专题05 导数及其应用-2025年高考数学二轮复习核心考点聚焦与强化（新高考全国卷)

专题05 导数及其应用 一、关键知识： 1.求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2.求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 3.已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 4.利用导数判断函数单调性： 设函数在某个区间内可导，则 （1）该区间内为增函数；该区间内为减函数. 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的. （2）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 5.利用导数求极值： （1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。 （2）求函数在某个区间上的极值的步骤： （i）求导数； （ii）求方程的根； （iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。 特别提醒： （1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。 （2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 6.利用导数求最值：比较端点值和极值 （1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。 （2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 二、聚焦高考： 从近几年的新高考试题来看，多集中于考查利用导数研究函数的切线、单调性、极值与最值、比较大小、不等式证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等。选择填空题部分常以考查导数运算及切线问题，利用导数研究函数单调性解不等式或判断大小，求参，求函数的极值、最值等问题为主。 1．（2022全国II）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 2．（2021全国II）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 3．（2024全国I）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 4．（2021全国I）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 5．（2021全国I）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024全国I）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 7．（2021全国I）函数的最小值为 . 8．（2022全国I）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 9．（2023全国II）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 10．（2023全国II）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 11．（2024全国II）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 12．（2021全国II）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 13．（2022全国I）设，则（    ） A． B． C． D． 三、考点精练： 考点一： 利用导数求切线方程 1.曲线在点处的切线方程为 ． 2．函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 4.曲线过原点的切线方程为 . 5．函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 6．与曲线和都相切的直线方程为 . 考点二： 由切线方程求参数的值 1.若曲线在点处的切线方程为，则 ． 2．已知，，若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知直线是曲线与的公切线，则 . 4.已知曲线与的公切线为，则实数 . 5．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 考点三：由切线方程求参数范围 1．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 3．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四：利用导数研究函数的单调性及大小关系 1．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(0，1)(2，3) 2．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 6．设，则（    ） A． B． C． D． 7.已知，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 考点五：利用导数求解函数的极值、最值及零点个数判断 1．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的极小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C． D． 4．已知函数，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．函数的极值情况是（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值 6．已知函数，为的导函数，，则（    ） A．的极大值为，无极小值 B．的极小值为，无极大值 C．的极大值为，无极小值 D．的极小值为，无极大值 7．若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A． B． C． D． 8．若为函数的极值点，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点六：由函数单调性、极值、最值及零点个数求参数的取值范围 1．若函数单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 四、强化训练： 题组一： 利用导数求切线方程 1．已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线为曲线过点的切线. 则直线的方程为 . 3．过点与曲线相切的直线方程为 ． 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．曲线在点处的切线方程为 . 6．已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为（    ） A．-1 B．1 C． D．2 7．已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 8．曲线与的公切线方程为 . 题组二： 由切线方程求参数的值 1.设直线是曲线的一条切线，则 ． 2．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 3．已知函数的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 5．已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 . 6．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A． B．0 C．2 D．0或2 7．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 8．已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 9．若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为 . 题组三：由切线方程求参数范围 1．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是 . 4．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题组四：利用导数研究函数的单调性及大小关系 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．若在处有极值，则函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．已知，b=0.01，c=ln1.01，则（    ） A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a 5．设，则（    ） A． B． C． D． 6．设，则（    ） A． B． C． D． 7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．已知，则的大关系为（    ） A． B． C． D． 9.若则（ ） A． B． C． D． 10.设，，，则（ ） A． B． C． D． 11．设，，．则 (　　) A． B． C． D． 12.若，则（ ） A． B． C． D． 13．设，则（    ） A． B． C． D． 题组五：利用导数求解函数的极值、最值及零点个数判断 1.函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，那么的极大值是（    ） A． B． C． D． 3．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 5．已知，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 6．函数在处取得极小值，则极小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．已知函数在处取得极小值1，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在处有极值8，则等于（    ） A． B．16 C．或16 D．16或18 9．已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 10．当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 题组六：由函数单调性、极值、最值及零点个数求参数的取值范围 1．已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．e B．1 C． D． 2．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 3．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数没有极值点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 导数及其应用 一、关键知识： 1.求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2.求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 3.已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 4.利用导数判断函数单调性： 设函数在某个区间内可导，则 （1）该区间内为增函数；该区间内为减函数. 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的. （2）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 5.利用导数求极值： （1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。 （2）求函数在某个区间上的极值的步骤： （i）求导数； （ii）求方程的根； （iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。 特别提醒： （1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。 （2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 6.利用导数求最值：比较端点值和极值 （1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。 （2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 二、聚焦高考： 从近几年的新高考试题来看，多集中于考查利用导数研究函数的切线、单调性、极值与最值、比较大小、不等式证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等。选择填空题部分常以考查导数运算及切线问题，利用导数研究函数单调性解不等式或判断大小，求参，求函数的极值、最值等问题为主。 1．（2022全国II）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 , 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 解： 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象如图所示,所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 2．（2021全国II）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 【答案】 【详解】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以， 所以，同理,所以.故答案为： 3．（2024全国I）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为； 由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为： 4．（2021全国I）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【详解】因为，所以，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,因为切线过原点，所以,整理得：,因为切线有两条，所以,解得或,所以的取值范围是,故答案为： 5．（2021全国I）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则. 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示,  由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.  故选：D. 6．（2024全国I）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，A正确； 对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，C正确； 对D，当时，，所以，D正确； 故选：ACD. 7．（2021全国I）函数的最小值为 . 【答案】1 【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；所以.故答案为：1. 8．（2022全国I）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 9．（2023全国II）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C． 10．（2023全国II）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD 11．（2024全国II）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上， ， 于是，即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 12．（2021全国II）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为，又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 13．（2022全国I）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：构造法 设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则, 令，，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以.故选：C. 方法二：比较法 因为 ， ， ，所以 ， 令 则 ，故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； 因为 ， 令 则 ， 令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 三、考点精炼： 考点一： 利用导数求切线方程 1.曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以切线方程为，即. 2．函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则切线的斜率是，，则切线方程是，即．故选：D 3．过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【答案】或 【详解】，则．设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，代入点，得，即，解得或．当时，切线方程为；当时，切线方程为．故答案为：或 4.曲线过原点的切线方程为 . 【答案】 【解析】由得，设切点为，则切线方程为，由于切线经过原点，所以，解得，所以切线方程为，即. 5．函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以切点为，又，由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．故选：B 6．与曲线和都相切的直线方程为 . 【答案】 【详解】设直线与曲线相切于点，因为，所以该直线的方程为，即，设直线与曲线相切于点，因为，所以该直线的方程为，即，所以，解得，所以该直线的方程为，故答案为：. 考点二： 由切线方程求参数的值 1.若曲线在点处的切线方程为，则 ． 【答案】 【解析】,依题意得，即，又因为，所以. 2．已知，，若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】设切点为，由题得，所以切线的斜率，且，所以切线方程为，即，与直线相同，所以，整理得，所以，当且仅当，时，取得最小值9．故选：C 3．已知直线是曲线与的公切线，则 . 【答案】 【详解】设曲线上切点，，切线斜率，切线方程，即，同理，设曲线上切点，，切线斜率，切线方程，即，所以，解得，所以，，.故答案为：. 4.已知曲线与的公切线为，则实数 . 【答案】 【解析】由函数，可得，设切点坐标为，可得，则切线方程为，即，与公切线重合，可得，可得，所以切线方程为，对于函数，可得，设切点为，则，则 ，解得. 5．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，.所以，.由因为在，两个不同点处的切线相互平行，所以，又，所以，故CD错误；因为且，所以，故A不成立；当时，.故B成立.故选：B 考点三：由切线方程求参数范围 1．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设公切线与函数切于点，由，得，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，设公切线与函数切于点，由，得，则公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得， 所以，消去，得，由，得，令，则，所以在上递减，所以，所以由题意得，即实数的取值范围是，故选：A 2．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，结合图象可知，即.故选A.   3．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得.要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，即函数图象与直线在R上有3个交点，设，则，令，令或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，且极小值、极大值分别为，如图，由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，即过点的切线有3条.所以实数a的取值范围为.故选：B. 4．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点，则切线方程为，又切线过，则，有两个不相等实根， 其中或， 令或，当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减，，，当时，，当时，，所以，即.故选：D. 考点四：利用导数研究函数的单调性及大小关系 1．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(0，1)(2，3) 【答案】B 【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是．故选：B． 2．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解:由题知,定义域为,所以,令,解得, 所以的单调增区间为:.故选:C 3．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，， 由得，所以的单调减区间为.故选：D. 4．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令，解得，所以的单调递减区间为，故选：A. 5．函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【详解】的定义域为，， 为偶函数；当时，在区间上单调递增. 故选：A. 6．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，设0，所以，所以函数在上单调递增，所以，即.根据已知得，可设， 则，所以函数在上单调递增，所以，即.综上，.故选：D. 7.已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，，，所以当时，，则在上递减，当时，，则在上递增，由可得，化为，∴，则，同理，；，，因为，所以，可得，因为在上递减，∴，故选：C． 8．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，又，所以是偶函数，又，令，则恒成立， 所以当时，，即，又在上单调递增，所以，所以在上恒成立，则在上单调递增，构造函数，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，所以，所以，所以.故选：B. 考点五：利用导数求解函数的极值、最值及零点个数判断 1．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，又，令，则或，所以当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为．故选：D． 2．已知函数，则的极小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，因为，所以，令，则，解得或（舍）， x 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 由此表可知，当时，的取得极小值为.故选：D. 3．函数在区间上的最大值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，令或，又，所以当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以函数有极大值，又，所以函数在上的最大值为：，故选：C. 4．已知函数，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令，得，当，，为减函数，当，，为增函数，又，则.故选：C. 5．函数的极值情况是（    ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值 【答案】D 【详解】因为，所以，由，得或，时，；时，；时，，∴函数的递减区间是，；递增区间是，所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，所以函数既有极大值又有极小值.故选：D. 6．已知函数，为的导函数，，则（    ） A．的极大值为，无极小值 B．的极小值为，无极大值 C．的极大值为，无极小值 D．的极小值为，无极大值 【答案】C 【详解】的定义域为，，所以，求导得，令，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，取得极大值，无极小值．故选：C． 7．若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A． 8．若为函数的极值点，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，因为是函数的极值点，所以，则，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以．故选：C 考点六：由函数单调性、极值、最值及零点个数求参数的取值范围 1．若函数单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，即对任意恒成立，即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），所以.故选：D 2．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上存在单调递增区间，所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 3．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意知， 有两个不相等的零点，故， 解得且 . 故选：D. 4．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，可得，若，此时单调递增，无极值点， 故，令，解得，当时，，当时，，故是的极值点，由于函数有大于零的极值点，，解得．故选：C． 5．函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】函数的定义域为，，令，，所以当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，又因为当时，则，，所以存在唯一，使得，所以函数在时，时，所以函数在单调递增，单调递减，所以要使函数在区间上存在极值，所以的最大值为3，故选:B. 6．已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，故，因为函数在上无极值，所以在R上恒成立，当时，，设，则，当时，得，当时，得，则在上单调递减，在上单调递增，从而，故，当时，，则.综上，.故选：D. 7．已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当或时，，当时，，所以函数在，上递增函数，在上递减函数，故时函数有极大值，且，所以当函数在上有最大值，则且，即，解得.故选B. 四、强化训练： 题组一： 利用导数求切线方程 1．已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.故选：D 2．已知直线为曲线过点的切线. 则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】因为，所以.   设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为，因为过点的切线方程为，即，又点在切线上，所以，整理得，∴，解得或；所以所求的切线方程为或. 3．过点与曲线相切的直线方程为 ． 【答案】 【详解】设切点坐标为，，.则切线方程为，因为在切线上，所以，即,又，所以，令，，当时，，所以在上单调递增，所以方程只有唯一解为.即切点坐标为，故所求切线方程为，即.故答案为： 4．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所求切线斜率，所求切线方程为：，即.故选：A. 5．曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由题意，在中，，当时，， ∴在点处的切线方程为：，即：，故答案为：. 6．已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为（    ） A．-1 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由函数，可得，则，所以直线的斜率为.故选：C． 7．已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令，可得，，所以在处的切线方程为.故选：B 8．曲线与的公切线方程为 . 【答案】 【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为.因为，则公切线的斜率，所以. 因为公切线的方程为，即，将代入公切线方程得，由，得.令，则， 当时，；当时，0，故函数在上单调递增，在上单调递减，，所以，故公切线方程为，即.故答案为：. 题组二： 由切线方程求参数的值 1.设直线是曲线的一条切线，则 ． 【答案】 【解析】设切点为，，则，所以，所以切点为，又切线为，所以，解得. 2．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 【答案】D 【详解】因为，所以，当时，，所以曲线在点处的切线的斜率等于3，所以直线的斜率等于，即，解得，故选:D. 3．已知函数的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以.又的图象在处的切线方程为， 所以，解得，则，所以，代入切线方程得，解得，故.故选：B. 4．已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ． 【答案】3 【详解】设直线l与曲线相切于点，由，得，因为l与曲线相切，所以消去，得，解得．设l与曲线相切于点，由，得，即，因为是l与曲线的公共点，所以消去，得，即，解得．故答案为：3. 5．已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则 . 【答案】 【详解】设该公切线过函数、函数的切点分别为，. 因为，所以该公切线的方程为，同理可得，该公切线的方程也可以表示为，因为该公切线过原点，所以，解得.故答案为： 6．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A． B．0 C．2 D．0或2 【答案】D 【详解】设直线与曲线的切点为，由，则， 则，，即切点为，所以直线为，又直线与圆都相切，则有，解得或．故选：D． 7．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】设直线与曲线的切点为且，与曲线的切点为且，又，，则直线与曲线的切线方程为，即，直线与曲线的切线方程为，即，则，解得，故，故选：A. 8．已知直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，，所以在点处的切线方程为，即①令，解得，即直线与曲线的切点为，所以，即，解得或，当时，①为，不符合题意，舍去，所以，此时①可化为，所以，故选：A 9．若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为 . 【答案】1 【详解】设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，则是函数和的图象与曲线交点的横坐标，易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，因此点关于直线对称，从而，，所以．故答案为：1. 题组三：由切线方程求参数范围 1．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导，得，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知，点在直线上，可得.令，则.当时，单调递减， 当时，单调递增，所以，且当时，，当时，，又直线与曲线的图象有两个交点，所以的取值范围为.故选：C 2．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，又，则公切线的斜率，则，所以，则公切线方程为，即，代入得：，则，整理得，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则，令得，当时，，单调递增，时，，单调递减，又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如图所示，所以，解得，故实数a的取值范围为.故选：B. 3．若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得.因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，则方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，设，则，当时，单调递增；在和上，单调递减，，当或时，，画出的图象如图，要使函数的图像有三个交点，需，即，即的取值范围是，故答案为： 4．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点为，由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：，因为切线过点，所以，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图象交点的个数，设，则，由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调递增，当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷， 的图象如下图，且，要使与的图象有三个交点，则.则的取值范围是:.故选：A. 题组四：利用导数研究函数的单调性及大小关系 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，令，得， 所以函数的单调递增区间为.故选：C 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的定义域为，，令，解得， 所以的单调递减区间为，故选：B 3．若在处有极值，则函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，，解得，故，当时，，单减；当时，，单增，故函数的单调递增区间是.故选：A 4．已知，b=0.01，c=ln1.01，则（    ） A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a 【答案】C 【详解】由指数函数的性质得：，设，则在时恒成立，所以在上是增函数，是连续函数，因此在上是增函数，所以，即，即，所以，所以．故选：C． 5．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，令，则，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以.综上，.故选：A 6．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则令，得，则在上单调递增，在上单调递减，，则，又，得， 所以，故选：A 7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，所以，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，，，所以，即.故选：C 8．已知，则的大关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减,故.则，即；由可知，故.故选：B. 9.若则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，，所以时，，函数 单调递增，时，，函数 单调递减，又，与，所以将不等式两边取自然对数得，故选A. 10.设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令且，则，若，则在上，即单调递减，又，，即使，∴在上，即，单调递减；∴，有，即，令且，则，若，则，即在上单调递增，在上单调递减，∴，即，在上递减， ∴，有，即，故选：D. 11．设，，．则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,所以; 下面比较与的大小关系: 记,则,， 由于所以当0<x<2时，, 即,,所以在上单调递增，所以, 即,即;令, 则,,由于， 在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，. 12.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有；当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B． 13．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，设，，则，则在上单调递增，则，则在上恒成立，则，即，设，，则在上恒成立，则，则在上恒成立，令，则，则， 设，在上恒成立，则在上单调递增，则，即在上恒成立，令，则，则，即，故，故选：B. 题组五：利用导数求解函数的极值、最值及零点个数判断 1.函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为，且，所以当时，当或时，所以在上单调递增，在，上单调递减，所以在处取得极小值，在处取得极大值，即极小值点为，极大值点为.故选：D 2．已知函数，那么的极大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数为，令可得，当时，； 当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故选：A. 3．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，当时，，当时，.所以的极大值为.故选：B. 4．已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】因为，，所以.当或时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，.故选：D. 5．已知，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值 【答案】C 【详解】因为，所以，则当时，当时，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时函数有极大值，无极小值.故选：C 6．函数在处取得极小值，则极小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，因为函数在处取得极小值，则，解得，此时，当或时，，当，时，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值.故选：C 7．已知函数在处取得极小值1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，因为在处取得极小值1，所以有，当时，单调递增，当时，单调递减，所以是函数的极小值点，故满足题意，于是有.故选：C 8．已知函数在处有极值8，则等于（    ） A． B．16 C．或16 D．16或18 【答案】A 【详解】，若函数在处有极值8，则 且，即 ，解得或 ，当时，，此时不是极值点，故舍去，当时，，当或时，，当，故是极值点，故符合题意，故，故，故选：A 9．已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，.令，得； 令，得.所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.则是函数的极小值点，故，解得.故选：B 10．当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B. 题组六：由函数单调性、极值、最值及零点个数求参数的取值范围 1．已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．e B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立．令，则在上恒成立，所以在区间上单调递减，所以，故．故选：D. 2．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 【答案】A 【详解】由题意得在上恒成立，，故， 即，令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，故a的最小值为.故选：A 3．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，所以在上递增，又，所以. 所以的取值范围是.故选：B 4．已知函数没有极值点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数没有极值点，，或恒成立， 由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0， 恒成立．令，则，当时，恒成立，为上的增函数， 因为是增函数，也是增函数，所以，此时，不合题意； 所以当时，为增函数，由得，令在上单调递减，在上单调递增，当时，依题意有，即，，，令，，则，令，令，解得，所以当时，取最大值故当，，即，时，取得最大值综上，若函数没有极值点，则的最大值为故选：B. 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$