2.2 二元一次方程组和它的解 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

2.2 二元一次方程组和它的解 一、二元一次方程组的定义 由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 二、二元一次方程组的解 同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。 巩固课内例1:二元一次方程组中的天平问题 1．如图，天平两边盘中标有相同字母的物体的质量相同，若两架天平保持平衡，则1个砝码与个砝码的质量相等，的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过理解题意，可知本题的等量关系为．根据等量关系求解即可． 【详解】根据题意可得， ∴ ∴ ∴ ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据两个托盘的质量相等列出方程是解题的关键． 2．如图，小华同学将两个不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时砝码重量如图所示，则较大苹果的重量为 克． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图示列方程组解题即可． 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴较大苹果的重量为克， 故答案为：． 3．数学王老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量1元硬币和5角硬币的质量（注：同种类硬币每枚的质量相同）．聪明的小明找来足够多的1元和5角的硬币，经过探究得到以下两条记录∶ 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚1元硬币，一个10克的砝码 10枚5角硬币 平衡 记录二 15枚1元硬币 20枚5角硬币，一个10克的砝码 平衡 请你用所学的数学知识分别计算出1枚1元硬币和1枚5角硬币的质量． 【答案】1枚1元硬币的质量为6克，1枚5角硬币的质量为4克． 【分析】本题考查了方程组的应用，理解平衡的意义，列方程组求解是解题的关键，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设1枚1元硬币的质量为克，1枚5角硬币的质量为克． 由题意可得 解之得 答：1枚1元硬币的质量为6克，1枚5角硬币的质量为4克． 巩固课内例2:二元一次方程组中的门票问题 1．某校九年级两个班的师生一起到某区教育基地进行社会大课堂活动，该基地成人门票120元/人，学生门票98元/人，已知该校此次活动共支付6720元，且该校学生人数比教师人数9倍少3人，请问该校教师和学生各有几人？若设教师有x人，学生有y人，则根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设教师有x人，学生有y人，根据该校此次活动共支付6720元，且该校学生人数比教师人数9倍少3人，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：设教师有x人，学生有y人， 依题意，得 故选A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．某公园的门票价格为：成人票8元/张，儿童票3元/张，某旅游团买门票共花费44元，则该旅游团去公园游玩的人数是 ． 【答案】8或13 【分析】设名成人、名儿童，根据买门票共花了44元，列方程，再根据人数非负整数求解即可． 【详解】解：设名成人、名儿童，则成人的门票为元，儿童的门票为元， 由题意知，，则，且，为非负整数， 可得：，， ∴或， ∴该旅游团去公园游玩的是或人， 故答案为：8或13． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程，再结合实际，求方程的解． 3．某乐园的门票价格规定如下表所列．某校初一（1）、（2）两个班共104人去游长风乐园其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱．问两班各有多少名学生？ 购票人数 1~50人 51~100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 【答案】初一（1）班48人，（2）班56人． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设初一（1）班有x人，（2）班有y人，根据初一（1）班人数加（2）班人数等于两个班的总人数，如果是两个班都以班为单位分别购票，结合表格可知（1）班人数较少，不到50人，所以每人门票价格为13元，（2）班人数较多，所以每人门票价格为11人，结合题意列方程组，解之即可； 【详解】解：设初一（1）班有x人，（2）班有y人， 由题意可得：， 解得， ∴初一（1）班48人，（2）班56人． 类型一、二元一次方程组的定义 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，故该选项错误； B、第一个方程中的是二次的，故该选项错误； C、该方程组中有三个未知数，故该选项错误； D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故该选项正确． 故选：D． 2．若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 【答案】 3或2 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解：是关于，的二元一次方程组， ，或0，， 解得：或2，，， 答案：3或2，， 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 3．已知方程组是二元一次方程组，求m的值． 【答案】m=5 【详解】解：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0， 解得：m=5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程． 类型二、二元一次方程组的解 1．下列各组数是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】解：A．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故A不符合题意； B．将代入方程，左边右边，所以是方程的解，故B符合题意； C．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故C不符合题意； D．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故D不符合题意． 故选：B． 2．写出一个以为解的二元一次方程组 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，是开放题，根据方程组的解的定义，应满足所写方程组的每一个方程．选取两组适当的m和n值求出的值，即可建立这样的方程组． 【详解】解：∵， ∴， ∴这个方程组可以是 故答案为： (答案不唯一)． 3．已知方程组 (1)x分别取-3,-2,0,2,填写下表: (2)根据第1问中表内数据写出方程组的解. 【答案】（1）8,2，-1，-7，，2，，4  （2） 【分析】（1）将x的值代入到方程中依次可得到y的值（2）由（1）题可知方程组的解为x＝－1、y＝2. 【详解】(1)将x的值分别代入两个方程中,解得y的值.表中依次填8;2;－1;－7;;2;;4. (2)方程组的解是 【点睛】本题考查了二元一次方程即二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 类型一、二元一次方程组中的长方形问题 1．如图，在两个长、宽都分别为、的大长方形中，有若干个形状、大小完全相同的小长方形，拼成了“南开”两字，则每个小长方形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据图形间的关系列方程组求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 由题意得， 解得 则每个小长方形的面积为． 故选：C． 2．综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）      【答案】，（答案不唯一） 【分析】根据题意得，满足以及周长大于，高大于的一组正整数，即可作答． 【详解】解：如图可得， 解得：， ∵设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm， ∴当时，，底面周长为，高为：，符合题意， 故答案为：，． 3．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张，（张． 故答案为：7；3． （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个， 依题意，得：， 解得：． 答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 类型二、二元一次方程组中的自然数问题 1．关于的二元一次方程的自然数解有（   ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程．将方程整理为，将x的值依次代入，即可进行解答． 【详解】解：， ∴， ∵均为自然数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，二元一次方程的自然数解有4组． 故选：B 2．二元一次方程的自然数解有 组． 【答案】3 【分析】本题考查二元一次方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 二元一次方程的自然数解有，，，共组， 故答案为：3． 3．已知关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)，的自然数解是________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，解题关键是利用整体代入法，用含的代数式表示，的解． （1）将方程组的两个式子进行相减，得到，再整体代入的值，即可得到关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用代入消元法解方程组，解得，，再将，的值代入计算即可； （3）根据方程组的解，，列举的解为自然数时，求的值，再将的值代入的解，判定是否满足自然数条件即可． 【详解】（1）解：， 由得，， ， ， 解得． （2）解：由题意，得， ， 解得，， ， 当取不同实数时，的值不变，都为． （3）解：由（2）得，， 当时，， ， 当时，， 此时，，为非自然数， ，的自然数解是． 类型三、二元一次方程组中的三角形问题 1．如图，由长方形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分(阴影)的面积是5,广告牌所占的面积是30(厚度忽略不计)，除重叠部分外，长方形剩余部分的面积比三角形剩余的部分的面积多3，设长方形面积是x,三角形面积是y，则根据题意，可列出二元一次方程组为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设长方形面积是x,三角形面积是y，由重叠部分(阴影)的面积是5,广告牌所占的面积是30与长方形剩余部分的面积比三角形剩余的部分的面积多3分别列出方程即可得到二元一次方程组，即可进行判断. 【详解】设长方形面积是x,三角形面积是y，根据题意可得 故选A. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程. 2．如果一个三角形的周长为，最大边与最小边的差为，另一边与最小边之和为，那么这个三角形最小边的长为 ． 【答案】/9厘米 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． 【详解】解：设三角形最大边为，最小边长为，另一边长为，根据题意得： ， 解得：， ∴最小边长为， 故答案为：． 3．如图所示为一块三角形土地，爷爷打算在这块三角形土地上种植，两种不同的花草，其中种植种花草与种植种花草的单位面积的费用之比为．该三角形的一边的长为，此边上的高为，应怎样划分这块土地，才能使种植，两种花草的总费用的比为？ 【答案】在边上取一点，使，连接，把分成两个三角形，在中种植种花草，在中种植种花草． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系列方程组是解题的关键．设是上一点，，．根据种植种花草与种植种花草的单位面积的费用之比为．种植，两种花草的总费用的比为列方程求解即可． 【详解】解：如图，设是上一点，，． 根据题意，得 解得 在边上取一点，使，连接，把三角形分成两个三角形，在中种植种花草，在中种植种花草． 类型四、二元一次方程组中的比赛积分问题 1．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果： 胜 负 合计 场数 y 10 积分 16 表中x，y满足的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．由题意可得胜场，负场，合计10场，则；胜一场得2分，负一场得1分，合计16分，则．即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故选：B 2．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，败一场得1分，下表是某队全部比赛完成后的部分统计结果：表中x，y满足的二元一次方程组是 ． 胜 负 合计 场数 y 10 积分 2x 16 【答案】 【分析】根据表格信息和题意先推出胜的场数和负的积分，再根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据表格和题意可知胜的场数为，负的积分为， ∴根据题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，读懂题意列出方程是解题的关键． 3．哈69中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛共进行10场）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 追光队 10 8 2 26 冲锋队 10 7 3 24 无限队 10 22 勇士队 10 5 5 20 飞虎队 10 4 6 18 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积______分，负一场积______分； (2)求无限队的胜场数和负场数； (3)已知小组赛的前两名追光队与冲锋队进入冠亚军总决赛，两队共比赛5场，且小组赛积分累计计入总决赛，那么冲锋队要在总决赛赢下几场，才能和追光队的积分持平？ 【答案】(1)，； (2)无限队的胜场数为场，负场数为场； (3)冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设胜一场积分，负一场积分，根据勇士队和超越队的积分列二元一次方程组求解即可； （2）设无限队的胜场数为场，则负场数为场，根据无限队积分为22分列一元一次方程求解即可； （3）设冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 由题意得：，解得：， 即胜一场积分，负一场积分， 故答案为：，； （2）解：设无限队的胜场数为场，则负场数为场， 由题意得：， 解得：， ， 答：无限队的胜场数为场，负场数为场； （3）解：设冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平， 由题意得：， 解得：， 答：冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平． 【点睛】， 类型一、已知二元一次方程组求参 1．若关于x，y的方程有一组解是，则a的值是（    ）． A． B．8 C． D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查利用二元一次方程的解求参数，正确理解方程的解的定义是解题的关键． 将这一组解代入方程，即可求得答案． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得：， 故选：A． 2．若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，根据题意得出关于m的方程，是解题的关键． 将代入x，y的二元一次方程，得出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：． 故答案为：1． 3．已知和是关于、的二元一次方程的两组解． (1)求、的值； (2)如果是不大于的数，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）将已知两组解代入二元一次方程中得到关于、的方程组，求出方程组的解得到、的值； （2）由、的值确定出二元一次方程，根据题意得到关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：和是关于、的二元一次方程的两组解， ， 解得：， ，； （2）由（1）得：，， ， 是不大于的数， ， 解得：， 的最大值为． 类型二、二元一次方程的规律与新定义 1．对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义知识．注意根据定义求得方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵对于任意实数都成立， ∴， ∴为． 故选：B． 2．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，这可以试试”；丙说：“能不能通过换元替代的方法来解决”，参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可． 【详解】， 方程组中两个方程的两边都除以4，得， ∵方程组的解是， ∴， ∴， 故答案为. 3．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ．…… ．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，它不符合（1）中的规律 【分析】（1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数，常数与解的关系，确定第４个方程组； （2）通过观察，知第n个方程组为解为，将解代入方程组验证； （3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律． 【详解】（1）解： （2） 把代入得，所以成立． （3）将代入，解得， 即方程组为，所以它不符合（1）中的规律． 【点睛】本题考查规律探索，观察方程组，探索出方程未知数系数，常数与解的关系是解题的关键 ． 1．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义：两个一次方程，共含有2个未知数，组成的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、是二元二次方程组，不符合题意； C、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二元二次方程组，不符合题意； 故选A． 2．在下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：A、该方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意； B、该方程组符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意； C、第一个方程是二次方程，故该选项不符合题意； D、第一个方程是分式方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 3．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键．根据题意得到关于的二元一次方程解出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ， 故选C． 4．若是关于x，y的方程的一个解，则常数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把代入关于，的方程得关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：把代入关于，的方程得： ， 解得：， 故答案为：． 5．已知是关于 x、y的二元一次方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，先把代入原方程得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵是关于 x、y的二元一次方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 6．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，涉及解二元一次方程组，根据题意，解，将代入求解即可得到答案，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解满足， ， ①②得； 将代入①得； 将代入得，解得， 故答案为：． 7．已知和都是方程的解，求与的值． 【答案】的值是5，b的值是2． 【分析】由题意根据方程的解满足方程，可得关于a，b的方程组，进而解方程组即可得答案． 【详解】解：由和都是方的解， 可得：， 解得：， 的值是5，b的值是2． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，注意利用方程的解满足方程得出关于a，b的方程组是解题的关键． 8．解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为， (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）将代入第二个方程，将代入第二个方程，组成方程组求出c与d的值，将正确解代入第一个方程求出a即可； （2）由（1）知a，b，c的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：将；分别代入得： ， 解得：， 将代入中得：， 解得：， 则，，； （2）解：把，，代入得， 8的立方根是2， 的立方根为2． 9．关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】运用加减消元法解出，，得出，根据，得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解： ， 得：， 解得， 得：， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键． 10．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵； （2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b． 【详解】（1）解：整理方程得，， 因此矩阵形式为：； （2）根据矩阵形式得到方程组为： ， 将代入上述方程得，， 解得：． 【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 二元一次方程组和它的解 一、二元一次方程组的定义 由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 二、二元一次方程组的解 同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。 巩固课内例1:二元一次方程组中的天平问题 1．如图，天平两边盘中标有相同字母的物体的质量相同，若两架天平保持平衡，则1个砝码与个砝码的质量相等，的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，小华同学将两个不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时砝码重量如图所示，则较大苹果的重量为 克． 3．数学王老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量1元硬币和5角硬币的质量（注：同种类硬币每枚的质量相同）．聪明的小明找来足够多的1元和5角的硬币，经过探究得到以下两条记录∶ 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚1元硬币，一个10克的砝码 10枚5角硬币 平衡 记录二 15枚1元硬币 20枚5角硬币，一个10克的砝码 平衡 请你用所学的数学知识分别计算出1枚1元硬币和1枚5角硬币的质量． 巩固课内例2:二元一次方程组中的门票问题 1．某校九年级两个班的师生一起到某区教育基地进行社会大课堂活动，该基地成人门票120元/人，学生门票98元/人，已知该校此次活动共支付6720元，且该校学生人数比教师人数9倍少3人，请问该校教师和学生各有几人？若设教师有x人，学生有y人，则根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某公园的门票价格为：成人票8元/张，儿童票3元/张，某旅游团买门票共花费44元，则该旅游团去公园游玩的人数是 ． 3．某乐园的门票价格规定如下表所列．某校初一（1）、（2）两个班共104人去游长风乐园其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱．问两班各有多少名学生？ 购票人数 1~50人 51~100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 类型一、二元一次方程组的定义 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． B． C． D． 2．若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ． 3．已知方程组是二元一次方程组，求m的值． 类型二、二元一次方程组的解 1．下列各组数是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 2．写出一个以为解的二元一次方程组 ． 3．已知方程组 (1)x分别取-3,-2,0,2,填写下表: (2)根据第1问中表内数据写出方程组的解. 类型一、二元一次方程组中的长方形问题 1．如图，在两个长、宽都分别为、的大长方形中，有若干个形状、大小完全相同的小长方形，拼成了“南开”两字，则每个小长方形的面积为（  ） A． B． C． D． 2．综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）      3．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 类型二、二元一次方程组中的自然数问题 1．关于的二元一次方程的自然数解有（   ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 2．二元一次方程的自然数解有 组． 3．已知关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)当取不同实数时，的值是否发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由． (3)，的自然数解是________． 类型三、二元一次方程组中的三角形问题 1．如图，由长方形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分(阴影)的面积是5,广告牌所占的面积是30(厚度忽略不计)，除重叠部分外，长方形剩余部分的面积比三角形剩余的部分的面积多3，设长方形面积是x,三角形面积是y，则根据题意，可列出二元一次方程组为(   ) A． B． C． D． 2．如果一个三角形的周长为，最大边与最小边的差为，另一边与最小边之和为，那么这个三角形最小边的长为 ． 3．如图所示为一块三角形土地，爷爷打算在这块三角形土地上种植，两种不同的花草，其中种植种花草与种植种花草的单位面积的费用之比为．该三角形的一边的长为，此边上的高为，应怎样划分这块土地，才能使种植，两种花草的总费用的比为？ 类型四、二元一次方程组中的比赛积分问题 1．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果： 胜 负 合计 场数 y 10 积分 16 表中x，y满足的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 2．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，败一场得1分，下表是某队全部比赛完成后的部分统计结果：表中x，y满足的二元一次方程组是 ． 胜 负 合计 场数 y 10 积分 2x 16 3．哈69中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛共进行10场）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 追光队 10 8 2 26 冲锋队 10 7 3 24 无限队 10 22 勇士队 10 5 5 20 飞虎队 10 4 6 18 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积______分，负一场积______分； (2)求无限队的胜场数和负场数； (3)已知小组赛的前两名追光队与冲锋队进入冠亚军总决赛，两队共比赛5场，且小组赛积分累计计入总决赛，那么冲锋队要在总决赛赢下几场，才能和追光队的积分持平？ 类型一、已知二元一次方程组求参 1．若关于x，y的方程有一组解是，则a的值是（    ）． A． B．8 C． D．2 2．若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 3．已知和是关于、的二元一次方程的两组解． (1)求、的值； (2)如果是不大于的数，求的最大值． 类型二、二元一次方程的规律与新定义 1．对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为(　　) A． B． C． D． 2．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，这可以试试”；丙说：“能不能通过换元替代的方法来解决”，参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 3．按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ．…… ．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 1．下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 4．若是关于x，y的方程的一个解，则常数m的值为 ． 5．已知是关于 x、y的二元一次方程组的解，则 ． 6．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 7．已知和都是方程的解，求与的值． 8．解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为， (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 9．关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 10．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$