高二下学期第一次月考数学试卷（基础篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（基础篇） 【人教A版（2019）】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 2．（5分）已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 3．（5分）某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 4．（5分）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（    ） A． B． C． D．7 5．（5分）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 7．（5分）若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．二项式系数之和为64 B．各项系数之和为1 C．展开式中二项式系数最大的项是第4项 D．展开式中第5项为常数项 10．（6分）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 11．（6分）已知函数则（   ） A．在区间上单调递增 B．仅有个极大值点 C．无最大值，有最小值 D．当时，关于的方程共有个实根 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）设，则 ． 13．（5分）设曲线在处的切线与直线垂直，则 . 14．（5分）已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）计算下列各式． (1)； (2)； (3)解方程：. 16．（15分）已知函数. (1)求曲线与直线垂直的切线方程； (2)若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率. 17．（15分）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 18．（17分）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 19．（17分）已知函数在处取得极大值． (1)求a的值； (2)若有且只有3个零点，求实数b的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【解题思路】根据组合数的性质 建立方程解得的值，利用组合数的计算公式，可得答案. 【解答过程】由，则或，解得或， 所以. 故选：B. 2．（5分）已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 【解题思路】根据平均变化率的定义，可得答案. 【解答过程】∵，∴． 故选：B. 3．（5分）某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【解题思路】根据题意，由分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】原来有4个广告，则这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告， 则有5种方法； 插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告， 共5个元素，它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告， 则有6种方法； 由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有种. 故选：C. 4．（5分）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（    ） A． B． C． D．7 【解题思路】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【解答过程】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大， 它的展开式共计有9项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：C． 5．（5分）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求导得到，从而得到，再利用导数的几何意义求解切线方程即可. 【解答过程】由，得， 所以，得，所以，， 所以，切点为. ， 所以所求切线方程为，即. 故选：A. 6．（5分）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 【解题思路】根据题意，结合插空法与捆绑法代入计算，即可 【解答过程】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有种情况， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有种， 所以共有种排法. 故选：A. 7．（5分）若，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【解答过程】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 8．（5分）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】转化为，令，由，利用函数的单调性求解. 【解答过程】解：原不等式等价于， 设，则. 又，所以在上单调递增， 则，即. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．二项式系数之和为64 B．各项系数之和为1 C．展开式中二项式系数最大的项是第4项 D．展开式中第5项为常数项 【解题思路】根据二项式系数和的公式可判断A，利用赋值法可求系数和，从而判断B，根据二项式系数的性质可判断C，根据通项可计算展开式中的第五项，从而判断D. 【解答过程】的二项式系数之和为，选项A正确； 令，得，则的各项系数之和为1，选项B正确； 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，选项C正确； 的展开式中第5项为，不是常数项，选项D不正确． 故选：ABC． 10．（6分）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 【解题思路】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况. 【解答过程】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误； 对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确； 对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误； 对D：5人站成一排，有种排法， 则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法； 甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法； 甲在最左端，乙在最右端，共有种排法； 则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）已知函数则（   ） A．在区间上单调递增 B．仅有个极大值点 C．无最大值，有最小值 D．当时，关于的方程共有个实根 【解题思路】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，当时，， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，A错； 对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点， 当时，，则，此时函数单调递增， 当时，，此时函数有极小值点，无极大值点， 综上所述，函数仅有个极大值点，B对； 对于C选项，当时，， 当时，， 所以，函数的最小值为，函数无最大值，C对； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，当时，关于的方程共有个实根，D错. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）设，则 ． 【解题思路】应用赋值法求所有项系数之和. 【解答过程】令，则. 故答案为：16. 13．（5分）设曲线在处的切线与直线垂直，则 1 . 【解题思路】由直线的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，求得的值. 【解答过程】直线的斜率， ∵切线与直线垂直，∴切线的斜率， ，当时，，∴， 故答案为：1. 14．（5分）已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 【解题思路】求导确定函数的单调性，从而可得的最小值，再根据复合函数的最值设则，由此可得的最值，从而可得有解，构造函数，，求导确定单调性得实数m的取值范围，即可得实数m的的最小值. 【解答过程】由题可得，， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 对于函数，设，则， 则当时，取得最小值， 所以有解，即有解. 令，，则， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，为. 因为有解，所以. 故m的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）计算下列各式． (1)； (2)； (3)解方程：. 【解题思路】（1）利用排列数公式求解； （2）利用排列数公式求解； （3）利用组合数公式求解. 【解答过程】（1）； （2）； （3）因为，由可得或， 解得或. 16．（15分）已知函数. (1)求曲线与直线垂直的切线方程； (2)若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率. 【解题思路】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程； （2）根据切线的斜率与直线的方程列方程组求解即可. 【解答过程】（1）因为斜率为，所以， 所以，又. 所以所求切线方程为，即. （2），设切点的横坐标为，直线的斜率为，直线的方程：， 则 则，整理得，所以， 所以或5. 17．（15分）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 【解题思路】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解． 【解答过程】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， ∴，即，由，解得； （2）展开式的通项为 ， 令，解得， ∴， ∴常数项为60，为第5项. 18．（17分）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解答过程】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 19．（17分）已知函数在处取得极大值． (1)求a的值； (2)若有且只有3个零点，求实数b的取值范围． 【解题思路】（1）由题意可得，可求出的值，然后就的值进行检验，即可得出实数的值； （2）分析函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为，则， 因为函数在处取得极大值，则，解得或. 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在上递减，在上递增， 则在处取得极小值，不合题意； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在上递增，在上递减， 则在处取得极大值，合题意. 综上，. （2）由（1），，， 函数的增区间为，，减区间为. 所以，函数极大值，极小值， 又因为有且只有3个零点，则， 解得，且满足，，满足题意. 因此，实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$