程组——代入消元法 1．三元一次方程组的解是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加减消元法解三元一次方程组即可得出. 【详解】解 令①+②得x-z=2④， ③+④得2x=8，解得x=4 把x=4代入①解得y=3， 把x=4代入③解得z=2， ∴原方程组的解为 故选D. 【点睛】此题主要考查三元一次方程的求解，解题的关键是熟知消元法解三元一次方程. 2．已知方程组 ，则a+b+c＝ ． 【答案】2 【分析】方程组三方程相加即可求出所求． 【详解】， ①+②+③得：2（a+b+c）=4， 则a+b+c=2， 故答案为2 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．解方程组：                       （2） 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可求解；（3）根据三元一次方程组的解法即可求解. 【详解】（1） 整理得 ②-①得2y=-2,解得y==-1, 把y=-1代入①得x=2， ∴原方程组的解为 （2） ①+②得2x-z=6④， 又①+③得3x-z=-1⑤ ⑤-④得x=-7, 把x=-7代入①得y=6，把x,y代入②得z=-20 ∴原方程组的解为 【点睛】此题主要考查三元一次方程组的解，解题的关键是熟知消元法. 巩固课内例2:解三元一次方程组——加减消元法 1．如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程的运用，根据图示，设圆形为，三角形为，正方形为，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为， ∴， ∴由①得， 把③代入②，，整理得，， ∴， ∴应方△的数量为6个， 故选：B ． 2．中，当时，，当时，，当时，，则 ， ， ． 【答案】 3 【分析】此题主要考查三元一次方程组的运用，解题的关键是根据题意列出方程组． 将，；，；当，代入列出三元一次方程组，然后进行求解． 【详解】解：将，；，；当，代入得： ，解得：， 故答案为：，，3 3．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法求解三元一次方程组是解题的关键． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 解得： 得 将代入④得 解得：， 将，代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 类型一、三元一次方程组的定义 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三元一次方程组的定义（方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是三元一次方程组，则此项符合题意； B、方程组中含有4个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； C、方程组中含有2个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； D、方程组的每个方程中含未知数的项的次数不都是1，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，熟记三元一次方程组的概念是解题关键． 2．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ． 【答案】或或 【分析】利用“适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解”即可得出答案． 【详解】解：当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解，熟练掌握概念是解题的关键． 3．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 【答案】8，9，13 【分析】本题考查三元一次方程组，根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ①②得：④， 把③代入④得：⑤， ①②得：⑥， ⑥3得：⑦， ⑤⑦得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴三角形的三边长分别为8，9，13． 类型二、三元一次方程组的解 1．三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，得， ，得，解得， 把代入①，得， 把代入③，得， 则方程组的解为 故选：D． 2．已知方程组的解满足方程，则 ． 【答案】 【分析】解出已知方程组中x，y的值代入方程即可． 【详解】解：∵， 解得：， 代入方程， 得， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元． 3．解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组后两个方程消元后，与第一个方程联立求出与的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解：， 得：， 由③，代入得：， 解得：， 将代入③得：， 将，代入①得：， 则方程组的解为． 类型一、三元一次方程组的应用——和差问题 1．三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（    ） A．6 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可． 【详解】解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a； D，E，F三处圈内的三个数之和记为b； 其余三个圈所填的数位之和为c． 显然有…①， 图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有②， ②﹣①，得③， 把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得④， 联立③，④，解得，， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了三元一次方程组和二元一次方程组，读懂题意正确列出方程是解题的关键． 2．对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．最大的三位“美好数”是 ．若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，满足条件的三位“美好数”有 ． 【答案】 或 【分析】题目主要考查有理数的表示、方程组求解，理解题意，列出方程组化简求值是解题关键．根据题意，最大的三位美好数的百位数字一定是9，十位数字为8，再根据各个数位上的数字之和为18，得到个位数字为1，即可，设三位“美好数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，结合美好数的定义，列出方程组求解即可． 【详解】解：∵最大的三位“美好数” ∴百位数字一定是9，十位数字为9， ∵各个数位上的数字之和为18， ∴个位数字为0， ∴最大的三位“美好数”是； 设三位“美好数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则：， 由题意，得：， 整理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，； 当时，，； ∴符合条件的三位“美好数”有或； 故答案为：，或． 3．三角形的周长为18cm，第一条边与第二条边的长度的和等于第三条边长的2倍，而它们长度的差等于第三条边长的，求这个三角形各边的长． 【答案】这个三角形的三边长分别为7cm、5cm、6cm． 【分析】设这个三角形的三边长分别为a、b、c．根据题意列出方程组并解答． 【详解】设这个三角形的三边长分别为a、b、c． 依题意得：， 解得，． 答：这个三角形的三边长分别为7cm、5cm、6cm． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． 类型二、已知三元一次方程组的解求参 1．三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．若三元一次方程，当，时，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三元一次方程，一元一次方程的应用，关键是能得出关于的一元一次方程．把，，代入三元一次方程得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】把，，，代入三元一次方程得： ， 解得：， 故答案为． 3．已知与互余，与互补，与的和等于周角的，求的度数． 【答案】 【分析】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为，解题的关键是根据的数量关系列出方程组，从而计算出结果． 【详解】解：由题意，得，三式相加，得，故， 的度数为． 类型三、三元一次方程组的应用——比例问题 1．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的复兴将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的应用，三元依次方程组的应用，找准等量关系，正确列出代数式是解题关键．设三个区域原来的面积分别为，先求出复兴划分后，区的面积与区的面积，从而可得，再设区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为，根据爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为可得，据此化简即可得． 【详解】解：设三个区域原来的面积分别为， 由题意得：复兴划分后，区的面积为，区的面积为， ∵复兴划分后，造成现区的面积占两区面积和的比例达到了， ，即， ∴复兴划分后，区的面积为，区的面积为， 设爸爸将区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为， ∵爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为， ， ①，②， 由①得：， 将代入②得：， ， 则爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为， 故选：B． 2．重庆某大学对重庆某村实施“技术助农”．该村种植有A、B、C三种经济作物，助农前，A，B，C三种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加亩数的．助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量．若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为 ． 【答案】90：271 【分析】设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b， 则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为1.5b．可得助农后，A作物的亩产量为2b，B作物的亩产量为b，C作物的亩产量为b．设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（x﹣x﹣y），列出方程组，可得到助农前A作物的产量为，助农后A作物的产量为ab，即可求解． 【详解】解：设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b， 则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为2.5b﹣b＝1.5b． ∵助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量， ∴助农后，A作物的亩产量为：1.5b（1+）＝2b， B作物的亩产量为：b（1+）＝b， C作物的亩产量为：1.5b（1+）+b（1+）＝b． 设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y， 则B作物增加的亩数为x，A作物增加的亩数为（x﹣x﹣y）， ∴ 解得： ∴助农前A作物的产量为：2a×b＝， 助农后A作物的产量为：（2a+x﹣x﹣y）×2b＝ab． ∴助农前后A作物的产量之比为：90：271． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，列代数式，依据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 3．甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同，若从甲、乙、丙三个杯子中各取出重量相等的奶茶，将它们混合后就成为含牛奶的奶茶；若从甲、乙两个杯子中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶；若从乙、丙中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶．求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比． 【答案】甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分数分别为、、． 【分析】本题考查三元一次方程组的应用；题设中有三种混合方式，但每种混合方式从各个容器中取出的牛奶的重量都是未知的，我们可以引进辅助未知数，将这些量分别用字母表示，可根据纯牛奶的质量来得到相应等量关系：甲的浓度质量乙的浓度质量丙的浓度质量；甲的浓度质量乙的浓度质量；乙的浓度质量丙的浓度质量，把无关未知量消去，解三元一次方程组即可． 【详解】解：设甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分数分别为、、第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出克牛奶，则有， 从甲和乙中按重量之比为来取牛奶时，设从甲中取牛奶克，从乙中取牛奶克，则有， 从乙和丙中按重量之比为来取牛奶时，设从乙中取牛奶克，从丙中取牛奶克，则有， 将上面三式消去辅助未知数得：， 解得， 答：甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分数分别为、、． 类型一、三元一次方程组的应用——《九章算术》问题 1．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 【答案】A 【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可 【详解】解： 由，得， 由，得， 由，得， ∴， 由，得， 由，得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应． 2．《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；今有上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？” 译文：“今有上禾3束，中禾2束，下禾1束，得实39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得实34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得实26斗，问上、中、下每一束得实各是多少斗？”设上禾、中禾、下禾每一束得实各为、、斗，可列方程为 ； 【答案】 【分析】根据题中数量关系列出三元一次方程组即可． 【详解】解：设上禾每束得实x斗、中禾每束得实y斗、下禾每束得实z斗，依题意有： 【点睛】考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是正确理解题意，找出数量关系列出方程组． 3．我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入《九章算术》中．《九章算术》“方程”章的第一个问题译成现代汉语是这样的： 上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗； 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗． 求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗． (1)设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食分别为斗，斗，斗，根据题意可列方程组为：__________． (2)下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法．用算筹列出方程组，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项．请你参考前两行，补全第三行的算筹图． (3)利用现代高等代数的符号可以将（1）中方程组的系数排成一个表， 这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉伯数字替代了算筹． 已知矩阵有如下的初等变换：①用一个非零的数乘矩阵的某一行；②将一行的k倍加到另一行上；③交换矩阵中两行的位置．初等变换可以帮助我们解多元一次方程组． 例如，用矩阵的初等变换解二元一次方程组的步骤如下： 第一步：将此方程组的系数写成矩阵：； 第二步： ， 故此方程组的解为． 请你仿照上述方法，补全用矩阵的初等变换解三元一次方程组的步骤． 第一步：将此方程组的系数写成矩阵：______________． 第二步： 故此方程组的解为_____________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，列出方程即可； （2）根据“只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项”，即可得到答案； （3）根据矩阵的变换：①用一个非零的数乘矩阵的某一行；②将一行的k倍加到另一行上；③交换矩阵中两行的位置．即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：补全算筹图如下： （3）解：第一步：将此方程组的系数写成矩阵：． 第二步： ， 故此方程组的解为． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． 类型二、三元一次方程组的应用——整体思想问题 1．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 【答案】C 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组解法的理解，掌握转化思想解决数学问题是解题的关键．根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：将第一个方程代入算二个方程消去得，是代入消元法解二元一次方程组，体现了转化思想， 故选：C． 2．(整体代换)有甲、乙、丙三种货物．如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去3.15元；如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去4.20元．现在买甲、乙、丙各1件，需要花 元． 【答案】1.05 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，根据题意，列出三元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，由题意，得： ， ，得：； 即：买甲、乙、丙各1件，需要花1.05元； 故答案为：1.05． 3．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．则m的取值范围是______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)，5 (2)； (3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元． 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，三元一次方程组的应用． （1）利用加减法和即可得出结论； （2）先将方程组中的两个方程相加化简可得，再代入可得一个关于m的一元一次不等式，然后解不等式即可得； （3）根据购买20支铅笔、3块橡皮、2本笔记本，共需要32元，若购买39支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需58元列出方程组． 【详解】（1）解：， 由可得， 由可得， ∴． 故答案为：，5； （2）解：， 两个方程相加得：，即， 由题意得：， 解得， 故答案为：； （3）解：购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元， 由题意得：， 得：， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元． 1．已知方程组，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．． 【详解】解：， 得： ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键． 2．某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，，然后作答即可． 【详解】解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得， ， 由得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元， 故选：A． 3．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数， 根据题意得，， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； ②当时，， ∴ ∵，且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：C． 4．已知＝0，则xyz＝ ． 【答案】6 【分析】根据非负数的性质列出方程，求出x、y、z的值，代入所求的代数式计算即可． 【详解】=0， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了非负数的性质：若几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零．熟练运用非负数的性质，并将问题转化为方程组是解此题的关键． 5．有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有 种． 【答案】8 【分析】首先假设出三个盒子里的球数，得出，，得出一个盒子的球数后，再进行分析推理．本题考查的是三元一次方程的应用，加法原理与乘法原理，根据题意得出的值，再根据的值进行分析是解决问题的关键． 【详解】解：设放在三个盒子里的球数分别为、、，球无区别，盒子无区别，故可令，依题意有，于是，，故只有取3、4、5、6、7共五个值． ①时，，则只取3、2，相应取1、2，故有2种放法； ②时，，则只取3、2，相应取0、1，故有2种放法； ③时，，则只取2、1，相应取1、0，故有2种放法； ④时，，则只取1，相应取0，故有1种放法； ⑤时，，则只取0，相应取0，故有1种放法． 综上所求，故有8种不同放法． 故答案为：8． 6．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，读懂加密规则是解题关键．根据加密规则可得或，且明文互为相反数，从而可得，，则，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：或，且明文互为相反数， ∴，，即， ∴， 解得， 故答案为：． 7．解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加减消元和代入消元法解方程即可； （2）利用加减消元和代入消元法解方程即可； （3）利用代入消元法解方程即可； （4）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， ①②得： ④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入③得： ， 把，代入①得： ， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解： 得： ， ∴， 由②得：④， 将④代入①得： ， 解得：， 将，代入④得： ， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 由①得 ④， 由②得 ⑤， 把④、⑤代入③得：， 解得 ， 把代入④得 ， 把代入⑤得， ∴； （4）解： ，得， ，得， 解方程组 ， 解得， 把代入①，得， 所以原方程组的解为 ． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 8．【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法 例1：解方程组 解：由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③，得 所以 小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试： (1)如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组______． (2)求解出上述、、的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方体的展开图，解三元一次方程组； （1）根据相对的两个面上的式子的值相等列方程组即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2） 由①得， 将②和④代入③得， 解得， 将代入①、②得：，， ∴，， ． 9．某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？ 【答案】45千米小时 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题目的具体说明，列出方程组，求得数字、的关系．另外注意隐含条件数字、满足，．假设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时．那么这个两位数数值就是，1小时后站牌数值是，又经过1小时，他看到第三块里程牌上数值是；因而列方程与，求得与的比例关系．通过数字、满足，，确定出、的取值，代入求得的值． 【详解】解：设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时． 由题意得， 整理得： 由①②得，即 又， 只能取6， 答：汽车的速度是45千米小时． 10．阅读以下内容：已知实数x，y满足，求的值．两位同学分别采用了以下两种不同的解题方法： 甲同学：先解关于x，y的方程组解得，的值，再代入． 乙同学：先，可得，再可得． 李老师对两位同学的解法进行了点评，甲同学的解法是常规思路，其运算量比较大，乙同学利用两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形，求得该整式的值，这种解题思想就是数学中常见的“整体思想”．两种解法中，选择你欣赏的解法解答下面问题． (1)已知方程组，则的值为_________； (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； (3)盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱若干，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个无线充电宝，1个迷你音箱；B盒中3个蓝牙耳机，5个无线充电宝，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个无线充电宝，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱的成本之和），求C盒的成本． 【答案】(1)7 (2)见解析 (3)155元 【分析】本题考查了三元一次方程组和二元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值． （1）根据题意用即可得出答案； （2）根据题意得，再即可得出答案； （3）设一个蓝牙耳机成本为x元，一个无线充电宝成本为y元，一个迷你音箱成本为z元，根据题意列出方程组，根据整体代换的思想可求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 得：； （2）解：方程组中，得， 得：， 则， 即无论a取何值，的值始终不变； （3）解：设一个蓝牙耳机成本为x元，一个无线充电宝成本为y元，一个迷你音箱成本为z元， 依题意得：， 得：， 得：， 得：， 答：C盲盒成本为155元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 三元一次方程组及其解法 一、三元一次方程组的概念 方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组称为三元一次方程组。 二、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想是消元，即通过代入法或加减法，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程进行求解。具体步骤如下： 1.选取一个方程，将其中的一个未知数用另外两个未知数表示出来。 2.将上一步得到的表达式代入其他方程中，消去一个未知数，得到二元一次方程组。 3.解这个二元一次方程组，得到其中两个未知数的值。 4.将求得的未知数值代入原方程组中的任何一个方程，求出第三个未知数的值。 5.综合以上步骤，得到三元一次方程组的解。 巩固课内例1:解三元一次方程组——代入消元法 1．三元一次方程组的解是（　 　） A． B． C． D． 2．已知方程组 ，则a+b+c＝ ． 3．解方程组：                       （2） 巩固课内例2:解三元一次方程组——加减消元法 1．如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．中，当时，，当时，，当时，，则 ， ， ． 3．解方程组：． 类型一、三元一次方程组的定义 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ． 3．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且，，求三角形的三边长． 类型二、三元一次方程组的解 1．三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．已知方程组的解满足方程，则 ． 3．解方程组 类型一、三元一次方程组的应用——和差问题 1．三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（    ） A．6 B．15 C．18 D．24 2．对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．最大的三位“美好数”是 ．若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，满足条件的三位“美好数”有 ． 3．三角形的周长为18cm，第一条边与第二条边的长度的和等于第三条边长的2倍，而它们长度的差等于第三条边长的，求这个三角形各边的长． 类型二、已知三元一次方程组的解求参 1．三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 2．若三元一次方程，当，时，，则的值为 ． 3．已知与互余，与互补，与的和等于周角的，求的度数． 类型三、三元一次方程组的应用——比例问题 1．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的复兴将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为（    ）． A． B． C． D． 2．重庆某大学对重庆某村实施“技术助农”．该村种植有A、B、C三种经济作物，助农前，A，B，C三种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加亩数的．助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了和，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量．若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多，而C作物的产量比助农前A，B，C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为 ． 3．甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同，若从甲、乙、丙三个杯子中各取出重量相等的奶茶，将它们混合后就成为含牛奶的奶茶；若从甲、乙两个杯子中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶；若从乙、丙中按重量之比为来取，混合后就成为含牛奶的奶茶．求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比． 类型一、三元一次方程组的应用——《九章算术》问题 1．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 2．《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；今有上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？” 译文：“今有上禾3束，中禾2束，下禾1束，得实39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得实34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得实26斗，问上、中、下每一束得实各是多少斗？”设上禾、中禾、下禾每一束得实各为、、斗，可列方程为 ； 3．我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入《九章算术》中．《九章算术》“方程”章的第一个问题译成现代汉语是这样的： 上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗； 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗． 求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗． (1)设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食分别为斗，斗，斗，根据题意可列方程组为：__________． (2)下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法．用算筹列出方程组，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项．请你参考前两行，补全第三行的算筹图． (3)利用现代高等代数的符号可以将（1）中方程组的系数排成一个表， 这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉伯数字替代了算筹． 已知矩阵有如下的初等变换：①用一个非零的数乘矩阵的某一行；②将一行的k倍加到另一行上；③交换矩阵中两行的位置．初等变换可以帮助我们解多元一次方程组． 例如，用矩阵的初等变换解二元一次方程组的步骤如下： 第一步：将此方程组的系数写成矩阵：； 第二步： ， 故此方程组的解为． 请你仿照上述方法，补全用矩阵的初等变换解三元一次方程组的步骤． 第一步：将此方程组的系数写成矩阵：______________． 第二步： 故此方程组的解为_____________． 类型二、三元一次方程组的应用——整体思想问题 1．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 2．(整体代换)有甲、乙、丙三种货物．如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去3.15元；如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去4.20元．现在买甲、乙、丙各1件，需要花 元． 3．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．则m的取值范围是______； (3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 1．已知方程组，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 3．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 4．已知＝0，则xyz＝ ． 5．有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有 种． 6．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文互为相反数，其对应密文为．若接收方收到密文为2和，则的值为 ． 7．解方程组： (1) (2) (3) (4) 8．【教材呈现】华东师大版7.2二元一次方程组的解法 例1：解方程组 解：由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③，得 所以 小明同学受到上述解法的启示，认为可以采用同样的思想解决三元一次方程组，因此他做了如下尝试： (1)如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，则可以列出方程组______． (2)求解出上述、、的值． 9．某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？ 10．阅读以下内容：已知实数x，y满足，求的值．两位同学分别采用了以下两种不同的解题方法： 甲同学：先解关于x，y的方程组解得，的值，再代入． 乙同学：先，可得，再可得． 李老师对两位同学的解法进行了点评，甲同学的解法是常规思路，其运算量比较大，乙同学利用两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形，求得该整式的值，这种解题思想就是数学中常见的“整体思想”．两种解法中，选择你欣赏的解法解答下面问题． (1)已知方程组，则的值为_________； (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； (3)盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱若干，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个无线充电宝，1个迷你音箱；B盒中3个蓝牙耳机，5个无线充电宝，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个无线充电宝，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱的成本之和），求C盒的成本． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$