小升初第三讲 立体几何图形表面积和体积的计算与应用【思维导图+知识梳理+十三大题型闯关+实战演练 】-2025-2026学年六年级下册数学 苏教版

2026年小升初数学衔接讲义（温故知新）苏科版 第三讲 立体几何图形表面积和体积的计算与应用 『重点难点专项复习讲练（温故知新）』 思维导图+知识梳理+十三大题型闯关+实战演练 共53题 小学学习要求 初中衔接要求 掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥的特征及表面积、体积计算公式，能运用转化思想解决不规则物体及组合图形的实际问题。 从直观认知向抽象推理过渡，培养严谨的逻辑演绎能力，规范几何语言的表达，为初中立体几何证明与计算奠定基础。 知识目标引导 熟练运用公式解决实际问题，建构立体图形知识网络，发展推理意识与空间观念，实现小学到初中几何思维的平稳过渡。 知识点一 长方体和正方体表面积和体积 较复杂考察点： 实际生活应用中的“面数”变化：如无盖鱼缸、游泳池贴瓷砖（算5个面），通风管、烟囱（算4个面）。 拼接与切割问题：多个长方体拼接后表面积的变化，或将大正方体切割成小正方体后表面积的增加。 解题技巧： 画图与公式逆用：遇到无盖问题先画图确认面数；已知体积和高求底面积，或已知表面积求某一边长时，熟练运用逆运算。 切拼规律：切一刀增加两个切面；拼在一起减少两个重合面。体积始终不变。 知识点二 圆柱和圆锥表面积和体积 较复杂考察点： 圆柱表面积的实际应用：如压路机压路面积（只求侧面积），制作圆柱形水桶（侧面积+一个底面积）。 圆锥的体积计算：必须牢记乘，且高必须是顶点到底面圆心的垂直距离。 解题技巧： 展开图转化：圆柱侧面展开是长方形，长=底面周长，宽=高。 寻根溯源：求圆柱/圆锥体积或侧面积时，若题目给的是直径或周长，务必先求出半径 。 知识点三 圆柱和圆锥体积关系 较复杂考察点： 等底等高条件下的倍数关系：等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥是圆柱的。 逆向推导与形变：已知圆锥体积求等底等高圆柱的体积，或将圆锥形沙堆铺在长方体路面上。 解题技巧： 抓不变量：无论形状如何改变（如熔铸、铺路），物体的总体积保持不变。 比例转化：遇到复杂的体积比问题，先判断是否等底或等高，利用 的关系进行代换。 知识点四 组合体的表面积 较复杂考察点： 挖空与打孔问题：在大正方体或长方体表面挖去一个小正方体或圆柱孔，剩余表面积的计算。 拼接组合体：如长方体上放一个圆柱，求组合体的总表面积。 解题技巧： 平移与补面法：在顶点处挖去小正方体，表面积不变；在面中间挖孔，表面积会增加孔的内侧面积。 分块计算与扣除：分别计算各基本图形表面积，再减去重合或遮挡部分的面积。 知识点五 组合体的体积 较复杂考察点： 复杂几何体的体积求法：如圆柱中挖去一个圆锥，或两个长方体交叉重叠。 解题技巧： 分割法与添补法：将组合体拆分成几个规则的基本立体图形求体积之和；或者补全成一个规则大图形，再减去添补部分的体积。 知识点六 不规则物体的体积算法 较复杂考察点： 排水法测体积：将不规则物体（如石头、铁块）完全浸没在有水的容器中，求物体的体积。 溢水问题：容器装满水后放入物体，溢出水的体积等于物体体积。 解题技巧： 水面上升/下降模型：物体的体积 = 容器的底面积 × 水面上升（或下降）的高度。 注意前提：物体必须完全浸没在水中，且水没有溢出（或计算溢出的水量）。 知识点七 体积的等积变形 较复杂考察点： 容器倒置与翻转：密封的长方体或圆柱形容器改变放置方向（如平放变竖放），求内部水面的新高度。 形状重塑：如将一块橡皮泥捏成不同形状，或将圆锥形钢块熔铸成长方体。 解题技巧： 抓核心不变量：形状和位置改变，但水的体积或物体的总体积绝对不变。 逆推计算：先根据初始状态求出水的体积，再用该体积除以新状态下的容器底面积，即可求出新水深。 题型一 长方体和正方体的表面积和体积 【典例精讲】（2026·天津南开·小升初模拟）下面说法正确的是（    ）。 A．长方体、正方体和圆柱的侧面积都可以用“底面周长乘高”来计算。（长方体、正方体四周的面积之和就是它的侧面积） B．同时抛两枚硬币，两枚硬币都朝上的可能性是。 C．正方形有4条对称轴，长方形和平行四边形都有2条对称轴。 D．0.2和相比，更接近0。 【变式训练1】（2026·全国·小升初模拟）有甲、乙两根铁棒，把它们都插入平底水盆中，如图所示。结果甲有露出水面，乙有露出水面。 (1)如果甲、乙两根铁棒的总长度是56厘米，那么乙铁棒长多少厘米？ (2)现在从这个长是14厘米、宽是10厘米的水盆中拿出甲、乙两根铁棒，水面下降多少厘米？（两根铁棒的底面积都是10平方厘米） 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切除一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求和。 题型二 圆柱和圆锥的表面积和体积 24．（2026·陕西西安·小升初模拟）在底面半径为8厘米，高为15厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为6厘米，高为10厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 25．（2026·天津南开·小升初模拟）如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3dm的圆柱和圆锥形铁块，根据图1和图2的变化可知，圆柱形铁块的体积是( )dm3。 26．（25-26六年级·全国·随堂练习）广东省湛江市作为全国重要的冬季蔬菜供应基地，大力发展蔬菜大棚。一个蔬菜大棚的下半部分是长15m、宽4m、高2m的长方体，上半部分是圆柱的一半。搭这个蔬菜大棚需要多少平方米的覆盖薄膜？这个蔬菜大棚的空间有多大？ 题型三 圆柱与圆锥体积的关系 27．（2026·全国·小升初模拟）奇思先用橡皮泥捏了一个底面积是28.26平方厘米，高是6厘米的圆柱。后来，他又把这个圆柱捏成了高9厘米的圆锥，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？ 28．（2026·全国·小升初模拟）一根圆柱形金属零件，其底面积为62.8平方厘米，体积为3140立方厘米，现需将其截成两段，使较短圆柱的长度是较长圆柱的。接着将较长圆柱熔铸成一个圆锥形零件，且圆锥的底面积与较长圆柱的底面积相同。这个圆锥形零件的高是多少厘米？ 29．（2025·湖北武汉·小升初真题）小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 题型四 组合体的表面积（长方体、正方体） 30．（2025·江西吉安·小升初真题）如图中，甲的表面积（    ）乙的表面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 31．（2025·四川内江·小升初真题）王叔叔要做如图这样的一个几何组合体的艺术品，组合体下面这个长方体铁块的表面积是96平方分米，底面是一个面积为12平方分米的正方形，在它上面粘一个正方体铁块，正方体的四个顶点正好落在底面各边的中点。这个组合体的表面积是（    ）平方分米。 A．108 B．120 C．132 D．126 32．（2024·湖北襄阳·小升初真题）图形是由棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米；至少还需要( )个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。 题型五 组合体的表面积（圆柱) 33．（2026·四川绵阳·小升初真题）下图是由圆柱筒切割后的零件模型，求它的表面积。 34．（24-25六年级下·江苏南京·期中）单板滑雪U型池赛是冬奥会的比赛项目，比赛在一个形状类似于U型滑道里进行，结构由宽阔平坦的底部和两侧的四分之一的圆管组成。U型池面的面积是多少平方米？ 35．（24-25六年级下·陕西宝鸡·期中）如图是一种钢制的配件，请计算它的表面积和体积（单位：cm）。 题型六 组合体的体积（长方体、正方体） 36．（2025·四川成都·小升初真题）求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 37．（23-24五年级下·四川达州·期末）用若干个体积为1cm3的小正方体拼成一个立体图形，分别从它的前面、右面、上面看到的相应图形如图所示。这个立体图形的体积最多是（    ）cm3。 A．9 B．10 C．11 D．12 38．（2020·江苏·小升初模拟）如图，从边长是10的立方体中挖去1个小长方体，则剩余部分的体积是( )，表面积是( )。 题型七 组合体的体积（圆柱、圆锥） 39．（25-26六年级下·全国·期中）从一个圆柱中挖去一个圆锥，如下图，求剩余部分的体积。 40．（24-25六年级下·甘肃定西·期中）创新引领生活。现在常用的稻谷储粮罐都是圆锥形底的，虽然比以前使用的平底储粮罐工艺复杂，但优点在于底部沉淀的杂质更易清除，便于储粮罐的排污和清洗。下图是某公司设计的一款新型储粮罐，它的体积是多少立方米？（壁厚忽略不计） 41．（2025·浙江宁波·小升初真题）下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 题型八 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 42．（2025·浙江杭州·小升初真题）张老师测量一颗钢球体积的过程如下图： （1）将400立方厘米的水倒进一个容量为1升的大杯子中； （2）将5颗相同的钢球放入水中，结果水没满； （3）再将一颗同样的钢球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗钢球的体积的范围。 43．（2025·四川成都·小升初真题）一个长方体容器中装有一些水，把一个马铃薯完全浸没在水中，水满了且没有溢出（如下图），这个马铃薯的体积是( )cm3。 44．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 题型九 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 45．（2026·全国·小升初模拟）古茗推出小、中、大三种容量规格的奶茶，小杯约350毫升，中杯约500毫升，大杯约700毫升。奇思点了一杯中杯珍珠奶茶，如图所示，操作员先加入一定量的奶茶，后来又加入100颗珍珠。已知中杯底面积约为40立方厘米，1颗珍珠的体积大约是多少立方厘米？ 46．（24-25六年级下·河南南阳·期末）（如图）药瓶的容积是，瓶内装有一些药水。瓶子正放时，瓶内药水液面高是，瓶子倒放时，空余部分高是，则瓶内药水的体积是（    ）。 A． B． C． D． 47．（23-24六年级下·山东德州·期中）小刚进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图①）；放入土豆，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图②）；再放入土豆，此时有部分水溢出（如图③）；取出土豆，这时水面距离容器口4厘米（如图④）。               图①                     图②             图③             图④ 根据实验情况，请你解决以下问题： （1）请求出土豆的体积。 （2）放入土豆后，溢出了多少毫升水？ 题型十 体积的等积变形（长方体、正方体) 48．（2025·山东潍坊·小升初真题）如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm，将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水深( )cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥的高是( )cm。 49．（2025·四川成都·小升初真题）在一个长方体的容器里，倒入适量水，再放入一个底面为正方形，底面边长是8厘米的长方体铁块，若铁块全部放入水中，则容器里的水面升高20厘米，若使浸没在水中的铁块露出水面10厘米，则水面下降5厘米，长方体铁块的高是（    ）厘米。 A．20 B．30 C．40 D．50 50．用如下五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体，面与面相交的棱要用专业胶水粘连。请你帮忙算一算： 收费标准（含人工费） 亚克力板：2元/平方分米 胶水：0.2元/分米 （1）做一个这样的长方体，买亚克力板需要多少钱？ （2）做一个这样的长方体，买胶水需要多少钱？ （3）将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长是2分米的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，那么两个容器中的水面高度是多少分米？（列方程解答，容器壁厚度忽略不计） 题型十一 体积的等积变形（圆柱、圆锥) 51．（2026·江苏淮安·小升初真题）圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？ 52．（25-26六年级·全国·寒假作业）如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 53．（2025·湖北武汉·小升初真题）沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 1．（2025·四川成都·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，它们的体积比是，则圆锥与圆柱高的最简整数比是（    ）。 A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·小升初模拟）一个圆柱，如果把它的高截短3厘米，表面积就减少18.84平方厘米，那么它的体积就减少（    ）立方厘米。 A．6.28 B．9.42 C．18.84 D．37.68 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）选择正确的序号：用4种颜色红、蓝、黄、白染正四面体，每个面颜色不同，如果经旋转后，染色的正四面体不相同，则称为不同的染色方式，共有______种不同的染色方式。 A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 4．（2026·广东·小升初模拟）把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，削去部分的体积是，则原来圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 5．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）一个几何体是由相同的小正方体搭成的，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。这个几何体最多可以有( )个小正方体。 6．（2025·四川成都·小升初真题）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞，洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如图）。求挖洞后木块的表面积为________平方厘米，体积为________立方厘米。 7．（2026·陕西汉中·小升初模拟）如图，用两张这样的纸板分别卷成高是8厘米和6厘米的圆柱形茶叶罐，它们的体积相等。( )（判断对错） 8．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去的部分占圆柱体积的。( )（判断对错） 9．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，体积比是，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是。( )（判断对错） 10．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）计算下面组合图形的表面积。 11．（2026·陕西西安·小升初模拟）春节赏灯承载着“燃灯照岁”的传统寓意，四位叔叔正在制作一个长方体花灯，请根据他们的谈话，解决下面的问题。 甲：这个长方体的棱长总和是52分米。 乙：如果高增加2分米，就变成了一个正方体。 丙：是呀，这时表面积比原来增加40平方分米。 丁：长方体花灯上面装饰了红、绿、黄三种颜色的小彩灯，红灯的数量占总数量的，绿灯个数是黄灯的，红灯比绿灯多买了10个。 (1)如果给这个花灯的侧面贴一圈彩布，贴彩布的面积至少是多少平方分米？ (2)三种颜色的小彩灯一共有多少个？ 12．（2026·四川南充·小升初模拟）乐乐家使用这样一种卷纸（如图①），中间硬纸轴的直径是4厘米，卷纸环的厚度是3厘米，高度是10厘米。 (1)制作中间的硬纸轴至少需要多少平方厘米硬纸板？（取3.14，不考虑接头） (2)一个纸箱正好可以放入12卷这种卷纸（如图②），这个长方体纸箱的容积是多少立方厘米？ 13．（2026·广东·小升初模拟）电影《给阿嬷的情书》中，青绿饱满的橄榄频频出镜，是最具代表性的潮汕风物。 (1)新鲜青橄榄晾晒脱水后，质量减少三成。阿嬷采摘了一些青橄榄，晾晒脱水后质量是7千克，阿嬷采摘了多少千克青橄榄？ (2)阿嬷把晾晒好的橄榄熬制成橄榄菜，装进圆柱形玻璃瓶。玻璃瓶的底面内直径是2分米，高1.5分米，这个玻璃瓶的容积是多少立方分米？ 14．（2025·重庆江北·小升初真题）如图所示，壁虎在一座油罐的下底边处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击，请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？（取3.14，底面周长取整数） 15．赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，注满结束。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )厘米。 (3)如果下面的大圆柱底面积是48平方厘米，那么大圆柱的体积是多少立方厘米？上面小圆柱的底面积是多少平方厘米？ 16．（2025·浙江杭州·小升初模拟）如图1，圆柱形开口空杯底部固定在正方体容器底部，从里面量得正方体容器棱长为2分米，沿着正方体容器内壁匀速注入水（倒在杯外），容器中水面高度与时间的关系如图2所示。（杯子厚度忽略不计） (1)圆柱形开口杯高（    ）分米。请说明你的理由。 (2)圆柱形开口杯的底面积是多少？ 17．（2025·北京丰台·小升初真题）为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意准备了一只木桶，制作此木桶底面与侧面用的木板的厚度相同，侧面木板长短不一，小明从木桶外部测量的数据，如图1所示。 （1）如果从木桶的里面测量，底面的直径是多少厘米？ （2）这只木桶上的铁箍是用薄铁皮制作的，箍1圈铁箍，如果接头处、铁皮厚度都忽略不计，请你算一算，至少需要多少平方厘米的薄铁皮？ （3）把这个木桶斜放比平放最多能多接多少水？ 18．（2025·江苏苏州·小升初真题）在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 19．（24-25六年级下·山东滨州·期末）方格图如下图，根据下面要求完成各题。 （1）在方格图中有一个直角三角形，其中两个顶点分别是和，那么点的位置可以是（    ）（用数对表示），并画出该三角形。 （2）如果把三角形以直角边为轴旋转一周，所得到的立体图形的体积是（    ）cm。 （3）以直线为对称轴画出梯形DEFH的轴对称图形。 （4）如果把点向右平移（    ）格，梯形就变成一个平行四边形。 （5）以点为观测点，点在点的（    ）方向。（用方向和角度描述） 20．（23-24五年级下·福建莆田·期末）用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图所示（方格中的数字表示该位置小正方体的个数），请你分别画出这个几何体从前面和左面看到的图形。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学衔接讲义（温故知新）苏科版 第三讲 立体几何图形表面积和体积的计算与应用 『重点难点专项复习讲练（温故知新）』 思维导图+知识梳理+十三大题型闯关+实战演练 共53题 小学学习要求 初中衔接要求 掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥的特征及表面积、体积计算公式，能运用转化思想解决不规则物体及组合图形的实际问题。 从直观认知向抽象推理过渡，培养严谨的逻辑演绎能力，规范几何语言的表达，为初中立体几何证明与计算奠定基础。 知识目标引导 熟练运用公式解决实际问题，建构立体图形知识网络，发展推理意识与空间观念，实现小学到初中几何思维的平稳过渡。 知识点一 长方体和正方体表面积和体积 较复杂考察点： 实际生活应用中的“面数”变化：如无盖鱼缸、游泳池贴瓷砖（算5个面），通风管、烟囱（算4个面）。 拼接与切割问题：多个长方体拼接后表面积的变化，或将大正方体切割成小正方体后表面积的增加。 解题技巧： 画图与公式逆用：遇到无盖问题先画图确认面数；已知体积和高求底面积，或已知表面积求某一边长时，熟练运用逆运算。 切拼规律：切一刀增加两个切面；拼在一起减少两个重合面。体积始终不变。 知识点二 圆柱和圆锥表面积和体积 较复杂考察点： 圆柱表面积的实际应用：如压路机压路面积（只求侧面积），制作圆柱形水桶（侧面积+一个底面积）。 圆锥的体积计算：必须牢记乘，且高必须是顶点到底面圆心的垂直距离。 解题技巧： 展开图转化：圆柱侧面展开是长方形，长=底面周长，宽=高。 寻根溯源：求圆柱/圆锥体积或侧面积时，若题目给的是直径或周长，务必先求出半径 。 知识点三 圆柱和圆锥体积关系 较复杂考察点： 等底等高条件下的倍数关系：等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍，圆锥是圆柱的。 逆向推导与形变：已知圆锥体积求等底等高圆柱的体积，或将圆锥形沙堆铺在长方体路面上。 解题技巧： 抓不变量：无论形状如何改变（如熔铸、铺路），物体的总体积保持不变。 比例转化：遇到复杂的体积比问题，先判断是否等底或等高，利用 的关系进行代换。 知识点四 组合体的表面积 较复杂考察点： 挖空与打孔问题：在大正方体或长方体表面挖去一个小正方体或圆柱孔，剩余表面积的计算。 拼接组合体：如长方体上放一个圆柱，求组合体的总表面积。 解题技巧： 平移与补面法：在顶点处挖去小正方体，表面积不变；在面中间挖孔，表面积会增加孔的内侧面积。 分块计算与扣除：分别计算各基本图形表面积，再减去重合或遮挡部分的面积。 知识点五 组合体的体积 较复杂考察点： 复杂几何体的体积求法：如圆柱中挖去一个圆锥，或两个长方体交叉重叠。 解题技巧： 分割法与添补法：将组合体拆分成几个规则的基本立体图形求体积之和；或者补全成一个规则大图形，再减去添补部分的体积。 知识点六 不规则物体的体积算法 较复杂考察点： 排水法测体积：将不规则物体（如石头、铁块）完全浸没在有水的容器中，求物体的体积。 溢水问题：容器装满水后放入物体，溢出水的体积等于物体体积。 解题技巧： 水面上升/下降模型：物体的体积 = 容器的底面积 × 水面上升（或下降）的高度。 注意前提：物体必须完全浸没在水中，且水没有溢出（或计算溢出的水量）。 知识点七 体积的等积变形 较复杂考察点： 容器倒置与翻转：密封的长方体或圆柱形容器改变放置方向（如平放变竖放），求内部水面的新高度。 形状重塑：如将一块橡皮泥捏成不同形状，或将圆锥形钢块熔铸成长方体。 解题技巧： 抓核心不变量：形状和位置改变，但水的体积或物体的总体积绝对不变。 逆推计算：先根据初始状态求出水的体积，再用该体积除以新状态下的容器底面积，即可求出新水深。 题型一 长方体和正方体的表面积和体积 【典例精讲】（2026·天津南开·小升初模拟）下面说法正确的是（    ）。 A．长方体、正方体和圆柱的侧面积都可以用“底面周长乘高”来计算。（长方体、正方体四周的面积之和就是它的侧面积） B．同时抛两枚硬币，两枚硬币都朝上的可能性是。 C．正方形有4条对称轴，长方形和平行四边形都有2条对称轴。 D．0.2和相比，更接近0。 【答案】A 【思路引导】根据题意，分别分析每个选项。 A．分析长方体、正方体、圆柱的侧面积计算方法； B．分析同时抛两枚硬币的所有可能性，进而计算两枚都朝上的可能性； C．分析正方形、长方形、平行四边形的对称轴数量； D．计算0.2和到0的距离，比较距离大小，据此解答。 【规范解答】A．长方体侧面积＝（长×宽＋宽×高）×2＝底面积×高；正方体侧面积＝底面周长×高；圆柱侧面积＝底面周长×高，所以该选项正确。 B．同时抛两枚硬币，可能的结果有（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种，两枚都朝上可能性是，而不是，所以该选项错误。 C．正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，平行四边形没有对称轴，该选项错误。 D．0.2到0的距离是0.2，到0的距离是0.5，0.2＜0.5，所以0.2更接近0，该选项错误。 【变式训练1】（2026·全国·小升初模拟）有甲、乙两根铁棒，把它们都插入平底水盆中，如图所示。结果甲有露出水面，乙有露出水面。 (1)如果甲、乙两根铁棒的总长度是56厘米，那么乙铁棒长多少厘米？ (2)现在从这个长是14厘米、宽是10厘米的水盆中拿出甲、乙两根铁棒，水面下降多少厘米？（两根铁棒的底面积都是10平方厘米） 【答案】(1)35厘米 (2)2厘米 【思路引导】（1）根据两根铁棒露出的比例，得到插入水中的比例，求出两个铁棒的长度比，根据按比分配，用铁棒总长度除以总份数再乘乙铁棒的份数，就是乙铁棒的长度。 （2）下除的水的体积等于两根铁棒浸入水中部分的体积和，利用圆柱的体积＝底面积×高，长方体的体积÷长方体的底面积＝长方体的高，计算出水面下降的高度。 【规范解答】（1）1 1 ∶ ＝ ＝6∶10 ＝（6÷2）∶（10÷2） ＝3∶5 56÷（3＋5）×5 ＝56÷8×5 ＝35（厘米） 答：乙铁棒长35厘米。 （2）35×（1） ＝35 ＝14（厘米） 10×14×2÷（14×10） ＝280÷140 ＝2（厘米） 答：水面下降2厘米。 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切除一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求和。 【答案】； 【思路引导】根据题意可得等量关系为：原长方体的体积－切除部分的体积＝余下的体积。根据长方体体积＝长×宽×高分别计算原长方体的体积和切除部分的体积，根据等量关系列方程并求解xy的乘积，再根据x、y为整数且满足实际取值范围，来求解。 【规范解答】 解： 从图中可知，x是切除部分的高，因此（且x为整数）；y是切除部分的长，因此（且y为整数）。 对进行整数分解： 时，（，符合） 答：，。 题型二 圆柱和圆锥的表面积和体积 24．（2026·陕西西安·小升初模拟）在底面半径为8厘米，高为15厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为6厘米，高为10厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 【答案】1.875厘米 【思路引导】先根据圆锥体积公式：求出铅块体积，因为全部淹没，所以此体积即为减少的水的体积； 再根据圆柱底面积公式：求出玻璃缸底面积，最后用减少的水的体积（圆锥铅块的体积）除以玻璃缸底面积得到水位下降的高度。 【规范解答】 （立方厘米） ＝376.8÷（3.14×64） ＝376.8÷200.96 ＝1.875（厘米） 答：玻璃缸中的水位下降1.875厘米。 25．（2026·天津南开·小升初模拟）如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3dm的圆柱和圆锥形铁块，根据图1和图2的变化可知，圆柱形铁块的体积是( )dm3。 【答案】15.42 【思路引导】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，即圆柱的体积＝圆锥的体积×3。由图可知，排出的水的体积相当于（3＋1＋1）个圆锥的体积；所以每个圆锥的体积＝排出的水的体积÷（3＋1＋1）；据此再求圆柱的体积。 【规范解答】25.7÷（3＋1＋1）×3 ＝25.7÷5×3 ＝5.14×3 ＝15.42（dm3） 26．（25-26六年级·全国·随堂练习）广东省湛江市作为全国重要的冬季蔬菜供应基地，大力发展蔬菜大棚。一个蔬菜大棚的下半部分是长15m、宽4m、高2m的长方体，上半部分是圆柱的一半。搭这个蔬菜大棚需要多少平方米的覆盖薄膜？这个蔬菜大棚的空间有多大？ 【答案】覆盖薄膜：182.76；空间：214.2 【思路引导】由题目可知，要求出这个薄膜的表面积，它是有两个大长方形，两个小长方形，圆柱的一半表面积组成的。用公式可算出每部分的面积。加起来就是覆盖薄膜的面积。长方形面积等于长乘宽，半圆的面积等于3.14乘半径平方除以2，半圆柱的侧面积等于底面周长的一半乘高；这个蔬菜大棚的空间即求出长方体体积和圆柱体积一半即可。 【规范解答】 （） 答：搭这个蔬菜大棚需要182.76平方米的覆盖薄膜。 （） 答：这个蔬菜大棚的空间有214.2。 【考点剖析】解答本题的关键是分清所求物体的形状，转化为有关图形的体积或面积问题，再进行计算。 题型三 圆柱与圆锥体积的关系 27．（2026·全国·小升初模拟）奇思先用橡皮泥捏了一个底面积是28.26平方厘米，高是6厘米的圆柱。后来，他又把这个圆柱捏成了高9厘米的圆锥，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？ 【答案】56.52平方厘米 【规范解答】根据圆柱的体积公式V＝Sh求出圆柱的体积，由圆锥的体积公式VSh可知S＝Vh，把数据代入公式解答。 【解答】28.26×69 ＝169.56×3÷9 ＝508.68÷9 ＝56.52（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是56.52平方厘米。 28．（2026·全国·小升初模拟）一根圆柱形金属零件，其底面积为62.8平方厘米，体积为3140立方厘米，现需将其截成两段，使较短圆柱的长度是较长圆柱的。接着将较长圆柱熔铸成一个圆锥形零件，且圆锥的底面积与较长圆柱的底面积相同。这个圆锥形零件的高是多少厘米？ 【答案】90厘米 【思路引导】圆柱形金属零件的底面积和体积可以求出圆柱的高；现需将其截成两段，使较短圆柱的长度是较长圆柱的，即较长的圆柱的长是3份，较短圆柱的长是2份，把圆柱全长看作单位“1”，较长圆柱的长是全长是，根据分数乘法的意义，可以求出较长圆柱的高；根据体积和底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，即可解答。 【规范解答】3140÷62.8＝50（厘米） 50 ＝50× ＝30（厘米） 30×3＝90（厘米） 答：这个圆锥形零件的高是90厘米。 29．（2025·湖北武汉·小升初真题）小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 【答案】251.2立方厘米 【思路引导】把高30厘米的圆柱形木棒截成两段后，表面积增加的50.24平方厘米是2个圆柱底面的面积，据此求出一个底面的面积；用这根木棒的高度除以2，求出每一段木棒的高度；用底面积乘高，即可求出其中一段的体积。因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是这段圆柱体积的。据此解答。 【规范解答】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 30÷2＝15（厘米） 25.12×15×（1－） ＝376.8× ＝251.2（立方厘米） 答：削去的体积是251.2立方厘米。 【考点剖析】本题关键是先由截圆柱增加的表面积求出底面积，再算一段圆柱体积，最后利用等底等高圆锥与圆柱的体积关系，求出削去部分的体积。 题型四 组合体的表面积（长方体、正方体） 30．（2025·江西吉安·小升初真题）如图中，甲的表面积（    ）乙的表面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【思路引导】甲的表面积是大正方体的表面积；乙的表面积跟甲比，看上去减少了3个小正方形的面，里面又出现了3个同样的小正方形，因此乙的表面积与甲的表面积相等，据此分析。 【规范解答】根据分析，甲的表面积等于乙的表面积。 故答案为：C 31．（2025·四川内江·小升初真题）王叔叔要做如图这样的一个几何组合体的艺术品，组合体下面这个长方体铁块的表面积是96平方分米，底面是一个面积为12平方分米的正方形，在它上面粘一个正方体铁块，正方体的四个顶点正好落在底面各边的中点。这个组合体的表面积是（    ）平方分米。 A．108 B．120 C．132 D．126 【答案】B 【思路引导】 由图可知，正方体的底面积是长方体底面积的一半，则正方体的底面积为（12÷2）平方分米，即正方体一个面的面积为6平方分米。因为正方体下底面与长方体上底面重叠的面积刚好与正方体上底面的面积相等，所以组合体的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个侧面的面积，据此解答。 【规范解答】12÷2＝6（平方分米） 96＋6×4 ＝96＋24 ＝120（平方分米） 所以，这个组合体的表面积是120平方分米。 故答案为：B 32．（2024·湖北襄阳·小升初真题）图形是由棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米；至少还需要( )个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。 【答案】 18 4 【思路引导】（1）求表面积：要计算该组合图形的表面积，需先明确其是由棱长为1厘米的小正方体拼成，每个小正方体一个面的面积是1×1＝1平方厘米 。然后通过观察组合图形，分别从上下、前后、左右六个方向去数露在外面的小正方形面的数量。经观察，上下方向各能看到3个面，前后方向各能看到3个面，左右方向各能看到3个面，总共露在外面的面数是3×6＝18个 。用露在外面的面数乘每个面的面积1平方厘米，就能得到组合图形的表面积 。 （2）求至少还需小正方体数量：要拼成一个大正方体，大正方体的棱长最少是2厘米（因为现有小正方体拼组，最小的大正方体棱长由2个小正方体棱长组成），根据正方体体积公式V ＝a×a×a（a为棱长），可知拼成棱长为2厘米的大正方体需要2×2×2＝8个小正方体。数出图中现有的小正方体数量是4个，用拼成大正方体所需的8个减去现有的4个，就能得出至少还需要的小正方体数量 。 【规范解答】（1）表面积：露在外面的面，上下看各3个，前后看各3个，左右看各3个，共3×6＝18个面，面积18×1＝18（平方厘米） 。 （2）补充数量：现有4个小正方体，大正方体需8个， 8－4＝4（个） 。 它的表面积是18平方厘米；至少还需要4个这样的小正方体才能拼成一个大正方体。 题型五 组合体的表面积（圆柱) 33．（2026·四川绵阳·小升初真题）下图是由圆柱筒切割后的零件模型，求它的表面积。 【答案】2249.6平方厘米 【思路引导】先分别计算模型的侧面积、两个半圆环面积和两个长方形面积，再将三部分面积相加得到表面积。圆柱的侧面积＝圆周长×高，外圆柱的直径为50厘米，内圆柱的直径为50－10×2＝30（厘米），求出内、外圆柱的周长的和乘高6厘米，再除以2，就是模型的侧面积；上下两个半圆环的半圆就是整个圆环的面积，圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方）；长方形的长为6厘米，宽为10×2＝20（厘米），长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。 【规范解答】50÷2＝25（厘米） 50－10×2 ＝50－20 ＝30（厘米） 30÷2＝15（厘米） （3.14×50＋3.14×30）×6÷2 ＝（157＋94.2）×3 ＝251.2×3 ＝753.6（平方厘米） 3.14×（252－152） ＝3.14×（625－225） ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 6×20×2＝240（平方厘米） 753.6＋1256＋240＝2249.6（平方厘米） 答：它的表面积为2249.6平方厘米。 34．（24-25六年级下·江苏南京·期中）单板滑雪U型池赛是冬奥会的比赛项目，比赛在一个形状类似于U型滑道里进行，结构由宽阔平坦的底部和两侧的四分之一的圆管组成。U型池面的面积是多少平方米？ 【答案】368.4平方米 【思路引导】观察可知U型池面的面积由一个长是20米，宽是9米的长方形和一个底面半径是3米、高20米的圆柱的侧面积的一半组成，根据长方形面积＝长×宽，圆柱的侧面积公式，代入数据计算即可。 【规范解答】 （平方米） 答：U型池面的面积是368.4平方米。 35．（24-25六年级下·陕西宝鸡·期中）如图是一种钢制的配件，请计算它的表面积和体积（单位：cm）。 【答案】251.2cm2；251.2cm3 【思路引导】将小圆柱右边的底面平移到左边，这个配件的表面积＝完整的大圆柱表面积＋小圆柱的侧面积，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高；这个配件的体积＝大圆柱的体积＋小圆柱的体积，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算。 【规范解答】3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×4＋3.14×4×4 ＝3.14×42×2＋100.48＋50.24 ＝3.14×16×2＋100.48＋50.24 ＝100.48＋100.48＋50.24 ＝251.2（cm2） 3.14×（8÷2）2×4＋3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×42×4＋3.14×22×4 ＝3.14×16×4＋3.14×4×4 ＝200.96＋50.24 ＝251.2（cm3） 它的表面积和体积分别是251.2cm2、251.2cm3。 题型六 组合体的体积（长方体、正方体） 36．（2025·四川成都·小升初真题）求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】600平方厘米；936立方厘米 【思路引导】观察图形可知，这个图形的表面积就等于棱长10厘米的正方体的表面积，利用正方体的表面积公式计算即可解答，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；体积等于棱长10厘米的正方体与棱长4厘米的正方体的体积之差，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此即可解答。 【规范解答】10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 10×10×10－4×4×4 ＝100×10－16×4 ＝1000－64 ＝936（立方厘米） 所以这个图形的表面积是600平方厘米，体积是936立方厘米。 37．（23-24五年级下·四川达州·期末）用若干个体积为1cm3的小正方体拼成一个立体图形，分别从它的前面、右面、上面看到的相应图形如图所示。这个立体图形的体积最多是（    ）cm3。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【思路引导】根据立体图形的前面、右面、上面看到的平面图形可知，这个立体图形有两层，下层分两行，前一行有3个小正方体，后一行有2个小正方体，右齐，共有5个小正方体；上层分两行，前一行最多有3个小正方体，后一行最多有2个小正方体，共有5个小正方体；所以拼成这个立体图形最多用了10小正方体；最后用每个小正方体的体积乘小正方体的总个数，即是这个立体图形的体积。 【规范解答】拼成的立体图形如下图： 这个立体图形最多由10个小正方体拼成。 1×10＝10（cm3） 这个立体图形的体积最多是10cm3。 故答案为：B 38．（2020·江苏·小升初模拟）如图，从边长是10的立方体中挖去1个小长方体，则剩余部分的体积是( )，表面积是( )。 【答案】 910 660 【思路引导】剩余部分的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据分别代入公式求出它们的体积差即可，剩余部分的表面积等于正方体的表面积加上长方体的左右两个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，长方形的面积：S＝ab，把数据代入公式求出它们的面积和即可。 【规范解答】10×10×10－（10－4－3）×5×（10－4） ＝1000－3×5×6 ＝1000－90 ＝910 10×10×6＋5×（10－4）×2 ＝100×6＋5×6×2 ＝600＋60 ＝660 答：剩余部分的体积是910，表面积是660。 【考点剖析】此题主要考查正方体、长方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 题型七 组合体的体积（圆柱、圆锥） 39．（25-26六年级下·全国·期中）从一个圆柱中挖去一个圆锥，如下图，求剩余部分的体积。 【答案】602.88dm3 【思路引导】根据图片，圆柱直径为10dm，高为8dm；圆锥直径为4dm，高为6dm；剩余部分的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，底面半径，圆柱的体积，圆锥的体积，代入数据计算即可。 【规范解答】圆柱的半径： （dm） 圆锥的半径： （dm） 剩余部分的体积： （dm3） 因此剩余部分的体积602.88dm3。 40．（24-25六年级下·甘肃定西·期中）创新引领生活。现在常用的稻谷储粮罐都是圆锥形底的，虽然比以前使用的平底储粮罐工艺复杂，但优点在于底部沉淀的杂质更易清除，便于储粮罐的排污和清洗。下图是某公司设计的一款新型储粮罐，它的体积是多少立方米？（壁厚忽略不计） 【答案】8.164立方米 【思路引导】由图可知，新型储粮罐的体积＝底面直径为2米，高0.9米的圆锥体积×2＋底面直径为2米，高2米的圆柱体积，根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，π取3.14，代入数据即可解答。 【规范解答】2÷2＝1（米） 3.14×12×0.9××2＋3.14×12×2 ＝3.14×1×0.9××2＋3.14×1×2 ＝3.14×0.9××2＋3.14×2 ＝2.826××2＋6.28 ＝0.942×2＋6.28 ＝1.884＋6.28 ＝8.164（立方米） 答：它的体积是8.164立方米。 41．（2025·浙江宁波·小升初真题）下图展示了一款饮料纸杯的设计图，纸张厚度以及连接处忽略不计。 根据图中信息，解决下列问题。（计算结果用含的算式表示） （1）制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是多少平方厘米？ （2）用这款纸杯能装下400毫升的饮料吗？请通过计算说明理由。 【答案】（1）平方厘米 （2）这款纸杯能装下400毫升的饮料，见详解。 【思路引导】（1）对于展开图中的扇形，大圆半径为10厘米＋20厘米，小圆半径为20厘米，根据圆心角的度数确定这个扇形面积是整个大圆的几分之几即，杯身的面积＝，则杯身侧面展开面积＋底面圆面积即可知道使用的纸张面积； （2）纸杯的容积＝大圆锥体积－小圆锥体积，利用比例可知大圆锥的高，大圆锥的底面半径为9厘米的一半，小圆锥的底面半径为6厘米的一半，据此即可求解纸杯的容积，再与400毫升比较即可知道这款纸杯是否能装下400毫升的饮料。 【规范解答】（1） 答：制作一个这样的纸杯，使用的纸张面积是平方厘米。 （2）9÷2＝4.5（厘米） 6÷2＝3（厘米） 因为 所以 纸杯体积： 因为 答：这个杯子能装下400毫升的饮料。 【考点剖析】求解扇形的面积，通过扇形对应的圆心角构建扇形与圆形的关系，扇形的面积＝。 题型八 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 42．（2025·浙江杭州·小升初真题）张老师测量一颗钢球体积的过程如下图： （1）将400立方厘米的水倒进一个容量为1升的大杯子中； （2）将5颗相同的钢球放入水中，结果水没满； （3）再将一颗同样的钢球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗钢球的体积的范围。 【答案】 100立方厘米＜单颗钢球体积＜120立方厘米 【思路引导】首先统一单位：1升＝1000立方厘米，杯子中原有水400立方厘米，因此杯子剩余空间为：1000－400＝600（立方厘米）。 先分析5颗钢球的体积范围： 放入5颗钢球后水没满，说明5颗钢球的体积小于剩余空间，即：5×单颗钢球体积小于600立方厘米。 可得：单颗钢球体积小于600÷5＝120（立方厘米） 再分析6颗钢球的体积范围： 放入6颗钢球后水溢出，说明6颗钢球的体积大于剩余空间，即：6×单颗钢球体积大于600立方厘米。 可得：单颗钢球体积大于600÷6＝100（立方厘米） 据此推出结论即可。 【规范解答】立方厘米 （立方厘米）。 5颗钢球的体积小于剩余空间，可得单颗钢球体积小于： 600÷5＝120（立方厘米） 6颗钢球的体积大于剩余空间，可得单颗钢球体积大于： 600÷6＝100（立方厘米） 这样一颗钢球的体积范围是： 100立方厘米＜单颗钢球体积＜120立方厘米。 43．（2025·四川成都·小升初真题）一个长方体容器中装有一些水，把一个马铃薯完全浸没在水中，水满了且没有溢出（如下图），这个马铃薯的体积是( )cm3。 【答案】360 【思路引导】观察图形可知，长方体容器的长为15cm，宽为8cm，原来的水位为7cm，放入马铃薯后水满了且没有溢出，则水位上升了10－7＝3cm，再根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【规范解答】15×8×（10－7） ＝15×8×3 ＝120×3 ＝360（cm3） 则这个马铃薯的体积是360cm3。 44．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【规范解答】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【考点剖析】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 题型九 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 45．（2026·全国·小升初模拟）古茗推出小、中、大三种容量规格的奶茶，小杯约350毫升，中杯约500毫升，大杯约700毫升。奇思点了一杯中杯珍珠奶茶，如图所示，操作员先加入一定量的奶茶，后来又加入100颗珍珠。已知中杯底面积约为40立方厘米，1颗珍珠的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】0.5立方厘米 【思路引导】由图可知，已知没放“珍珠”前，杯子中的奶茶高度是还差1.25厘米就满杯，放入100颗“珍珠”后，正好满杯，即水面上升了1.25厘米，根据题意，升高的水的体积是100颗珍珠的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，求出水的体积，再除以100即可。 【规范解答】40×1.25÷100 ＝50÷100 ＝0.5（立方厘米） 答：1颗珍珠的体积大约是0.5立方厘米。 46．（24-25六年级下·河南南阳·期末）（如图）药瓶的容积是，瓶内装有一些药水。瓶子正放时，瓶内药水液面高是，瓶子倒放时，空余部分高是，则瓶内药水的体积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】将药瓶的容积看作单位“1”，看图可知，瓶子的容积＝药水的体积＋空余部分的容积＝高（6＋2）cm的圆柱容积，圆柱体积＝底面积×高，底面积相等，圆柱高之间的关系就是体积之间的关系，将药瓶的容积看作单位“1”，药水的体积占药瓶容积的，药瓶的容积×药水的对应分率＝药水的体积，据此列式计算。 【规范解答】26.4× ＝26.4× ＝19.8（） 瓶内药水的体积是。 故答案为：A 47．（23-24六年级下·山东德州·期中）小刚进行测量土豆体积的实验，步骤如下： 准备一个底面直径10厘米的圆柱形玻璃容器，注入了9厘米深的水（如图①）；放入土豆，浸没在水中，水面上升到11厘米处，此时水面距离容器口是1厘米（如图②）；再放入土豆，此时有部分水溢出（如图③）；取出土豆，这时水面距离容器口4厘米（如图④）。               图①                     图②             图③             图④ 根据实验情况，请你解决以下问题： （1）请求出土豆的体积。 （2）放入土豆后，溢出了多少毫升水？ 【答案】（1）157立方厘米 （2）235.5毫升 【思路引导】（1）水面上升的体积就是土豆A的体积，圆柱形玻璃容器的底面积×水面上升的高度＝土豆A的体积，据此列式解答。 （2）土豆B的体积等于把土豆B取出后下降部分水的体积，溢出水的体积＝土豆B 的体积－图②中无水部分的体积。 【规范解答】（1）3.14×（10÷2）2×（11－9） ＝3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝157（立方厘米） 答：土豆的体积是157立方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×4－3.14×（10÷2）2×1 ＝3.14×（10÷2）2×（4－1） ＝3.14×52×3 ＝3.14×25×3 ＝235.5（立方厘米） ＝235.5（毫升） 答：溢出了235.5毫升水。 【考点剖析】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式，利用转化思想，将不规则物体的体积转化为规则的圆柱进行计算。 题型十 体积的等积变形（长方体、正方体) 48．（2025·山东潍坊·小升初真题）如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm，将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水深( )cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥的高是( )cm。 【答案】 8 4.8 【思路引导】（1）先根据长方体体积＝长×宽×高，求出乙容器中水的体积，再利用圆柱的体积＝底面积×高，求出水倒入甲容器后的水深。圆柱底面积S＝πr2、d＝2r。 （2）根据圆柱和圆锥的底面积之比可知，圆锥底面积是圆柱的底面积的5倍，先求出圆锥的底面积，由圆锥体积公式V＝πr2h，可知用水的体积×3÷圆锥的底面积，即可求出圆锥的高。 【规范解答】（1）水的体积：10×10×6.28＝628（cm3） 圆柱底面积：3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 水深：628÷78.5＝8（cm） （2）圆锥底面积：78.5×5＝392.5（cm2） 圆锥的高：628×3÷392.5 ＝1884÷392.5 ＝4.8（cm） 49．（2025·四川成都·小升初真题）在一个长方体的容器里，倒入适量水，再放入一个底面为正方形，底面边长是8厘米的长方体铁块，若铁块全部放入水中，则容器里的水面升高20厘米，若使浸没在水中的铁块露出水面10厘米，则水面下降5厘米，长方体铁块的高是（    ）厘米。 A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【思路引导】已知长方体铁块的底面是边长为8厘米的正方形，露出水面10厘米，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出露出水面部分铁块的体积，也就是容器内水面下降5厘米的水的体积；再根据公式S＝V÷h，用下降5厘米水的体积除以水面下降的高度，求出长方体容器的底面积； 若铁块全部放入水中，容器里的水面升高20厘米，根据公式V＝Sh，用长方体容器的底面积乘水面上升的高度，求出水上升部分的体积，也就是整个铁块的体积； 根据公式h＝V÷S，用整个铁块的体积除以铁块的底面积，求出铁块的高度。 【规范解答】露出水面10厘米的铁块的体积：8×8×10＝640（立方厘米） 容器的底面积：640÷5＝128（平方厘米） 铁块的体积：128×20＝2560（立方厘米） 铁块的高： 2560÷（8×8） ＝2560÷64 ＝40（厘米） 50．用如下五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体，面与面相交的棱要用专业胶水粘连。请你帮忙算一算： 收费标准（含人工费） 亚克力板：2元/平方分米 胶水：0.2元/分米 （1）做一个这样的长方体，买亚克力板需要多少钱？ （2）做一个这样的长方体，买胶水需要多少钱？ （3）将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长是2分米的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，那么两个容器中的水面高度是多少分米？（列方程解答，容器壁厚度忽略不计） 【答案】（1）32元 （2）2.8元 （3）0.6分米 【思路引导】（1）根据图形，求出长方体的表面积，需要将5个长方形的面积加起来，长方形的面积＝长×宽，分别计算出5个长方形的面积，再相加求出长方体的表面积，亚克力板是2元/平方分米，最后用长方体的表面积乘上2即可。 （2）先根据长方形的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出它的棱长之和，因为是无盖的，再减去上面盖的周长（只有单个面的长方形的周长），即可求出需要粘胶水的长度，再乘0.2即可； （3）将这个长方体装满水，长方体的体积就是水的体积，则根据长方体的体积＝长×宽×高得出水的体积6立方分米，再倒一部分到一个棱长是2分米的正方体容器中，即两个容器中的水的体积的和是6立方分米，设两个容器中的水面高度都是h分米，所以长方体中的水的体积是（3×2×h）立方分米，正方体容器中水的体积是（2×2×h）立方分米，列出方程为3×2×h＋2×2×h＝3×2×1，求出h即可。 【规范解答】（1）3×2＋1×2×2＋3×1×2 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16（平方分米） 16×2＝32（元） 答：做一个这样的长方体，买亚克力板需要32元。 （2）（3＋2＋1）×4 ＝6×4 ＝24（分米） （3＋2）×2 ＝5×2 ＝10（分米） 24－10＝14（分米） 14×0.2＝2.8（元） 答：做一个这样的长方体，买胶水需要2.8元。 （3）解：设两个容器中的水面高度都是h分米。 3×2×h＋2×2×h＝3×2×1 6h＋4h＝6 10h＝6 10h÷10＝6÷10 h＝0.6 答：两个容器中的水面高度都是0.6分米。 题型十一 体积的等积变形（圆柱、圆锥) 51．（2026·江苏淮安·小升初真题）圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？ 【答案】15.625厘米 【思路引导】根据题意可知，水体积不变。先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； 往容器内插入圆柱形铁棒且铁棒底面与容器底面接触，那么容器内水的底面积等于圆柱形容器的底面积减去圆柱形铁棒的底面积，根据圆的面积公式S＝πr2，求出此时容器内水的底面积； 再根据圆柱的高h＝V÷S，即用水的体积÷容器内水的底面积，求出此时水的水深。 【规范解答】水的体积： 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 水的底面积： 3.14×52－3.14×32 ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 水的深度： 785÷50.24＝15.625（厘米） 答：这时水深15.625厘米。 52．（25-26六年级·全国·寒假作业）如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 【答案】12厘米 【思路引导】体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，所以把圆锥部分的水倒入圆柱中，水面高度为18÷3＝6厘米；原来圆柱中水面高度为24－18＝6厘米，所以将容器倒立放置，水面高度是6＋6＝12厘米。 【规范解答】18÷3＝6（厘米） 24－18＝6（厘米） 6＋6＝12（厘米） 答：水面的高度是12厘米。 【考点剖析】圆柱和圆锥的底面积相等，将圆锥部分的水倒入圆柱中，高度会变为原来的。 53．（2025·湖北武汉·小升初真题）沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 【答案】0.628厘米 【思路引导】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14），长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出沙的体积，然后用这些沙的体积除以长方体的底面积即可。 【规范解答】×3.14×（12÷2）2×10÷（30×20） ＝×3.14×62×10÷（30×20） ＝×3.14×36×10÷600 ＝×36×3.14×10÷600 ＝12×3.14×10÷600 ＝37.68×10÷600 ＝376.8÷600 ＝0.628（厘米） 答：在长方形木盒中会平铺大约0.628厘米高的沙子。 【考点剖析】这道题的关键是沙子体积不变，先算沙漏里圆锥形状沙子的体积，再用这个体积除以长方体木盒的底面积，就能得出沙子在木盒里平铺的高度。具体计算时，先由圆锥直径算出半径，代入圆锥体积公式求出沙子体积，再用体积除以长方体底面积，最终得到高度。 1．（2025·四川成都·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，它们的体积比是，则圆锥与圆柱高的最简整数比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】底面周长的比是，所以底面半径的比也是2∶3，设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6，根据圆柱的体积＝，圆锥的体积＝ ，分别求出圆锥和圆柱的高，再用圆锥的高比圆柱的高，再根据比的性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）化成最简整数比。 【规范解答】设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6。 6÷÷÷ ＝6×3÷9÷ ＝18÷9÷ ＝2÷ ＝ 5÷÷ ＝5÷4÷ ＝÷ ＝× ＝ ∶＝（×4）∶（×4）＝8∶5 所以圆锥与圆柱高的最简整数比是8∶5。 2．（2026·陕西西安·小升初模拟）一个圆柱，如果把它的高截短3厘米，表面积就减少18.84平方厘米，那么它的体积就减少（    ）立方厘米。 A．6.28 B．9.42 C．18.84 D．37.68 【答案】B 【思路引导】截短圆柱的高，表面积减少的部分就是截去部分的侧面积，用减少的表面积除以截去的高，求出圆柱的底面周长，再根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14）求出底面半径，最后用底面积乘截去的高，即可求出减少的体积。 【规范解答】底面周长：18.84÷3＝6.28（厘米） 底面半径：6.28÷（3.14×2） ＝6.28÷6.28 ＝1（厘米） 减少的体积：3.14×12×3 ＝3.14×1×3 ＝9.42（立方厘米） 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）选择正确的序号：用4种颜色红、蓝、黄、白染正四面体，每个面颜色不同，如果经旋转后，染色的正四面体不相同，则称为不同的染色方式，共有______种不同的染色方式。 A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】B 【思路引导】先固定一个面的颜色（消除旋转带来的重复），此时剩余3个面需染另外3种颜色，有6种全排列方式；但正四面体固定底面后，剩余3个面可通过旋转得到3种相同的染色效果，因此要将全排列数除以3，最终得到2种不同的染色方式。 【规范解答】固定1个面的颜色后，剩余3个面的全排列数＝3×2×1＝6 正四面体固定底面后，剩余面的旋转重复次数为3，因此不同染色方式：6÷3＝2（种） 共有2种不同的染色方式。 故答案为：B 【考点剖析】正四面体可通过旋转改变面的位置，因此先固定一个面的颜色（避免旋转带来的重复），再计算剩余面的排列数；同时要注意，固定底面后剩余3个面能通过旋转得到3种等效排列，需将全排列数除以旋转重复次数，才能得到真正不同的染色方式。 4．（2026·广东·小升初模拟）把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，削去部分的体积是，则原来圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 【答案】 7.2 2.4 【思路引导】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，把圆柱削成等底等高的圆锥，削去部分的体积＝圆柱体积－圆锥体积＝3倍的圆锥体积－圆锥体积＝2倍的圆锥体积，即削去部分相当于2个圆锥的体积，削去部分÷2＝1个圆锥体积，圆柱体积＝1个圆锥体积×3。 【规范解答】圆锥：4.8÷2＝2.4（dm3） 圆柱：2.4×3＝7.2（dm3） 5．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）一个几何体是由相同的小正方体搭成的，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。这个几何体最多可以有( )个小正方体。 【答案】10 【思路引导】已知一个由相同小正方体搭成的几何体的上面视图和左面视图，要求确定该几何体最多可由多少个小正方体组成。依据这两个视图，分析小正方体可能的分布情况，从而找出数量最多时的组合方式。 【规范解答】从上面看到的形状呈现的样子，这表明该几何体的底层有5个小正方体，它们的分布构成了底层的基本形状。 从左面看到的形状是两层。为了使得小正方体的数量达到最多，在不改变给定视图形状的前提下，我们可以在底层的基础上尽可能多地在第二层放置小正方体。由于从左面看是两层，形成“田”字形状，且结合上面看到的形状，我们可以在底层每个位置的上方再各放置1个小正方体，即上层最多可以有5个小正方体。 底层最多5个小正方体，上层最多5个小正方体，那么这个几何体最多可以有5＋5＝10（个）小正方体。 6．（2025·四川成都·小升初真题）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞，洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如图）。求挖洞后木块的表面积为________平方厘米，体积为________立方厘米。 【答案】 120 58 【思路引导】（1）大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积只是增加“小洞内”的4个侧面积，6个面共挖了6个洞，可计算增加的面积，加上原来的表面积即为挖洞后木块的表面积； （2）洞的边长为1厘米的正方形，洞深1厘米，则挖去的6个洞都为棱长1厘米的正方体，用原体积减去挖掉的体积即为挖洞后木块的体积． 【规范解答】6个小洞内新增加面积的总和：1×1×4×6＝24（平方厘米） 原正方体表面积：4×6＝96（平方厘米） 挖洞后的表面积：24＋96＝120（平方厘米） 挖洞后的体积： 4－1×6 ＝64－6 ＝58（立方厘米） 7．（2026·陕西汉中·小升初模拟）如图，用两张这样的纸板分别卷成高是8厘米和6厘米的圆柱形茶叶罐，它们的体积相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】高为8厘米时，底面圆的周长为6厘米，则底面半径为；高是6厘米时，底面圆的周长是8厘米，则底面半径为，根据体积＝πr²h分别求出两个圆柱的体积，比较大小看是否相等。 【规范解答】当高是8厘米时，底面半径为。 体积为 ＝ ＝（立方厘米） 当高是6厘米时，底面半径为。 体积为 ＝ ＝ ，两个圆柱的体积不相等，因此说法错误。 故答案为：× 8．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去的部分占圆柱体积的。( )（判断对错） 【答案】 √ 【思路引导】要把一个圆柱削成一个最大的圆锥，则削成的圆锥与原圆柱等底等高。根据圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的，把等底等高的圆柱体积看作单位“1”，减去削成的圆锥体积的分率，即可求出削去部分占圆柱体积的分率，据此解答并判断。 【规范解答】 所以，把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去的部分占圆柱体积的。原题说法正确。 故答案为：√ 9．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，体积比是，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据圆的周长C＝2πr，求出半径r比，再根据底面积S＝，求出底面积比，最后根据圆柱体积 ＝ ​，圆锥体积＝整理得到高的比的表达式（根据比的基本性质化简比）。 【规范解答】周长比＝底面半径比，已知底面周长比是3∶2，可得半径比∶＝3∶2 底面积比∶＝∶ ＝∶＝9∶4。 体积比∶＝∶＝∶（）＝∶＝3∶2 2×＝3× 18＝4 ＝ ＝ ＝ ∶＝2∶9 因此，一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是3∶2，体积比是3∶2，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是2∶9。 故答案为：√ 10．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）计算下面组合图形的表面积。 【答案】106.56cm2 【思路引导】圆柱的侧面积＝πdh，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，根据图可知：组合图形的表面积等于长是5cm、宽是3cm、高是4cm的长方体的表面积加上底面直径是2cm、高是2cm的圆柱的侧面积，据此列式计算。 【规范解答】（5×3＋5×4＋4×3）×2＋3.14×2×2 ＝（15＋20＋12）×2＋3.14×2×2 ＝47×2＋6.28×2 ＝94＋12.56 ＝106.56（cm2） 组合图形的表面积是106.56cm2。 11．（2026·陕西西安·小升初模拟）春节赏灯承载着“燃灯照岁”的传统寓意，四位叔叔正在制作一个长方体花灯，请根据他们的谈话，解决下面的问题。 甲：这个长方体的棱长总和是52分米。 乙：如果高增加2分米，就变成了一个正方体。 丙：是呀，这时表面积比原来增加40平方分米。 丁：长方体花灯上面装饰了红、绿、黄三种颜色的小彩灯，红灯的数量占总数量的，绿灯个数是黄灯的，红灯比绿灯多买了10个。 (1)如果给这个花灯的侧面贴一圈彩布，贴彩布的面积至少是多少平方分米？ (2)三种颜色的小彩灯一共有多少个？ 【答案】(1)平方分米 (2)个 【思路引导】（1）长方体花灯的高增加分米就变成了一个正方体，说明长和宽相等，高比宽少分米。则正方体花灯的棱长总和是分米。正方体条棱长度相等，这个正方体花灯的棱长用棱长和除以即可。长方体侧面积底面周长×高，把数据代入计算即可。 （2）红灯的数量占总数的，黄灯和绿灯的个数和占总数的（）。绿灯是黄灯的，那么黄灯和绿灯的个数和有（）份，绿灯个数占黄灯和绿灯个数和的。绿灯个数占彩灯总个数的（）。红灯个数比绿灯个数多占总数的（）。红灯比绿灯多买了个，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，用除以即可算出三种颜色的小彩灯一共有多少个。 【规范解答】（1） （分米） （分米） （分米） （平方分米） 答：贴彩布的面积至少是平方分米。 （2） （个） 答：三种颜色的小彩灯一共有个。 12．（2026·四川南充·小升初模拟）乐乐家使用这样一种卷纸（如图①），中间硬纸轴的直径是4厘米，卷纸环的厚度是3厘米，高度是10厘米。 (1)制作中间的硬纸轴至少需要多少平方厘米硬纸板？（取3.14，不考虑接头） (2)一个纸箱正好可以放入12卷这种卷纸（如图②），这个长方体纸箱的容积是多少立方厘米？ 【答案】(1)125.6平方厘米 (2)12000立方厘米 【思路引导】（1）求制作中间的硬纸轴需要硬纸板的面积，就是求底面直径4厘米、高10厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh代入数据计算即可； （2）观察图可知，卷纸的直径等于硬纸轴的直径加上两边卷纸环的厚度，纸箱的长＝整个卷纸底面直径×4，纸箱的宽＝整个纸卷底面直径×3，纸箱的高＝纸卷的高，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出纸箱的容积。 【规范解答】（1）3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（平方厘米） 答：制作中间的硬纸轴至少需要125.6平方厘米硬纸板。 （2）4＋3＋3＝10（厘米） 10×4＝40（厘米） 10×3＝30（厘米） 40×30×10 ＝1200×10 ＝12000（立方厘米） 答：这个长方体纸箱的容积是12000立方厘米。 13．（2026·广东·小升初模拟）电影《给阿嬷的情书》中，青绿饱满的橄榄频频出镜，是最具代表性的潮汕风物。 (1)新鲜青橄榄晾晒脱水后，质量减少三成。阿嬷采摘了一些青橄榄，晾晒脱水后质量是7千克，阿嬷采摘了多少千克青橄榄？ (2)阿嬷把晾晒好的橄榄熬制成橄榄菜，装进圆柱形玻璃瓶。玻璃瓶的底面内直径是2分米，高1.5分米，这个玻璃瓶的容积是多少立方分米？ 【答案】(1)10千克 (2)4.71立方分米 【思路引导】（1）三成＝30%；把采摘青橄榄的质量看作单位“1”，质量减少30%，还剩下（1－30%），对应的晾晒脱水后的质量7千克，求单位“1”，用除法，用晾晒脱水后的质量7千克÷（1－30%），即可解答。 （2）圆柱的容积＝底面积×高，据此解答。 【规范解答】（1）三成＝30% 7÷（1－30%） ＝7÷70% ＝10（千克） 答：阿嬷采摘了10千克青橄榄。 （2）3.14×（2÷2）2×1.5 ＝3.14×12×1.5 ＝3.14×1×1.5 ＝4.71（立方分米） 答：这个玻璃瓶的容积是4.71立方分米。 14．（2025·重庆江北·小升初真题）如图所示，壁虎在一座油罐的下底边处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击，请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？（取3.14，底面周长取整数） 【答案】13米 【思路引导】把油罐的侧面展开成一个长方形：先根据圆的周长公式C＝πd求出油罐底面的周长，得到约12米（按要求取整数），这个12米就是展开后长方形的长，长方形的高就是油罐的高度5米。根据“两点之间线段最短”，壁虎爬行的最短路线就是这个长方形的对角线，用两条直角边的长度来算：先算5乘5等于25，12乘12等于144，把它们相加得169，再找哪个数自己乘自己等于169，13乘13正好是169，所以对角线长13米，也就是壁虎至少要爬13米。 【规范解答】底面周长：3.14×3.82≈12（米） 展开后长方形：长12米，高5米 对角线计算：5×5＋12×12 ＝25＋144 ＝169 13×13＝169 答：壁虎至少爬行13米。 15．赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，注满结束。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )厘米。 (3)如果下面的大圆柱底面积是48平方厘米，那么大圆柱的体积是多少立方厘米？上面小圆柱的底面积是多少平方厘米？ 【答案】(1) (2)30 (3)960立方厘米；16平方厘米 【思路引导】（1）根据图像的高度判断，两段图像分别对应的是向大圆柱和小圆柱注油的过程；图像发生转折的时间，即为大圆柱注满的时间。 （2）用最终高度减去大圆柱注满的高度，即可求出小圆柱的高； （3）根据圆柱的体积＝底面积×高，求出大圆柱的体积即可。先用大圆柱的体积除以注满大圆柱的时间，计算出注油的速度，即每分钟注油的多少立方厘米；再计算出注满小圆柱所用的时间，二者相乘即可得出小圆柱的体积；最后用小圆柱的体积除以小圆柱的高度，求出小圆柱的底面积。 【规范解答】（1）由图可知，前一段油的高度较低，所对应的是向大圆柱注油的过程。图像在分钟处发生了转折，即为大圆柱注满的时间。 （2）由图可知，后一段油的高度较高，所对应的是向小圆柱注油的过程。整个容器注满时的高度是50厘米，大圆柱注满的高度是20厘米，所以小圆柱高是50－20＝30（厘米）。 （3）大圆柱的体积：48×20＝960（立方厘米） 小圆柱的底面积： = = =480（立方厘米） 480÷30＝16（平方厘米） 答：大圆柱的体积是960立方厘米，上面小圆柱的底面积是16平方厘米。 【考点剖析】本题主要考查根据图像获取信息的能力，通过分析图像中油的高度与时间的关系，确定大、小圆柱的高度。难点在于抓住“匀速注油”这一点，通过每分钟注油量，由大圆柱体积计算出小圆柱的体积，进而求出其底面积。 16．（2025·浙江杭州·小升初模拟）如图1，圆柱形开口空杯底部固定在正方体容器底部，从里面量得正方体容器棱长为2分米，沿着正方体容器内壁匀速注入水（倒在杯外），容器中水面高度与时间的关系如图2所示。（杯子厚度忽略不计） (1)圆柱形开口杯高（    ）分米。请说明你的理由。 (2)圆柱形开口杯的底面积是多少？ 【答案】(1)1；往正方体容器中注水时，水面高度不变，一直保持1分米，这表示圆柱形开口杯的高度为1分米。 (2)1.6平方分米 【思路引导】（1）根据图示，3至5分钟时，水面高度不变，说明此时是往正方体容器中注水，这表示圆柱形开口杯的高度为1分米。 （2）已知正方体容器棱长为2分米，根据“正方体容积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体容器的容积为2×2×2＝8立方分米；水面从1分米上升至2分米用时5分钟（10－5＝5分钟），这部分水的体积即为正方体容器的一半，8÷2＝4立方分米，注水速度为4÷5＝0.8立方分米。 当水完全注满圆柱形开口杯时，需要2分钟（5－3＝2分钟），所以圆柱形开口杯的容积为0.8×2＝1.6立方分米。 最后根据“圆柱体积＝底面积×高”，用圆柱形开口杯的容积除以高即可求出底面积。据此解答。 【规范解答】（1）圆柱形开口杯高1分米。 理由略 （2）2×2×2＝8（立方分米） 8÷2＝4（立方分米） 4÷（10－5） ＝4÷5 ＝0.8（立方分米） 0.8×（5－3） ＝0.8×2 ＝1.6（立方分米） 1.6÷1＝1.6（平方分米） 答：圆柱形开口杯的底面积是1.6平方分米。 【考点剖析】本题主要通过注水速度乘注水时间求出圆柱形开口杯的容积，再根据圆柱容积公式用容积除以高求出圆柱形开口杯的底面积。 17．（2025·北京丰台·小升初真题）为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意准备了一只木桶，制作此木桶底面与侧面用的木板的厚度相同，侧面木板长短不一，小明从木桶外部测量的数据，如图1所示。 （1）如果从木桶的里面测量，底面的直径是多少厘米？ （2）这只木桶上的铁箍是用薄铁皮制作的，箍1圈铁箍，如果接头处、铁皮厚度都忽略不计，请你算一算，至少需要多少平方厘米的薄铁皮？ （3）把这个木桶斜放比平放最多能多接多少水？ 【答案】（1）40厘米；（2）659.4平方厘米；（3）12560毫升 【思路引导】（1）根据图示可知，木桶从外面测量的直径是42厘米，而小板厚1厘米，用外面测量的直径长度减去2个1厘米即是从内部测量的直径长度。 （2）根据“圆周长＝πd”，用木桶从外面测量的直径是42厘米乘π，求出木桶的底面周长，再根据“长方形面积＝长×宽”，用底面周长乘铁箍的宽即可求解。 （3）根据图示可知，平放时最多可以装水的容积即为底面直径40厘米，高36厘米的圆柱体积，斜放比平放多装水的部分即为底面直径40厘米，高（56－36）厘米的圆柱体积的一半，据此解答。 【规范解答】（1）42－1×2 ＝42－2 ＝40（厘米） 答：如果从木桶的里面测量，底面的直径是40厘米。 （2）3.14×42×5 ＝131.88×5 ＝659.4（平方厘米） 答：至少需要659.4平方厘米的薄铁皮。 （3）3.14×（）2×（56－36）÷2 ＝3.14××20÷2 ＝3.14×400×20÷2 ＝12560（立方厘米） 12560立方厘米＝12560毫升 答：把这个木桶斜放比平放最多能多接12560毫升水。 【考点剖析】本题考查了圆柱体积、圆柱侧面积、圆直径计算的应用。 18．（2025·江苏苏州·小升初真题）在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 【答案】1020立方厘米；6厘米 【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高。 根据题意，当铁块横着放置时，水的体积与铁块的体积之和等于容器的底面积乘水的高度（9厘米）；当铁块竖直放置时，水的体积与铁块浸入水中部分的体积之和等于容器的底面积乘新的水位高度（7厘米）； 铁块的总高度等于露出水面的10厘米加上浸入水中的7厘米，即17厘米； 设铁块的底面积为平方厘米，则铁块的体积是（10＋7）立方厘米；根据水的体积不变可列出方程，求出铁块的底面积，进而计算出铁块的体积，再把的值代入方程的一边计算出水的体积； 现在把铁块向上提起5厘米，那么铁块浸入水中的高度变为7－5＝2厘米；用容器的底面积乘2，求出此时铁块浸入水中的体积，加上水的体积，即是此时浸入水中铁块的体积与水的体积之和，再除以容器的底面积，求出此时水的深度。 【规范解答】解：设铁块的底面积为平方厘米。 铁块体积：（立方厘米） 水的体积： （立方厘米） 铁块向上提起5厘米后，铁块浸入水中部分的体积： （立方厘米） 提起后水和浸入水中部分的铁块体积之和： （立方厘米） 提起后水深： （厘米） 答：这个铁块的体积是1020立方厘米。再把铁块向上提起5厘米，此时水深6厘米。 【考点剖析】通过比较铁块横放和竖放时水位变化的关系，根据水的体积不变，列出方程，求出铁块的体积以及水的体积；当提起铁块后，铁块浸入水中部分减少，排开水量减少，分析提起铁块后容器内的水位变化。 19．（24-25六年级下·山东滨州·期末）方格图如下图，根据下面要求完成各题。 （1）在方格图中有一个直角三角形，其中两个顶点分别是和，那么点的位置可以是（    ）（用数对表示），并画出该三角形。 （2）如果把三角形以直角边为轴旋转一周，所得到的立体图形的体积是（    ）cm。 （3）以直线为对称轴画出梯形DEFH的轴对称图形。 （4）如果把点向右平移（    ）格，梯形就变成一个平行四边形。 （5）以点为观测点，点在点的（    ）方向。（用方向和角度描述） 【答案】（1）（4，3）或（1，7），画图见详解； （2）37.68立方厘米或50.24立方厘米； （3）见详解； （4）2 （5）北偏东45° 【思路引导】（1）直角三角形ABC，已知A（4， 7）和B（1， 3）。要使 ABC 成为直角三角形且直角在C，须满足AC与BC互相垂直，可以在网格上找出两种整数坐标。C在（1， 7）时，AC水平长3格，BC竖直长4格；C在（4， 3）时，AC竖直长4格，BC水平长3格。据此画图即可； （2）三角形以直角边为轴旋转一周会得到一个圆锥，绕直角边AC旋转所得立体的体积：若取C（1， 7），则 AC＝3厘米、BC＝4厘米，绕AC旋转得到的圆锥高为3厘米、底面半径为4厘米；若取C（4， 3），则 AC＝4厘米、BC＝3厘米；根据圆锥的体积公式V＝进行计算即可； （3）梯形 DEFH 的轴对称图形，以题中给出的水平直线a为对称轴，将D、E、F、H分别在轴的另一侧作“镜像”即可，作图时注意对称点与原点到直线a的垂直距离相等； （4）将D点向右平移多少格可使梯形变为平行四边形，已知梯形上下两条水平边分别长2格和4格。只要把D向右平移2格，使上边与下边同长（均为4格），便得到平行四边形。 （5）根据上北下南，左西右东，由F观测到E的方向，从F到E在网格中“向北2格、向东2格”，即北偏东方向，点E和F正好是一个正方形的对角线，所以所成的夹角是 45°。 【规范解答】根据分析： （1）C点可以有两个：（4，3）或（1，7），画图见第（3）： （2）当C点在（4，3）时， ＝3.14×3×4＝37.68（立方厘米） 当C点在（1，7）时， ＝3.14×16＝50.24（立方厘米） 所得到的立体图形的体积是37.68立方厘米或50.24立方厘米。 （3）找到梯形DEFH各顶点关于直线a的对称点，再依次连接对称点，画图如下： （4）梯形上下两条水平边分别长2格和4格，所以点D向右平移2格，梯形就变成一个平行四边形。 （5）上北下南，左西右东，正方形对角线的夹角是45°，以点为观测点，点在点的北偏东45°方向。 20．（23-24五年级下·福建莆田·期末）用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图所示（方格中的数字表示该位置小正方体的个数），请你分别画出这个几何体从前面和左面看到的图形。 【答案】见详解 【思路引导】从前面看到三竖列，第一竖列有3个小正方形，第二竖列有1个小正方形，第三竖列有2个小正方形； 从左面看到三竖列，第一竖列有3个小正方形，第二竖列有2个小正方形，第三竖列有1个小正方形。 【规范解答】 【考点剖析】本题考查学生对立体物体分别从前、左、上面观察物体的能力，并能想象物体摆放的位置，发展空间想象力。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $