2.4 二元一次方程组的应用 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

2.4 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用 在实际问题中，二元一次方程组有着广泛的应用。解决这类问题的关键是找出两个等量关系，并据此列出方程组。然后，通过解方程组求出未知数的值，从而得到问题的答案。 例如，在商品销售问题中，可以设售出商品的种类和数量为未知数，根据商品的单价和总价列出方程组。在行程问题中，可以设速度和时间为未知数，根据路程和时间的关系列出方程组。在配套问题中，可以设各部分的数量为未知数，根据总量等于各部分数量之和的关系列出方程组。 巩固课内例1:二元一次方程组的应用——和差倍分问题 1．在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 【答案】B 【解析】略 2．5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条， 依题意，得：， 解得：， ∴参赛的“金凤银麒”龙船为条． 故答案为：． 3．为了增强学生体质，九年一班决定购进两种体育器材：跳绳和毽子，如果购进3根跳绳和2个毽子共需63元，购进2根跳绳和5个毽子共需75元，求一根跳绳和一个毽子的售价分别是多少元． 【答案】一根跳绳售价为15元，一个毽子售价为9元 【分析】设一根跳绳售价为x元，一个毽子售价为y元．根据购进3根跳绳和2个毽子共需63元，购进2根跳绳和5个毽子共需75元得：，即可解得答案， 本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组． 【详解】解：设一根跳绳售价为x元，一个毽子售价为y元． 根据题意得：，解得：， 答：一根跳绳售价为15元，一个毽子售价为9元． 巩固课内例2:二元一次方程组的应用——配套问题 1．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设用x张制盒身，y张制盒底，由题意列方程即可． 【详解】解：设用x张制盒身，y张制盒底， 由题意可得： 故选：B． 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是关键． 2．图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中竖式和横式的两种无盖有底纸盒（两个长方体形状大小一样），现在仓库有100张正方形纸板和200张长方形纸板，问竖式纸盒 只和横式纸盒 只，恰好使库存的纸板用完． 【答案】 20 40 【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x只、y只，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，解此方程组即可求得． 【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x只、y只， 根据题意得：， 由得，， 解得， 把代入得，， 解得， 故做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为20只、40只， 故答案为20，40． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 巩固课内例3:二元一次方程组的应用——温度问题 1．（跨学科）声音在某介质中传播的速度随着温度的变化而变化，若用表示声音在该介质中的传播速度，表示温度，则，满足公式：（，为常数）．若时，；时，，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解题意，代入得到二元一次方程组，运用加减消元法计算是解题的关键 ． 根据题意，把时，；时，代入，联立方程组求解即可． 【详解】解：，满足公式：（，为常数）．若时，；时，， ∴， 解得，， 故选：B ． 2．声音在空气中的传播速度（米/秒）随温度（）的变化而变化，且，若当时，；当时，，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】将与的值代入，建立方程组，求出与的值，即可求解． 【详解】解：当时，；当时，， ， ， ， 当时，， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的值，将与的值代入，建立方程组，求出与的值是关键． 3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组； （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； 巩固课内例4:二元一次方程组的应用——百分比问题 1．将浓度为的酒精与浓度为的酒精混合，制成了浓度为的酒精，设浓度为的酒精需要，浓度为的酒精需要，则列出的方程组为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，能够根据题意找出等量关系，并根据等量关系列出方程组是解决本题的关键． 【详解】解：的酒精质量加上浓度为的酒精质量等于， 的酒精中酒精质量加上浓度为的酒精中酒精质量等于混合后的液体中所含的酒精质量， 由此可知方程组为， 故选：C． 2．将浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精混合，制成了浓度为50%的酒精30kg．设浓度为30%的酒精需要，浓度为60%的酒精需要，则列出的方程组为 ． 【答案】 【分析】根据“混合前的酒精溶液的重量=混合后酒精溶液的重量”以及“混合前的酒精的重量=混合后酒精的重量”列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列方程组，解答此题的关键是找出相应的等量关系． 3．已知甲，乙两种酒精溶液的浓度分别为90%和30%，某同学用甲，乙两种酒精溶液共恰好配制成75%的酒精消毒液 (1)甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有____________（用含字母的式子表示）； (2)若，分别求出甲、乙两种酒精溶液的质量． 【答案】(1)（或） (2)甲、乙种酒精溶液的质量分为、 【分析】（1）设甲酒精溶液有，则有乙酒精溶液，根据“用甲，乙两种酒精溶液共恰好配制成75%的酒精消毒液”列方程，解方程求得，进一步计算即可求解； （2）设甲种酒精溶液为，乙种酒精溶液为，根据题意列二元一次方程组，求解即可. 【详解】（1）解：设甲酒精溶液有，则有乙酒精溶液， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴甲酒精溶液有，则有乙酒精溶液， 甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有， 故答案为：； （2）解：设甲种酒精溶液为，乙种酒精溶液为，根据题意，得： ， 解得， 答：甲、乙种酒精溶液的质量分别为、． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．关于溶液问题的定量一般有两个：溶液，溶质．那么通常也是根据这两个定量来找到等量关系进而求解的． 类型一、二元一次方程组的应用——分配问题 1．某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（    ） A．34本 B．22本 C．24本 D．32本 【答案】B 【分析】设人数为，图书为，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 故选：B 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 2．4辆小货车与7辆大卡车一次能运37吨，6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问1辆小货车和1辆大卡车一次共运货 吨． 【答案】 【分析】根据题意设出未知数列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设1辆小货车每次能运x吨，1辆大卡车每次能运y吨， ， 得：， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是正确列出方程组并求解． 3．历史社团组织学生外出参观博物馆，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领若每位教师带名学生，则剩余名学生；若每位教师带名学生，则最后一位教师只需带人求此次带队的教师人数． 【答案】此次带队的教师人数为人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设此次带队的教师人数为人，学生由人，根据若每位教师带名学生，则剩余名学生；若每位教师带名学生，则最后一位教师只需带人．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设此次带队的教师人数为人，学生由人， 由题意得：， 解得：， 答：此次带队的教师人数为人． 类型二、二元一次方程组的应用——比例问题 1．某中学生运动会男、女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男、女运动员比例变为；后来又决定再增加男子象棋项目，于是这个比例又变为．已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么运动员最后的总人数为（    ）． A．6280人 B．6370人 C．6450人 D．6615人 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理清题意、确定等量关系列出方程组是解题的关键． 设原来男、女运动员的人数分别为人、人，女子艺术体操运动员人，男子象棋运动员人；再根据运动员男女比例变化列方程组求得男、女人数，最后求和即可． 【详解】设原来男、女运动员的人数分别为人、人，女子艺术体操运动员人，男子象棋运动员人， 则，解得：． 最后运动员的总人数为：（人）． 故选B． 2．某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为 ． 【答案】5：16 【分析】设新增投资为，则对A村、B村、C村增加投资分别为：、、，设原来对C村投资为，对村投资为，对村投资为，找到a，b，c的关系式．根据题中所给关系，列出等式，联立可用含x的式子表示a和c，即可列出式子求解． 【详解】解：设新增投资为， 则对A村、B村、C村增加投资分别为：、、， 设原来对C村投资为，对村投资为，对村投资为， 则，即， ∵该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13， ∴ ∵该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的， ∴ ∴， ∴， ∴该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为： ； 故答案为：5：16． 【点睛】本题通过巧设未知数，找到变量之间的关系．利用题中的等量关系，列出式子求解出带参数的结果，利用分式的约分求得答案． 3．列方程或方程组解应用题 病毒无情，人间有爱．全国医务人员在党中央的号召下，面对疫情，主动请缨，前往湖北支援．北京市属医院首批援助队伍除领队外共135名医务人员，负责5个针对普通感染者的病区和1个针对危重感染者的病区．如果知道针对普通感染者的每个病区和针对危重感染者的每个病区配备医务人员的比例为．请你计算北京市属医院首批援助队伍中负责普通感染者病区和负责危重感染者病区的医务人员各有多少人． 【答案】负责普通感染者病区的医务人员共有75人，负责危重感染者病区的医务人员为60人 【分析】设每个普通感染者病区负责的医务人员为x人，危重感染者病区的医务人员为y人，根据“共135名医务人员”和 “针对普通感染者的每个病区和针对危重感染者的每个病区配备医务人员的比例为”建立二元一次方程组，解方程组即可得解． 【详解】设每个普通感染者病区负责的医务人员为x人，危重感染者病区的医务人员为y人，依题意得： 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 即每个负责普通感染者病区的医务人员为15人，负责危重感染者病区的医务人员为60人． 答：北京市属医院首批援助队伍中负责普通感染者病区共有5×15=75人，负责负责危重感染者病区的医务人员有60人 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．审清题意，设准未知数，找准等量关系建立方程组是解题的关键． 类型三、二元一次方程组的应用——古代问题 1．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 2．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两． 答∶1枚黄金重 两；1枚白银重 两． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．设1枚黄金重两，1枚白银重两，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设1枚黄金重两，1枚白银重两， 根据题意，可得， 解得， 即1枚黄金重两，1枚白银重两． 故答案为：；． 3．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱，问人数和物品的价格分别是多少？”请你用二元一次方程组的知识解答这个问题． 【答案】人数为人，物品的价格为钱 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解．设人数为人，物品的价格为钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设人数为人，物品的价格为钱， 由题知，， 解得：， 答：人数为人，物品的价格为钱． 类型一、二元一次方程组的应用——行程问题 1．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，设从甲地到乙地上坡与平路分别为，依题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用时间路程速度，结合“从甲地到乙地需，从乙地到甲地需”，即可列出关于，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：从甲地到乙地需， ； 从乙地到甲地需， ， 根据题意得，可列方程组， 故答案为：D． 2．A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为，根据第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为， 依题意得：， 解得：， ∴甲的骑行速度为． 故答案为：． 3．、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为6千米／时，乙的速度为4千米／时 【分析】设甲的速度为x千米／时，乙的速度为y千米／时，根据题意，得，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为x千米／时，乙的速度为y千米／时， 根据题意，得， 整理，得， 故， 解得， 答：甲的速度为6千米／时，乙的速度为4千米／时． 类型二、二元一次方程组的应用——工程问题 1．甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（　　　） A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高 C．c=3a D．b：c=3：2 【答案】D 【分析】将两式相减可得，从而判断C；然后求出，从而判断A、B和D． 【详解】解：由题意可得： ①－②，得 解得：，故C错误； 将代入①，得 解得： ∴b＞c＞a ∴乙的工作效率最高，故A、B错误； b：c=3a：2a=3：2，故D正确． 故选D． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的各个量之间的关系和消元法是解决此题的关键． 2．市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进 米． 【答案】12.2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，弄清题意挖掘题目蕴含的相等关系，据此列出方程组是解题的关键． 设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米，根据“甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米”列方程组求解可得． 【详解】解：设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米．根据题意得： ，解得：． 答：甲班组平均每天掘进12.2米、乙班组平均每天掘进9.8米． 故答案为：12.2 3．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方， 乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方， 根据题意，得 解得： 所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 类型三、二元一次方程组的应用——费用问题 1．为响应“科教兴国”的战略号召，某校成立创客实验室，准备购买航拍无人机和编程机器人．已知购买3架航拍无人机和4个编程机器人所需费用相同，购买6个航拍无人机和9个编程机器人共需76500元．设购买l架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“购买3架航拍无人机和4个编程机器人所需费用相同，购买6个航拍无人机和9个编程机器人共需76500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设购买l架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元， 依题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有 人． 【答案】30 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．可设该小组共有x人，往返的有y人，根据等量关系：①去程时的人数+返程时的人数﹣往返的人数=该小组一共的人数；②乘坐缆车的总费用是3320元；列出方程组求解即可． 【详解】解：设该小组共有x人，往返的有y人，依题意有 ， 解得， 故该小组共有30人． 故答案为：30． 3．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 a 超过10吨不超过15吨的部分 b 超过15吨的部分 已知佳琪家2024年3月份用水11吨，交水费元；4月份用水14吨，交水费75.2元． (1)求a，b的值． (2)佳琪家5月份交水费元，则佳琪家5月份用水多少吨？ 【答案】(1)a的值是4，b的值是6 (2)佳琪家5月份用水量18吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得佳琪家本月用水量为多少吨． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得， 即a的值是4，b的值是6；． （2）设佳琪家5月份用水x吨， 根据题意知，15吨的水费为：， ∵， ∴佳琪家5月份计划用水超过了15吨． ∴． 解得， 即佳琪家5月份用水量18吨． 类型一、二元一次方程组的应用——图表信息问题 1．在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，解出即可． 【详解】解：由题意可知， 解得 故选：B． 2．某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下： 答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10 人数 0 2 5 7 … 8 4 1 （1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题； （2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题． 该班学生共有 人参加智力竞赛． 【答案】55 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设答对4～7题的有x人，共答对y题，根据“对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题”可得方程，根据“对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题”可得方程，联立组成方程组，求解即可得到对4～7题的人数，进而可求出学生总数． 【详解】解：设答对4～7题的有x人，共答对y题，则 ， 解得：， ∴参加竞赛的学生人数为（人）． 故答案为：55． 3．某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）． 【答案】(1)的值是800，的值是600． (2)九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是4，7． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数作为等量关系列方程组求解． （1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元，根据表格中提供的七年级和八年级捐款数，和人数可求出和的值． （2）设九年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人，根据该山区贫困生的总人数及九年级捐款数额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元， ， 解得：． 所以的值是800，的值是600． （2）设初三年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人， 依题意得：， 解得：． ∴九年级学生捐助贫困中学生人数为4名，捐助贫困小学生人数为7名． 类型二、二元一次方程组的应用——方案问题 1．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是元，足球单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，根据题意，列出方程，分类讨论，即可． 【详解】解：设购买了个篮球，购买了个足球， ∴， 整理得：且，为正整数， 当时，；当时，；当时，； ∴该社团共有种购买方案． 故选：C． 2．中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案： （两人座和三人座各几排） 【答案】两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排） 【分析】本题主要考查二元一次方程可能的整数解，根据题意列出二元一次方程并对可能得解进行求解即可． 【详解】解：设两人座有x排，三人座有y排，则 ， 那么，可能解或． 故答案为：两人座1排和三人座3排（或两人座4排和三人座1排）． 3．请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由． 【答案】(1)一个水瓶元，一个水杯元； (2)在乙商场购买更合算． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． 首先设一个水瓶元，一个水杯元，根据图片中两次购买水瓶和水杯的数量与所花费用列二元一次方程组，解方程组求出一个水瓶和一个水杯的单价； 分别计算出在两家商场买个水瓶和个水杯所需费用，通过比较确定哪家商场更合算． 【详解】（1）解：设一个水瓶元，一个水杯元， 根据题意可得：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为， 答：一个水瓶元，一个水杯元； （2）在乙商场购买更合算， 理由如下： 解：甲商场：(元)， 乙商场：(元)， ， 在乙商场购买更合算． 类型三、二元一次方程组的应用——利润问题 1．英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需元，购买3枚徽章和2枚书签共需元，则徽章和书签的单价分别是（    ） A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元 【答案】D 【分析】设徽章和书签的单价分别是x元，y元，根据费用列方程组直接求解即可得到答案； 【详解】解：设徽章和书签的单价分别是x元，y元，由题意可得， ， 解得：， 故选D； 【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际应用题，解题的关键是找到等量关系式． 2．某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为 时，商店才正好不亏本． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出等量关系并列出方程组是解题的关键． 根据题意列方程组求出第一次和第二次分别购进的数量，再根据利润=销售总收入-进货总成本，即可求出恰好不亏本时的值． 【详解】解：设第一次购进a箱，第二次购进箱，根据题意得： ， 解得：， ∴第一次购进箱，第二次购进箱， ∵箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，且商店正好不亏本， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 (1)求该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子的数量各是多少？ (2)若该蔬菜经营户当天将购买的黄瓜和茄子全部卖完，请问他可赚多少元？ 【答案】(1)该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子 (2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚40元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． （1）设批发黄瓜，茄子，根据黄瓜和茄子共，共花了90元，列出二元一次方程组计算求解； （2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数． 【详解】（1）解：设批发黄瓜，茄子． 根据题意得方程组， 解得， 答：该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子； （2）解： （元） 答：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚40元钱． 1．《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 直接利用“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，分别得出等式求出答案． 【详解】解：根据题意，可列方程组为：， 故选：D． 2．一支队伍第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98千米，第一天比第二天每小时少走2千米．设第一天行军千米/时，第二天行军千米/时，则有方程组（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题中的条件列二元一次方程组，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．设第一天行军千米/时，第二天行军千米/时，根据两天共行军98千米，第一天比第二天少走2千米，列方程组． 【详解】解：设第一天行军千米/时，第二天行军千米/时， 由题意得，， 故选：B． 3．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长有多少尺？若设绳长有尺，木长尺，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解题的关键． 根据等量关系“”和“”列方程组即可解答． 【详解】解：设绳长有尺，木长尺，， 依题意得，整理为：． 故选：A． 4．近年来，河南省舞钢市按照《森林河南生态建设规划（2018-2027年） 》要求，累计造林近两万亩，义务植树200万株以上，成功创建省级森林城市． 现有一块面积为180亩的荒地需要绿化，计划甲队先绿化，然后乙队接替甲队绿化，两队共用20天完成．已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，则可列方程组为： ． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，根据每天绿化面积及时间相乘得到两队的绿化面积，将甲乙两队绿化面积相加等于180，共用20天，即可得到方程组． 【详解】甲工程队每天绿化8亩，绿化x天，共绿化面积为亩， 乙工程队每天绿化12亩，绿化y天，共绿化面积为亩， 总绿化面积为180亩，则，共用20天，则， 故答案为：． 5．如图，分别用火柴棒连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棒．如果搭建正三角形和正六边形共用了2026根火柴棒，并且正三角形的个数比正六边形的个数少3个，那么连续搭建正三角形的个数是 ． 【答案】287 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设正三角形的个数为x个，正六边形的个数为y个，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设正三角形的个数为x个，正六边形的个数为y个，根据题意得： ， 解得：， 答：连续搭建正三角形的个数是287． 故答案为：287 6．若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，三角形的面积和代数式求值，解决本题的关键是利用整体替换思想．先求出y的值，再根据该图案的面积等于一个长方形的面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形的面积，据此列出代数式，再把x，y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得方程组： ， 解得：， 该图案的面积为： ， 故答案为：． 7．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把k看作已知数表示出方程组的解得到x与y，代入已知方程计算求出k的值，即可求出原式的值． 【详解】解：①②得：， ①②得：， 代入中，得：， 解得：． 则． 8．学校组织春游，每人车费为4元．下面是七年级（1）班的班长成成与七年级（2）班的班长路路的对话．根据对话内容，七年级（1）班和（2）班各有多少人？ 【答案】七年级（1）班有45人，（2）班有48人 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用．设七年级（1）班有人，（2）班有人，根据“两班共93人”和“二班比你们一班多交了12元的车费”列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设七年级（1）班有人，（2）班有人，根据题意， 得， 解得． 答：七年级（1）班有45人，（2）班有48人． 9．“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 【答案】购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支， 根据某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的各用墨囊，1支钢笔式毛笔和4支墨囊可搭配成套装，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支． 根据题意，得， 解，得， 答：购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支． 10．某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人．使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成6月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)工厂可以招聘2名、4名、6名或8名新工人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）每名熟练工每日可以安装辆自行车，每名新工人每日可以安装辆自行车，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设抽调熟练工名，根据题意可得，则，再根据为正整数，且求解即可得． 【详解】（1）解：每名熟练工每日可以安装辆自行车，每名新工人每日可以安装辆自行车， 由题意得：，解得， 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车． （2）解：设抽调熟练工名， 由题意得：， 所以， ∵为正整数，且， ∴或或或， 答：工厂可以招聘2名、4名、6名或8名新工人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用 在实际问题中，二元一次方程组有着广泛的应用。解决这类问题的关键是找出两个等量关系，并据此列出方程组。然后，通过解方程组求出未知数的值，从而得到问题的答案。 例如，在商品销售问题中，可以设售出商品的种类和数量为未知数，根据商品的单价和总价列出方程组。在行程问题中，可以设速度和时间为未知数，根据路程和时间的关系列出方程组。在配套问题中，可以设各部分的数量为未知数，根据总量等于各部分数量之和的关系列出方程组。 巩固课内例1:二元一次方程组的应用——和差倍分问题 1．在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 2．5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 3．为了增强学生体质，九年一班决定购进两种体育器材：跳绳和毽子，如果购进3根跳绳和2个毽子共需63元，购进2根跳绳和5个毽子共需75元，求一根跳绳和一个毽子的售价分别是多少元． 巩固课内例2:二元一次方程组的应用——配套问题 1．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 2．图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中竖式和横式的两种无盖有底纸盒（两个长方体形状大小一样），现在仓库有100张正方形纸板和200张长方形纸板，问竖式纸盒 只和横式纸盒 只，恰好使库存的纸板用完． 3．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 巩固课内例3:二元一次方程组的应用——温度问题 1．（跨学科）声音在某介质中传播的速度随着温度的变化而变化，若用表示声音在该介质中的传播速度，表示温度，则，满足公式：（，为常数）．若时，；时，，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．声音在空气中的传播速度（米/秒）随温度（）的变化而变化，且，若当时，；当时，，则当时，的值为 ． 3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 巩固课内例4:二元一次方程组的应用——百分比问题 1．将浓度为的酒精与浓度为的酒精混合，制成了浓度为的酒精，设浓度为的酒精需要，浓度为的酒精需要，则列出的方程组为(   ) A． B． C． D． 2．将浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精混合，制成了浓度为50%的酒精30kg．设浓度为30%的酒精需要，浓度为60%的酒精需要，则列出的方程组为 ． 3．已知甲，乙两种酒精溶液的浓度分别为90%和30%，某同学用甲，乙两种酒精溶液共恰好配制成75%的酒精消毒液 (1)甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有____________（用含字母的式子表示）； (2)若，分别求出甲、乙两种酒精溶液的质量． 类型一、二元一次方程组的应用——分配问题 1．某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（    ） A．34本 B．22本 C．24本 D．32本 2．4辆小货车与7辆大卡车一次能运37吨，6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问1辆小货车和1辆大卡车一次共运货 吨． 3．历史社团组织学生外出参观博物馆，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领若每位教师带名学生，则剩余名学生；若每位教师带名学生，则最后一位教师只需带人求此次带队的教师人数． 类型二、二元一次方程组的应用——比例问题 1．某中学生运动会男、女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男、女运动员比例变为；后来又决定再增加男子象棋项目，于是这个比例又变为．已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么运动员最后的总人数为（    ）． A．6280人 B．6370人 C．6450人 D．6615人 2．某公司对A村、B村、C村进行了合作办企的投资，其投资总额是对C村投资额的倍．随着国家对乡村振兴的高度重视，该公司调整了投资计划，在原投资总额的基础上再增加一部分投资，并按3：3：8的比例分别对A村、B村、C村增加投资．该公司调整投资计划后，若该公司对A村的投资总额与该公司对三个村的投资总额的和的比为6：13，且该公司对B村增加的投资额是该公司对三个村的投资总额的和的，则该公司对B村的投资总额与该公司对C村的投资总额的比为 ． 3．列方程或方程组解应用题 病毒无情，人间有爱．全国医务人员在党中央的号召下，面对疫情，主动请缨，前往湖北支援．北京市属医院首批援助队伍除领队外共135名医务人员，负责5个针对普通感染者的病区和1个针对危重感染者的病区．如果知道针对普通感染者的每个病区和针对危重感染者的每个病区配备医务人员的比例为．请你计算北京市属医院首批援助队伍中负责普通感染者病区和负责危重感染者病区的医务人员各有多少人． 类型三、二元一次方程组的应用——古代问题 1．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两． 答∶1枚黄金重 两；1枚白银重 两． 3．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱，问人数和物品的价格分别是多少？”请你用二元一次方程组的知识解答这个问题． 类型一、二元一次方程组的应用——行程问题 1．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，设从甲地到乙地上坡与平路分别为，依题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 ． 3．、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 类型二、二元一次方程组的应用——工程问题 1．甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（　　　） A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高 C．c=3a D．b：c=3：2 2．市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进 米． 3．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 类型三、二元一次方程组的应用——费用问题 1．为响应“科教兴国”的战略号召，某校成立创客实验室，准备购买航拍无人机和编程机器人．已知购买3架航拍无人机和4个编程机器人所需费用相同，购买6个航拍无人机和9个编程机器人共需76500元．设购买l架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有 人． 3．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 a 超过10吨不超过15吨的部分 b 超过15吨的部分 已知佳琪家2024年3月份用水11吨，交水费元；4月份用水14吨，交水费75.2元． (1)求a，b的值． (2)佳琪家5月份交水费元，则佳琪家5月份用水多少吨？ 类型一、二元一次方程组的应用——图表信息问题 1．在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 2．某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下： 答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10 人数 0 2 5 7 … 8 4 1 （1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题； （2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题． 该班学生共有 人参加智力竞赛． 3．某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）． 类型二、二元一次方程组的应用——方案问题 1．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是元，足球单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（   ） A． B． C． D． 2．中国高铁技术达到了世界领先水平，其座位设计也别具匠心，大多是安排的座位数，中间是过道．如此设计的理由除了乘坐安全、舒适度、空间容纳等因素外，还有人文关怀．如果出行人数为2个人可以选两人座，3个人正好选三人座，4个人可以选2排两人座，5个人可以两人座和三人座各选一排，这样刚好能坐下且旁边没有陌生人，小星计划与同学共计11人出行游玩，请写出一种刚好能坐下且旁边没有陌生人的购票方案： （两人座和三人座各几排） 3．请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由． 类型三、二元一次方程组的应用——利润问题 1．英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需元，购买3枚徽章和2枚书签共需元，则徽章和书签的单价分别是（    ） A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元 2．某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为 时，商店才正好不亏本． 3．某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 (1)求该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子的数量各是多少？ (2)若该蔬菜经营户当天将购买的黄瓜和茄子全部卖完，请问他可赚多少元？ 1．《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．一支队伍第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军98千米，第一天比第二天每小时少走2千米．设第一天行军千米/时，第二天行军千米/时，则有方程组（） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长有多少尺？若设绳长有尺，木长尺，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 4．近年来，河南省舞钢市按照《森林河南生态建设规划（2018-2027年） 》要求，累计造林近两万亩，义务植树200万株以上，成功创建省级森林城市． 现有一块面积为180亩的荒地需要绿化，计划甲队先绿化，然后乙队接替甲队绿化，两队共用20天完成．已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，则可列方程组为： ． 5．如图，分别用火柴棒连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棒．如果搭建正三角形和正六边形共用了2026根火柴棒，并且正三角形的个数比正六边形的个数少3个，那么连续搭建正三角形的个数是 ． 6．若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ． 7．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求的值． 8．学校组织春游，每人车费为4元．下面是七年级（1）班的班长成成与七年级（2）班的班长路路的对话．根据对话内容，七年级（1）班和（2）班各有多少人？ 9．“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 10．某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人．使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成6月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$