第二讲 圆柱和圆锥（单元讲义）-2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版）学生版+教师版

2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版） 第二讲 圆柱和圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+15大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 3 知识精讲 梳理脉络 3 知识点01：圆柱、圆锥的认识 3 知识点02：圆柱侧面积的计算方法 4 知识点03：圆柱表面积的计算方法 4 知识点04：圆柱体积的计算方法 4 知识点05：圆锥体积的计算方法 4 知识点06：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法： 5 易错点拨 查漏补缺 5 考点讲练 明确目标 6 考点一：圆柱的认识及特征 6 考点二：圆锥的认识及特征 6 考点三：圆柱的展开图 6 考点四：圆柱的体积 7 考点五：圆锥的体积（容积） 7 考点六：圆柱的侧面积 8 考点七：圆柱的表面积 8 考点八：圆柱的容积 8 考点九：圆柱与圆锥体积的关系 9 考点十：组合体的表面积（圆柱） 9 考点十一：组合体的体积（圆柱、圆锥） 10 考点十二：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 10 考点十三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 11 考点十四：立体图形的切拼（圆柱） 11 考点十五：立体图形的切拼（圆锥） 11 易错真题 培优必刷 12 压轴专练 冲刺拔尖 12 培优巩固 拔尖冲刺 16 基础夯实优选题专练 21 培优优选题专练 22 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：圆柱、圆锥的认识 ①圆柱由一个上底面、一个下底面和一个侧面组成。上下底面是两个完全相同的圆形；侧面是一个曲面。 ②圆柱的高：上下底面之间的距离。圆柱有无数条高，每条高相等。 ③圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆形；侧面是一个曲面。 ④圆锥的高：圆锥的定点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。 知识点02：圆柱侧面积的计算方法 圆柱的侧面展开图：有可能是长方形，也有可能是正方形。 ①假如是长方形，那么长方形的长 a，就是圆柱底面的周长 C，宽 b 就是圆柱的高h。 长方形的面积 S=a×b=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。 ②假如是正方形，那么正方形的边长 a 既等于圆柱底面的周长C，也等于圆柱的高h，也就是说底面周长和高相等。 正方形的面积 S=a×a=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。所以圆柱的侧面积公式=Ch 或者=2πrh 或者=πdh 知识点03：圆柱表面积的计算方法 圆柱的表面积由一个侧面加上两个底面组成，计算方法是S 表=S 侧+2S 底， 因为S 侧=Ch，S 底=πr2，所以 S 表=Ch+2πr2 =2πrh+2πr2 用乘法分配率得圆柱的表面积公式 =2πr(h+r) 知识点04：圆柱体积的计算方法 利用我们以前学过的长方体的体积公式V 长方体=S 底×h，可以得到圆柱的体积公式V 圆柱= S 底×h，长方体的底面积是长方形或正方形，而圆柱的底面积是圆。 相关公式：①已知半径和高，V 圆柱=πr2h ②已知直径和高，V 圆柱=π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆柱=π(C÷2π)2h 难点解析：把圆柱的底面平均分成n 份，切开后平成一个近似的长方体。得到的结论：圆柱的底面周长等于长方体的两条长的和; 圆柱的半径等于长方体的宽; 圆柱的高等于长方体的高; 圆柱的体积等于长方体的体积; ★圆柱的侧面=长方体的前、后两个面积的和(长×高)；圆柱的上、下底面和等于长方体的上、下底面和(长×宽)，所以圆柱的表面积比长方体的表面积少左右两个侧面(宽×高)。 知识点05：圆锥体积的计算方法 根据书本上的实验可以得到结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的 3 倍，或者说圆锥的体积是圆柱的三分之一。 用字母表示为V 圆柱=3V 圆锥或者V 圆锥=1/3V 圆柱。相关公式：只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。 ①已知半径和高，V 圆锥=1/3πr2h ②已知直径和高，V 圆锥=1/3π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆锥=1/3π(C÷2π)2h 知识点06：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法： ① 按底面的直径分割，这样分割的横截面是长方形或者是正方形，如果横截面是正方形说明圆柱的底面直径和高相等。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。圆锥横截面的分割方法： ① 按圆锥的高分割，这样分割的横截面是等腰三角形。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。 1. 圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2. 圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3. 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4. 圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5. 圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6. 半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7. 求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8. 只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 9. 瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 10. 当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 考点一：圆柱的认识及特征 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）要用一个长方体纸箱包装12瓶圆柱形橙汁罐，每个橙汁罐的底面直径是6厘米，高是10厘米，纸箱的长、宽、高各可以是多少？请画出纸箱草图，并说明怎样放置橙汁罐。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个长方形长5厘米，宽2厘米，若以长为轴旋转一周，形成的几何体的体积是多少立方厘米？若以宽为轴旋转一周，形成的几何体的体积是多少立方厘米？ 考点二：圆锥的认识及特征 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）圆锥的底面是一个( )，圆锥的( )面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的( )。圆锥有( )条高。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆锥的底面半径是6厘米，高是5厘米。从它的顶点向下沿着高将它等分切成两半，表面积增加( )平方厘米。 考点三：圆柱的展开图 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）将一个高5厘米的圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，量得长方形的长是31.4厘米。那么长方形的宽是( )，圆柱的底面周长是( )，底面半径是( )。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·期末）一个圆柱的侧面展开后是一个正方形。若将这个圆柱的高减少2厘米，则表面积比原来减少62.8平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 考点四：圆柱的体积 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个粮仓的形状如下图，下面是圆柱形，底面周长是6π米，高是2米；上面是圆锥形，高是1.5米。这个粮仓最多能装稻谷多少立方米？ 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一根长1米的圆柱形木材锯成3段（每段仍是圆柱），表面积比原来增加了2.4平方米。这根木料原来的体积是多少？ 考点五：圆锥的体积（容积） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）有一块底面半径是3厘米、高4厘米的圆柱形木料，要把它削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一块棱长8分米的正方体木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少立方分米？（得数保留整数） 考点六：圆柱的侧面积 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个食品罐头盒呈圆柱形，侧面积是60π平方厘米。在它的侧面围上一层包装纸（接头处有少许重叠），实际用去包装纸的面积可能是（    ）平方厘米。 A．180 B．188.4 C．190 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）用铁皮做一节圆柱形通风管，长15分米，底面半径是2分米。做10节这样的通风管至少需要铁皮多少平方分米？（接头处不计） 考点七：圆柱的表面积 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·期末）一根2米长的圆柱形木料，它的横截面的半径是10厘米，沿横截面的直径和圆柱的高锯开得到相等的两块，每块的表面积是多少平方分米？ 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一段圆柱形木料，底面半径为3厘米，长为12厘米。如果沿横截面截成2段，表面积将增加多少平方厘米？如果沿直径和高垂直切成2块，表面积将增加多少平方厘米？ 考点八：圆柱的容积 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·期中）一个圆柱形无盖水桶，底面半径是4分米，高是6分米，做这个水桶至少需要用多少平方分米铁皮？（用“进一”法取近似值，得数保留整数）如果用来装水，可以装多少千克水？（每升水重1千克） 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆柱形茶杯，从里面量，高14厘米，底面直径为8厘米。这个茶杯最多能装多少毫升水？（π取3） 考点九：圆柱与圆锥体积的关系 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱的( )，是圆锥的( )。如果圆锥体积是9立方分米，那么削去的体积是( )立方分米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·期末）有一个圆锥，它的高是6厘米，底面半径是2厘米，体积是和它等底等高的圆柱体积的( )。（填分数） 考点十：组合体的表面积（圆柱） 【精讲题】（2023六年级下·江苏无锡·专题练习） 如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是( )平方分米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏盐城·期中）为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 考点十一：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）求体积。（单位：分米） 【精练题01】（23-24六年级下·江苏徐州·期末）一个底面是圆柱形，上面是圆锥形的粮仓，如图所示。 （1）这个粮仓的容积是多少？ （2）若每立方粮食重750千克，则这个粮仓可以储粮食多少吨？ 考点十二：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一块磁铁完全浸入一个底面半径为6厘米的盛水圆柱形容器中，水面上升了5厘米（水未溢出），这块磁铁的体积是多少立方厘米？ 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·期中）小明为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行操作：①往一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将一个鸡蛋完全浸入水中，再次测量水面的高度，此时水面的高度是6厘米。（水未溢出）如果玻璃的厚度忽略不计，这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 考点十三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·期中）把一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面直径是2厘米的圆锥，这个圆锥的高是( )厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆锥形沙堆，占地面积是15平方米，高4米。把这堆沙铺在一条宽8米的长方形路面上，平均铺5厘米厚，能铺多少米路？ 考点十四：立体图形的切拼（圆柱） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一个长、宽、高分别是16厘米、12厘米、8厘米的长方体削成一个体积最大的圆柱，这个圆柱的底面半径、高分别是多少厘米？ 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）有两个同样的圆柱，它们的底面直径为6厘米，高2.5分米．把这两个圆柱拼接在一起，表面积比原来两个圆柱的表面积之和减少了多少平方厘米？ 考点十五：立体图形的切拼（圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏无锡·期末）如图，将圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，则表面积比原来多了90平方厘米。圆锥的底面积是( )平方厘米。 【精练题01】（22-23六年级下·江苏·期末）一个底面直径是8厘米的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，（如图所示）表面积增加72平方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米。 1．（2024•大观区）一个长方形的长是，宽是。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是　　 A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 2．（2024•谯城区）一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面半径和高的比是　　 A． B． C． D． 3．（2024•西乡塘区）一个圆锥和一个圆柱等底等高，若它们的体积和是60立方厘米，则圆柱体积是　　立方厘米． A．15 B．20 C．40 D．45 4．（2024•黎城县）圆柱和圆锥的底面积比是，高的比是，它们的体积比是　 　　 　． 5．（2024•菏泽）如图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满　　杯． 6．（2024•沈河区）两个底面都是圆形，且侧面是一个曲面的立体图形，一定是圆柱。 　　（判断对错） 7．（2024•定州市）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高与底面直径的比值等于．　 　（判断对错） 8．（2019•郑州模拟）求如图的表面积和体积．单位 9．（2014春•象山县月考）按要求计算． （1）如图1，求表面积．（单位：厘米） （2）如图2，求体积．（单位：分米） 10．（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图，表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图，表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图，那么削去部分的体积是多少？ 11． （2024•安顺）一个底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有水，水里完全浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块，当铁块从杯中取出时，杯里的水面下降了1.5厘米，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 12． （2024•光明区）一个圆锥形的沙堆，底面半径是2米，高是1.5米，如果把这些沙子铺在长4米，宽2米的长方体沙坑内，可以铺多高？ 13．（2024•广信区）一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有一些水，一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中。当取出铅锤时，水面下降了1厘米，铅锤的高是多少厘米？ 14．（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦 15．（2024•高港区）小学阶段我们学会了计算长方体、正方体和圆柱体的表面积，那怎样计算圆锥的表面积呢？ 如图①：已知一个圆锥的底面半径是，母线的长度是。（圆锥的母线用字母表示） 结合图②我们可以发现：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径就是圆锥的 　　；扇形的弧长就是圆锥的 　　。 结合图③请你尝试计算圆锥的表面积。 16．（2024•泸州）正方体、长方体、圆柱的统一的体积公式是　　 A．体积长宽高 B．体积棱长棱长棱长 C．体积底面积高 17．（2024秋•古田县期中）完全相同的水杯，分别往里面注水，水量如图中的涂色部分所示。如果再往每个水杯中分别放人大小样的方糖，完全溶解后，　　杯糖水最甜。 A． B． C． D． 18．（2024•祁县）请你用转化的数学思想方法解决下面的数学问题。一个瓶子里装有一些水，如图，根据图中所给的信息，请计算出瓶中水的体积所占瓶子的容积的　　 A． B． C． 19．（2024•埇桥区）如图所示，把一个圆柱平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方体。长方体的长相当于圆柱的 　　，长方体的宽相当于圆柱的 　　，　　相当于圆柱的高。我们已经知道：长方体的体积长宽高，长方体的体积公式还可以表示为 　　，由此推导出圆柱的体积公式 　　。 20．（2024•江北区）如图，一个密封容器由等高的圆锥和圆柱组成，圆锥底面半径是3分米，圆柱底面半径是2分米，容器内装有水，若按照图1放置，水深比圆柱的高的一半多2分米，若颠倒这个容器如图2，那么容器中的水刚好装满圆锥部分，这个容器中圆柱部分的高是 　　分米。取 图1 图2 21．（2024•南宁）小思把一块圆柱形的橡皮泥，切成三块（如图①，表面积增加了50.24平方厘米；切成两块（如图②，表面积增加了48平方厘米，这块橡皮泥的体积是 　　立方厘米。 22．（2024•未央区）一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，则圆锥的高是27分米。 　　（判断对错） 23．（2022•西安）一个圆柱与一个圆锥的体积相等。若圆柱的底面积是圆锥的，则圆锥的高与圆柱的高的比是。 　　（判断对错） 24．（2024•海沧区模拟）计算下面图形的表面积。 25．（2024春•宛城区期中）一个零件，需要在一个棱长为10厘米的正方体铜块上，用车床铣xí（削去一个如图所示的半圆柱，加工成型后它的体积和表面积分别为多少？取 26．（2024•埇桥区）一个底面周长是6.28分米，高是20厘米的圆柱。 （1）沿底面直径垂直切开成两部分，表面积增加多少平方厘米？ （2）这个圆柱的体积是多少？ 27．（2024•东昌府区）如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 28．（2024•黄石）一种稻谷磨米机的进料漏斗由圆柱和圆锥两部分组成，如图。圆柱与圆锥的底面直径都是，圆柱高，圆锥高。每立方分米稻谷约重。 （1）这台磨米机一次最多能装多少千克稻谷？（稻谷不超出漏斗上沿，得数保留整数。 （2）如果稻谷的出米率是，一漏斗稻谷大约能磨出多少千克大米？ （3）小明一家每天做饭用米千克，磨一漏斗稻谷够小明家吃多少天？ 29．（2024秋•六合区期中）数学探索。 明明把长方体侧面沿着一条棱打开（如图，发现长方体侧面就是一个大长方形，它的侧面积可以用计算，算出的是底面周长； 明明想：三棱柱（底面是边长的等边三角形）是不是沿着一条棱打开也可以得到一个长方形呢？于是他动手操作（如图，它的侧面积可以用 　　计算，　　算出的是底面周长； 于是，明明大胆地猜测：底面直径是4厘米的圆柱的侧面积可以用 　　计算，　　算出的是底面周长。（如果有困难，可以先画画，再计算。 30．（2024•茌平区）笑笑过生日，有6位小伙伴来做客。她用一大盒果汁招待同学，给每位同学倒上一杯后，剩下的倒给自己。（果汁包装盒和杯子如图，厚度忽略不计） （1）这盒果汁有多少毫升？ （2）笑笑喝了这盒果汁的几分之几？ 31．（2024•宁波）王师傅做了一个底面积为的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸 　　分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 基础夯实优选题专练 1．（23-24六年级下·江苏·课后作业）下面的几何体中，（    ）的体积不可以用“底面积×高”求得。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 2．（23-24六年级下·江苏·课后作业）求做铁皮油桶需要多少铁皮，就是求它的（    ）。 A．侧面积 B．表面积 C．体积 D．容积 3．（23-24六年级下·江苏·课后作业）从上面看下边的图形，可以看到（    ）。 A． B． C． D． 4．（23-24六年级下·江苏·期末）把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个长31.4厘米、宽10厘米的长方形，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。 5．（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆锥的高是12分米，体积是80立方分米，它的底面积是( )平方分米。 6．（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆柱形饮料罐，底面半径是3厘米，高是10厘米。这个饮料罐的底面积是( )，侧面积是( )，表面积是( )，体积是( )。 7．（23-24六年级下·江苏·课后作业）大厅里有4根圆柱，每根底面直径为1米，高8米，在这些圆柱的表面涂油漆，平均每平方米用油漆0.8千克，共需油漆多少千克？ 8．（23-24六年级下·江苏·课后作业）用一块圆柱形橡皮泥可以捏成3块和它等底等高的圆锥形橡皮泥。( )（判断对错） 9．（23-24六年级下·江苏·课后作业）小明用硬纸做了一个简易的圆柱形笔筒，底面直径为8厘米，高10厘米，做这样一个笔筒至少需要多少平方厘米硬纸？ 10． （23-24六年级下·江苏扬州·期中）一个圆柱形水杯的容积是1.8升，从里面量，底面积是1.2平方分米。用这个水杯装杯水，水面高多少分米？ 培优优选题专练 11．（23-24六年级下·江苏·期中）把一根底面半径是2厘米的圆柱形木材截成两段（如图），表面积（    ）。 A．增加12.56平方厘米 B．增加25.12平方厘米 C．增加6.28平方厘米 D．不变 12．（23-24六年级下·江苏·期末）一张长方形纸片，以虚线为轴旋转一周，（    ）形成的圆柱体积最大。 A． B． C． D． 13．（23-24六年级下·江苏·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差24立方米，圆柱的体积是（    ）立方米。 A．36 B．24 C．12 14．（23-24六年级下·江苏·期中）一种圆锥形瓶，从里面量，底面直径是8厘米，高是9厘米，这种圆锥形瓶的容积是( )毫升。 15．（23-24六年级下·江苏·期中）把一个高12厘米、底面半径是5厘米的铁圆锥熔铸成底面半径是5厘米的圆柱，这个圆柱的高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 16．（23-24六年级下·江苏·期末）如下图，先把一个圆柱的底面平均切成16份，然后沿着高垂直把这个圆柱切开，拼成一个和它体积相等的近似长方体。测得这个长方体的宽是10厘米，高是25厘米。这个近似长方体的体积是( )立方厘米，表面积比圆柱增加了( )平方厘米。 17．（23-24六年级下·江苏·期中）把一张长方形纸卷成一个圆柱，横着卷和竖着卷所得圆柱的体积一样。( )（判断对错） 18．（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆柱形容器能装水120升，说明这个容器的体积是120立方分米。( )（判断对错） 19．（23-24六年级下·江苏·期中）如下图，一个圆柱形油桶的底面直径和高都是4分米。 （1）要在油桶的侧面贴上一圈商标纸，商标纸的面积至少是多少平方分米？ （2）做这个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ （3）如果每升油重0.8千克，这个油桶最多可装油多少千克？（得数保留整数） 20．（23-24六年级下·江苏·课后作业）某种零件的形状如下图，现在要做一个长方体包装盒装2个这样的零件，做包装盒至少需要硬纸板多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版） 第二讲 圆柱和圆锥 （导图+知识精讲+易错点拨+15大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 3 知识精讲 梳理脉络 3 知识点01：圆柱、圆锥的认识 3 知识点02：圆柱侧面积的计算方法 4 知识点03：圆柱表面积的计算方法 4 知识点04：圆柱体积的计算方法 4 知识点05：圆锥体积的计算方法 4 知识点06：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法： 5 易错点拨 查漏补缺 5 考点讲练 明确目标 6 考点一：圆柱的认识及特征 6 考点二：圆锥的认识及特征 7 考点三：圆柱的展开图 8 考点四：圆柱的体积 9 考点五：圆锥的体积（容积） 10 考点六：圆柱的侧面积 11 考点七：圆柱的表面积 12 考点八：圆柱的容积 13 考点九：圆柱与圆锥体积的关系 14 考点十：组合体的表面积（圆柱） 15 考点十一：组合体的体积（圆柱、圆锥） 16 考点十二：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 18 考点十三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 18 考点十四：立体图形的切拼（圆柱） 19 考点十五：立体图形的切拼（圆锥） 21 易错真题 培优必刷 22 压轴专练 冲刺拔尖 30 培优巩固 拔尖冲刺 42 基础夯实优选题专练 42 培优优选题专练 45 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：圆柱、圆锥的认识 ①圆柱由一个上底面、一个下底面和一个侧面组成。上下底面是两个完全相同的圆形；侧面是一个曲面。 ②圆柱的高：上下底面之间的距离。圆柱有无数条高，每条高相等。 ③圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆形；侧面是一个曲面。 ④圆锥的高：圆锥的定点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。 知识点02：圆柱侧面积的计算方法 圆柱的侧面展开图：有可能是长方形，也有可能是正方形。 ①假如是长方形，那么长方形的长 a，就是圆柱底面的周长 C，宽 b 就是圆柱的高h。 长方形的面积 S=a×b=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。 ②假如是正方形，那么正方形的边长 a 既等于圆柱底面的周长C，也等于圆柱的高h，也就是说底面周长和高相等。 正方形的面积 S=a×a=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。所以圆柱的侧面积公式=Ch 或者=2πrh 或者=πdh 知识点03：圆柱表面积的计算方法 圆柱的表面积由一个侧面加上两个底面组成，计算方法是S 表=S 侧+2S 底， 因为S 侧=Ch，S 底=πr2，所以 S 表=Ch+2πr2 =2πrh+2πr2 用乘法分配率得圆柱的表面积公式 =2πr(h+r) 知识点04：圆柱体积的计算方法 利用我们以前学过的长方体的体积公式V 长方体=S 底×h，可以得到圆柱的体积公式V 圆柱= S 底×h，长方体的底面积是长方形或正方形，而圆柱的底面积是圆。 相关公式：①已知半径和高，V 圆柱=πr2h ②已知直径和高，V 圆柱=π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆柱=π(C÷2π)2h 难点解析：把圆柱的底面平均分成n 份，切开后平成一个近似的长方体。得到的结论：圆柱的底面周长等于长方体的两条长的和; 圆柱的半径等于长方体的宽; 圆柱的高等于长方体的高; 圆柱的体积等于长方体的体积; ★圆柱的侧面=长方体的前、后两个面积的和(长×高)；圆柱的上、下底面和等于长方体的上、下底面和(长×宽)，所以圆柱的表面积比长方体的表面积少左右两个侧面(宽×高)。 知识点05：圆锥体积的计算方法 根据书本上的实验可以得到结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的 3 倍，或者说圆锥的体积是圆柱的三分之一。 用字母表示为V 圆柱=3V 圆锥或者V 圆锥=1/3V 圆柱。相关公式：只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。 ①已知半径和高，V 圆锥=1/3πr2h ②已知直径和高，V 圆锥=1/3π(d÷2)2h ③已知周长和高，V 圆锥=1/3π(C÷2π)2h 知识点06：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法： ① 按底面的直径分割，这样分割的横截面是长方形或者是正方形，如果横截面是正方形说明圆柱的底面直径和高相等。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。圆锥横截面的分割方法： ① 按圆锥的高分割，这样分割的横截面是等腰三角形。 ② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。 1. 圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2. 圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3. 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4. 圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5. 圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6. 半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7. 求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8. 只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 9. 瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 10. 当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 考点一：圆柱的认识及特征 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）要用一个长方体纸箱包装12瓶圆柱形橙汁罐，每个橙汁罐的底面直径是6厘米，高是10厘米，纸箱的长、宽、高各可以是多少？请画出纸箱草图，并说明怎样放置橙汁罐。 【答案】24cm，18cm，高10cm；见详解，沿着宽摆3行橙汁罐，沿着长摆4列橙汁罐。 【思路点拨】12瓶橙汁罐如果摆成两层,那么每层6瓶,放起来就比较高,容易倒；因此建议直接摆成一层,一层的话,那么最好的就是摆成3行4列,长是4瓶橙汁罐的直径,宽是3瓶橙汁罐的直径,高就是橙汁罐的高；因此纸箱的长24cm、宽18cm、高10cm；根据长宽高画出长方体纸箱。 【规范解答】6×4=24（厘米） 6×3=18（厘米） 10×1=10（厘米） 沿着宽摆3行橙汁罐，沿着长摆4列橙汁罐。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个长方形长5厘米，宽2厘米，若以长为轴旋转一周，形成的几何体的体积是多少立方厘米？若以宽为轴旋转一周，形成的几何体的体积是多少立方厘米？ 【答案】62.8立方厘米；157立方厘米 【思路点拨】圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。 以长为轴旋转一周形成的圆柱，圆柱的高＝长方形的长，底面半径＝长方形的宽；以宽为轴旋转一周形成的圆柱，圆柱的高＝长方形的宽，底面半径＝长方形的长，根据圆柱体积＝底面积×高，分别计算出体积即可。 【规范解答】3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝62.8（立方厘米） 3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝157（立方厘米） 答：若以长为轴旋转一周，形成的几何体的体积是62.8立方厘米，若以宽为轴旋转一周，形成的几何体的体积是157立方厘米。 考点二：圆锥的认识及特征 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）圆锥的底面是一个( )，圆锥的( )面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的( )。圆锥有( )条高。 【答案】 圆 侧 高 一 【思路点拨】根据圆锥的特征：‌圆锥‌是一个由一个底面和一个侧面组成的几何体。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高，圆锥只有一条高‌。据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： 圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥有一条高。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆锥的底面半径是6厘米，高是5厘米。从它的顶点向下沿着高将它等分切成两半，表面积增加( )平方厘米。 【答案】60 【思路点拨】从圆锥的顶点沿着高将它切成两半，切面是两个相等的等腰三角形，这个等腰三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，据此作答即可。 【规范解答】6×2×5÷2×2 ＝12×5÷2×2 ＝60（平方厘米） 所以表面积增加60平方厘米。 考点三：圆柱的展开图 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）将一个高5厘米的圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，量得长方形的长是31.4厘米。那么长方形的宽是( )，圆柱的底面周长是( )，底面半径是( )。 【答案】 5 31.4 5 【思路点拨】圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，据此解答。 【规范解答】31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 长方形的宽是5，圆柱的底面周长是31.4，底面半径是5。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·期末）一个圆柱的侧面展开后是一个正方形。若将这个圆柱的高减少2厘米，则表面积比原来减少62.8平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】2464.9立方厘米 【思路点拨】如下图：如果圆柱的高减少2厘米，表面积就比原来减少62.8平方厘米，那么表面积减少的是高为2厘米的圆柱的侧面积；圆柱侧面积＝底面周长×高，则底面周长＝圆柱侧面积÷高，用62.3平方厘米除以2计算出底面周长。 又知：圆的底面周长＝2×π×底面半径，进而代入数据计算出圆柱的底面半径。 由题意知：圆柱的侧面展开后是一个正方形，所以圆柱的底面周长和高相等。利用圆柱的体积＝底面积×高，计算出圆柱的体积即可。 【规范解答】圆柱的底面周长（也是原来圆柱的高）：62.8÷2＝31.4（厘米） 圆柱的底面半径：31.4÷2÷3.14 ＝15.7÷3.14 ＝5（厘米） 圆柱的底面积： ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆柱的体积：78.5×31.4＝2464.9（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是2464.9立方厘米。 考点四：圆柱的体积 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个粮仓的形状如下图，下面是圆柱形，底面周长是6π米，高是2米；上面是圆锥形，高是1.5米。这个粮仓最多能装稻谷多少立方米？ 【答案】70.65立方米 【思路点拨】根据题意，这个粮仓是由一个圆锥体和一个圆柱体组成，先根据底面半径＝周长÷π÷2求出圆柱的底面半径，据图可知圆柱的底面半径和圆锥的底面半径相等，再根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h分别算出圆柱和圆锥的体积，再求和即可解答。 【规范解答】6π÷π÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方米） 3.14×32×1.5× ＝3.14×9×1.5× ＝28.26×1.5× ＝42.39× ＝14.13（立方米） 56.52＋14.13＝70.65（立方米） 答：这个粮仓最多能装稻谷70.65立方米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一根长1米的圆柱形木材锯成3段（每段仍是圆柱），表面积比原来增加了2.4平方米。这根木料原来的体积是多少？ 【答案】0.6立方米 【思路点拨】根据题意，把圆柱形木材锯成3段（每段仍是圆柱）需要锯（3－1）次，锯一次会增加2个底面，据此求出锯成3段一共增加了几个底面，这些底面就是表面积比原来增加的部分；再用除法求出一个底面的面积；最后根据圆柱的体积＝底面积×高列式求出原来木料的体积即可。 【规范解答】3－1＝2（次） 2×2＝4（个） 2.4÷4＝0.6（平方米） 0.6×1＝0.6（立方米） 答：这根木料原来的体积是0.6立方米。 考点五：圆锥的体积（容积） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）有一块底面半径是3厘米、高4厘米的圆柱形木料，要把它削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】37.68立方厘米 【思路点拨】根据题意，把圆柱形木料削成最大的圆锥，底面半径和高没变，结合圆锥的体积公式：，代入数据计算即可。 【规范解答】 ＝ ＝3×4×3.14 ＝12×3.14 ＝37.68（立方厘米） 答：这个圆锥体积是37.68立方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一块棱长8分米的正方体木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少立方分米？（得数保留整数） 【答案】378立方分米 【思路点拨】根据题意可知，一块棱长8分米的正方体木料削成一个最大的圆锥，这个圆锥的高为8分米，底面直径为8分米，结合正方体的体积公式：边长×边长×边长以及圆锥的体积公式：，用正方体的体积减去圆锥的体积，即可求出削去部分的体积。 【规范解答】正方体的体积：8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方分米） 圆锥的体积： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ≈134（立方分米） 512－134＝378（立方分米） 答：削去部分的体积是378立方分米。 考点六：圆柱的侧面积 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个食品罐头盒呈圆柱形，侧面积是60π平方厘米。在它的侧面围上一层包装纸（接头处有少许重叠），实际用去包装纸的面积可能是（    ）平方厘米。 A．180 B．188.4 C．190 【答案】C 【思路点拨】包装圆柱形的食品罐头的侧面，所用去的包装纸的面积正好是这个圆柱形的食品罐头侧面积，再加上少许重叠部分，实际用去包装纸的面积应大于60π，由此可得出答案。 【规范解答】60π＝60×3.14＝188.4（平方厘米） 所以圆柱形食品罐头的侧面用包装纸的面积要大于188.4平方厘米。 190＞188.4＞180 所以实际用去包装纸的面积可能是190平方厘米。 故答案为：C 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）用铁皮做一节圆柱形通风管，长15分米，底面半径是2分米。做10节这样的通风管至少需要铁皮多少平方分米？（接头处不计） 【答案】1884平方分米 【思路点拨】通风管没有底面，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，求出一节通风管的侧面积，再乘通风管数量，即可求出需要的铁皮面积。 【规范解答】2×3.14×2×15×10 ＝12.56×15×10 ＝188.4×10 ＝1884（平方分米） 答：做10节这样的通风管至少需要铁皮1884平方分米。 考点七：圆柱的表面积 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·期末）一根2米长的圆柱形木料，它的横截面的半径是10厘米，沿横截面的直径和圆柱的高锯开得到相等的两块，每块的表面积是多少平方分米？ 【答案】105.94平方分米 【思路点拨】从题意可知，半圆柱的表面积＝一个底面（横截面）的面积＋侧面积的一半＋长方形的面积。根据圆的面积：S＝πr2，圆柱侧面积：S＝Ch＝2πrh，长方形的面积＝直径×长（高），先将单位换算成分米，再代入数据计算即可。 【规范解答】2米＝20分米    10厘米＝1分米 12×3.14＋1×2×3.14×20÷2＋1×2×20 ＝1×3.14＋1×2×3.14×20÷2＋1×2×20 ＝3.14＋62.8＋40 ＝105.94（平方分米） 答：每块的表面积是105.94平方分米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一段圆柱形木料，底面半径为3厘米，长为12厘米。如果沿横截面截成2段，表面积将增加多少平方厘米？如果沿直径和高垂直切成2块，表面积将增加多少平方厘米？ 【答案】56.52平方厘米；144平方厘米 【思路点拨】根据题意，作图如下： 从图中可知：如果沿横截面截成2段，表面积将增加2个横截面的面积，即2个圆的面积。根据圆的面积：S＝πr2，代入数据即可求出圆的面积，再乘2即可。如果沿直径和高垂直切成2块，表面积将增加2个长方形的面积，这个长方形的面积＝底面直径×高，代入数据即可求出长方形的面积，再乘2即可。 【规范解答】3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（平方厘米） 3×2×12×2 ＝72×2 ＝144（平方厘米） 答：如果沿横截面截成2段，表面积将增加56.52平方厘米。如果沿直径和高垂直切成2块，表面积将增加144平方厘米。 考点八：圆柱的容积 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·期中）一个圆柱形无盖水桶，底面半径是4分米，高是6分米，做这个水桶至少需要用多少平方分米铁皮？（用“进一”法取近似值，得数保留整数）如果用来装水，可以装多少千克水？（每升水重1千克） 【答案】201平方分米；301.44千克 【思路点拨】根据题意可知，圆柱形无盖水桶，求水桶至少需要铁皮的面积，就是求这个圆柱形无盖水桶的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，求出需要铁皮的面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形水桶的体积，再乘1，即可解答。 【规范解答】3.14×42＋3.14×4×2×6 ＝3.14×16＋12.56×2×6 ＝50.24＋150.72 ＝200.96（平方分米） 200.96平方分米≈201平方分米 3.14×42×6×1 ＝3.14×16×6×1 ＝301.44×1 ＝301.44（千克） 答：做这个水桶至少需要用201平方分米铁皮，可以装301.44千克水。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆柱形茶杯，从里面量，高14厘米，底面直径为8厘米。这个茶杯最多能装多少毫升水？（π取3） 【答案】672毫升 【思路点拨】根据圆柱的体积（容积）：V＝Sh＝πr2h，以及1毫升＝1立方厘米，代入数据计算，即可求出这个圆柱形茶杯的容积，即最多能装多少毫升水。 【规范解答】（8÷2）2×3×14 ＝42×3×14 ＝16×3×14 ＝672（立方厘米） 672立方厘米＝672毫升 答：这个茶杯最多能装672毫升的水。 考点九：圆柱与圆锥体积的关系 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱的( )，是圆锥的( )。如果圆锥体积是9立方分米，那么削去的体积是( )立方分米。 【答案】 2倍 18 【思路点拨】根据题意，结合圆柱和圆锥等底等高，则圆锥的体积是圆柱体积的，所以把圆柱的体积看作单位“1”，则削去部分的体积为（1－），用削去部分的体积除以圆锥的体积，求出削去部分的体积是圆锥体积的2倍，最后用9乘2即可求出削去的体积。 【规范解答】削去部分的体积：1－＝ ÷ ＝×3 ＝2 2×9＝18（立方分米） 所以把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱的，是圆锥的2倍。如果圆锥体积是9立方分米，那么削去的体积是18立方分米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·期末）有一个圆锥，它的高是6厘米，底面半径是2厘米，体积是和它等底等高的圆柱体积的( )。（填分数） 【答案】 【思路点拨】圆锥的体积＝h，圆柱的体积＝h，据此分别求出圆锥和与它等底等高的圆柱的体积，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答，用圆锥的体积除以圆柱的体积即可。 【规范解答】h÷（h）＝ 所以体积是和它等底等高的圆柱体积的。 考点十：组合体的表面积（圆柱） 【精讲题】（2023六年级下·江苏无锡·专题练习） 如图是一个零件的示意图，零件下部是一个棱长4分米的正方体，上部正好是圆柱的一半，这个零件的表面积是( )平方分米。 【答案】117.68 【思路点拨】这个零件的表面积是直径为4分米的圆柱的表面积的一半与棱长为4分米的正方体的5个面的面积的和。圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，结合这两个公式求出题中零件的表面积。 【规范解答】[3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×4]÷2＋4×4×5 ＝[3.14×4×2＋50.24]÷2＋80 ＝[25.12＋50.24]÷2＋80 ＝75.36÷2＋80 ＝37.68＋80 ＝117.68（平方分米） 所以，这个零件的表面积是117.68平方分米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏盐城·期中）为了参加“六一”儿童节的服装表演，张华同学准备自己动手用硬纸片做一顶礼帽（如图）。请你帮他计算一下，他至少要用硬纸片多少平方厘米？（单位：厘米） 【答案】4082平方厘米 【思路点拨】帽子顶和帽檐合在一起就是一个大圆，先求出大圆的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，分别计算大圆的面积和帽顶部分的侧面积，最后将两者相加就是所需硬纸片的总面积。 【规范解答】20÷2＝10（厘米） 10＋20＝30（厘米） 3.14×30² ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 3.14×20×20＝1256（平方厘米） 2826＋1256＝4082（平方厘米） 答：他至少要用硬纸片4082平方厘米。 考点十一：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）求体积。（单位：分米） 【答案】75.36立方分米 【思路点拨】由图可知，此图形是由一个底面直径是4分米、高是6分米的圆柱和一个底面半径是4分米、高是3分米的圆锥组成的图形，根据圆柱的体积＝和圆锥的体积＝，把数据代入公式即可求解。 【规范解答】3.14××5＋ ＝3.14×4×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（立方分米） 答：这个图形的体积是75.36立方分米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏徐州·期末）一个底面是圆柱形，上面是圆锥形的粮仓，如图所示。 （1）这个粮仓的容积是多少？ （2）若每立方粮食重750千克，则这个粮仓可以储粮食多少吨？ 【答案】（1）立方米 （2）157吨 【思路点拨】（1）根据圆柱的体积（容积）公式，圆锥的体积（容积）公式，圆柱的容积加上圆锥的容积，即可算出这个粮仓的容积。 （2）粮仓的容积乘每立方粮食的重量，即可算出这个粮仓可以储粮食的重量，结果单位要换算为吨。 【规范解答】（1） （立方米） 答：这个粮仓的容积是立方米。 （2）（千克） 157000千克＝157吨 答：这个粮仓可以储粮食157吨。 考点十二：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一块磁铁完全浸入一个底面半径为6厘米的盛水圆柱形容器中，水面上升了5厘米（水未溢出），这块磁铁的体积是多少立方厘米？ 【答案】565.2立方厘米 【思路点拨】根据题意，磁铁的体积就等于上升的水的体积（水未溢出），上升的水的体积就相当于一个底面半径是6厘米高是5厘米的圆柱的体积，圆柱的体积＝πr2h，据此代入数据计算即可。 【规范解答】3.14×62×5 ＝3.14×36×5 ＝113.04×5 ＝565.2（立方厘米） 答：这块磁铁的体积是565.2立方厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·期中）小明为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行操作：①往一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；②将一个鸡蛋完全浸入水中，再次测量水面的高度，此时水面的高度是6厘米。（水未溢出）如果玻璃的厚度忽略不计，这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】50.24立方厘米 【思路点拨】水面上升的体积就是鸡蛋的体积，根据圆柱体积公式，圆柱形玻璃杯的底面积×水面上升的高度＝鸡蛋的体积，据此列式解答。 【规范解答】3.14×（8÷2）2×（6－5） ＝3.14×42×1 ＝3.14×16×1 ＝50.24（立方厘米） 答：这个鸡蛋的体积大约是50.24立方厘米。 考点十三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·期中）把一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面直径是2厘米的圆锥，这个圆锥的高是( )厘米。 【答案】9 【思路点拨】圆柱的体积＝底面积×高，则圆柱的高＝体积÷底面积；圆锥的体积＝×底面积×高，则圆锥的高＝3×体积÷底面积。根据题意可知，圆柱和圆锥的体积相等，底面直径相等，也就是底面积相等，则圆锥的高＝3×圆柱的高，代入数据计算即可。 【规范解答】由分析得： 3×3＝9（厘米） 把一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个底面直径是2厘米的圆锥，这个圆锥的高是9厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆锥形沙堆，占地面积是15平方米，高4米。把这堆沙铺在一条宽8米的长方形路面上，平均铺5厘米厚，能铺多少米路？ 【答案】50米 【思路点拨】根据题意，先算出这个圆锥形沙堆的体积，结合圆锥的体积公式：，代入数据计算即可。然后统一单位，5厘米＝0.05米，根据长方体的体积公式可知，用算出的体积除以8再除以0.05，即可求出答案。 【规范解答】沙堆： ＝5×4 ＝20（立方米） 5厘米＝0.05米 20÷8÷0.05 ＝2.5÷0.05 ＝50（米） 答：能铺50米路。 考点十四：立体图形的切拼（圆柱） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏·课后作业）把一个长、宽、高分别是16厘米、12厘米、8厘米的长方体削成一个体积最大的圆柱，这个圆柱的底面半径、高分别是多少厘米？ 【答案】6厘米；8厘米 【思路点拨】长方体削成最大的圆柱有三种情况： 圆柱的底面直径是12厘米，高为8厘米； 圆柱的底面直径是8厘米，高为16厘米； 圆柱的底面直径是8厘米，高为12厘米； 根据圆柱的体积分别计算出三种情况下的圆柱的体积，再比较体积大小选出即可。 【规范解答】12÷2＝6（厘米） ＝π×36×8 ＝288π（立方厘米） 8÷2＝4（厘米） ＝π×16×16 ＝256π（立方厘米） 8÷2＝4（厘米） ＝π×16×12 ＝192π（立方厘米） ＞＞ 所以当圆柱底面直径是12厘米，高为8厘米时，圆柱的体积最大。 答：这个圆柱的底面半径是6厘米，高是8厘米。 【精练题01】（23-24六年级下·江苏·课后作业）有两个同样的圆柱，它们的底面直径为6厘米，高2.5分米．把这两个圆柱拼接在一起，表面积比原来两个圆柱的表面积之和减少了多少平方厘米？ 【答案】56.52平方厘米 【思路点拨】如图所示，拼接之后的大圆柱比原来两个小圆柱的表面积之和减少了2个底面的面积，利用“”求出减少部分的面积，据此解答。 【规范解答】 3.14×（6÷2）2×2 ＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（平方厘米） 答：表面积比原来两个圆柱的表面积之和减少了56.52平方厘米。 考点十五：立体图形的切拼（圆锥） 【精讲题】（23-24六年级下·江苏无锡·期末）如图，将圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，则表面积比原来多了90平方厘米。圆锥的底面积是( )平方厘米。 【答案】254.34 【思路点拨】将圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积增加了2个等腰三角形，三角形的底＝圆锥底面直径，三角形的高＝圆锥的高，比原来多的表面积÷2，求出一个三角形的面积，看图可知，圆锥的高＝5厘米，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出底面直径，再根据圆锥的底面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【规范解答】90÷2＝45（平方厘米） 45×2÷5＝18（厘米） 3.14×（18÷2）2 ＝3.14×92 ＝3.14×81 ＝254.34（平方厘米） 圆锥的底面积是254.34平方厘米。 【精练题01】（22-23六年级下·江苏·期末）一个底面直径是8厘米的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，（如图所示）表面积增加72平方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】150.72 【思路点拨】观察图形可知，增加的表面积是两个相等的等腰三角形的面积，三角形的底是圆锥底面的直径，利用三角形面积公式，求出三角形的高，也就是圆锥的高，用增加的表面积÷2，求出一个三角形面积，再求出高，再根据圆锥的体积公式，即可解答。 【规范解答】高：72÷2×2÷8 ＝36×2÷8 ＝72÷8 ＝9（厘米） 圆锥体积： 3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×16×9× ＝50.24×9× ＝452.16× ＝150.72（立方厘米） 1．（2024•大观区）一个长方形的长是，宽是。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是　　 A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 【思路点拨】利用圆柱的侧面积底面圆的周长高，圆柱的表面积上下底面面积侧面积，圆柱的体积底面积高分别进行计算即可。 【规范解答】解：圆柱甲的底面积， 圆柱甲的侧面积， 圆柱甲的表面积， 圆柱甲的体积； 圆柱乙的底面积， 圆柱乙的侧面积， 圆柱乙的表面积， 圆柱乙的体积， 故选：。 【考点评析】本题考查的是圆柱的侧面积，表面积和体积的应用。解决这类问题的关键是熟练记忆公式，并能灵活运算。 2．（2024•谯城区）一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面半径和高的比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】因为将圆柱沿高展开后得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，由此再根据“一个圆柱的侧面展开是一个正方形，”知道圆柱的底面周长与圆柱的高相等；设圆柱的底面半径为，根据圆的周长公式，，表示出圆柱的底面周长，即圆柱的高，由此即可得出圆柱的底面半径和高的比． 【规范解答】解：设圆柱的底面半径为， 则圆柱的底面周长是：， 即圆柱的高为：， 圆柱的底面半径和高的比是：； 故选：。 【考点评析】此题主要考查了圆柱与圆柱的侧面展开图之间的关系，再根据相应的公式与基本的数量关系解决问题． 3．（2024•西乡塘区）一个圆锥和一个圆柱等底等高，若它们的体积和是60立方厘米，则圆柱体积是　　立方厘米． A．15 B．20 C．40 D．45 【思路点拨】等底等高的圆柱体积与圆锥的体积之比是，由此根据即可解答． 【规范解答】解：， ， （立方厘米）； 答：圆柱的体积是45立方厘米． 故选：． 【考点评析】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积的倍数关系的灵活应用． 4．（2024•黎城县）圆柱和圆锥的底面积比是，高的比是，它们的体积比是　8　　 　． 【思路点拨】设圆柱的底面积为，高为，则圆柱的体积，圆锥的体积，用圆柱的体积除以圆锥的体积就能求得它们的体积比． 【规范解答】解：设圆柱的底面积为，高为， 则圆柱的体积，圆锥的体积， 体积比：； 答：它们的体积比是． 故答案为：． 【考点评析】解答此题的关键是：设出底面积和高，再据二者的底面积和高的大小关系，利用公式推导即可． 5．（2024•菏泽）如图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满　6　杯． 【思路点拨】根据题意知道瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，设瓶底的面积为，瓶子内水的高度为，则锥形杯子的高度为，先根据圆柱的体积公式求出圆柱形瓶内水的体积，再算出圆锥形杯子的体积，进而得出答案． 【规范解答】解：圆柱形瓶内水的体积：， 圆锥形杯子的体积：， 倒满杯子的个数：（杯； 答：能倒满6杯． 故答案为：6． 【考点评析】此题虽然没有给出具体的数，但可以用字母表示未知数，找出各个量之间的关系，再利用相应的公式解决问题． 6．（2024•沈河区）两个底面都是圆形，且侧面是一个曲面的立体图形，一定是圆柱。 　　（判断对错） 【思路点拨】从圆柱的定义入手进行分析：两个底面都是圆形，侧面是一个曲面的立体图形，不一定都是圆柱，圆柱上下两个底面面积相等，否则就不是圆柱。 【规范解答】解：根据圆柱的定义：圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。可知原题没有强调上下两个底面相等，说法不严密，所以错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了圆柱的特征的掌握能力。解题关键是牢记圆柱上下底面是大小相等的两个圆。 7．（2024•定州市）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高与底面直径的比值等于．　　（判断对错） 【思路点拨】因为“圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高”并结合题意可得：圆柱的底面周长等于圆柱的高，设圆柱的底面直径是，根据“圆的周长”求出圆柱的底面周长，进而根据题意求解即可． 【规范解答】解：设圆柱的底面直径为，则： ． 答：这个圆柱的高与底面直径的比值等于． 故答案为：． 【考点评析】解答此题应明确：圆柱的侧面展开后是一个正方形，即圆柱的底面周长等于圆柱的高，进而解答即可． 8．（2019•郑州模拟）求如图的表面积和体积．单位 【思路点拨】根据图示可知，这个组合图形的表面积就是外面正方体的表面积加上里面圆柱的侧面积，利用正方体和圆柱表面积公式进行计算即可； 组合图形的体积等于正方体体积减去圆柱的体积，利用公式把数代入计算即可． 【规范解答】解： （平方分米） （立方分米） 答：这个图形的表面积为675.36平方分米，体积为924.64立方分米． 【考点评析】本题主要考查组合图形的体积和表面积的计算，关键把不规则图形转化为规则图形，再计算． 9．（2014春•象山县月考）按要求计算． （1）如图1，求表面积．（单位：厘米） （2）如图2，求体积．（单位：分米） 【思路点拨】（1）圆柱的表面积侧面积两个底面积，侧面积底面周长高，底面积半径半径． （2）圆锥的体积，据此代入数据即可解答． 【规范解答】解：（1） （平方厘米） 答：表面积是628平方厘米． （2） （立方分米） 答：圆锥的体积是314立方分米． 【考点评析】本题直接用圆柱的表面积公式和圆锥的体积公式计算． 10．（2024•鲅鱼圈区）一个圆柱形木块，如果沿直径切成4块（如图，表面积会增加96平方厘米；如果切成3个圆柱（如图，表面积会增加113.04平方厘米。 （1）这个圆柱形木块的底面半径是多少？ （2）这个圆柱形木块的高是多少？ （3）若要把这个圆柱形木块削成一个最大的圆锥（如图，那么削去部分的体积是多少？ 【思路点拨】依据题意可知，圆柱形木块，如果沿直径切成4块，增加的面积等于4个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径的长方形的面积；切成3个圆柱，增加的面积等于4个底面圆的面积， （1）利用圆的面积半径半径，结合题中数据计算即可； （2）依据（1）结合分析去计算； （3）削去部分的体积圆柱的体积，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）（平方厘米），则半径是3厘米。 答：底面半径是3厘米。 （2）底面直径：（厘米） （厘米） 答：这个圆柱形木块的高是4厘米。 （3） （立方厘米） 答：削去部分的体积是75.36立方厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱的体积公式的应用。 11．（2024•安顺）一个底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有水，水里完全浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铁块，当铁块从杯中取出时，杯里的水面下降了1.5厘米，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【思路点拨】依据题意可知，圆柱形水杯下降1.5厘米的水的体积等于铁块的体积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解： （立方厘米） （厘米） 答：铁块的高是18厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 12．（2024•光明区）一个圆锥形的沙堆，底面半径是2米，高是1.5米，如果把这些沙子铺在长4米，宽2米的长方体沙坑内，可以铺多高？ 【思路点拨】依据题意结合图示可知，利用圆锥的体积底面半径底面半径高，长方体的体积长宽高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解： （立方米） （米 答：可以铺0.785米。 【考点评析】本题考查的是圆锥、长方体的体积公式的应用。 13．（2024•广信区）一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有一些水，一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中。当取出铅锤时，水面下降了1厘米，铅锤的高是多少厘米？ 【思路点拨】依据题意结合图示可知，铅锤的体积等于底面直径是20厘米，高是1厘米的圆柱的体积，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：（厘米） （厘米） 答：铅锤的高是12厘米。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 14．（2024•如皋市）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦 【思路点拨】依据题意结合图示可得：，，利用圆柱的体积底面半径底面半径高，圆锥的体积底面半径底面半径高，结合题意去解答。 【规范解答】解：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 假设圆柱的底面积为，高为，如图： ，图①中两个圆锥的体积之和，图②中圆锥的体积，所以图①中两个圆锥的体积等于图②中圆锥的体积等于圆柱体积的。 【考点评析】本题考查的是圆柱、圆锥的体积公式的应用。 15．（2024•高港区）小学阶段我们学会了计算长方体、正方体和圆柱体的表面积，那怎样计算圆锥的表面积呢？ 如图①：已知一个圆锥的底面半径是，母线的长度是。（圆锥的母线用字母表示） 结合图②我们可以发现：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径就是圆锥的 　母线　；扇形的弧长就是圆锥的 　　。 结合图③请你尝试计算圆锥的表面积。 【思路点拨】依据题意结合图示可知，扇形的半径就是圆锥的母线；扇形的弧长就是圆锥的底面周长。圆锥的表面积扇形的面积底面积，由此列式计算即可。 【规范解答】解：扇形的半径就是圆锥的母线；扇形的弧长就是圆锥的底面周长。 底面周长：（厘米） 圆心角： （平方厘米） 答：圆锥的表面积是301.44平方厘米。 故答案为：母线，底面周长。 【考点评析】本题考查的是圆锥的表面积的应用。 16．（2024•泸州）正方体、长方体、圆柱的统一的体积公式是　　 A．体积长宽高 B．体积棱长棱长棱长 C．体积底面积高 【思路点拨】长方体、圆柱、正方体它们的体积都可以用“底面积高”来求得，所以它们的体积公式可以统一成。 【规范解答】解：因为长方体、圆柱、正方体它们的体积都可以用“底面积高”来求得； 所以它们的体积公式都可以统一成：底面积高。 故选：。 【考点评析】此题是考查体积的字母公式，要熟练掌握，灵活运用。 17．（2024秋•古田县期中）完全相同的水杯，分别往里面注水，水量如图中的涂色部分所示。如果再往每个水杯中分别放人大小样的方糖，完全溶解后，　　杯糖水最甜。 A． B． C． D． 【思路点拨】根据含糖率的意义，含糖率，①号水杯是2块方糖溶解在2份的水中；②号水杯是2块方糖溶解在3份水中；③号水杯是1块方糖溶解在3份水中；④号水杯是3块方糖溶解在4份水中；据此分别求出糖与水的比值，然后进行比较即可。 【规范解答】解：、 、 、 、 所以杯糖水最甜。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解含糖率的意义，圆柱容积的意义、比的意义及应用。 18．（2024•祁县）请你用转化的数学思想方法解决下面的数学问题。一个瓶子里装有一些水，如图，根据图中所给的信息，请计算出瓶中水的体积所占瓶子的容积的　　 A． B． C． 【思路点拨】瓶中水的体积底面积，根据不规则物体的体积的计算方法，瓶子的容积等于正放时高度是12厘米水的体积加上倒放时高度是厘米的水的体积，所以瓶子的容积底面积，求瓶中水的体积所占瓶子的容积的几分之几，就用瓶中水的体积除以瓶子的容积即可解答。 【规范解答】解： 答：瓶中水的体积所占瓶子的容积的。 故选：。 【考点评析】本题考查了不规则物体的体积的计算方法和求一个数是另一个数的几分之几的问题。 19．（2024•埇桥区）如图所示，把一个圆柱平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方体。长方体的长相当于圆柱的 　底面周长的一半　，长方体的宽相当于圆柱的 　　，　　相当于圆柱的高。我们已经知道：长方体的体积长宽高，长方体的体积公式还可以表示为 　　，由此推导出圆柱的体积公式 　　。 【思路点拨】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式。 【规范解答】解：把一个圆柱平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方体。长方体的长相当于圆柱的底面周长的一半，长方体的宽相当于圆柱的底面半径，长方体的高相当于圆柱的高，长方体的体积长宽高，长方体的体积还可以表示为：，由此推导出圆柱的体积公式：。 故答案为：底面周长的一半，底面半径，长方体的高，，。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导方法及应用。 20．（2024•江北区）如图，一个密封容器由等高的圆锥和圆柱组成，圆锥底面半径是3分米，圆柱底面半径是2分米，容器内装有水，若按照图1放置，水深比圆柱的高的一半多2分米，若颠倒这个容器如图2，那么容器中的水刚好装满圆锥部分，这个容器中圆柱部分的高是 　8　分米。取 图1 图2 【思路点拨】根据体积的意义可知，这个密封的容器无论正放还是倒放，容器里水的体积不变。根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，设圆柱、圆锥的高为分米，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：设圆柱、圆锥的高为分米。 答：这个容器圆柱部分的高是8分米。 故答案为：8。 【考点评析】此题主要考查圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，以及列方程解决问题的方法及应用，关键是熟记公式。 21．（2024•南宁）小思把一块圆柱形的橡皮泥，切成三块（如图①，表面积增加了50.24平方厘米；切成两块（如图②，表面积增加了48平方厘米，这块橡皮泥的体积是 　75.36　立方厘米。 【思路点拨】通过观察图形可知，把这个圆柱横切成3块，表面积增加了50.24平方厘米，表面积增加4个切面的面积，据此可以一个切面（圆柱的底面）的面积，再根据圆的面积公式：，可以求出圆柱的底面半径；把这个圆柱纵切成两块，表面积增加了48平方厘米，表面积增加两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，据此可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（平方厘米） （厘米） （立方厘米） 答：这块橡皮泥的体积是75.36立方厘米。 故答案为：75.36。 【考点评析】此题主要考查圆的面积公式，长方形的面积公式、圆柱的表面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 22．（2024•未央区）一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，则圆锥的高是27分米。 　　（判断对错） 【思路点拨】一个圆柱体和一个圆锥体底面积相等，体积的比是，已知圆柱的高是54分米，根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，据此列比例求出圆锥的高，然后与27分米进行比较即可。 【规范解答】解：设圆柱和圆锥的底面积为平方分米，圆锥的高为分米。 所以圆锥的高是27分米。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，列比例解决问题的方法及应用。 23．（2022•西安）一个圆柱与一个圆锥的体积相等。若圆柱的底面积是圆锥的，则圆锥的高与圆柱的高的比是。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，设它们的体积为，圆柱的底面积为，则圆锥的底面积为，把数据代入公式分别求出圆柱、圆锥的高，进而求出圆锥的高与圆柱高的比，然后与进行比较。 【规范解答】解：设它们的体积为，圆柱的底面积为，则圆锥的底面积为， 圆柱的高是： 圆锥的高是： 圆柱的高与圆锥高的比是： 所以圆柱的高与圆锥高的比是。 因此题干中的结论是错误的。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。 24．（2024•海沧区模拟）计算下面图形的表面积。 【思路点拨】由于圆柱与长方体粘合在一起，所以圆柱只求侧面积，长方体求出表面积，然后合并起来就是这个组合图形的表面积。据此解答即可。 【规范解答】解： （平方厘米） 答：这个组合图形的表面积是3113平方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱的侧面积公式、长方体的表面积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 25．（2024春•宛城区期中）一个零件，需要在一个棱长为10厘米的正方体铜块上，用车床铣xí（削去一个如图所示的半圆柱，加工成型后它的体积和表面积分别为多少？取 【思路点拨】通过观察图形可知，加工成型后的体积等于正方体的体积减去半圆柱的体积，成型后的表面积表面积减去半圆柱的两个底面（一个圆）的面积再减去一个长方形的面积，然后加上圆柱侧面积的一半。据此解答即可。 【规范解答】解： （立方厘米） （平方厘米） 答：加工成型后它的体积是858.7立方厘米，表面积是605.94平方厘米。 【考点评析】此题主要考查正方体的体积公式、表面积公式、圆柱的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 26．（2024•埇桥区）一个底面周长是6.28分米，高是20厘米的圆柱。 （1）沿底面直径垂直切开成两部分，表面积增加多少平方厘米？ （2）这个圆柱的体积是多少？ 【思路点拨】（1）通过观察图形可知，把这个圆柱沿底面直径垂直切开成两部分，表面积增加两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，根据圆的周长公式：，那么，据此求出底面直径，再根据长方形的面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（1）6.28分米厘米 （厘米） （平方厘米） 答：表面积增加800平方厘米。 （2） （立方厘米） 答：这个圆柱的体积是6280立方厘米。 【考点评析】此题主要考查圆柱的表面积公式、圆柱的体积公式、圆的周长公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 27．（2024•东昌府区）如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 【思路点拨】（1）根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。 （2）因为等底等等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【规范解答】解：（1） （分钟） 答：圆锥内漏完水需要36分钟。 （2）（厘米） 答：圆柱容器内水深2厘米。 作图如下： 【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 28．（2024•黄石）一种稻谷磨米机的进料漏斗由圆柱和圆锥两部分组成，如图。圆柱与圆锥的底面直径都是，圆柱高，圆锥高。每立方分米稻谷约重。 （1）这台磨米机一次最多能装多少千克稻谷？（稻谷不超出漏斗上沿，得数保留整数。 （2）如果稻谷的出米率是，一漏斗稻谷大约能磨出多少千克大米？ （3）小明一家每天做饭用米千克，磨一漏斗稻谷够小明家吃多少天？ 【思路点拨】（1）根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出这个漏斗能装稻谷的体积，然后再乘每立方分米稻谷的质量即可； （2）把稻谷的体积看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答； （3）根据“包含”除法的意义，用磨出大米的质量除以每天吃的质量即可。 【规范解答】解：（1） （千克） 答：这台磨米机一次最多能装64千克稻谷。 （2）（千克） 答：一漏斗稻谷大约能磨出44.8千克大米。 （3） （天 答：磨一漏斗稻谷够小明家吃56天。 【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，一个数乘百分数的意义及应用，“包含”除法的意义及应用。 29．（2024秋•六合区期中）数学探索。 明明把长方体侧面沿着一条棱打开（如图，发现长方体侧面就是一个大长方形，它的侧面积可以用计算，算出的是底面周长； 明明想：三棱柱（底面是边长的等边三角形）是不是沿着一条棱打开也可以得到一个长方形呢？于是他动手操作（如图，它的侧面积可以用 　　计算，　　算出的是底面周长； 于是，明明大胆地猜测：底面直径是4厘米的圆柱的侧面积可以用 　　计算，　　算出的是底面周长。（如果有困难，可以先画画，再计算。 【思路点拨】根据长方体的侧面积底面周长高，推导出三棱柱的侧面积底面周长高，圆柱的侧面积底面周长高。据此解答。 【规范解答】解：三棱柱（底面是边长的等边三角形）是不是沿着一条棱打开也可以得到一个长方形呢？于是他动手操作（如图，它的侧面积可以用计算，算出的是底面周长； 底面直径是4厘米的圆柱的侧面积可以用计算，算出的是底面周长。 如图： 故答案为：，；，。 【考点评析】此题主要考查长方体侧面积公式的灵活运用，三棱柱的侧面积公式、圆柱的侧面积公式的推导方法及应用。 30．（2024•茌平区）笑笑过生日，有6位小伙伴来做客。她用一大盒果汁招待同学，给每位同学倒上一杯后，剩下的倒给自己。（果汁包装盒和杯子如图，厚度忽略不计） （1）这盒果汁有多少毫升？ （2）笑笑喝了这盒果汁的几分之几？ 【思路点拨】（1）根据长方体的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据圆柱的体积（容积）公式：，把数据代入公式求出圆柱形杯子的容积，再求出这样的6杯共有多少毫升，进而求出还剩下多少毫升，然后根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。 【规范解答】解：（1） （立方厘米） 1080立方厘米毫升 答：这盒果汁有1080毫升。 （2）（立方厘米） 160立方厘米毫升 答：笑笑喝了这盒果汁的。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式、圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，求一个数是另一个数的几分之几的方法及应用，关键是熟记公式。 31．（2024•宁波）王师傅做了一个底面积为的铁质圆锥零件，为了防止生锈，把它缓缓放入一个长方体油漆缸中，并完全浸没。由于操作不当，油漆缸底部受损开裂，一段时间后开始渗漏，直至油漆全部漏完。油漆高度随时间变化如图所示： ①圆锥零件浸入油漆缸 　10　分钟后开始渗漏。 ②求铁质圆锥的高度是多少厘米？ ③油漆平均每分钟漏掉多少立方厘米？ 【思路点拨】（1）通过观察统计图可知，圆锥零件浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 （2）把圆锥理解放入油漆缸中，上升部分油漆的体积就等于圆锥零件的体积，通过观察统计图可知，放入圆锥零件后，液面上升了5厘米，根据长方体的体积公式：，圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 （3）首先求出油漆的体积，然后用油漆的体积除以漏的时间分钟）即可。 【规范解答】解：（1）圆锥理解浸入油漆缸10分钟后开始渗漏。 （2） （厘米） 答：铁质圆锥的高度是15厘米。 （3） （立方厘米） 答：油漆理解每分钟漏掉300立方厘米。 故答案为：10。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，长方体的体积公式、圆锥的体积公式及应用。 基础夯实优选题专练 1．（23-24六年级下·江苏·课后作业）下面的几何体中，（    ）的体积不可以用“底面积×高”求得。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【思路点拨】长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长＝底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，据此解答。 【规范解答】通过分析可得：长方体、正方体和圆柱的体积都可以用“底面积×高”求得，而圆锥的体积不可以用“底面积×高”求得。 故答案为：D 2．（23-24六年级下·江苏·课后作业）求做铁皮油桶需要多少铁皮，就是求它的（    ）。 A．侧面积 B．表面积 C．体积 D．容积 【答案】B 【思路点拨】物体的侧表面或围成的图形表面的大小，叫作它们的侧面积； 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积； 体积：所占空间的大小叫做该物体的体积； 容积：容器所能容纳物体的体积叫做这个容器的容积。据此进行解答。 【规范解答】做一个铁皮油桶需要的铁皮面积，实际就是求圆柱形油桶的两个底面积和侧面积之和，所以，求做铁皮油桶需要多少铁皮，就是求它的表面积。 故答案为：B 3．（23-24六年级下·江苏·课后作业）从上面看下边的图形，可以看到（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】 圆柱从上面看，可以看到一个圆形。圆锥从上面看，也可以看到一个圆形，并且能看到圆心。据此解题。 【规范解答】从上面看，可以看到。 故答案为：D 4．（23-24六年级下·江苏·期末）把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个长31.4厘米、宽10厘米的长方形，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。 【答案】314 【思路点拨】圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，长方形的面积＝圆柱侧面积，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，根据长方形面积＝长×宽，可以推导出圆柱侧面积＝底面周长×高。据此计算即可。 【规范解答】31.4×10＝314（平方厘米） 这个圆柱的侧面积是314平方厘米。 5．（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆锥的高是12分米，体积是80立方分米，它的底面积是( )平方分米。 【答案】20 【思路点拨】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷高÷，代入数据，即可解答。 【规范解答】80÷12÷ ＝×3 ＝20（平方分米） 一个圆锥的高是12分米，体积是80立方分米，它的底面积是20平方分米。 6．（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆柱形饮料罐，底面半径是3厘米，高是10厘米。这个饮料罐的底面积是( )，侧面积是( )，表面积是( )，体积是( )。 【答案】 28.26平方厘米/28.26 188.4平方厘米/188.4 244.92平方厘米/244.92 282.6立方厘米/282.6 【思路点拨】根据圆的面积公式：，圆柱的侧面积公式：，圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的体积公式：，把数据分别代入公式即可解答。 【规范解答】底面积：3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 侧面积：3.14×3×2×10 ＝9.42×2×10 ＝18.84×10 ＝188.4（平方厘米） 表面积：2×28.26＋188.4 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（平方厘米） 体积：28.26×10＝282.6（立方厘米） 所以，一个圆柱形饮料罐，底面半径是3厘米，高是10厘米。这个饮料罐的底面积是28.26平方厘米，侧面积是188.4平方厘米，表面积是244.92平方厘米，体积是282.6立方厘米。 7．（23-24六年级下·江苏·课后作业）大厅里有4根圆柱，每根底面直径为1米，高8米，在这些圆柱的表面涂油漆，平均每平方米用油漆0.8千克，共需油漆多少千克？ 【答案】80.384千克 【思路点拨】根据题意，要先求出油漆圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝，再乘4得到4个圆柱的侧面积，最后再乘0.8，即可计算出共需油漆多少千克。 【规范解答】3.14×1×8×4×0.8 ＝25.12×4×0.8 ＝100.48×0.8 ＝80.384（千克） 答：共需油漆80.384千克。 8．（23-24六年级下·江苏·课后作业）用一块圆柱形橡皮泥可以捏成3块和它等底等高的圆锥形橡皮泥。( ) 【答案】√ 【思路点拨】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，据此分析。 【规范解答】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍可知：用一块圆柱形橡皮泥可以捏成3块和它等底等高的圆锥形橡皮泥，说法正确。 故答案为：√ 9．（23-24六年级下·江苏·课后作业）小明用硬纸做了一个简易的圆柱形笔筒，底面直径为8厘米，高10厘米，做这样一个笔筒至少需要多少平方厘米硬纸？ 【答案】301.44平方厘米 【思路点拨】根据题意，要求做一个笔筒需要多少平方厘米的硬纸，只要求一个底面积和一个侧面积的和即可。根据底面积＝、侧面积＝，把数据代入公式即可求解。 【规范解答】3.14×＋3.14×8×10 ＝3.14×＋25.12×10 ＝3.14×16＋251.2 ＝50.24＋251.2 ＝301.44（平方厘米） 答：做这样一个笔筒至少需要301.44平方厘米硬纸。 10．（23-24六年级下·江苏扬州·期中）一个圆柱形水杯的容积是1.8升，从里面量，底面积是1.2平方分米。用这个水杯装杯水，水面高多少分米？ 【答案】1分米 【思路点拨】已知容积是1.8升，底面积是1.2平方分米，由圆柱体积公式变形，那么圆柱的高为1.8÷1.2＝1.5（分米），因为装了杯水，则水面高为1.5×分米。据此解答即可。 【规范解答】1.8升＝1.8立方分米 1.8÷1.2× ＝1.5× ＝1（分米） 答：水面高1分米。 培优优选题专练 11．（23-24六年级下·江苏·期中）把一根底面半径是2厘米的圆柱形木材截成两段（如图），表面积（    ）。 A．增加12.56平方厘米 B．增加25.12平方厘米 C．增加6.28平方厘米 D．不变 【答案】B 【思路点拨】根据题意可知，截成两段，则增加两个切面的面积，所以增加两个半径是2厘米圆的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（平方厘米） 把一根底面半径是2厘米的圆柱形木材截成两段，表面积增加25.12平方厘米。 故答案为：B 12．（23-24六年级下·江苏·期末）一张长方形纸片，以虚线为轴旋转一周，（    ）形成的圆柱体积最大。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】假设这个长方形纸片的长为a，宽为b（a＞b），根据圆柱的体积＝，逐项求出各选项形成圆柱体积，再比较大小即可。 【规范解答】A．图形以虚线为轴，形成的圆柱底面半径为b，高为a，那么圆柱体积为：； B．图形以虚线为轴，形成的圆柱底面半径为a，高为b，那么圆柱体积为：； C．图形以虚线为轴，形成的圆柱底面半径为，高为a，那么圆柱体积为：＝； D．图形以虚线为轴，形成的圆柱底面半径为，高为b，那么圆柱体积为：＝； ＞＞＞ 即以虚线为轴旋转一周，形成的圆柱体积最大。 故答案为：B 13．（23-24六年级下·江苏·期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差24立方米，圆柱的体积是（    ）立方米。 A．36 B．24 C．12 【答案】A 【思路点拨】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，由一个圆柱和一个圆锥等底等高知：圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积就是3份，它们的体积差了（3－1）份，而体积相差24立方米，从而求出平均1份是多少，也就是圆锥的体积，进而求出圆柱的体积即可。 【规范解答】24÷（3－1） ＝24÷2 ＝12（立方米） 12×3＝36（立方米） 所以圆柱的体积就是36立方米 故答案为：A 14．（23-24六年级下·江苏·期中）一种圆锥形瓶，从里面量，底面直径是8厘米，高是9厘米，这种圆锥形瓶的容积是( )毫升。 【答案】150.72 【思路点拨】直径除以2可得半径，根据圆锥的体积公式，代入数据计算出圆锥的体积，再根据1毫升＝1立方厘米，把单位转化为毫升即可。 【规范解答】 （立方厘米） （毫升） 一种圆锥形瓶，从里面量，底面直径是8厘米，高是9厘米，这种圆锥形瓶的容积是150.72毫升。 15．（23-24六年级下·江苏·期中）把一个高12厘米、底面半径是5厘米的铁圆锥熔铸成底面半径是5厘米的圆柱，这个圆柱的高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 4 314 【思路点拨】根据题意可知，铁圆锥熔铸成圆柱，体积不变；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出铁圆锥的体积，也就是圆柱的体积；由于体积不变；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；铁圆锥的底面半径是5厘米，熔铸成的圆柱的底面半径也是5厘米，即铁圆锥的底面与圆柱的底面相等，所以圆柱的高＝铁圆锥高×，据此解答。 【规范解答】3.14×52×12× ＝3.14×25×12× ＝78.5×12× ＝942× ＝314（立方厘米） 12×＝4（厘米） 把一个高12厘米、底面半径是5厘米的铁圆锥熔铸成底面半径是5厘米的圆柱，这个圆柱的高是4厘米，体积是314立方厘米。 16．（23-24六年级下·江苏·期末）如下图，先把一个圆柱的底面平均切成16份，然后沿着高垂直把这个圆柱切开，拼成一个和它体积相等的近似长方体。测得这个长方体的宽是10厘米，高是25厘米。这个近似长方体的体积是( )立方厘米，表面积比圆柱增加了( )平方厘米。 【答案】 7850 500 【思路点拨】根据题意，原来圆柱的半径等于拼成的近似长方体的宽，圆柱的高等于拼成的近似长方体的高，拼成的近似长方体的长等于圆柱底面周长的一半，根据长方形的体积公式：体积＝长×宽×高，进行计算，拼成的近似长方体的表面积比圆柱增加了两个长为25厘米，宽为10厘米的长方形，根据长方形的面积公式：面积＝长×宽，进行解答即可。 【规范解答】3.14×10×2÷2 ＝31.4×2÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（厘米） 31.4×10×25 ＝314×25 ＝7850（立方厘米） 10×25×2 ＝250×2 ＝500（平方厘米） 这个近似长方体的体积是7850立方厘米，表面积比圆柱增加了500平方米。 17．（23-24六年级下·江苏·期中）把一张长方形纸卷成一个圆柱，横着卷和竖着卷所得圆柱的体积一样。( ) 【答案】× 【思路点拨】采用赋值法进行分析，假设长方形纸的长是25.12厘米，宽是12.56厘米，把一张长方形纸卷成一个圆柱，横着卷，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高；竖着卷，长方形的宽＝圆柱底面周长，长方形的长＝圆柱的高。底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆柱的体积＝底面积×高，据此分别计算出横着卷和竖着卷所得圆柱的体积，比较即可。 【规范解答】假设长方形纸的长是25.12厘米，宽是12.56厘米。 横着卷：3.14×（25.12÷3.14÷2）2×12.56 ＝3.14×42×12.56 ＝3.14×16×12.56 ＝631.0144（立方厘米） 竖着卷：3.14×（12.56÷3.14÷2）2×25.12 ＝3.14×22×25.12 ＝3.14×4×25.12 ＝315.5072（立方厘米） 631.0144立方厘米＞315.5072立方厘米，把一张长方形纸卷成一个圆柱，横着卷和竖着卷所得圆柱的体积不一样，横着卷的体积大，所以原题说法错误。 故答案为：× 18．（23-24六年级下·江苏·课后作业）一个圆柱形容器能装水120升，说明这个容器的体积是120立方分米。( ) 【答案】× 【思路点拨】容器的容积指容器容纳物体的体积，是容器内部的体积，而容器的体积是容器所占空间的大小，是容器外部的体积。一般情况下容器的厚度忽略不计，但是二者是有区别的。据此判断即可。 【规范解答】一个圆柱形容器能装水120升，不代表这个容器的体积是120立方分米。所以原题说法错误。 故答案为：× 19．（23-24六年级下·江苏·期中）如下图，一个圆柱形油桶的底面直径和高都是4分米。 （1）要在油桶的侧面贴上一圈商标纸，商标纸的面积至少是多少平方分米？ （2）做这个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ （3）如果每升油重0.8千克，这个油桶最多可装油多少千克？（得数保留整数） 【答案】（1）50.24平方分米 （2）75.36平方分米 （3）40千克 【思路点拨】（1）求商标纸的面积就是求圆柱的侧面积，根据圆柱侧面积公式，代入数据计算即可。 （2）根据，圆柱侧面积公式，底面积公式，用直径除以2可得半径。代入数据计算即可。 （3）根据圆柱的体积公式，代入数据计算，所得体积的单位转化为升，再乘0.8，结果根据“去尾法”保留整数。 【规范解答】（1） （平方分米） 答：商标纸的面积至少是50.24平方分米。 （2）（分米） （平方分米） （平方分米） 答：做这个油桶至少需要铁皮75.36平方分米。 （3）（立方分米）（升） （千克） 答：这个油桶最多可装油40千克。 20．（23-24六年级下·江苏·课后作业）某种零件的形状如下图，现在要做一个长方体包装盒装2个这样的零件，做包装盒至少需要硬纸板多少平方厘米？ 【答案】3200平方厘米 【思路点拨】根据题意，用一个长方体包装盒装2个圆柱形的零件，包装方法有两种：①两个零件横着放，这时长方体包装盒的长是20×2＝40厘米，宽是20厘米，高是15厘米；②两个零件竖着放，这时长方体包装盒的长是20厘米，宽是20厘米，高是15×2＝30厘米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2分别列式求出两种情况需要的硬纸板，再比较大小即可。 【规范解答】20×2＝40（厘米） （40×20＋40×15＋20×15）×2 ＝（800＋600＋300）×2 ＝1700×2 ＝3400（平方厘米） 15×2＝30（厘米） （20×20＋20×30＋20×30）×2 ＝（400＋600＋600）×2 ＝1600×2 ＝3200（平方厘米） 3400＞3200 答：做包装盒至少需要3200平方厘米的硬纸板。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$