培优重难点专题6-3二项式定理（3知识点+19题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

重难点培优专题：二项式定理 二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 二项展开式的通项 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 二项式系数的性质 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或 题型一：求二项展开式 【解题技巧】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项：可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数：可由某项得出参数值，再写出第项，由特定项得出值，最后求出其系数. 【例题1-1】．（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式、求指定项的系数 【分析】根据二项式定理的通项公式，利用项的指数为即为常数项. 【详解】由的展开式的通项为， 令，，则， 即在的展开式中，常数项为， 故答案为：. 【变式1-1】．（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式 【分析】直接根据二项式定理展开求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以. 故答案为： 【变式1-2】．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知二项式． (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 【答案】(1) (2)，， 【难度】0.85 【知识点】求二项展开式、求有理项或其系数 【分析】（1）根据二项式定理展开即可； （2）写出通项，依次列出有理项即可. 【详解】（1） （2）因为当时，二项式的通项为， 所以当时，；当时，；当时，． 所以当时，所有的有理项为，， 【变式1-3】．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式 【分析】（1）由直接应用或化简后应用二项式定理展开可得； （2）逆用二项式定理化简即可. 【详解】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 题型二：二项展开式的应用 【例题2-1】．（24-25高三上·北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项 【分析】求出通项，找到常数项即可. 【详解】的通项公式为， 常数项时，则， 所以常数项为， 故选：D. 【例题2-2】．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用 【分析】取分别赋值，作差后化简即可得解. 【详解】由题意可得， 令，得， 令，得， 两式作差，可得， 故． 故选：B． 【变式2-1】．（2024·江西新余·模拟预测）在正整数集中，，表示代数式的余数为（正负号不影响该关系），反之记作.艾森斯坦判别法可用于判定一个多项式能否在有理数范围内因式分解，方法如下：对于多项式：.若存在素数（只有和自身两个因数的数）满足：①，②，③，则原多项式不能在有理数范围内因式分解.值得注意的是，若不存在这样的，则无法判断该多项式能否在有理数范围内因式分解.已知多项式（为奇素数），由艾森斯坦判别法，有：（     ） A．对于，多项式总不能在有理数范围内因式分解 B．某些，多项式能在有理数范围内因式分解 C．对于，多项式能否在有理数范围内因式分解均无法判断 D．某些，多项式能否在有理数范围内因式分解无法判断 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据给定条件，借助二项式定理探讨多项式满足艾森斯坦判别法的3个条件，进而判断得解. 【详解】依题意，多项式， 当时，是正整数，，而为奇素数， 则必为正整数，即，又，而不能整除1，不能整除， 因此对，存在素数满足条件①②③， 则由艾森斯坦判别法得多项式总不能在有理数范围内因式分解，A正确，BCD错误. 故选：A 【变式2-2】．（24-25高二上·辽宁·期末）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图①，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下（如图②）： 上表图②中第行的第个数用表示，即展开式中含项的系数为，则（    ） A． B． C．（，） D． 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】二项展开式的应用、求指定项的系数 【分析】由图②得到，可直接判断ABC，对于D，由得到展开式中含项的系数为，再由确定含项系数，即可判断； 【详解】依据题意结合图②可知图②中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左、右肩上共三个数的和（没有的用0代替）， 如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左、右肩上的数1和6，第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左、右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2， 所以， 对于A项，由上可得，故A项错误； 对于B项，由图可知，以此类推可得，故B项正确； 对于C项，由上可知，故C项正确； 对于D项，因为， ， 则， 所以根据乘法法则的展开式中含项的系数为 ， 又， 其通项公式为， 因为，所以的展开式中含项的系数为0， 故，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：与展开求得的系数，在通过求得系数. 【变式2-3】．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）已知，其中是关于的多项式，则 ; 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用 【分析】将化为，展开后观察对应项可得；先求，然后将转化为，展开可得. 【详解】因为 所以， 所以，，所以. 故答案为：. 【变式2-4】．（23-24高二下·河北沧州·期中）“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得 ．（结果用组合数表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、二项展开式的应用 【分析】由二项式定理展开式的系数结合题意计算即可. 【详解】因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为， 所以． 故答案为：. 题型三：二项展开式的整除和余数问题 【例题3-1】．（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题、二项展开式的应用 【分析】利用二项式定理求出被8除得的余数，再逐项分析判断即可. 【详解】依题意， ，展开式共11项，其中前10均有因数8，最末一项为1， 则被8除得的余数是1，2022，2023，2024，2025被8除得的余数分别为6，7，0，1， 因此b的值可以是2025. 故选：D 【例题3-2】．（23-24高二下·广东广州·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，，则b的值不可能的是（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题、二项展开式的应用 【分析】依题意可得，利用二项式定理说明被除得的余数为，即可判断. 【详解】由，得 ， 所以， 即被除得的余数为，结合选项可知只有被除得的余数为，即b的值不可能的是ACD. 故选：ACD 【变式3-1】．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知，则a被10除所得的余数为 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】整除和余数问题、二项展开式的应用 【分析】首先利用二项式定理化简，再将写成，再利用二项式定理的展开式，即可求解. 【详解】， ， 所以被10除所得的余数为1. 故答案为：1 题型四：求二项展开式的第k项 【例题4-1】．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的二项式系数 【分析】根据给定条件，列式求出，再求出二项展开式的通项，进而求出幂指数为0的项即可. 【详解】依题意，，即，而n为正整数，解得， 则展开式的通项公式为， 由，解得， 所以该展开式中的常数项为. 故选：A. 【例题4-2】．（2024·陕西西安·模拟预测）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用的展开式的通项公式，得的展开式的项为或，即可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的项为或， 令时，， 令时，， 所以的展开式的常数项为， 故选：A. 【变式4-1】．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据二项式的第k项求值、求二项展开式的第k项 【分析】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B 【变式4-2】．（2024高三·全国·专题练习）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数之和等于 B．项的系数等于 C．无理项的系数之和为 D．系数最小的是第项 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数、求有理项或其系数、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式展开式的通项即具体展开式即可直接判断各个选项． 【详解】根据二项式定理，展开后的通项为. 从而展开式为，这就直接得到： 对于A，展开式的各项系数之和等于，故A错误； 对于B，项的系数为，故B正确； 对于C，无理项的系数之和等于，故C正确； 对于D，系数最小的是一项，即第项，故D错误． 故选：BC． 【变式4-3】．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）在的展开式中（    ） A．所有系数的绝对值之和为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和、求有理项或其系数、求二项展开式的第k项 【分析】利用展开式系数绝对值之和与展开式系数和相等判断A，根据二项展开式的通项公式可得，令，运算求解即可判断B，由第项的系数为，列不等式组分析运算判断C，令，分析运算即可判断D. 【详解】对于A：在的展开式中所有系数的绝对值之和与的展开式中所有系数的和相等， 故令，可知展开式的系数之和为，故A错误； 对于B：因为的展开式的通项公式 ，， 令，解得，可得， 即项的系数为，故B正确； 对于C：由通项公式可得：第项的系数为， 当为偶数时，；当为奇数时，； 取为偶数，令，则， 整理得，所以， 所以系数最大项为第3项，故C正确； 对于D：令，则，所以有理项共有5项，故D正确； 故选：BCD. 【变式4-4】．（23-24高二下·上海·期中）的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】由通项公式，令即可求得，代入即可得解. 【详解】， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 【变式4-5】．（23-24高三下·北京·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】利用组合方法分别求出展开式中含项，合并同类项即可得解. 【详解】由组合知识知，展开式中含的项为， 的展开式中含的项为， 合并同类项可得，即含项的系数为. 故答案为： 题型五：根据二项式的第k项求值 【例题5-1】．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数、根据二项式的第k项求值 【分析】写出二项展开式的通项公式，进而可求出结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为，又，解得. 故答案为：. 【例题5-2】．（23-24高三下·陕西·阶段练习）在的展开式中，的系数为84，则 ． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数、根据二项式的第k项求值 【分析】先求出通项公式，再结合已知条件建立等量关系求解即可. 【详解】由题意知二项式展开式通项公式为， 又因为的系数为84，所以， 所以. 故答案为：7. 【变式5-1】．（21-22高二下·山西朔州·阶段练习）已知的展开式中，第4项为． (1)求正整数n的值； (2)求的展开式中的系数． 【答案】(1)5 (2)10 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、根据二项式的第k项求值 【分析】（1）由二项式定理求得第4项，由已知第4项的系数与指数列方程组可得； （2）写出展开式通项公式，确定所在项数，从而得结论． 【详解】（1）的展开式中，第4项为， 可得，解得，故正整数n的值为5． （2）的展开式中第项为， 其中，1，2，3，4，5，令，可求得， 故展开式中的的系数为． 题型六：多项式的展开式 【例题6-1】．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、多项式的展开式 【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，即可写出含的项. 【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个， 所以含的项为， 所以含的项的系数是. 故选：. 【变式6-1】．（22-23高二下·湖南湘潭·期末）在的展开式中常数项等于 . 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、多项式的展开式、求指定项的系数 【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案. 【详解】因为展开式的通项为，， 的展开式中常数项由两项构成， 即与， 所以的展开式中常数项为. 故答案为：16. 题型七：求指定项的二项式系数 【例题7-1】．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】写出展开式的通项，即可判断. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 则第5项公式为， 所以展开式的第5项的系数是. 故选：C 【例题7-2】．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）展开式中含项的系数是 . 【答案】240 【难度】0.65 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】先对二项式因式分解，分别写出展开式的通项，令的指数为 1 ，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】因为 ， 的展开式通项为 ， 的展开式通项为 ，其中 ， 所以 的展开式通项为 ， 由 ，可得 或 ， 因此，展开式中含 x 项的系数为 . 故答案为： 【变式7-1】．（江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三下学期2月学情调研测试数学试卷）在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 用数字作答 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【分析】先由展开式中只有第5项的二项式系数最大，可得展开式共9项，从而可得以，再由二项展开式的通项公式得到. 【详解】解：因为只有第五项的二项式系数最大，所以 故的展开式通项为 令解得 所以展开式中x的系数为. 故答案为：7. 题型八：二项式系数的增减性和最值 【例题8-1】．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、由项的系数确定参数 【分析】先求出展开式的通项，从而依据展开式中第9项是常数项得到，再依据第项的系数绝对值大于或等于第项且大于或等于第项列不等式组即可求得. 【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为： 因为展开式中第9项是常数项，故，解得， 故第项的系数绝对值为. 设展开式中第项的系数绝对值最大，则有 由①可得：，即，解得； 由②可得：，即，解得. 即，又因为，故，即第8项的系数绝对值最大. 故选：C. 【例题8-2】．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、由项的系数确定参数 【分析】求出展开式前三项的系数，根据题意可得出关于的方程，解出的值，然后利用二项式系数的基本性质可求得结果. 【详解】展开式的通项公式为， 所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列， 所以，，即，整理可得， 由题意可知，且，解得， 故解得，二项式系数的最大值为． 故选：. 【变式8-1】．（24-25高二上·江西吉安·期末）已知展开式中二项式系数之和为64，则（    ） A． B．展开式的各项系数之和是1 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式中常数项为240 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式系数之和得到，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法判断各项的正误. 【详解】A，由题设，二项式系数之和，A错； B，所以时各项系数之和为，B对； C，由组合数的性质知，，即时二项式系数最大，C对； D，对于，则，， 令，则常数项为，D对. 故选：BCD 【变式8-2】．（24-25高二上·陕西汉中·期末）对于的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式共有7项 B．展开式中各二项式系数之和是 C．展开式中第三项的二项式系数最大 D．展开式中的常数项是20 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】利用二项式展开式的定理，及二项式系数性质，来判断各选项即可. 【详解】的展开式是， 其展开式共有7项，故A正确； 展开式中各二项式系数之和是，故B正确； 根据二项式系数的对称性和单调性可知：最大，即展开式的第四项的二项式系数最大，故C错误； 展开式的常数项是，故D错误； 故选：AB. 题型九：二项式的系数和 2. 二项式系数和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝. 【例题9-1】．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 【变式9-1】．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和、由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和 【分析】应用的展开式的通项公式结合题意求出，再利用通项公式研究常数项；由可求展开式的各项系数的和；由二项式系数性质可求展开式的各二项式系数的和. 【详解】因为的展开式的通项公式为，（）， 所以，即， 解得，故A正确； 所以（）， 当，即时为常数项, 故B正确； 所以展开式的各二项式系数的和为，故C正确； 所以展开式的各项系数的和为，故D错误. 故选：D. 【变式9-2】．（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（    ） A． B．100 C． D．380 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】借助赋值法，令可计算出的值，再利用二项式的展开式的通项公式计算可得其常数项即可得. 【详解】对于，令，则，故， 的展开式的通项公式为， 故的展开式中的常数项为： . 故选：C. 【变式9-3】．（24-25高三下·山东·开学考试）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（   ） A． B．所有项的系数和为1 C．没有常数项 D．的系数为14 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式系数计算判断A，赋值法判断B，根据通项公式判断CD. 【详解】因为第4项与第5项的二项式系数相等，所以，解得，故A错误; 令，可得展开式中所有项的系数和为，故B正确; 在中，第项， 取，即，所以不存在常数项，故C正确; 取，即，所以，所以的系数为14，故D正确. 故选：BCD 【变式9-4】．（24-25高二上·江西南昌·期末）关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为60 D．有理项共有3项 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数、求有理项或其系数、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确； 对于B，第二项二项式系数，第四项的二项式系数, 第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误； 对于C，展开式的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故C正确； 对于D，展开式的通项为， 当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D错误. 故选：AC. 【变式9-5】．（2025·山东·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为 （用数字作答） 【答案】15 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式系数与项的系数和相等求出n，再由通项公式确定常数项即可得解. 【详解】因为的展开式各项系数的和为，二项式系数的和为， 所以，解得 因为的展开式的通项为， 由，得4， 所以，即含项的系数为15． 故答案为：15 【变式9-6】．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题、二项式的系数和、计算古典概型问题的概率 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的有理项项数，利用不相邻的排列问题求解即得. 【详解】依题意，，解得，因此二项式的展开式共7项， 展开式的通项为， 当时，是有理项，则展开式的有理项共4项， 所以将展开式中的各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率. 故答案为： 【变式9-7】．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】首先根据二项式系数和的性质求出的值，然后写出二项式展开式的通项公式，再根据通项公式求出最高次项的系数. 【详解】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即. 对于，则其展开式的通项公式为. 化简得. 当时，最高次项的系数为. 所以最高次项的系数为. 故答案为：. 题型十：求指定项的系数 【例题10-1】．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）在的展开式中，的系数是（   ） A．690 B． C．710 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【分析】本题可先根据等比数列求和公式对原式进行化简，再根据二项式展开式的通项公式求出的系数. 【详解】观察原式，这是首项为，公比为（），项数为的等比数列的和. 根据等比数列求和公式 要求原式展开式中的系数，即求展开式中的系数. 根据二项式展开式的通项公式分别求出和展开式中的系数. 对于，，令，则的系数为. 对于，，令，则的系数为. 所以展开式中的系数为，即原式展开式中的系数为.   故选：D. 【例题10-2】．（24-25高三上·浙江·期中）已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：. 【变式10-1】．（24-25高二上·江西上饶·期末）的展开式中常数项为 ． 【答案】80 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【分析】由题意的展开式通项为，求其展开式中含项的系数即可. 【详解】求的展开式中常数项即求的展开式中含项的系数， 的展开式通项为， 令，得，， 故答案为：80 【变式10-2】．（24-25高三上·浙江宁波·期末）在的展开式中，含的项的系数为 （用数字作答）. 【答案】80 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式定理，展开式的通项，令可得，进而可得含项的系数是. 【详解】解：由， 由，可得， 故在的展开式中，含项的系数是， 故答案为： 题型十一：求有理项或其系数 【例题11-1】．（24-25高三上·甘肃白银·期中）对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中的常数项为 B．展开式中的常数项为 C．展开式中的有理项有3项 D．展开式中的有理项有4项 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求有理项或其系数、求指定项的系数、求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式的展开式，根据要求求出的值即可判断. 【详解】的展开式的第项 ， 令，则， 常数项为，故正确； 当，，，，展开式中有有理项， 所以有理项有4项，故正确. 故选：. 【例题11-2】．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）在的展开式中，有理项有 项． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求有理项或其系数 【分析】求出通项公式，令的系数为整数，找出符合的值即可. 【详解】的展开式的通项为， 令为整数，则，共项. 故答案为：. 【变式11-1】．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求有理项或其系数 【分析】设，由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解. 【详解】设， 由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，记作， 非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消. 故有. 令，则所求的系数之和为. 故选：D. 题型十二：由项的系数确定参数 【例题12-1】．（2025·广东·一模）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的中间项为 C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】求有理项或其系数、由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项 【分析】写出展开式的通项，依题意可求得，进而利用其通项公式对各个选项逐一分析可得答案． 【详解】展开式的通项为其中且， 由于前项的系数为，，，且， ，整理可得， 解得或（舍去），故A错误； 所以展开式的通项为其中且 则展开式的中间项为，故B正确； 令，且，所以或或， 则当，，时为有理项，共项，故C错误； 由，解得， 故展开式中系数最大项为第项和第项，故D正确． 故选：BD． 题型十三：二项展开式各项的系数和 【例题13-1】．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知. (1)若，求的值； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)9； (2). 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）利用二项式定理求出，进而列式求出值. （2）利用赋值法求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求出. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）当时，，则，， 所以数列的前项和. 【变式13-1】．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知. (1)若，求； (2)若的展开式中的系数为6，求展开式中系数的最小值. 【答案】(1) (2)5 【难度】0.65 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和、由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）运用赋值法先求出，再赋值计算即可. （2）根据展开式中的系数为6，得到，再得到系数，结合二次函数求最值即可. 【详解】（1）已知. 所以，所以. 当时，，即. （2）因为的展开式中的系数为6， 所以，所以，即，展开式中系数 ， 对称轴为.又因为，所以当时，系数的最小值为5. 当时，系数的最小值为6. 综上所得，系数的最小值为5. 【变式13-2】．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）结合赋值法，即可求解； （2）结合（1）的结论，以及赋值法，即可求解． 【详解】（1）的展开式中，当时，，通项公式为， 可知，，，，，， 所以， 当时，， 所以； （2）根据题意，令，得， 由（1）知，，所以 题型十四：求系数最大（小）的项 【例题14-1】．（24-25高三下·广东清远·开学考试）在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是或. 故答案为：或 【变式14-1】．（24-25高三上·湖北武汉·期末）展开式中只有第7项的系数最大，则 . 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项 【分析】由题意利用二项式定理，二项式系数的性质，得出结论． 【详解】解：的展开式中，只有第七项的系数即二项式系数最大， 故展开式共有13项，则， 故答案为： 【变式14-2】．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)二项式系数为，第3项的系数为 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和、求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【详解】（1）二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 题型十五：奇次项与偶次项的系数和 【例题15-1】．（2024·四川德阳·一模）设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得. 【详解】因为， 令，即可得， 令，即可得，可得，所以； 令，即可得， 得，得， 所以. 故选：A. 【例题15-2】．（23-24高二下·河南三门峡·阶段练习）若，则（ ） A． B．41 C． D．82 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】赋值法得到，，进而可得. 【详解】设， 则，， ， 故选：B 【变式15-1】．（2024高三·全国·专题练习）若，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】应用赋值法得出奇偶项系数计算求值即可. 【详解】令， 令, 令,， 则 . 故选：C. 【变式15-2】．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式的各项系数和为243 C．展开式中奇数项的二项式系数和为16 D．展开式中不含常数项 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】根据第3项和第4项的二项式系数最大得出n即可判断A;应用赋值法求各项系数和243判断B;应用二项式系数和为及奇数项和偶数项的二项式系数和相等判断C；应用通项公式计算常数项得出判断D. 【详解】A项，在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大， 是展开式的中间两项的二项式系数， 则为奇数，且与最大， 所以，解得，A项错误； B项，在中，令，得，故展开式的各项系数和为243，B项正确； C项，在的展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C项正确； D项，的展开式的通项公式为，且为整数， 令，解得，不满足要求，所以展开式中不含常数项，D项正确. 故选：BCD. 【变式15-3】．（24-25高二上·江苏常州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、二项式的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】令可得选项A正确；令可得选项B错误；分析二项展开式中系数的正负可得选项C正确；令可得选项D错误. 【详解】A.令得，，故，选项A正确. B.令得，，故，选项B错误. C.二项式展开式的通项为， ∴， 当为偶数时，，当为奇数时，， 令得，，选项C正确. D. 令得，， ∵，∴，选项D错误. 故选：AC. 【变式15-4】．（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】（1）把代入，利用赋值法求得答案. （2）由二项式系数性质求出，求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】（1）当时，， 取，得，取，得， 所以. （2）由所有项的二项式系数和等于4096，得，解得， 二项式展开式的通项公式， 令展开式中系数最大的项是第项，则， 整理得，解得，而，因此， 所以展开式中系数最大的项. 【变式15-5】．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）先根据二项式系数和，得出，再应用通项公式计算即可得出系数； （2）根据通项公式列不等式组计算求出，再结合，则最后计算即可. 【详解】（1）次二项式的展开式中各项的二项式系数和， 由题意，得，即， 由二项式通项公式，得， 即，令，得 展开式中项的系数为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则有， 化简得，即为， 解得， ，则， 展开式中项的系数最大的项为. 题型十六：三项展开式的系数问题 【例题16-1】．（2025·陕西咸阳·一模）若，则（   ）． A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】根据项，分析、、1分别取的次数，再利用组合数求系数. 【详解】由题设，对于项，取0次，取1次，1取4次，故. 故选：B 【变式16-1】．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）已知展开式中的系数为，函数的图象过点，则（   ）. A．2 B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、三项展开式的系数问题 【分析】根据二项式的定义可知有个因式中取，个因式中取项，求出，再根据函数的图象过点得，然后利用对数运算求解即可. 【详解】在的展开式中，要得到含的项， 则有个因式中取，个因式中取项，故的系数为． 又函数的图象过点，所以，解得， 所以. 故选：D 【例题16-2】．（24-25高三上·河北·阶段练习）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．该展开式各项的系数之和为 B．该展开式各项系数的绝对值之和为720 C．该展开式中含的各项系数之和为 D．该展开式中不含字母的各项系数之和为64 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】利用赋值法计算判断AD；求出按展开的通项公式，再求出展开的通项公式，求出各项系数判断BC. 【详解】对于A，取，得展开式各项的系数之和为1，A错误； 对于B，展开式的通项公式为， ，当时，展开式的通项公式为， 此时， 的系数为，的系数为， 的系数为， 的系数为， 的系数为， 的系数为， 展开式各项系数的绝对值之和为，B错误； 对于C，展开式中含的各项系数之和为，C正确； 对于D，展开式中不含字母的各项即展开式的各项， 取，得展开式的各项系数和为0，D错误. 故选：C 【变式16-2】．（2024高三·全国·专题练习） 展开项中的常数项为（    ） A．1 B．11 C． D．51 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】法一：类比二项展开式的通项处理即可． 法二：展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况. 【详解】法一：依题意，（展开式中个因式选择个因式选择， 则展开式的通项为：， 要使该项为常数，则， 当时，对应常数为1； ②当时，对应常数为； ③当时，对应常数为； 所以展开式的常数项为．故选：B． 法二：展开式中的项为常数项，有3种情况： （1）5个括号都出1，即； （2）2个括号出个括号出个括号出1，即 （3）1个括号出个括号出个括号出1，即 所以展开项中的常数项为. 故选：B. 【变式16-3】．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】写出通项，令，再求展开式中系数为1时的系数，然后相乘即可； 【详解】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 【变式16-4】．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】根据展开式的每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项， 这一项为，所以的系数为. 故选：D 题型十七：两个二项式乘积展开式的系数问题 【例题17-1】．（20-21高三上·广东汕头·阶段练习）的展开式中的系数为（ ） A． B． C．120 D．200 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 据此可得：的系数为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题. 【例题17-2】．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数、求二项展开式的第k项 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 据此可得：的系数为. 故选：B. 【变式17-1】．（22-23高二下·山东·阶段练习）的展开式中的系数是（   ） A．90 B．100 C．-40 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由二项式定理写出右边因式展开式的通项，利用多项式乘法，可得答案. 【详解】由的展开式的通项为， 则的展开式中的系数是. 故选：D. 【变式17-2】．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）的展开式中的系数为（    ） A．5 B．10 C．20 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式的通项计算. 【详解】的通项为，所以的展开式中的项为，则系数为10. 故选：B. 【变式17-3】．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）的展开式中含项的系数为（    ） A．8 B．12 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】先求出展开式的通项公式，分别求出、项的系数，即可求解展开式中含项的系数. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，可得二项式的展开式中的系数为； 令，可得二项式的展开式中的系数为． 的展开式中的系数为. 故选：B 【变式17-4】．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知的展开式中项的系数为30，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】原式展开，设的二项式展开式通项为，分别求出、的系数可得答案． 【详解】原式， 设的二项式展开式通项为 ， 令，得的系数为，令，得的系数为， 所以项的系数，得：． 故答案为：． 【变式17-5】．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）的展开式中常数项是 ． 【答案】15 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】求出的展开式的通项，再结合即可求解. 【详解】的通项公式为：， 所以的展开式中常数项是：, 故答案为：15 【变式17-6】．（24-25高二上·山东东营·期末）的展开式中常数项为 用数字作答 【答案】14 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用展开式的通项即可求解. 【详解】解：展开式的通项为， 则的展开式中常数项为 故答案为：14 题型十八：由二项展开式各项系数和求参数 【例题18-1】．（24-25高二上·上海·阶段练习）在的展开式中的系数为20，则常数 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】应用二项式展开式通项及相关项系数列方程求参数. 【详解】由题设，二项式展开式通项公式为，， 令，则，则. 故答案为： 【例题18-2】．（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】根据各项系数和及赋值法求得，结合展开式的通项判断系数最大项为奇数项，依次写出奇数项，即可得答案. 【详解】令，则的展开式各项系数之和为，则. 由的展开式通项公式，， 所以二项展开式的系数最大项在奇数项，设二项展开式中第项的系数最大， 时，时， 时，时， 则该展开式中系数最大的项为. 故答案为： 题型十九：杨辉三角的性质与应用 【例题19-1】．（24-25高二上·河南焦作·期末）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、杨辉三角、二项式的系数和 【分析】对于A，根据组合数公式：，可得答案； 对于B，根据二项式系数的求和公式，可得答案； 对于C，根据组合数公式：，以及组合数计算方法，可得答案； 遂于D，根据二项式系数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由题可知，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由题可知，第12行从左到右第4个数为，第5个数为， 则第12行从左到右第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D，由题图可知，第2025行共有2026个数，从左到右第1013个数和第1014个数相等，且都是该行最大的，故D错误. 故选：ABC. 【变式19-1】．（2024高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】杨辉三角、组合数的性质及应用 【分析】A选项由及即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由及即可判断；D选项直接计算比值即可判断. 【详解】由可得 ，故A错误； 第2022行中第1011个数为，故B错误； ，故C正确； 第34行中第15个数与第16个数之比为 ，故D错误. 故选：C. 【变式19-2】．（24-25高二上·四川眉山·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第个数为 ；第行的所有数的和为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】导数的加减法、导数的乘除法、杨辉三角、二项展开式的应用 【分析】由杨辉三角及二项式系数得出新的三角数阵中第行的第个数为；从而得到新的三角数阵中第行的和为：，令，，两边求导得，再通过赋值，即可求解. 【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为， 则新的三角数阵中第行的第个数为，故第10行的第3个数为， 新的三角数阵中第行的和为：， 设，， 两边求导得，， 令得，， 所以新的三角数阵中第行的和为. 故答案为：90，． 一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）的展开式中的常数项为（    ） A．112 B．56 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式的应用 【分析】求出的展开式的通项可得答案. 【详解】的展开式的通项， 由，得， 所以的展开式中的常数项为． 故选：A. 2．（2024·山东潍坊·三模）已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数、求二项展开式的第k项、二项展开式的应用 【分析】由，利用二项式定理求解指定项的系数. 【详解】， 其中展开式的通项为，且， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得. 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把表示成，利用即可二项式定理求解. 3．（2023·四川泸州·二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二项式的第k项求值、求二项展开式的第k项 【分析】首先写出二项式展开的通式，根据题意存在常数项，可得，进而得到的可能取值. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为. 故选：C 4．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、多项式的展开式、求指定项的系数 【分析】根据给定条件，利用两个计数原理列式求解即得. 【详解】的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x， 另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含x的项为： ， 所以x的系数为． 故选：A 5．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）的展开式中的系数是（    ） A．5 B．10 C．20 D．60 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，的展开式中项是5个多项式中取3个用， 余下2个取1个用，最后1个用的积，即， 所以的展开式中的系数是20. 故选：C 6．（23-24高二下·福建·期末）的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．141 D．140 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】利用多项式乘法写出展开式的通项，令的次数为,计算可求常数项． 【详解】展开式的通项公式为： ， 当时，常数项为1； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 所以展开式中的常数项为. 故选：C. 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为（    ） A．24 B．21 C．15 D．9 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用二项式定理求解对应项系数即可. 【详解】由二项式定理得的通项为， 当时，含有的系数为，当时，含有的系数为， 综上，原式展开式中的系数为，故D正确. 故选：D 二、多选题 8．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（    ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．展开式没有常数项 C．各项系数之和为 D．系数最大的项是第3项 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值、二项展开式各项的系数和、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】由二项式系数之和为可得的值，写出二项式展开式的通项，当为偶数时，二项式系数最大项为第项判断A，根据通项公式求常数项判断B，令即可得各项系数之和判断C，根据二项式的通项公式求解系数最大项即可判断D. 【详解】因为二项式系数之和为64，即有，所以， 则的通项， 对于A，二项式系数最大的是，它是第4项的二项式系数，正确； 对于B，令，得，得常数项为，错误； 对于C，令，得该展开式的各项系数之和为，错误； 对于D，由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值， 由， 可知展开式中系数最大的项是第3项，正确. 故选：AD 9．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】应用二项式展开式求常数项判断A；应用赋值法求各项系数之和判断B；代入自变量分别求出判断C、D； 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 所以的展开式中的常数项是，A对； 的展开式中的各项系数之和为，B错； 由，，即，C对； 由，D对. 故选：ACD 10．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ） A． B．第2023行的第1012个和第1013个数最大 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、杨辉三角、求指定项的系数 【分析】选项A，利用组合数的公式计算即可；选项B，利用组合数的性质判断即可；选项C，根据二项式定理得展开式判断即可；选项D，先明确第行所有数字的平方和与第行的中间一项的数字，然后构造等式，计算等式两边的系数即可，利用系数相等，得到答案. 【详解】选项A，因为， 易知 ，故A错误； 选项B，易知第2023行的第1012个和第1013个数分别是，， 由排列数的性质可知，两个同为最大，故B正确； 选项C，由题易知，， 易知，故C错误； 选项D，由题易知，第行所有数字的平方和为， 第行的中间一项的数字为， 构造等式， 在等式左边的系数为， 等式右边的系数为， 故，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：选项A，利用递推计算即可；选项D，需要根据题意得到二项式相关的式子，然后观察式子构造等式，利用相对应的系数相等得到答案. 11．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式的所有项系数和为64 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】赋值法判断A；应用二项式的展开式的性质判断B、C、D. 【详解】A：令，则，A错； 由，， 当时，二项式系数最大，B对； 当时，，C错； 当时，常数项为，D对. 故选：BD. 三、填空题 13．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）在的展开式中，有理项有 项． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求有理项或其系数 【分析】求出通项公式，令的系数为整数，找出符合的值即可. 【详解】的展开式的通项为， 令为整数，则，共项. 故答案为：. 14．（23-24高二下·山西临汾·期中）已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题、二项式的系数和、求有理项或其系数、计算古典概型问题的概率 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的有理项项数，利用不相邻的排列问题求解即得. 【详解】依题意，，解得，因此二项式的展开式共8项， 展开式的通项为， 当时，是有理项，则展开式的有理项共 4项， 所以将展开式中的各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率. 故答案为： 15．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】令确定对应的系数，得到，再应用二项式的展开式求的系数，列方程求参数. 【详解】当时，，则的系数，不符合， 所以，则的系数，可得. 故答案为：2 16．（2025·江西新余·一模）的展开式中的系数为36，则的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】因为的二项展开式为， 令，可得； 令，可得； 可得， 所以， 解得：， 故答案为： 17．（2025高三·全国·专题练习）已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为 ． 【答案】/0.015625 【难度】0.65 【知识点】由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和 【分析】先求出二项式的展开式通项，利用常数项列式求得，然后赋值法求解系数和即可. 【详解】二项式的展开式通项， 令，得，故展开式中的常数项为，得（舍去负值）， 则令得展开式中所有项的系数之和为． 故答案为： 18．（2025·浙江·模拟预测）展开式中的系数为 . 【答案】30 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】求出二项式的展开式的项和项即可得解. 【详解】二项式的展开式中，项为，项为， 因此展开式中项为， 所以所求系数为30. 故答案为：30 19．（2024高三·全国·专题练习）若展开式中各项的系数之和为96，则展开式中的系数为 . 【答案】25 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】根据已知各项系数之和可得，再结合展开式的通项公式求含的系数. 【详解】由题意，得，则， 展开式的通项公式为，， 所以展开式中的系数为. 故答案为：25 四,解答题 20．（23-24高二下·湖北·期末）已知的展开式中各二项式系数的和为64． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中各项系数的和； (3)若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题、二项式的系数和、求有理项或其系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质，求出； （2）用赋值法求出各项系数的和； （3）利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】（1）二项式系数之和为，解得. ，令解得， 则常数项为. （2）令 则展开式中各项系数的和为. （3）由（1）可知， 令，则即展开式中有理项有4项， 把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其它的3个无理项先任意排，再把这4个有理项插入其中的4个空中，方法共有种， 设事件“有理项互不相邻”，. 21．（23-24高二下·新疆巴音郭楞·期末）已知的展开式中，所有项的系数之和是. (1)求展开式中的有理项有几项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 【答案】(1)4 (2)2 【难度】0.65 【知识点】求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和、由项的系数确定参数、求有理项或其系数 【分析】（1）先借助赋值法求得，从而求出二项式的通项公式，然后利用求解即可； （2）设第项的系数绝对值最大，列出相应不等式组，解出即可得. 【详解】（1）由于所有项的系数之和是. 令，得，， 展开式的通项（）， 令，， 展开式中有理项共有4项. （2）设第项系数的绝对值最大. 则， 得，解得， ，， 展开式中系数绝对值最大的项为第2项. 22．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知的展开式中共有10项. (1)求展开式中各项系数之和； (2)求展开式中的常数项，并确定有理项有多少项. 【答案】(1) (2)；有5项. 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、求有理项或其系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）由题意求出，令得所有项的系数之和； （2）求出展开式的通项，令解得可得常数项；令可得展开式中有理项. 【详解】（1）由题意知，在的展开式中， 令.得：， 因此的展开式中，所有项的系数之和是； （2）展开式的通项： ， 令，解得， 因此展开式中的常数项， 要使为有理项，则， 因为时，， 所以展开式中有理项有5项. 23．（23-24高二下·山东威海·阶段练习）已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中含的项； (3)若第k项是有理项，求k的取值集合． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求二项展开式的第k项、求有理项或其系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）展开式的二项式系数和求出n的值，再利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）利用二项式定理求出通项，令，求出，代入通项求解即可 （3）当为整数时为有理项，即可求解 【详解】（1）在展开式的二项式系数和为256， 即， ， 展开式中二项式系数最大的项中间项，即第5项， 所以， （2）， 由，所以展开式中含的项是第2项， 所以 （3）， 当为整数时为有理项，即， 则k的取值集合 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优专题：二项式定理 二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项． (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项． (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项． (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项． 注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． 注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 二项展开式的通项 二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 二项式系数的性质 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或 题型一：求二项展开式 【解题技巧】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项：可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数：可由某项得出参数值，再写出第项，由特定项得出值，最后求出其系数. 【例题1-1】．（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【变式1-1】．（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式 . 【变式1-2】．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知二项式． (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 【变式1-3】．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 题型二：二项展开式的应用 【例题2-1】．（24-25高三上·北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 【例题2-2】．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2024·江西新余·模拟预测）在正整数集中，，表示代数式的余数为（正负号不影响该关系），反之记作.艾森斯坦判别法可用于判定一个多项式能否在有理数范围内因式分解，方法如下：对于多项式：.若存在素数（只有和自身两个因数的数）满足：①，②，③，则原多项式不能在有理数范围内因式分解.值得注意的是，若不存在这样的，则无法判断该多项式能否在有理数范围内因式分解.已知多项式（为奇素数），由艾森斯坦判别法，有：（     ） A．对于，多项式总不能在有理数范围内因式分解 B．某些，多项式能在有理数范围内因式分解 C．对于，多项式能否在有理数范围内因式分解均无法判断 D．某些，多项式能否在有理数范围内因式分解无法判断 【变式2-2】．（24-25高二上·辽宁·期末）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图①，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下（如图②）： 上表图②中第行的第个数用表示，即展开式中含项的系数为，则（    ） A． B． C．（，） D． 【变式2-3】．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）已知，其中是关于的多项式，则 ; 【变式2-4】．（23-24高二下·河北沧州·期中）“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得 ．（结果用组合数表示） 题型三：二项展开式的整除和余数问题 【例题3-1】．（23-24高二下·吉林·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m均为整数，若a和b被m除得的余数相间，则称a和b对模m同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记.若，且，则b的值可以是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【例题3-2】．（23-24高二下·广东广州·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，，则b的值不可能的是（    ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【变式3-1】．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知，则a被10除所得的余数为 . 题型四：求二项展开式的第k项 【例题4-1】．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【例题4-2】．（2024·陕西西安·模拟预测）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【变式4-2】．（2024高三·全国·专题练习）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数之和等于 B．项的系数等于 C．无理项的系数之和为 D．系数最小的是第项 【变式4-3】．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）在的展开式中（    ） A．所有系数的绝对值之和为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 【变式4-4】．（23-24高二下·上海·期中）的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 【变式4-5】．（23-24高三下·北京·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为 ． 题型五：根据二项式的第k项求值 【例题5-1】．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 . 【例题5-2】．（23-24高三下·陕西·阶段练习）在的展开式中，的系数为84，则 ． 【变式5-1】．（21-22高二下·山西朔州·阶段练习）已知的展开式中，第4项为． (1)求正整数n的值； (2)求的展开式中的系数． 题型六：多项式的展开式 【例题6-1】．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 【变式6-1】．（22-23高二下·湖南湘潭·期末）在的展开式中常数项等于 . 题型七：求指定项的二项式系数 【例题7-1】．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（    ） A． B． C． D． 【例题7-2】．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）展开式中含项的系数是 . 【变式7-1】．（江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三下学期2月学情调研测试数学试卷）在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 用数字作答 题型八：二项式系数的增减性和最值 【例题8-1】．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【例题8-2】．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．（24-25高二上·江西吉安·期末）已知展开式中二项式系数之和为64，则（    ） A． B．展开式的各项系数之和是1 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式中常数项为240 【变式8-2】．（24-25高二上·陕西汉中·期末）对于的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式共有7项 B．展开式中各二项式系数之和是 C．展开式中第三项的二项式系数最大 D．展开式中的常数项是20 题型九：二项式的系数和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝. 【例题9-1】．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【变式9-1】．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 【变式9-2】．（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（    ） A． B．100 C． D．380 【变式9-3】．（24-25高三下·山东·开学考试）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（   ） A． B．所有项的系数和为1 C．没有常数项 D．的系数为14 【变式9-4】．（24-25高二上·江西南昌·期末）关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为60 D．有理项共有3项 【变式9-5】．（2025·山东·模拟预测）已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为 （用数字作答） 【变式9-6】．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为 ． 【变式9-7】．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 题型十：求指定项的系数 【例题10-1】．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）在的展开式中，的系数是（   ） A．690 B． C．710 D． 【例题10-2】．（24-25高三上·浙江·期中）已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为 .（用数字作答） 【变式10-1】．（24-25高二上·江西上饶·期末）的展开式中常数项为 ． 【变式10-2】．（24-25高三上·浙江宁波·期末）在的展开式中，含的项的系数为 （用数字作答）. 题型十一：求有理项或其系数 【例题11-1】．（24-25高三上·甘肃白银·期中）对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中的常数项为 B．展开式中的常数项为 C．展开式中的有理项有3项 D．展开式中的有理项有4项 【例题11-2】．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）在的展开式中，有理项有 项． 【变式11-1】．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 题型十二：由项的系数确定参数 【例题12-1】．（2025·广东·一模）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的中间项为 C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项 题型十三：二项展开式各项的系数和 【例题13-1】．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知. (1)若，求的值； (2)若，求数列的前项和. 【变式13-1】．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知. (1)若，求； (2)若的展开式中的系数为6，求展开式中系数的最小值. 【变式13-2】．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 题型十四：求系数最大（小）的项 【例题14-1】．（24-25高三下·广东清远·开学考试）在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【变式14-1】．（24-25高三上·湖北武汉·期末）展开式中只有第7项的系数最大，则 . 【变式14-2】．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 题型十五：奇次项与偶次项的系数和 【例题15-1】．（2024·四川德阳·一模）设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【例题15-2】．（23-24高二下·河南三门峡·阶段练习）若，则（ ） A． B．41 C． D．82 【变式15-1】．（2024高三·全国·专题练习）若，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式15-2】．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式的各项系数和为243 C．展开式中奇数项的二项式系数和为16 D．展开式中不含常数项 【变式15-3】．（24-25高二上·江苏常州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-4】．（24-25高二上·上海徐汇·期末）在二项式的展开式中： (1)若，求 (2)若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项． 【变式15-5】．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 题型十六：三项展开式的系数问题 【例题16-1】．（2025·陕西咸阳·一模）若，则（   ）． A．1 B．5 C．10 D．15 【变式16-1】．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）已知展开式中的系数为，函数的图象过点，则（   ）. A．2 B． C． D．1 【例题16-2】．（24-25高三上·河北·阶段练习）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．该展开式各项的系数之和为 B．该展开式各项系数的绝对值之和为720 C．该展开式中含的各项系数之和为 D．该展开式中不含字母的各项系数之和为64 【变式16-2】．（2024高三·全国·专题练习） 展开项中的常数项为（    ） A．1 B．11 C． D．51 【变式16-3】．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式16-4】．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．20 D． 题型十七：两个二项式乘积展开式的系数问题 【例题17-1】．（20-21高三上·广东汕头·阶段练习）的展开式中的系数为（ ） A． B． C．120 D．200 【例题17-2】．（23-24高二下·河南·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 【变式17-1】．（22-23高二下·山东·阶段练习）的展开式中的系数是（   ） A．90 B．100 C．-40 D． 【变式17-2】．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）的展开式中的系数为（    ） A．5 B．10 C．20 D． 【变式17-3】．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）的展开式中含项的系数为（    ） A．8 B．12 C． D． 【变式17-4】．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知的展开式中项的系数为30，则 ． 【变式17-5】．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）的展开式中常数项是 ． 【变式17-6】．（24-25高二上·山东东营·期末）的展开式中常数项为 用数字作答 题型十八：由二项展开式各项系数和求参数 【例题18-1】．（24-25高二上·上海·阶段练习）在的展开式中的系数为20，则常数 ． 【例题18-2】．（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为 . 题型十九：杨辉三角的性质与应用 【例题19-1】．（24-25高二上·河南焦作·期末）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 【变式19-1】．（2024高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 【变式19-2】．（24-25高二上·四川眉山·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第个数为 ；第行的所有数的和为 ． 一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）的展开式中的常数项为（    ） A．112 B．56 C． D． 2．（2024·山东潍坊·三模）已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 3．（2023·四川泸州·二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试）的展开式中的系数是（    ） A．5 B．10 C．20 D．60 6．（23-24高二下·福建·期末）的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．141 D．140 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为（    ） A．24 B．21 C．15 D．9 二、多选题 8．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（    ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．展开式没有常数项 C．各项系数之和为 D．系数最大的项是第3项 9．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知二项展开式，下列说法正确的有（为虚数单位）（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C． D． 10．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ） A． B．第2023行的第1012个和第1013个数最大 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 11．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式的所有项系数和为64 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240 三、填空题 13．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）在的展开式中，有理项有 项． 14．（23-24高二下·山西临汾·期中）已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为 . 15．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 16．（2025·江西新余·一模）的展开式中的系数为36，则的值为 . 17．（2025高三·全国·专题练习）已知的展开式中的常数项为，则展开式中所有项的系数之和为 ． 18．（2025·浙江·模拟预测）展开式中的系数为 . 19．（2024高三·全国·专题练习）若展开式中各项的系数之和为96，则展开式中的系数为 . 四,解答题 20．（23-24高二下·湖北·期末）已知的展开式中各二项式系数的和为64． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中各项系数的和； (3)若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率． 21．（23-24高二下·新疆巴音郭楞·期末）已知的展开式中，所有项的系数之和是. (1)求展开式中的有理项有几项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 22．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知的展开式中共有10项. (1)求展开式中各项系数之和； (2)求展开式中的常数项，并确定有理项有多少项. 23．（23-24高二下·山东威海·阶段练习）已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中含的项； (3)若第k项是有理项，求k的取值集合． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$