第二讲 比例（单元讲义）-2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版）学生版+教师版

2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版） 第二讲 比例 （导图+知识精讲+易错点拨+10大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识点01：比例的认识 3 知识点02：比例的应用 3 知识点03：比例尺 3 知识点04：图形的放大和缩小 3 易错点拨 查漏补缺 4 考点讲练 明确目标 4 考点一：比例的意义 4 考点二：比例的基本性质 5 考点三：解比例 7 考点四：比例的应用 8 考点五：比例尺的意义 11 考点六：比例尺应用 12 考点七：图上距离与实际距离的换算 14 考点八：应用比例尺画图 16 考点九：图形的放大与缩小 19 考点十：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 23 易错真题 培优必刷 24 压轴专练 冲刺拔尖 34 培优巩固 拔尖冲刺 44 基础夯实优选题专练 44 培优优选题专练 47 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：比例的认识 1.只有比值相等的两个比才能组成比例。 2.每个比例都有两个内项和两个外项组成，并且两个外项之积等于两个内项之积。用字母表示：如果a:b=c:d或，那么ad=bc。 3.比例与比的联系与区别：比例是一个等式，等号的两端都是比，且比值相等；比表示两个数的相除关系 知识点02：比例的应用 1.根据外项之积等于内项之积的规律可以求比例中的未知项，就是解比例。 2.解比例实际上就是解方程，要做好检验 知识点03：比例尺 1.比例尺不是一把尺子，比例尺是一个比，是图上距离与实际距离的比。 2.按呈现形式，比例尺可以分为：数值比例尺与线段比例尺。 按放缩关系，比例尺可以分为：放大比例尺与缩小比例尺。 3.比例尺的应用 图上距离：实际距离=比例尺或 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 4.应用比例尺解决问题时，图上距离与实际距离的单位要统一。 5.应用比例尺画图，要先标出比例尺，并根据比例尺计算出图上距离后再画图 知识点04：图形的放大和缩小 1.无论是将图形放大还是缩小，虽然图形的大小发生了变化，但是都要保持形状不变。 2.将图形按一定的比放大或缩小，长度变化，角度不变。 3.按一定的比放大或缩小图形，注意将水平方向与垂直方向的线段按同样的比放大或缩小 1. 比例中等号的两侧必须都是一个比。 2. 把等式ax=by改写成比例时，相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项。 3. 根据比例的基本性质解比例时，应该先把比例转化成“两个外项的积=两个内项的积”的形式，再解方程。 4. 图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。 5. 比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。 6. 通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。 7. 把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。 考点一：比例的意义 【精讲题】（23-24六年级下·辽宁辽阳·期末）下面（    ）组中四个数不能组成比例。 A．15∶18和30∶36 B．4∶8和5∶20 C．3、4、8和6 D． ∶和4∶3 【答案】B 【思路点拨】表示两个比相等的式子叫作比例，据此分别求出选项A、B、D中各比的比值，C选项根据比例的基本性质：两个内项积等于外项积，据此判断。 【规范解答】A．15∶18＝，30∶36＝，所以15∶18和30∶36能组成比例； B．4∶8＝0.5，5∶20＝0.25，0.5≠0.25，所以4∶8和5∶20不能组成比例； C．3×8＝24，4×6＝24，24＝24，所以3、4、8和6能组成比例； D．∶＝，4∶3＝，所以∶和4∶3能组成比例。 所以不能组成比例的是4∶8和5∶20。 故答案为：B 【精练题01】（23-24六年级下·陕西宝鸡·期末）用0.4、24、20和组成一个比例：( )。 【答案】24∶20＝0.4∶ 【思路点拨】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，用0.4、24、20和四个数中的最大数与最小数相乘，剩下的两个数相乘，如果它们的积相等，就可以组成比例，否则不可以组成比例。 【规范解答】24＞20＞0.4＞ 24×＝8 20×0.4＝8 积相等，可组成比例： 24∶20＝0.4∶（答案不唯一） 【精练题02】（23-24六年级下·陕西渭南·期末）5∶6和可以组成比例。( ) 【答案】√ 【思路点拨】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，两个比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【规范解答】5∶6 ＝5÷6 ＝ ∶ ＝÷ ＝× ＝ ＝，所以5∶6和可以组成比例，原题说法正确。 故答案为：√ 考点二：比例的基本性质 【精讲题】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试），那么a与b化简后的比是（    ）。 A． B． C．6∶5 D．5∶6 【答案】C 【思路点拨】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。据此可得a∶b＝，再根据比的基本性质化简比即可。 【规范解答】根据比例的基本性质可得： a∶b＝ ＝（×15）∶（×15） ＝12∶10 ＝（12÷2）∶（10÷2） ＝6∶5 则a与b化简后的比是6∶5。 故答案为：C 【精练题01】（23-24六年级下·辽宁辽阳·期末）如果7x＝8y，那么＝( )。 【答案】/ 【思路点拨】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，7、x为比例的外项，8、y为比例的内项，写出比例即可。 【规范解答】因为7x＝8y，所以＝。 【精练题02】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）x的与y的相等（x、y均不为0），则x∶y＝8∶21。( ) 【答案】√ 【思路点拨】x的与y的相等，即x×＝y×，根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此逆推导出甲与乙的比，再化简即可，据此解答。 【规范解答】x×＝y× x∶y ＝∶ ＝（×28）∶（×28） ＝8∶21 x的与y的相等（x、y均不为0），则x∶y＝8∶21。原题干说法正确。 故答案为：√ 考点三：解比例 【精讲题】（2024六年级下·陕西西安·学业考试）解方程。          【答案】x＝39；x＝14 【思路点拨】（1）先利用乘法分配律化简含字母的式子，再把方程左右两边同时除以2.5，求出方程的解； （2）先把比例方程转化为普通方程，要计算的先计算，先把方程左右两边同时减去7，再把方程左右两边同时除以7，求出方程的解。 【规范解答】 解： 解： 【精练题01】（23-24六年级下·广东湛江·期末）根据下列条件列出比例或方程，求未知数x。 两个内项是4和x，两个外项是5和8。 【答案】x＝10 【思路点拨】表示两个比相等的式子叫作比例； 比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积； 根据题意写出比例：5∶4＝x∶8，再根据比例的基本性质解比例，据此解答。 【规范解答】由题可得： 5∶4＝x∶8 解：4x＝5×8 4x＝40 x＝40÷4 x＝10 【精练题02】（23-24六年级下·河南商丘·期末）淘气身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是多少米？（用比例解答） 【答案】15米 【思路点拨】物体的高度和它的影长的比值是一定的。即物体的高度和它的影长成正比例。设这栋楼的高度是x米。淘气身高与影长的比为1.4∶2.1，楼的高度与影长的比为x∶22.5，可列出比例：1.4∶2.1＝x∶22.5。再解比例即可。 【规范解答】解：设这栋楼的高度是x米 1.4∶2.1＝x∶22.5 2.1x＝1.4×22.5 2.1x÷2.1＝31.5÷2.1 x＝31.5÷2.1 x＝15 答：这栋楼的高度是15米。 考点四：比例的应用 【精讲题】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）甲乙两辆车同时从两地相向开出，经过3小时相遇，甲每小时比乙少行36千米，已知甲乙两车的速度之比是5∶7。两地相距( )千米。 【答案】648 【思路点拨】设乙车每小时行驶x千米，甲每小时比乙少行36千米，则甲车每小时行驶（x－36）千米，已知甲乙两车的速度之比是5∶7，即甲车的速度∶乙车的速度＝5∶7；列比例：（x－36）∶x＝5∶7，解比例，求出乙车速度和甲车速度；再根据路程＝速度×时间；分别求出甲车行驶3小时的路程，乙车行驶3小时的路程，再把它们行驶的路程相加，即可解答。 【规范解答】解：设乙车每小时行驶x千米，则甲车每小时行驶（x－36）千米。 （x－36）∶x＝5∶7 （x－36）×7＝5x 7x－36×7＝5x 7x－5x＝252 2x＝252 x＝252÷2 x＝126 甲车速度：126－36＝90（千米） 90×3＋126×3 ＝270＋378 ＝648（千米） 两地相距648千米。 【精练题01】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发、相向而行，出发时他们的速度比是3∶2，他们相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有7千米，那么A、B两地的距离是多少千米？ 【答案】22.5千米 【思路点拨】本题的关键是“相遇后乙走的路程”。由题意知，相遇前甲、乙速度之比为3∶2，相遇时甲、乙分别走了全程的和。相遇后，甲乙速度之比为（3×120%）∶（2×130%）＝18∶13；时间相同，路程比等于速度比，当甲走完剩下路程的时，乙又走完全程的×＝，这时离A还有全程的－＝，也就是7千米，由此可求出全程是多少，把全程看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算解答。 【规范解答】相遇前甲、乙速度之比为3∶2，相遇时甲、乙分别走了全程的和。他们第一次相遇后，甲的速度∶乙的速度 ＝[3×（1＋20%）]∶[2×（1＋30%）] ＝[3×120%]∶[2×130%] ＝3.6∶2.6 ＝（3.6×5）∶（2.6×5） ＝18∶13 7÷（－×） ＝7÷（－） ＝7÷（－） ＝7÷ ＝7× ＝22.5（千米） 答：A、B两地间的距离是22.5千米。 【精练题02】（23-24六年级下·陕西榆林·期末）榆林沙漠国家森林公园是以沙漠森林草地景观和无形的民间风俗——陕北民歌、民俗为主，以人文景观为辅，集回归自然、生态观光、休闲度假为一体的多功能综合性城郊型森林公园。某公司计划去榆林沙漠国家森林公园进行团建，其中男职工与女职工的人数比是2∶5，已知男职工有12人，则女职工有多少人？（用比例解答） 【答案】30人 【思路点拨】将女职工的人数设为未知数，再根据“男职工与女职工的人数比是2∶5”列出比例。将比例改写成一般方程，再将等式两边同时除以2，解出女职工的人数。 【规范解答】解：设女职工有x人。 2∶5＝12∶x               2x＝5×12 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30     答：女职工有30人。 考点五：比例尺的意义 【精讲题】（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个长方形精密零件的长为6.5mm，宽为4mm，在一幅图纸上这个零件的宽为12cm，那么这幅图的比例尺是( )，在这幅图纸上这个零件的长是( )cm。 【答案】 30∶1 19.5 【思路点拨】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，用长方形宽的图上尺寸和实际尺寸，以及进率1cm＝10mm，即可求出这幅图的比例尺。 已知长的实际尺寸，根据图上距离＝实际距离×比例尺，即可求出长的图上尺寸。 【规范解答】12cm∶4mm ＝120mm∶4mm ＝120∶4 ＝（120÷4）∶（4÷4） ＝30∶1 长：6.5×＝195（mm） 195mm＝19.5cm 这幅图的比例尺是30∶1，在这幅图纸上这个零件的长是19.5cm。 【精练题01】（23-24六年级下·辽宁辽阳·期末）一种精密零件的长是5毫米，画在图纸上长是5厘米，这幅图纸的比例尺是( )。 【答案】10∶1 【思路点拨】先换算单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据解答即可。 【规范解答】5厘米∶5毫米 ＝50毫米∶5毫米 ＝50∶5 ＝10∶1 所以这幅图纸的比例尺是10∶1。 【精练题02】（23-24六年级下·山西晋城·期末）把比例尺改写成数值比例尺是( )。如果A，B两地的距离是300km，那么按照这个比例尺画在图上应是( )cm。 【答案】 1∶4000000 7.5 【思路点拨】线段比例尺表示的是图上1cm表示实际距离40km，1km＝100000cm，高级单位化为低级单位乘进率，把单位转化为厘米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算得数值比例尺。 1km＝100000cm，再把300km转化为以cm为单位，高级单位化为低级单位乘进率，根据图上距离＝实际距离比例尺，代入数据计算即可得解。 【规范解答】 数值比例尺1∶4000000 300km＝30000000cm （cm） 按照这个比例尺画在图上应是7.5cm。 考点六：比例尺应用 【精讲题】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）在练习本上画出教室黑板的平面图，采用（    ）比例尺比较合适。 A．1∶4 B．1∶40 C．1∶400 D．1∶4000 【答案】B 【思路点拨】教室里大黑板的长约是4米（400厘米），据此根据每组比例尺分别求出长的图上距离进行选择。 【规范解答】A．比例尺1∶4表示图上1厘米代表实际距离4厘米，则教室黑板长的图上距离是400÷4＝100（厘米），画到纸上太大，不符合练习本的尺寸，这组比例尺不合适； B．比例尺1∶40表示图上1厘米的距离代表实际距离40厘米，则黑板的长的图上距离是400÷40＝10（厘米），符合练习本的尺寸，这组比例尺合适； C．比例尺1∶400表示图上1厘米的距离代表实际距离400厘米，则黑板的长的图上距离是400÷400＝1（厘米），画到纸上太小，这组比例尺不合适； D．比例尺1∶4000表示图上1厘米的距离代表实际距离4000厘米，则黑板的长的图上距离是400÷4000＝0.1（厘米），画到纸上太小，这组比例尺不合适。 故答案为：B 【精练题01】（23-24六年级下·四川成都·期末）在一幅比例尺1∶300的平面图上，量得一间长方形教室的长为3厘米，宽为2厘米。这间教室的实际面积是( )平方米。 【答案】54 【思路点拨】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数值求出这间教室的实际长和宽，再根据长方形的面积公式长方形的面积＝长宽，即可求出这间教室的实际面积。 【规范解答】长： 宽： 实际面积：（平方米） 这间教室的实际面积是54平方米。 【精练题02】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）在一幅比例尺是1∶300000的地图上，量得一块长方形土地的周长是40厘米，长与宽的比是7∶3，按规划，长方形土地面积的25%将种植黄瓜，那么种植黄瓜的面积是多少平方千米？ 【答案】189平方千米 【思路点拨】长方形的周长＝（长＋宽）×2，已知周长计算出长方形长加上宽的和；用长和宽的和乘（）计算出长方形的长；用长和宽的和乘（）计算出长方形的宽；再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，分别计算出长方形实际长、宽；结合长方形的面积＝长×宽，计算出长方形土地的面积，最后根据求一个数的百分之几是多少，用面积乘25%即为种植黄瓜的面积。 【规范解答】40÷2＝20（厘米） 图上的长： （厘米） 图上的宽： （厘米） 实际的长： （厘米） 4200000厘米＝42千米 实际的宽： （厘米） 1800000厘米＝18千米 42×18×25% ＝756×25% ＝189（平方千米） 答：种植黄瓜的面积是189平方千米。 考点七：图上距离与实际距离的换算 【精讲题】（23-24六年级下·河南商丘·期末）在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得甲乙两地高速公路长为4.1厘米。杨叔叔开车从甲地出发，以每小时90千米的速度行驶了1.5小时。为了尽快到达乙地，他在不超速的情况下将速度提高了30%。剩下的路程他1小时能走完吗？ 【答案】能走完 【思路点拨】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出甲乙两地的实际距离。再根据路程＝速度×时间，用90×1.5，求出杨叔叔开车1.5小时行驶的路程；再用甲乙两地的实际距离－杨叔叔开车1.5小时行驶的路程，求出剩下的路程；再把原来杨叔叔开车的速度看作单位“1”，速度提高后的速度是原来速度的（1＋30%），用原来速度×（1＋30%），求出提高后的速度，再根据路程＝速度×时间，求出1小时行驶的路程，再和剩下的路程比较，大于剩下的路程，就能走完；小于剩下的路程，就不能走完，据此解答，注意单位名数的统一。 【规范解答】4.1÷ ＝4.1×6000000 ＝24600000（厘米） 24600000厘米＝246千米 246－90×1.5 ＝246－135 ＝111（千米） 90×（1＋30%）×1 ＝90×1.3×1 ＝117×1 ＝117（千米） 111＜117，剩下的路程他1小时能走完。 答：剩下的路程他1小时能走完。 【精练题01】（23-24六年级下·河南商丘·期末）在比例尺是1∶6000的图纸上量得甲、乙两地相距18厘米，那么在另一张比例尺是1∶90000的图纸上，这两地间的图上距离应是多少厘米？ 【答案】1.2厘米 【思路点拨】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出甲、乙两地的时间距离；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，求出在另一张比例尺两地间的图上距离，据此解答。 【规范解答】18÷ ＝18×6000 ＝108000（厘米） 108000×＝1.2（厘米） 答：这两地间的图上距离是1.2厘米。 【精练题02】（23-24六年级下·河南驻马店·期末）在一幅比例尺为1∶16000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为5厘米，有两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，速度分别是85千米/时和75千米/时。两车经过多长时间相遇？ 【答案】5小时 【思路点拨】已知地图的比例尺以及甲、乙两地的图上距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出甲、乙两地的实际距离； 已知两车的速度，两车的速度相加即是它们的速度和；根据“相遇时间＝路程÷速度和”，即可求出甲车、乙车的相遇时间。 【规范解答】5÷ ＝5×16000000 ＝80000000（厘米） 80000000厘米＝800千米 800÷（85＋75） ＝800÷160 ＝5（小时） 答：两车经过5小时相遇。 考点八：应用比例尺画图 【精讲题】（23-24六年级下·广东深圳·期中）为了推进体育强国建设，增强青少年体质，深圳市某小学新建一个长50m，宽20m的恒温游泳池选用比例尺（    ）画出来的平面图面积最大。 A．1∶1000 B．1∶1500 C．1∶500 D．1∶100 【答案】D 【思路点拨】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”可知，实际距离相同时，比例尺越大，而图上距离越大；即图上游泳池长、宽的尺寸越大，面积就越大；据此先将四个选项中比例尺改写成分数形式，再根据分数大小的比较方法“分子相同时，分母越小的，分数越大”进行比较，即可得解。 【规范解答】A．1∶1000＝ B．1∶1500＝ C．1∶500＝ D．1∶100＝ ＞＞＞ 所以，选用比例尺1∶100画出来的平面图面积最大。 故答案为：D 【精练题01】（23-24六年级下·广东深圳·期中）智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理。某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图。 （1）已知出发点到A户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？ （2）B户在出发点的东偏北60°方向，距离出发点的实际距离是多少米？ （3）机器人现在要给D户配送快递，D户位于出发点东偏南45°方向400米处，请在上图中画出D户的位置。 【答案】（1）1∶10000 （2）200米 （3）见详解 【思路点拨】（1）先从图上量出A点到出发点的图上距离，再根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，求出这幅图的比例尺。注意单位的换算：1米＝100厘米。 （2）先从图上量出B点距离出发点的图上距离，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出B户距离出发点的实际距离，再根据进率“1米＝100厘米”换算单位即可。 （3）已知D户位于出发点东偏南45°方向400米处，先把400米换算成40000厘米，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出D户距离出发点的图上距离。 以图上的“上北下南，左西右东”为准，以出发点为观测点，根据方向、角度和距离在图中画出D户的位置。 【规范解答】（1）量得A点到出发点的图上距离是3厘米。（以实际测量为准） 3厘米∶300米 ＝3厘米∶（300×100）厘米 ＝3∶30000 ＝（3÷3）∶（30000÷3） ＝1∶10000 答：这幅图的比例尺是1∶10000。 （2）量得B点距离出发点的图上距离是2厘米。（以实际测量为准） 2÷ ＝2×10000 ＝20000（厘米） 2000厘米＝200米 答：B点距离出发点的实际距离是200米。 （3）400米＝40000厘米 40000×＝4（厘米） 如图： 【精练题02】（22-23六年级下·安徽阜阳·期末）在如图的平面图上标出少年宫和邮局的位置。 （1）少年宫在学校的东偏北30°方向上，距离学校600米。 （2）邮局在学校的南偏西45°方向上，距离学校400米。 【答案】（1）（2）见详解 【思路点拨】）（1）以学校为参照点建立方向标，少年宫在以正东偏北的位置，以学校向东为角的始边，向北转30°的画一条射线，1个单位长度是200米，600÷200＝3（个），3个单位长度是600米，所以射线长度为3厘米，据此解答。 （2）以学校为参照点建立方向标，邮电局在以正南偏西方向，以学校向南为角的始边，向西转45°的画一条射线，1个单位长度是200米，400÷200＝2（个），2个单位长度是400米，所以射线长度为2厘米，据此解答。 【规范解答】少年宫在学校的东偏北30°方向上，距离学校600米，邮局在学校的南偏西45°方向上，距离学校400米。（见图示） 考点九：图形的放大与缩小 【精讲题】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）按要求作图。（图中1小格表示1平方厘米） （1）画出三角形以AB所在的直线为对称轴的对称图形，并求出这个轴对称图形的面积为（    ）平方厘米。 （2）图形中点C的位置用数对表示是（    ）。如果点A在点C的西偏北a°的方向上，那么点C在点A的（    ）偏（    ）（    ）°的方向上。 （3）画出将这个轴对称图形绕点C按顺时针方向旋转90°后的图形。 （4）画出轴对称图形按1∶2的比缩小后的图形。 （5）如果AB的实际长为15米，那么这幅平面图的比例尺是（            ）。 【答案】（1）图见详解；6 （2）（8，5）；东；南；a （3）图见详解； （4）图见详解； （5）1∶500 【思路点拨】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到三角形ABC的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点得到轴对称图形。 这个轴对称图形是一个底为4厘米、高为3厘米的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出它的面积。 （2）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点C的位置。 点A在点C的西偏北a°的方向上，是以点C为观测点；那么点C在点A的方向，是以点A为观测点；观测点不同，方向相反，夹角的度数相同，距离相同；据此解答。 （3）根据旋转的特征，将轴对称图形绕点C按顺时针方向旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （4）图中轴对称图形是一个底为4厘米、高为3厘米的三角形，按1∶2缩小，原来三角形的底和高都除以2，即是缩小后三角形的底和高，据此画出缩小后的三角形。 （5）图中AB长3厘米，如果AB的实际长为15米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1米＝100厘米”，即可算出这幅平面图的比例尺。 【规范解答】（1）轴对称图形见下图。 4×3÷2＝6（平方厘米） 这个轴对称图形的面积为6平方厘米。 （2）图形中点C的位置用数对表示是（8，5）。 如果点A在点C的西偏北a°的方向上，那么点C在点A的东偏南a°的方向上。 （3）轴对称图形绕点C按顺时针方向旋转90°后的图形见下图。 （4）缩小后三角形的底：4÷2＝2（厘米） 缩小后三角形的高：3÷2＝1.5（厘米） 轴对称图形按1∶2的比缩小后的图形见下图。 （5）3厘米∶15米 ＝3厘米∶（15×100）厘米 ＝3∶1500 ＝（3÷3）∶（1500÷3） ＝1∶500 如果AB的实际长为15米，那么这幅平面图的比例尺是1∶500。 如图： 【精练题01】（23-24六年级下·陕西西安·期末）画出下图长方形按1∶2缩小后得到的图形。 【答案】见详解 【思路点拨】从图中可知，原来长方形的长是6、宽是4，按1∶2缩小，则原来长方形的长、宽都除以2，即是缩小后长方形的长、宽，据此画出缩小后的长方形。 【规范解答】缩小后长方形的长：6÷2＝3 缩小后长方形的宽：4÷2＝2 如图： 【精练题02】（23-24六年级下·浙江金华·期末）按要求操作。 （1）已知图中A点的位置是（3，9），那么B点位置是（    ）。 （2）将图①先向左平移2格，再向下平移4格后得到图②。 （3）以直线L为对称轴，作图①的轴对称图形，得到图③。 （4）将图①绕点C逆时针旋转90°，得到图④。 （5）在图中空白处，画出图①按2∶1的比例放大后得到的图⑤。 【答案】（1）（5，5） （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解 （5）见详解 【思路点拨】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示B点的位置。 （2）根据平移的特征，把图①的各顶点分别先向左平移2格，再向下平移4格，依次连接即可得到平移后的图形②。 （3）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图①的各顶点关于对称轴L的对称点后，依次连接各点得到图形③。 （4）根据旋转的特征，将图①绕点C逆时针旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形④。 （5）图①是一个底为2、高为4的三角形，按2∶1的比例放大，即图①的底和高都要乘2，求出放大后三角形的底和高，据此画出放大后的三角形。 【规范解答】（1）已知图中A点的位置是（3，9），那么B点位置是（5，5）。 （2）图①先向左平移2格，再向下平移4格后得到图②，如下图。 （3）以直线L为对称轴，作图①的轴对称图形，得到图③，如下图。 （4）将图①绕点C逆时针旋转90°，得到图④，如下图。 （5）放大后三角形的底是：2×2＝4 放大后三角形的高是：4×2＝8 图①按2∶1的比例放大后得到的图⑤，如下图。 考点十：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【精讲题】（23-24六年级下·山西吕梁·期中）把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，正确的说法是（    ）。 A．面积扩大原来的4倍 B．面积扩大到原来的2倍 C．面积缩小到原来的4倍 D．周长扩大到原来的4倍 【答案】A 【思路点拨】把一个图形按n∶1变化后，得到的图形与原图形比较，对应边扩大到原来的n倍，周长扩大也扩大到原来的n倍，但是面积扩大到原来的n2倍。 【规范解答】把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。 故答案为：A 【精练题01】（22-23六年级下·广东揭阳·期中）把一个三角形按2∶1的比放大后，周长和面积都扩大到原来的2倍。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据题意，把一个三角形按2∶1的比放大，那么三角形的三条边都乘2，三角形的底和高也乘2。 根据三角形的周长等于三条边的长度之和，可知三角形的周长扩大到原来的2倍。三角形的面积＝底×高÷2，根据积的变化规律可知，三角形的面积扩大到原来的（2×2＝4）倍。 【规范解答】把一个三角形按2∶1的比放大后，周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。 故答案为：× 【精练题02】（22-23六年级下·广东茂名·期中）一个长方形按5∶1放大后 ，它的周长和面积都扩大了5倍。( ) 【答案】× 【思路点拨】设原来长方形的长是2厘米，宽是1厘米，则放大后的长是（2×5）厘米，宽是（1×5）厘米。长方形面积＝长×宽，把数据代入算出原来长方形的面积和放大后的长方形面积，再算出面积比。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入算出原来长方形的周长和放大后的长方形周长，再算出周长比。 【规范解答】2×5＝10（厘米） 1×5＝5（厘米） （10×5）÷（2×1） ＝50÷2 ＝25 [（10＋5）×2]÷[（2＋1）×2] ＝[15×2]÷[3×2] ＝30÷6 ＝5 一个长方形按5∶1放大后 ，它的周长扩大到原来的5倍，面积扩大到原来的25倍。 故答案为：× 1．（2024•岳阳）北京市轨道交通6号线全长，现需要将其画在长、宽的长方形纸上，你认为选哪个比例尺最合适　　 A． B． C． D． 【思路点拨】依据题意可知，把看作，利用比例尺图上距离实际距离，计算比例尺的大小，由此解答本题。 【规范解答】解：把看作，，比例尺为：。 答：比例尺是。 故选：。 【考点评析】本题考查的是比例尺的应用。 2．（2024•渝中区）聪聪的笔记本电池条会显示剩余电量的比例。聪聪使用笔记本电脑4小时20分钟后，电量从变为。如果聪聪再使用笔记本电脑130分钟，电池条会显示　　 A． B． C． D． 【思路点拨】依据题意可知，使用笔记本电脑4小时20分钟后，电脑电量从10格变成6格，由此计算电量用1格需要多少时间，然后计算使用130分钟，用掉多少格电量。 【规范解答】解：4小时20分钟分 （格 （分格） （格 （格 答：电池条会显示4格。 故选：。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中数量关系。 3．（2024•通州区）摄影师把一张照片按的比放大，放大后照片的面积是原来照片的　　 A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【思路点拨】依据题意可知，照片是长方形的，利用长方形的面积长宽，结合题中数据计算即可。 【规范解答】解：，摄影师把一张照片按的比放大，放大后照片的面积是原来照片的4倍。 故选：。 【考点评析】本题考查的是图形的放大的应用。 4．（2024•霞浦县）上午在操场上，小红测得50厘米的一根木棒影长是25厘米，同时，小刚测得旗杆的影长是4.5米，那么学校旗杆的高度是 　9　米． 【思路点拨】根据在同时、同一地点，影长与实际长度的比值一定，由此判断物体的影长与实际高度成正比例，由此列出比例解决问题． 【规范解答】解：设学校旗杆的高度是米， ， ， ， ； 答：学校旗杆的高度是9米， 故答案为：9． 【考点评析】解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可． 5．（2024•吉阳区）把比例尺改写成数字比例尺是　　或　　；在这幅图上有一块长方形地，长3.5厘米，宽2厘米，实际面积是　　平方米． 【思路点拨】（1）依据比例尺的意义，即图上距离与实际距离的比即为比例尺，即可求解． （2）先根据图上距离比例尺实际距离求出实际长和宽，再求出实际面积即可． 【规范解答】解：比例尺表示图上距离1厘米代表实际距离30米， 改写成数字比例尺是：1厘米：30米 厘米：3000厘米 （厘米） 10500厘米米 （厘米） 6000厘米米 （平方米） 故答案为：，，6300． 【考点评析】此题主要考查比例尺的意义，解答时要注意单位的换算． 6． （2024•迁安市）一幅地图的比例尺是，把它改成线段比例尺是　 　，已知甲乙两地的实际距离是240千米，画在这幅地图上长是　　厘米． 【思路点拨】（1）4000000厘米千米，由题意可知图上的1厘米表示实际距离是40千米，然后画出线段比例尺； （2）用求出图上距离即可． 【规范解答】解：（1）4000000厘米千米， 由题意可知图上的1厘米表示实际的40千米得出线段比例尺： （2）（厘米）， 答：在这幅地图上长是6厘米． 故答案为：，6． 【考点评析】此题主要考查线段比例尺与数字比例尺的改写以及图上距离、实际距离和比例尺的关系． 7．（2024•鸡西）在比例中，如果将第一个比的后项增加30，第二个比的后项应该加上 　18　才能使比例成立。 【思路点拨】在比例中，若第一个比的后项增加30，由10变成40，这样两内项的积就成了，根据比例的性质，两外项的积也得是840，再用840除以前一个比的前项35即得后一个比的后项，进而求出第二个比的后项应加上几即可． 【规范解答】解：比例中，若第一个比的后项增加30，由10变成40， 这样两内项的积就成了， 第二个比的后项应是：， 第二个比的后项应加上：； 故答案为：18． 【考点评析】此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积． 8．（2024•沁阳市）如果、均不为，那么。 　　（判断对错） 【思路点拨】依据题意可知，，由此解答本题。 【规范解答】解：，即，，本题说法不正确。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是比例的应用。 9．（2024•蒲城县）5、6、8和12可以组成比例。 　　（判断对错） 【思路点拨】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质，这四个数中最大的数与最小的数的乘积等于另外两个数的乘积，这四个数成比例，否则不成比例，由此解答本题即可。 【规范解答】解： ，5、6、8和12不可以组成比例，本题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是比例的基本性质的应用。 10．（2023秋•广平县期末）解比例。 【思路点拨】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 （1）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以2，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以3，求出方程的解； （3）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （4）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以12.1，求出方程的解。 【规范解答】解： 【考点评析】本题考查的是解比例的应用。 11．（2024•阳新县）在一幅比例尺是的地图上量得亮亮家到奶奶家的距离是10.5厘米，如果他们自驾去奶奶家，以80千米时的平均速度行驶，中午能赶上吃午饭吗？ 【思路点拨】图上距离和比例尺已知，先依据“实际距离图上距离比例尺”求出两地的实际距离，再据数量关系“路程速度时间”即可求出汽车到达上海需要的时间，进而推算出到达的时间得解。 【规范解答】解： （厘米） （千米） （小时） 5.25小时小时15分 7时时15分时15分，超过了。 答：中午不能赶上午饭。 【考点评析】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺的关系，依据行程问题中的基本数量关系“路程速度时间”，关键是先求出两地的实际距离。 12．（2024•丰台区）丰台游泳馆位于丰台体育中心东北部，占地0.9公顷，建筑面积5283平方米。馆内设有两个标准泳池，泳池长50米，宽25米。泳池底部有一定的倾斜度，泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.5米深的深水区。 ①军军画了一张游泳池的示意图（如图），这张泳池示意图的比例尺是多少？ ②如何求其中一个游泳池最多能装多少水呢？同学们通过交流讨论，互相启发，找到了解决这一问题的不同思路。 请你选择其中一种思路或自己想办法解决这个问题。 【思路点拨】（1）利用图上距离：实际距离比例尺，结合题中数据计算即可； （2）一个游泳池装水的体积等于长50米，宽25米，高米的长方体体积的一半，由此解答本题。（计算方法不唯一） 【规范解答】解：（1）50米厘米， 答：这张泳池示意图的比例尺是。 （2） （立方米） 答：其中一个游泳池最多能装1687.5立方米水。 【考点评析】本题考查的是比例尺以及长方体体积公式的应用。 13．（2024春•凉州区期中）在实验小学新校区的规划图上，长方形操场的长是28厘米，宽是22厘米。如果规划图的比例尺是，这个操场实际占地是多少平方米？在操场的四周建造围栏，每米需要12元，建造围栏需要多少钱？ 【思路点拨】实际距离图上距离比例尺，据此算出操场的实际长和宽，度量操场的长、宽，用米作单位比较合适，故将单位换算为米，再用长乘宽计算出操场的实际面积。在操场的四周建造围栏，围栏长度等于长方形的周长，长方形的周长（长宽），围栏长度乘每米围栏的价格，即可算出建造围栏需要多少钱。 【规范解答】解： （厘米） 11200厘米米 （厘米） 8800厘米米 （平方米） （元 答：这个操场实际占地是9856平方米，建造围栏需要4800元。 【考点评析】本题考查的是比例尺的应用。 14．（2024•平果市）百色是中国革命老区，位于广西壮族自治区西部，右江上游，全市共辖12个县（区，全市总面积36252 　平方千米　；据统计，截至2023年末，全市户籍人口有4226200人；2023年全市生产总值达到172910000000元。 ①在题中横线里填上合适的计量单位。 ②4226200读作 　　，把它改写成以“万”为单位的数是 　　。 ③172910000000省略“亿”后面的尾数约是 　　。 ④在一幅比例尺为的地图上，量得百色到南宁的距离大约是2.43厘米，两地实际相距大约 　　千米。 【思路点拨】①全市总面积以“平方千米”作单位； ②亿以内数的读法（含有两级的数的读法）：读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。例如：；先读万级，再读个级；万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。 把它改写成以“万”为单位的数：先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。 ③省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字，由此解答本题； ④实际距离图上距离比例尺，由此列式计算。 【规范解答】解：①全市总面积36252平方千米； ②4226200读作：四百二十二万六千二百，把它改写成以“万”为单位的数是422.62万。 ③172910000000省略“亿”后面的尾数约是1729亿。 ④（厘米） 24300000厘米千米 答：两地实际相距大约243千米。 故答案为：①平方千米；②四百二十二万六千二百，422.62万；③1729亿；④243。 【考点评析】本题考查的是亿以内数的读写以及大数的近似，比例尺的应用。 15．（2024春•姜堰区期中）如图所示是某街区的平面示意图。（测量图上长度，厘米数精确到一位小数） （1）人民商场在中心广场的 　北偏东　方向 　　千米处。 （2）幸福小学在中心广场北偏东方向2千米处，请在图中画出幸福小学的位置。 （3）在中心广场正南方向2.5千米处，有一条淮海路与人民路垂直，请在图中表示出来。 （4）小红的爸爸乘出租车从人民商场出发，经中心广场到汽车站，要付多少元车费？ 出租车价格表 里程 3千米以内 3千米以上的每千米（不足1千米按1千米计算） 价格 8元 2.4元 【思路点拨】（1）（2）（3）依据图示可知，图上1厘米代表实际距离1千米，由此计算出人民商场与广场的实际距离，幸福小学与中心广场的图上距离，然后利用平面图上方向规定：上北下南左西右东，依据题意结合图示去解答。 （4）要付费的钱数千米以内钱数超出3千米以内的钱数，由此列式计算即可。 【规范解答】解：（1）量出人民商场与中心广场的图上距离是2厘米，则实际距离：（千米），人民商场在中心广场的北偏东方向2千米处。 （2） 幸福小学与中心广场的图上距离：（厘米），如图： （3） 淮海路与中心广场的图上距离：（厘米），如图： ； （4）量得中心广场与汽车站的图上距离是3厘米，则实际距离：（千米） （千米） （元 答：要付12.8元车费。 故答案为：北偏东，2。 【考点评析】本题考查的是根据方向和距离确定物体位置以及分段计费的应用。 16．（2022•南开区）如图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】通过观察图形可知，长方形的宽等于圆的半径，根据圆的周长公式：，那么，据此求出半径，根据圆的面积公式：，长方形的面积公式：，那么，据此求出长方形的长，然后根据长方形的周长公式：，由此可知，阴影部分的周长等于长方形的两条长加上圆周长的四分之一，把圆的周长看作单位“1”，把圆的周长平均分成4份，则阴影部分的周长相当于份，再根据比的意义解答即可。 【规范解答】解：假设圆的周长是12.56厘米， 圆的半径：（厘米） 圆的面积： （平方厘米） 长方形的长：（厘米） 阴影部分的周长： （厘米） 阴影部分的周长与圆的周长的比是： 答：阴影部分的周长与圆的周长的比是。 故选：。 【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式、周长公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。 17．（2022•南开区）一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是。这个比例式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设一个外项是，则另一个外项是，根据两个外项的和是16，列方程求出两个外项；再分两种情况：①当第一个外项是4，第二个外项是12时，②当第一个外项是12，第二个外项是4时，分别求出两内项，写出比例式即可。 【规范解答】解：设一个外项是，则另一个外项是，根据题意列方程 另一个外项是： ①当第一个外项是4，第二个外项是12时， 因为两个比的比值是， 所以第一个内项是： 第二个内项是： 所以这个比例式是： ②当第一个外项是12，第二个外项是4时， 因为两个比的比值是， 所以第一个内项是： 第二个内项是： 所以这个比例式是： 故选：。 【考点评析】本题主要考查了比的意义和基本性质，解题的关键是求出比例式的外项。 18．（2023秋•曲阳县期末）根据，不能写成比例的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫比例的基本性质。 【规范解答】解：，则，符合题意； ，则，不符合题意； ，则，不符合题意； ，则，不符合题意。 故选：。 【考点评析】本题考查了比例的基本性质。 19．（2024春•蕉岭县期中）两个完全一样的水桶要装满水，淘气、笑笑分别用大杯和小杯舀水，每次都将水杯盛满．第一桶用12大杯和25小杯正好装满，第二桶用20大杯和15小杯也正好装满．大杯和小杯的容积之比是　　． 【思路点拨】将大杯的容积设为，小杯的容积设为，根据题意可以得出，然后根据等式的基本性质可以得出，所以． 【规范解答】解：设大杯的容积为，小杯的容积为； 根据题意可以得出： ； 那么：； 答：大杯和小杯的容积之比是． 故答案为：． 【考点评析】本题关键是设出未知数，根据等量关系列出方程，然后再根据比例的基本性质进行解答． 20．（2021春•新沂市期中）在一幅比例尺是的地图上量的两地长6厘米，两地的实际距离是　120　千米，把两地画在第二幅地图上，长12厘米，第二幅地图的比例尺是　　，两地长240千米，画在第二幅地图上长　　厘米． 【思路点拨】根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值即可求两地间的实际距离，根据比例尺图上距离实际距离，代入数值计算出第二幅地图的比例尺，进而根据“实际距离比例尺图上距离”即可解答第三问． 【规范解答】解：（厘米） 12000000厘米千米 240千米厘米 （厘米） 答：两地的实际距离是120千米，第二幅地图的比例尺是，两地长240千米，画在第二幅地图上长24厘米． 故答案为：120，，24． 【考点评析】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．要注意单位的统一． 21．（2020•榕城区）在比例尺为 地图上，图上半圆周长为，实际面积为　6.28　米 【思路点拨】半圆的周长等于圆的周长的一半再加直径，设圆的半径为，已知“图上半圆的周长是5.14厘米”即可求出图上圆的半径，再除以比例尺，即可求出实际半圆的半径，从而根据圆的面积可以求出这个半圆的面积． 【规范解答】解：设圆的半径为厘米， 则 （厘米） 200厘米米 半圆的面积： （平方米） 答：实际面积为 6.28米． 故答案为：6.28． 【考点评析】解答此题的关键是明白：半圆的周长等于圆的周长的一半再加直径，由此可以求出图上半径的长度，再根据实际距离图上距离比例尺，求出实际半圆的半径，进而求其面积． 22．如果，那么．　　（判断对错） 【思路点拨】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数除外），比值不变． 【规范解答】解：根据比的基本性质： ，与题目中不符， 故答案为： 【考点评析】解决此题目的关键是熟练掌握比的基本性质． 23．（2024春•武威期中）一种精密零件长2.6毫米，画在图纸上长26厘米。这张精密零件图纸的比例尺就是。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据比例尺图上距离：实际距离，代入数据统一单位计算即可。 【规范解答】解：26厘米：2.6毫米 毫米：2.6毫米 所以这张精密零件图纸的比例尺。 原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】熟练掌握比例尺的意义是解题的关键。 24．（2017秋•馆陶县月考）解比例． ． 【思路点拨】（1）根据比例的基本性质可得，再利用等式的性质两边同时除以32即可； （2）根据比例的基本性质可得，再利用等式的性质两边同时乘6即可； （3）根据比例的基本性质可得，再约分即可． 【规范解答】解：（1） （2） （3） 【考点评析】此题主要考查等式的性质和比例的基本性质的灵活应用． 25．（2023春•永吉县期中）学校要挖一个长方体的水池，在比例尺是的设计图上，水池的长为12厘米，宽为10厘米，深为2厘米． （1）按图上施工，这个水池的长、宽、高各应挖多少米？ （2）这个水池的占地面积是多少平方米？ 【思路点拨】（1）图上距离和比例尺已知，依据“实际距离图上距离比例尺”即可分别求出水池的长、宽、深的实际长度； （2）利用长方形的面积公式，用水池的实际的长和宽的长度相乘，即可得解． 【规范解答】解：（1）（厘米）（米 （厘米）（米 （厘米）（米 答：按图施工，这个水池的长应挖24米，宽应挖20米，深应挖4米． （2）（平方米）； 答：这个水池的占地面积是480平方米． 【考点评析】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及长方形的面积的计算方法． 26．（2023•滨城区）在比例尺是的地图上，量得甲乙两地相距20厘米。两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出。已知从甲地开出的火车每小时行135千米，从乙地开出的火车每小时行115千米，几小时后两车能相遇？ 【思路点拨】要求几小时后两车相遇，先要求出甲、乙两地的路程，根据“实际距离图上距离比例尺”代入数据，求出路程；然后根据“路程速度之和相遇时间”，代入数剧，列式解答即可解决问题。 【规范解答】解：（厘米） 80000000厘米千米 （小时） 答：3.2小时后两车能相遇。 【考点评析】此类题的做题关键是：根据“实际距离图上距离比例尺”，求出路程；然后根据“路程速度之和相遇时间，列式解答即可解决问题。 27．（2013春•武威校级期末）在比例尺是的地图上量得甲、乙两地间的距离是6厘米，如果甲乙两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行驶48千米，乙车每小时行驶52千米，几小时两车相遇？ 【思路点拨】根据图上距离比例尺实际距离，列式求得、两地的实际距离，再根据路程速度和相遇时间，列式解答即可． 【规范解答】解：（厘米）， 30000000厘米千米， （小时）； 答：3小时两车相遇． 【考点评析】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系及速度，路程与时间的数量关系． 28．（2023•西乡县）在比例尺是的地图上，量的两个城市之间的铁路长是30厘米，甲乙两列火车同时从两地出发相对开出，2小时相遇，已知甲车和乙车速度的比是，甲车每小时行多少千米？ 【思路点拨】根据“实际距离图上距离比例尺”，即可求得两地的实际距离，再除以相遇时间求得两辆车的速度和，进而利用按比例分配的方法求出甲车每小时行的千米数。 【规范解答】解：两地的实际距离： （厘米） 60000000厘米千米 两辆车的速度和：（千米） 甲车的时速： （千米） 答：甲车每小时行180千米。 【考点评析】此题主要考查比例尺、图上距离和实际距离之间的关系，也考查了简单的行程问题和按比例分配的问题。 29．（2024春•新建区期末）公园健身场是一个长方形，把健身场的长和宽分别缩小到原数的后，如图． （1）请算出这个健身场的实际长和宽． （2）它的实际占地面积是多少平方米？ 【思路点拨】（1）根据实际距离图上距离比例尺，可代入数据分别求出实际的长和宽； （2）用实际的长乘实际的宽可求出实际的占地面积．据此解答． 【规范解答】解：（1）（米 （米 答：这个健身场的实际长是50米，宽是20米． （2）（平方米） 答：它的实际占地面积是1000平方米． 【考点评析】本题重点考查了学生对实际距离图上距离比例尺和长方形面积公式的掌握． 30．（2023•播州区）作图题。每一小格正方形代表1平方厘米。 （1）三角形的面积是 　3　平方厘米。 （2）画一个长方形，使长方形的面积是三角形面积的4倍。 （3）画出把长方形按的比缩小后的图形。 （4）缩小后的图形与原来长方形的面积比是 　　。 【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据长方形的面积长宽，已知长方形的面积确定长、宽，再根据长方形的画法画出这个长方形。（答案不唯一） （3）根据图形缩小的方法，先分别求出缩小2倍后，长、宽各是多少，据此作图即可。 （4）根据长方形的面积长宽，求出缩小后的长方形的面积，然后根据比的意义解答。 【规范解答】解：（1）（平方厘米） 答：三角形的面积是3平方厘米。 （2）（平方厘米） 可以画一个长是6厘米，宽是2厘米的长方形（答案不唯一），作图如下： （3）（厘米） （厘米） 作图如下： （4）（平方厘米） 答：缩小后的图形与原来长方形的面积比是。 故答案为：3；。 【考点评析】此题主要考查三角形、长方形面积公式的灵活运用，图形缩小的方法及应用，比的意义及应用。 31．（2024春•揭东区期中）在比例尺是的长方形操场平面图上，量得操场的长度是，宽是，如果这个操场按划出篮球区和排球区，你知道排球区的面积是多少吗？ 【思路点拨】根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值分别计算出操场实际的长和宽，然后根据“长方形的面积长宽”，代入数值计算可求得操场的实际面积，由于即可这个操场按划出篮球区和排球区，所以排球区的面积是操场实际面积的，用操场实际面积就是排球区的面积；据此解答． 【规范解答】解：（厘米） 15000厘米米 （厘米） 12000厘米米 （平方米） （平方米） 答：排球区的面积是8000平方米． 【考点评析】解答此题用到的知识点：（1）图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系；（2）长方形的面积计算方法． 32．（2022春•美兰区校级期中）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离是20厘米，如果在另一幅图上，甲乙两地的距离是10厘米，另一幅地图的比例尺是多少？ 【思路点拨】根据“比例尺是的地图上量得甲乙两地相距”，求出甲、乙两地的实际距离；再根据比例尺的意义知道，用图上距离比实际距离就是该图的比例尺． 【规范解答】解：甲、乙两地的实际距离：， 另一幅地图的比例尺是：； 答：另一幅地图的比例尺是． 【考点评析】解答此题的关键是根据甲、乙两地的实际距离不变，再根据比例尺、图上距离与实际距离的关系，解决问题． 基础夯实优选题专练 1．（23-24六年级下·陕西榆林·期末）已知，且x、y均不为0，则xy的值是（    ）。 A．7 B． C． D．12 【答案】D 【思路点拨】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积，xy的值等于3和4的积，据此解答。 【规范解答】xy＝3×4＝12 xy的值是12。 故答案为：D 2．（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）把一个图形按4∶1扩大后，周长的变化是（    ） A．扩大到原来的4倍。 B．扩大到原来的16倍。 C．缩小到原来的。 D．周长不变。 【答案】A 【思路点拨】根据比的意义，把原来图形周长看作1份数，那么放大后的图形的周长就为4份数，例如边长为1的正方形周长为4，放大后边长为4，正方形周长为16，也就是扩大到原来的4倍。 【规范解答】根据分析，把一个图形按4∶1放大后，周长扩大到原来的4倍。 故答案为：A 3．（23-24六年级下·广东深圳·期中）市政府要建一个长600m，宽400m的长方形广场，将广场设计图画在一张长20cm、宽16cm的长方形纸上，选用下列比例尺（    ）比较合适。 A．1∶2500 B．1∶3000 C．1∶4000 D．1∶4000000 【答案】C 【思路点拨】根据图上距离＝实际距离×比例尺，分别计算出按照各个比例尺画的图上长度，选择合适的即可。 【规范解答】600m＝60000cm，400m＝40000cm A．长：60000×＝24（cm），宽：40000×＝160（cm），24＞20，16＝16，不合适； B．长：60000×＝20（cm），宽：40000×＝（cm），20＝20，＜16，但是不是整数，不合适； C．长：60000×＝15（cm），宽：40000×＝10（cm），15＜20，10＜16，合适； D．长：60000×＝0.015（cm），宽：40000×＝0.01（cm），0.015与0.01过于小，不合适。 故答案为：C 4．（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）在比例尺为1∶2000000的地图中，量得A、B两地的距离是10cm。那么A、B两地的实际距离是( )km。 【答案】200 【思路点拨】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可求出A、B两地的实际距离，注意单位名数的换算。 【规范解答】10÷ ＝10×2000000 ＝20000000（cm） 20000000cm＝200km A、B两地的实际距离是200km。 5．（23-24六年级下·辽宁锦州·期末）在一幅地图上，用5厘米表示实际距离800米，这幅地图的比例尺是( )。 【答案】1∶16000 【思路点拨】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算即可解答。 【规范解答】800米＝80000厘米 5厘米∶800米 ＝5厘米∶80000厘米 ＝1∶16000 即这幅地图的比例尺是1∶16000。 6．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）在一张小明和爸爸的合照上，爸爸在照片上的身高是5.4厘米，小明的身高是4.2厘米。小明知道自己的实际身高是1.4米，爸爸的实际身高是( )米。 【答案】1.8 【思路点拨】5.4厘米＝0.054米，4.2厘米＝0.042米，根据题意可设爸爸实际身高是x米，列比例为0.054∶x＝0.042∶1.4，然后解出比例即可。 【规范解答】解：设爸爸实际身高是x米。 0.054∶x＝0.042∶1.4 0.042x＝0.054×1.4 0.042x＝0.0756 0.042x÷0.042＝0.0756÷0.042 x＝1.8 所以，爸爸的实际身高是1.8米。 7．（23-24六年级下·广东茂名·期中）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比的基本性质。( ) 【答案】√ 【规范解答】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比的基本性质。 如：比例2∶3＝4∶6，外项之积为2×6＝12，内项之积为3×4＝12。原题说法正确； 故答案为：√ 8．（23-24六年级下·陕西榆林·期中）在比例中，如果两个内项的积是10，那么两个外项的积也一定是10。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积，解答即可。 【规范解答】由分析可得：在比例中，如果两个内项的积是10，那么两个外项的积也一定是10，原题说法正确。 故答案为：√ 9．（23-24六年级下·广西贺州·期末）2023年9月28日，我国首条设计时速为350千米/小时的跨海高铁——福厦高铁正式开通运营。福厦高铁北起福州，南至厦门和漳州，全长277千米，是我国“八纵八横”高速铁路网中沿海通道的重要组成部分。若把这条跨海高铁画在比例尺是1∶5000000的地图上，应画多少厘米？ 【答案】5.54厘米 【思路点拨】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【规范解答】277千米＝27700000厘米 27700000×＝5.54（厘米） 答：应画5.54厘米。 10．（23-24六年级下·陕西西安·期中）一辆货车油箱里储油105升。货车行驶了56千米正好耗油8升。照这样计算，这箱油一共能使货车行驶多少千米？（用比例解答） 【答案】735千米 【思路点拨】根据题意，行驶距离与耗油的升数成正比例关系，据此我们可以设这箱油一共能使货车行驶千米，然后列出比例：56∶8＝∶105，求出未知数。 【规范解答】解：设这箱油一共能使货车行驶千米。 56∶8＝∶105 8＝56×105 8÷8＝5880÷8 ＝735 答：这箱油一共能使货车行驶735千米。 培优优选题专练 11．（2024·四川成都·小升初真题）一个微型零件长4mm，按80∶1的比画在图纸上，在图纸上的长度是（    ）cm。 A．0.32 B．3.2 C．32 D．320 【答案】C 【思路点拨】根据图上距离＝实际距离×比例尺，可以计算出在图纸上的长度是多少毫米，最后把计算结果换算成用厘米作单位的数，即可解决本题。 【规范解答】“微型零件长4mm，按80∶1的比画在图纸上”可知： 图上距离为：4×＝4×80＝320（mm） 320mm＝32cm 故答案为：C 12．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）下面两个圆柱的体积相等，请根据提供的信息写出比例，符合题意的比例是（    ）。       A．31.4∶S＝10∶h B．31.4∶10＝h∶S C．31.4∶h＝10∶S D．h∶10＝31.4∶S 【答案】A 【思路点拨】已知两个圆柱的体积相等，根据提供的信息可得出S×10＝31.4×h；然后运用比例的基本性质把各选项中的比例式改写成两数相乘的形式，再与S×10＝31.4×h进行比较，写法一致的就是符合题意的比例。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 【规范解答】由两个圆柱的体积相等，可得：S×10＝31.4×h； A．31.4∶S＝10∶h，则S×10＝31.4×h，符合题意； B．31.4∶10＝h∶S，则10×h＝31.4×S，不符合题意； C．31.4∶h＝10∶S，则10×h＝31.4×S，不符合题意； D．h∶10＝31.4∶S，则S×h＝31.4×10，不符合题意。 故答案为：A 13．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）能和∶组成比例的是（    ）。 A．16∶15 B．15∶16 C．24∶15 D．24∶36 【答案】A 【思路点拨】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【规范解答】∶ ＝÷ ＝× ＝ A．16∶15 ＝16÷15 ＝ ＝ 比值相等，16∶15能和∶组成比例。 B．15∶16 ＝15÷16 ＝ ≠ 比值不相等，15∶16不能和∶组成比例。 C．24∶15 ＝24÷15 ＝ ≠ 比值不相等，24∶15不能和∶组成比例。 D．24∶36 ＝24÷36 ＝ ≠ 比值不相等，24∶36不能和∶组成比例。 故答案为：A 14．（23-24六年级下·河南商丘·期末）一个精密零件图纸上的比例尺是10∶1，在图纸上量得零件长5cm，这个零件的实际长度是( )cm。 【答案】0.5 【思路点拨】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答。 【规范解答】5÷ ＝5× ＝0.5（cm） 一个精密零件图纸上的比例尺是10∶1，在图纸上量得零件长5cm，这个零件的实际长度是0.5cm。 15．（23-24六年级下·河南商丘·期末）如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是( )，用这四个数组成的比例是( )（写出一个即可）。 【答案】 6∶7＝8∶ 【思路点拨】要使A最大，只要用给出的三个数中比较大的两个数7和8做这个比例的两个外项或两个内项；那么6和A就做比例的两个内项或外项，根据比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积，据此求出A的值，再写出比例，（比例的答案不唯一），据此解答。 【规范解答】A最大： 7×8÷6 ＝56÷6 ＝ 比例：6∶7＝8∶。 如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是，用这四个数组成的比例是6∶7＝8∶。 16．（23-24六年级下·浙江金华·期末）一幅地图的比例尺是1∶200000，图上1cm表示实际距离是( )km。 【答案】2 【思路点拨】实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算即可，注意单位的转换，1千米＝100000厘米。 【规范解答】1÷ ＝1×200000 ＝200000（厘米） ＝2（千米） 一幅地图的比例尺是1∶200000，图上1cm表示实际距离是2km。 17．（23-24六年级下·河南商丘·期末）两个大小不同的圆，它们的周长和直径的比可以组成比例。( ) 【答案】√ 【思路点拨】表示两个比相等的式子叫比例，圆的周长和直径的比值是圆周率，圆周率是个固定的值，据此分析。 【规范解答】根据分析，两个大小不同的圆，它们的周长和直径的比可以组成比例，说法正确。 故答案为：√ 18．（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）一个圆形放大或缩小后，其形状和大小都发生了变化。( ) 【答案】× 【思路点拨】把一个图形按一定的比例放大或缩小后，大小发生了变化，形状没变。据此解答。 【规范解答】根据分析可知，一个圆形放大或缩小后，其形状不变，大小发生了变化。 原题干说法错误。 故答案为：× 19．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 【答案】90立方分米 【思路点拨】设这块冰的体积是多少立方分米，已知相同质量的水和冰的体积比约是9∶10，据此可列出比例：81∶＝9∶10，再根据比例的基本性质解出比例即可。 【规范解答】解：设这块冰的体积是多少立方分米 81∶＝9∶10 9＝81×10 ＝81×10÷9 ＝90 答：这块冰的体积是90立方分米。 20．（23-24六年级下·浙江金华·期末）甲、乙两地相距600千米，一辆货车行完全程需要10时。一辆客车和这辆货车同时从甲、乙两地相对开出，已知客车和货车的速度比是3∶2，经过几时能在途中相遇？ 【答案】4小时 【思路点拨】根据路程＝速度×时间，一辆货车行完全程需要10小时，用600除以10计算出货车的速度；已知客车和货车的速度比，计算出客车的速度；最后要求相遇时间，根据相遇时间＝路程÷速度之和，代入数值计算，所得结果即为经过多少小时两车能相遇。 【规范解答】解：设客车的速度为x。 货车的速度：600÷10＝60（千米/小时） x∶60＝3∶2 2x＝60×3 2x＝180 2x÷2＝180÷2 x＝90 客车每小时行驶90千米。 相遇时间：600÷（60＋90） ＝600÷150 ＝4（小时） 答：经过4小时能在途中相遇。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版） 第二讲 比例 （导图+知识精讲+易错点拨+10大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识点01：比例的认识 3 知识点02：比例的应用 3 知识点03：比例尺 3 知识点04：图形的放大和缩小 3 易错点拨 查漏补缺 4 考点讲练 明确目标 4 考点一：比例的意义 4 考点二：比例的基本性质 4 考点三：解比例 5 考点四：比例的应用 5 考点五：比例尺的意义 6 考点六：比例尺应用 6 考点七：图上距离与实际距离的换算 7 考点八：应用比例尺画图 7 考点九：图形的放大与缩小 8 考点十：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 10 易错真题 培优必刷 10 压轴专练 冲刺拔尖 10 培优巩固 拔尖冲刺 13 基础夯实优选题专练 16 培优优选题专练 18 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：比例的认识 1.只有比值相等的两个比才能组成比例。 2.每个比例都有两个内项和两个外项组成，并且两个外项之积等于两个内项之积。用字母表示：如果a:b=c:d或，那么ad=bc。 3.比例与比的联系与区别：比例是一个等式，等号的两端都是比，且比值相等；比表示两个数的相除关系 知识点02：比例的应用 1.根据外项之积等于内项之积的规律可以求比例中的未知项，就是解比例。 2.解比例实际上就是解方程，要做好检验 知识点03：比例尺 1.比例尺不是一把尺子，比例尺是一个比，是图上距离与实际距离的比。 2.按呈现形式，比例尺可以分为：数值比例尺与线段比例尺。 按放缩关系，比例尺可以分为：放大比例尺与缩小比例尺。 3.比例尺的应用 图上距离：实际距离=比例尺或 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 4.应用比例尺解决问题时，图上距离与实际距离的单位要统一。 5.应用比例尺画图，要先标出比例尺，并根据比例尺计算出图上距离后再画图 知识点04：图形的放大和缩小 1.无论是将图形放大还是缩小，虽然图形的大小发生了变化，但是都要保持形状不变。 2.将图形按一定的比放大或缩小，长度变化，角度不变。 3.按一定的比放大或缩小图形，注意将水平方向与垂直方向的线段按同样的比放大或缩小 1. 比例中等号的两侧必须都是一个比。 2. 把等式ax=by改写成比例时，相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项。 3. 根据比例的基本性质解比例时，应该先把比例转化成“两个外项的积=两个内项的积”的形式，再解方程。 4. 图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。 5. 比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。 6. 通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。 7. 把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。 考点一：比例的意义 【精讲题】（23-24六年级下·辽宁辽阳·期末）下面（    ）组中四个数不能组成比例。 A．15∶18和30∶36 B．4∶8和5∶20 C．3、4、8和6 D． ∶和4∶3 【精练题01】（23-24六年级下·陕西宝鸡·期末）用0.4、24、20和组成一个比例：( )。 【精练题02】（23-24六年级下·陕西渭南·期末）5∶6和可以组成比例。( )（判断对错） 考点二：比例的基本性质 【精讲题】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试），那么a与b化简后的比是（    ）。 A． B． C．6∶5 D．5∶6 【精练题01】（23-24六年级下·辽宁辽阳·期末）如果7x＝8y，那么＝( )。 【精练题02】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）x的与y的相等（x、y均不为0），则x∶y＝8∶21。( )（判断对错） 考点三：解比例 【精讲题】（2024六年级下·陕西西安·学业考试）解方程。          【精练题01】（23-24六年级下·广东湛江·期末）根据下列条件列出比例或方程，求未知数x。 两个内项是4和x，两个外项是5和8。 【精练题02】（23-24六年级下·河南商丘·期末）淘气身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是多少米？（用比例解答） 考点四：比例的应用 【精讲题】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）甲乙两辆车同时从两地相向开出，经过3小时相遇，甲每小时比乙少行36千米，已知甲乙两车的速度之比是5∶7。两地相距( )千米。 【精练题01】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发、相向而行，出发时他们的速度比是3∶2，他们相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有7千米，那么A、B两地的距离是多少千米？ 【精练题02】（23-24六年级下·陕西榆林·期末）榆林沙漠国家森林公园是以沙漠森林草地景观和无形的民间风俗——陕北民歌、民俗为主，以人文景观为辅，集回归自然、生态观光、休闲度假为一体的多功能综合性城郊型森林公园。某公司计划去榆林沙漠国家森林公园进行团建，其中男职工与女职工的人数比是2∶5，已知男职工有12人，则女职工有多少人？（用比例解答） 考点五：比例尺的意义 【精讲题】（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个长方形精密零件的长为6.5mm，宽为4mm，在一幅图纸上这个零件的宽为12cm，那么这幅图的比例尺是( )，在这幅图纸上这个零件的长是( )cm。 【精练题01】（23-24六年级下·辽宁辽阳·期末）一种精密零件的长是5毫米，画在图纸上长是5厘米，这幅图纸的比例尺是( )。 【精练题02】（23-24六年级下·山西晋城·期末）把比例尺改写成数值比例尺是( )。如果A，B两地的距离是300km，那么按照这个比例尺画在图上应是( )cm。 考点六：比例尺应用 【精讲题】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）在练习本上画出教室黑板的平面图，采用（    ）比例尺比较合适。 A．1∶4 B．1∶40 C．1∶400 D．1∶4000 【精练题01】（23-24六年级下·四川成都·期末）在一幅比例尺1∶300的平面图上，量得一间长方形教室的长为3厘米，宽为2厘米。这间教室的实际面积是( )平方米。 【精练题02】（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）在一幅比例尺是1∶300000的地图上，量得一块长方形土地的周长是40厘米，长与宽的比是7∶3，按规划，长方形土地面积的25%将种植黄瓜，那么种植黄瓜的面积是多少平方千米？ 考点七：图上距离与实际距离的换算 【精讲题】（23-24六年级下·河南商丘·期末）在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得甲乙两地高速公路长为4.1厘米。杨叔叔开车从甲地出发，以每小时90千米的速度行驶了1.5小时。为了尽快到达乙地，他在不超速的情况下将速度提高了30%。剩下的路程他1小时能走完吗？ 【精练题01】（23-24六年级下·河南商丘·期末）在比例尺是1∶6000的图纸上量得甲、乙两地相距18厘米，那么在另一张比例尺是1∶90000的图纸上，这两地间的图上距离应是多少厘米？ 【精练题02】（23-24六年级下·河南驻马店·期末）在一幅比例尺为1∶16000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为5厘米，有两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，速度分别是85千米/时和75千米/时。两车经过多长时间相遇？ 考点八：应用比例尺画图 【精讲题】（23-24六年级下·广东深圳·期中）为了推进体育强国建设，增强青少年体质，深圳市某小学新建一个长50m，宽20m的恒温游泳池选用比例尺（    ）画出来的平面图面积最大。 A．1∶1000 B．1∶1500 C．1∶500 D．1∶100 【精练题01】（23-24六年级下·广东深圳·期中）智能物流是把先进的物联网技术通过信息处理和网络通信技术平台广泛应用于物流业运输、仓储、配送、包装、装卸等基本活动环节，实现货物运输过程的自动化运作和高效率优化管理。某物流公司用机器人给某街道配送快递，下图是机器人配送快递的示意图。 （1）已知出发点到A户的实际距离是300米，则这幅图的比例尺是多少？ （2）B户在出发点的东偏北60°方向，距离出发点的实际距离是多少米？ （3）机器人现在要给D户配送快递，D户位于出发点东偏南45°方向400米处，请在上图中画出D户的位置。 【精练题02】（22-23六年级下·安徽阜阳·期末）在如图的平面图上标出少年宫和邮局的位置。 （1）少年宫在学校的东偏北30°方向上，距离学校600米。 （2）邮局在学校的南偏西45°方向上，距离学校400米。 考点九：图形的放大与缩小 【精讲题】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）按要求作图。（图中1小格表示1平方厘米） （1）画出三角形以AB所在的直线为对称轴的对称图形，并求出这个轴对称图形的面积为（    ）平方厘米。 （2）图形中点C的位置用数对表示是（    ）。如果点A在点C的西偏北a°的方向上，那么点C在点A的（    ）偏（    ）（    ）°的方向上。 （3）画出将这个轴对称图形绕点C按顺时针方向旋转90°后的图形。 （4）画出轴对称图形按1∶2的比缩小后的图形。 （5）如果AB的实际长为15米，那么这幅平面图的比例尺是（            ）。 【精练题01】（23-24六年级下·陕西西安·期末）画出下图长方形按1∶2缩小后得到的图形。 【精练题02】（23-24六年级下·浙江金华·期末）按要求操作。 （1）已知图中A点的位置是（3，9），那么B点位置是（    ）。 （2）将图①先向左平移2格，再向下平移4格后得到图②。 （3）以直线L为对称轴，作图①的轴对称图形，得到图③。 （4）将图①绕点C逆时针旋转90°，得到图④。 （5）在图中空白处，画出图①按2∶1的比例放大后得到的图⑤。 考点十：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【精讲题】（23-24六年级下·山西吕梁·期中）把一个图形按2∶1变化后，得到的图形与原图形相比较，正确的说法是（    ）。 A．面积扩大原来的4倍 B．面积扩大到原来的2倍 C．面积缩小到原来的4倍 D．周长扩大到原来的4倍 【精练题01】（22-23六年级下·广东揭阳·期中）把一个三角形按2∶1的比放大后，周长和面积都扩大到原来的2倍。( )（判断对错） 【精练题02】（22-23六年级下·广东茂名·期中）一个长方形按5∶1放大后 ，它的周长和面积都扩大了5倍。( )（判断对错） 1．（2024•岳阳）北京市轨道交通6号线全长，现需要将其画在长、宽的长方形纸上，你认为选哪个比例尺最合适　　 A． B． C． D． 2．（2024•渝中区）聪聪的笔记本电池条会显示剩余电量的比例。聪聪使用笔记本电脑4小时20分钟后，电量从变为。如果聪聪再使用笔记本电脑130分钟，电池条会显示　　 A． B． C． D． 3．（2024•通州区）摄影师把一张照片按的比放大，放大后照片的面积是原来照片的　　 A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 4．（2024•霞浦县）上午在操场上，小红测得50厘米的一根木棒影长是25厘米，同时，小刚测得旗杆的影长是4.5米，那么学校旗杆的高度是 　　米． 5．（2024•吉阳区）把比例尺改写成数字比例尺是　　或　　；在这幅图上有一块长方形地，长3.5厘米，宽2厘米，实际面积是　　平方米． 6．（2024•迁安市）一幅地图的比例尺是，把它改成线段比例尺是　　，已知甲乙两地的实际距离是240千米，画在这幅地图上长是　　厘米． 7．（2024•鸡西）在比例中，如果将第一个比的后项增加30，第二个比的后项应该加上 　　才能使比例成立。 8．（2024•沁阳市）如果、均不为，那么。 　　（判断对错） 9．（2024•蒲城县）5、6、8和12可以组成比例。 　　（判断对错） 10．（2023秋•广平县期末）解比例。 11．（2024•阳新县）在一幅比例尺是的地图上量得亮亮家到奶奶家的距离是10.5厘米，如果他们自驾去奶奶家，以80千米时的平均速度行驶，中午能赶上吃午饭吗？ 12．（2024•丰台区）丰台游泳馆位于丰台体育中心东北部，占地0.9公顷，建筑面积5283平方米。馆内设有两个标准泳池，泳池长50米，宽25米。泳池底部有一定的倾斜度，泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.5米深的深水区。 ①军军画了一张游泳池的示意图（如图），这张泳池示意图的比例尺是多少？ ②如何求其中一个游泳池最多能装多少水呢？同学们通过交流讨论，互相启发，找到了解决这一问题的不同思路。 请你选择其中一种思路或自己想办法解决这个问题。 13． （2024春•凉州区期中）在实验小学新校区的规划图上，长方形操场的长是28厘米，宽是22厘米。如果规划图的比例尺是，这个操场实际占地是多少平方米？在操场的四周建造围栏，每米需要12元，建造围栏需要多少钱？ 14．（2024•平果市）百色是中国革命老区，位于广西壮族自治区西部，右江上游，全市共辖12个县（区，全市总面积36252 　　；据统计，截至2023年末，全市户籍人口有4226200人；2023年全市生产总值达到172910000000元。 ①在题中横线里填上合适的计量单位。 ②4226200读作 　　，把它改写成以“万”为单位的数是 　　。 ③172910000000省略“亿”后面的尾数约是 　　。 ④在一幅比例尺为的地图上，量得百色到南宁的距离大约是2.43厘米，两地实际相距大约 　　千米。 15．（2024春•姜堰区期中）如图所示是某街区的平面示意图。（测量图上长度，厘米数精确到一位小数） （1）人民商场在中心广场的 　　方向 　　千米处。 （2）幸福小学在中心广场北偏东方向2千米处，请在图中画出幸福小学的位置。 （3）在中心广场正南方向2.5千米处，有一条淮海路与人民路垂直，请在图中表示出来。 （4）小红的爸爸乘出租车从人民商场出发，经中心广场到汽车站，要付多少元车费？ 出租车价格表 里程 3千米以内 3千米以上的每千米（不足1千米按1千米计算） 价格 8元 2.4元 16．（2022•南开区）如图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是　　 A． B． C． D． 17．（2022•南开区）一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是。这个比例式是　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•曲阳县期末）根据，不能写成比例的是　　 A． B． C． D． 19．（2024春•蕉岭县期中）两个完全一样的水桶要装满水，淘气、笑笑分别用大杯和小杯舀水，每次都将水杯盛满．第一桶用12大杯和25小杯正好装满，第二桶用20大杯和15小杯也正好装满．大杯和小杯的容积之比是　 　． 20．（2021春•新沂市期中）在一幅比例尺是的地图上量的两地长6厘米，两地的实际距离是　　千米，把两地画在第二幅地图上，长12厘米，第二幅地图的比例尺是　　，两地长240千米，画在第二幅地图上长　　厘米． 21．（2020•榕城区）在比例尺为 地图上，图上半圆周长为，实际面积为　 　米 22．如果，那么．　　（判断对错） 23．（2024春•武威期中）一种精密零件长2.6毫米，画在图纸上长26厘米。这张精密零件图纸的比例尺就是。 　　（判断对错） 24．（2017秋•馆陶县月考）解比例． ． 25．（2023春•永吉县期中）学校要挖一个长方体的水池，在比例尺是的设计图上，水池的长为12厘米，宽为10厘米，深为2厘米． （1）按图上施工，这个水池的长、宽、高各应挖多少米？ （2）这个水池的占地面积是多少平方米？ 26． （2023•滨城区）在比例尺是的地图上，量得甲乙两地相距20厘米。两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出。已知从甲地开出的火车每小时行135千米，从乙地开出的火车每小时行115千米，几小时后两车能相遇？ 27． （2013春•武威校级期末）在比例尺是的地图上量得甲、乙两地间的距离是6厘米，如果甲乙两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行驶48千米，乙车每小时行驶52千米，几小时两车相遇？ 28． （2023•西乡县）在比例尺是的地图上，量的两个城市之间的铁路长是30厘米，甲乙两列火车同时从两地出发相对开出，2小时相遇，已知甲车和乙车速度的比是，甲车每小时行多少千米？ 29．（2024春•新建区期末）公园健身场是一个长方形，把健身场的长和宽分别缩小到原数的后，如图． （1）请算出这个健身场的实际长和宽． （2）它的实际占地面积是多少平方米？ 30．（2023•播州区）作图题。每一小格正方形代表1平方厘米。 （1）三角形的面积是 　　平方厘米。 （2）画一个长方形，使长方形的面积是三角形面积的4倍。 （3）画出把长方形按的比缩小后的图形。 （4）缩小后的图形与原来长方形的面积比是 　　。 31． （2024春•揭东区期中）在比例尺是的长方形操场平面图上，量得操场的长度是，宽是，如果这个操场按划出篮球区和排球区，你知道排球区的面积是多少吗？ 32． （2022春•美兰区校级期中）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离是20厘米，如果在另一幅图上，甲乙两地的距离是10厘米，另一幅地图的比例尺是多少？ 基础夯实优选题专练 1．（23-24六年级下·陕西榆林·期末）已知，且x、y均不为0，则xy的值是（    ）。 A．7 B． C． D．12 2．（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）把一个图形按4∶1扩大后，周长的变化是（    ） A．扩大到原来的4倍。 B．扩大到原来的16倍。 C．缩小到原来的。 D．周长不变。 3．（23-24六年级下·广东深圳·期中）市政府要建一个长600m，宽400m的长方形广场，将广场设计图画在一张长20cm、宽16cm的长方形纸上，选用下列比例尺（    ）比较合适。 A．1∶2500 B．1∶3000 C．1∶4000 D．1∶4000000 4．（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）在比例尺为1∶2000000的地图中，量得A、B两地的距离是10cm。那么A、B两地的实际距离是( )km。 5．（23-24六年级下·辽宁锦州·期末）在一幅地图上，用5厘米表示实际距离800米，这幅地图的比例尺是( )。 6．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）在一张小明和爸爸的合照上，爸爸在照片上的身高是5.4厘米，小明的身高是4.2厘米。小明知道自己的实际身高是1.4米，爸爸的实际身高是( )米。 7．（23-24六年级下·广东茂名·期中）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比的基本性质。( )（判断对错） 8．（23-24六年级下·陕西榆林·期中）在比例中，如果两个内项的积是10，那么两个外项的积也一定是10。( )（判断对错） 9．（23-24六年级下·广西贺州·期末）2023年9月28日，我国首条设计时速为350千米/小时的跨海高铁——福厦高铁正式开通运营。福厦高铁北起福州，南至厦门和漳州，全长277千米，是我国“八纵八横”高速铁路网中沿海通道的重要组成部分。若把这条跨海高铁画在比例尺是1∶5000000的地图上，应画多少厘米？ 10． （23-24六年级下·陕西西安·期中）一辆货车油箱里储油105升。货车行驶了56千米正好耗油8升。照这样计算，这箱油一共能使货车行驶多少千米？（用比例解答） 培优优选题专练 11．（2024·四川成都·小升初真题）一个微型零件长4mm，按80∶1的比画在图纸上，在图纸上的长度是（    ）cm。 A．0.32 B．3.2 C．32 D．320 12．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）下面两个圆柱的体积相等，请根据提供的信息写出比例，符合题意的比例是（    ）。       A．31.4∶S＝10∶h B．31.4∶10＝h∶S C．31.4∶h＝10∶S D．h∶10＝31.4∶S 13．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）能和∶组成比例的是（    ）。 A．16∶15 B．15∶16 C．24∶15 D．24∶36 14．（23-24六年级下·河南商丘·期末）一个精密零件图纸上的比例尺是10∶1，在图纸上量得零件长5cm，这个零件的实际长度是( )cm。 15．（23-24六年级下·河南商丘·期末）如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是( )，用这四个数组成的比例是( )（写出一个即可）。 16．（23-24六年级下·浙江金华·期末）一幅地图的比例尺是1∶200000，图上1cm表示实际距离是( )km。 17．（23-24六年级下·河南商丘·期末）两个大小不同的圆，它们的周长和直径的比可以组成比例。( )（判断对错） 18．（2024六年级下·河南驻马店·学业考试）一个圆形放大或缩小后，其形状和大小都发生了变化。( )（判断对错） 19．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 20．（23-24六年级下·浙江金华·期末）甲、乙两地相距600千米，一辆货车行完全程需要10时。一辆客车和这辆货车同时从甲、乙两地相对开出，已知客车和货车的速度比是3∶2，经过几时能在途中相遇？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$