专题04 函数与不等式-2025年高考数学二轮复习核心考点聚焦与强化（新高考全国卷)

专题04 函数与不等式 一、关键知识： 1.基本不等式 （1）重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： （2）基本不等式：，当且仅当时取等号．其中，叫做算术平均数，叫做几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （3）利用基本不等式求最值：已知x>0，y>0，则 ①如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) ②如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 2.函数奇偶性的性质与判断 （1）如果函数的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． （2）如果函数的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 3.函数的对称性 （1）轴对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． （2）点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 4.函数的单调性 判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法，导数法． 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． 设任意且，那么 1 在是增函数； 2 在上是减函数． 3 在是增函数； 4 在上是减函数． 函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间． 5.指对幂函数的大小比较 方法一：运用函数的单调性比较 (1)对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小； (2)有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小. 方法二：因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小. 方法三：寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律 (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间 (2)可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值 方法四：作差法、作商法 (1)一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小 (2)作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解 方法五：利用对数运算分离常数比大小 这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小 方法六：构造函数 学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练. 构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律. 方法七：放缩法 (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数 (2)指数和幂函数结合来放缩。 (3)利用均值不等式等不等关系放缩 方法八：“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维. 二、聚焦高考： 1．（2022全国II）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024全国II）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 3．（2021全国II）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021全国I）已知函数是偶函数，则 . 5．（2023全国II）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 6．（2021全国II）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023全国I）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024全国I）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2023全国II）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 10．（2024全国II）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 11．（2024全国I）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、考点精炼： 考点一：函数与基本不等式融合 1．（多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则有最小值 C．若，则 D．若，则有最大值2 2．（多选）已知，，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为36 C．的最小值为 D．的最小值为 3.若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．已知函数，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D．2 6．已知函数，若，且，则的最小值是 . 7．已知函数，若，则的最小值为 ． 8．设函数，若恒成立，求的最小值为 . 考点二：利用函数奇偶性周期性求值（求参） 1．已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C．0 D．2 2．已知函数是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当 时，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 4．已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 5.已知定义域为的奇函数，则 . 6．已知函数为奇函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 7．已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 8．若函数在定义域上为奇函数，则（ ） A． B. C. D. 9．已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 10．若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 考点三：利用函数的单调性比较大小及求参 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数为偶函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 6．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若函数在上为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 10．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四：函数零点与方程的根 1．已知函数的零点在区间内，则 ． 2．函数的零点为_____. 3．设函数，则函数的零点为_______． 4．函数是奇函数，则函数的零点是______. 5．已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．9 D．27 6．已知函数若的两个零点分别为，则__________． 7．已知函数，若均不相等，且==，则的取值范围是（       ） A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24) 8．已知函数，当方程有两解时， 的取值范围是 . 9．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 10．（多选）已知函数且，则下列说法正确的有（ ） A．在区间和上单调递减 B．直线与的图象总有3个不同的公共点 C． D． 考点五：抽象函数问题 1．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 ． 2．函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则 . 3．已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则 . 4．已知函数的定义域为，若，且，则 . 5．（多选）已知函数的定义域为，若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D．0 7．（多选）若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 8．（多选）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 四、强化训练： 题组一：函数与基本不等式融合 1．（多选）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 2．（多选）已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．已知函数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若，则的最小值为（　　） A．9 B． C．3 D． 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B． C．在为减函数 D．不等式的解集为 7．已知，若实数且，则的最小值是 ． 8．已知正实数，满足方程，则的最小值为 ． 题组二：函数奇偶性求值（求参） 1．已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．已知函数满足：，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知可导函数的定义域为是的导函数，且均为奇函数，，则（   ） A． B． C．0 D．1 4．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 5．已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，（a为常数），则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 6．已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 7．设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．2025 8．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 9．函数为偶函数，则的值为（     ）. A． B． C． D． 10．已知函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 题组三：利用函数的单调性比较大小及求参 1．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，，则的解集为（ ） A． B． C． D． 5．若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 7.若函数在区间上是增函数，则a的取值范围 . 8．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是 ． 9．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 题组四：函数零点与方程的根 1．方程的根，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，则函数的零点为（       ） A． B．，0 C． D．0 3．设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　) A. B. C. D. 4．已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为 5．已知函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______． 7．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数，则（ ） A．函数有3个零点 B．若函数有2个零点，则 C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则 D．关于的方程有5个不等实数根 题组五：抽象函数问题 1．已知是定义在上的奇函数，且满足，则 ． 2．（多选）已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（   ） A．4为的一个周期 B．8为的一个周期 C． D． 3．（多选）设函数与其导函数定义域均为，且为偶函数，，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D． 5．（多选）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 6．（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，则（    ）． A．的图像关于点对称 B．是周期为4的周期函数 C． D． 7．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（    ） A．是周期4的周期函数 B．图象关于点对称 C． D．图象关于点对称 8．（多选）若函数是定义域为的奇函数，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于直线对称 D． 5 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数与不等式 一、关键知识： 1.基本不等式 （1）重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： （2）基本不等式：，当且仅当时取等号．其中，叫做算术平均数，叫做几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （3）利用基本不等式求最值：已知x>0，y>0，则 ①如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) ②如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 2.函数奇偶性的性质与判断 （1）如果函数的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． （2）如果函数的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 3.函数的对称性 （1）轴对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． （2）点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 4.函数的单调性 判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法，导数法． 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． 设任意且，那么 1 在是增函数； 2 在上是减函数． 3 在是增函数； 4 在上是减函数． 函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间． 5.指对幂函数的大小比较 方法一：运用函数的单调性比较 (1)对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小； (2)有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小. 方法二：因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小. 方法三：寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律 (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间 (2)可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值 方法四：作差法、作商法 (1)一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小 (2)作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解 方法五：利用对数运算分离常数比大小 这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小 方法六：构造函数 学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练. 构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律. 方法七：放缩法 (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数 (2)指数和幂函数结合来放缩。 (3)利用均值不等式等不等关系放缩 方法八：“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维. 二、聚焦高考： 1．（2022全国II）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 2．（2024全国II）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意； 若，当时，可知，此时，不合题意； 综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得； 则当时，，故，所以；时，，故，所以；故， 则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C. 3．（2021全国II）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B. 4．（2021全国I）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【详解】因为，故，因为为偶函数，故， 时，整理得到，故，故答案为：1 5．（2023全国II）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数. 故选：B. 6．（2021全国II）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，即.故选：C. 7．（2023全国I）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是. 故选：D 8．（2024全国I）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B. 9．（2023全国II）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C． 10．（2024全国II）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得， 若，令，可得,因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：. 解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D. 11．（2024全国I）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，所以，又因为，则，， ， ，， 则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B. 三、考点精炼： 考点一：函数与基本不等式融合 1．（多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则有最小值 C．若，则 D．若，则有最大值2 【答案】AB 【详解】对于A，，则，即，A正确； 对于B，，，则， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，，由得：，有，则，C不正确； 对于D，，，则，当且仅当时取等号，D错误. 故选：AB. 2．（多选）已知，，且，则（    ） A．的最小值为18 B．的最小值为36 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由于，即，则，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为18，故A正确；对于B，由，当且仅当且时等号成立，显然不能同时成立，取不到等号，故B错误；对于C，由于，所以有，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故C正确；对于D，因为，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，则的最小值为，故D正确．故选：ACD． 3.若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为6，故选：C 4．已知函数，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设 ，定义域为 ，关于原点对称，且 ，故 为奇函数；则 ， ，故 ；因为为增函数，故 ，即 ， ，故与同号，显然它们都是正数 ；且仅当 ，即时等号成立；故选： D. 5．已知函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【详解】将函数分拆为两函数之积，都是递增函数，要使得不等式恒成立，则两因式必须保持同号或为0，即可得两函数零点重合，则有，即，当时等号成立，所以的最小值为2.故选：D. 6．已知函数，若，且，则的最小值是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，因为，所以为奇函数，由，得，则，则，又，，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值是.故答案为：. 7．已知函数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为，函数在上都是增函数， 则函数在上单调递增，且，，而，因此，，当且仅当时取等号，所以所求最小值为. 8．设函数，若恒成立，求的最小值为 . 【答案】 【详解】由已知的定义域是，设，，显然它们在定义域内都是增函数，因此恒成立，则与在定义域内同正同负或同为0，作出的图象，要求，只要它们的图象与轴的交点重合，如图所示，由，由，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立. 考点二：利用函数奇偶性周期性求值（求参） 1．已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C．0 D．2 【答案】A 【详解】因为为奇函数，所以，令，得，所以.故选：A. 2．已知函数是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当 时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是偶函数，所以，所以，又因为是奇函数，，所以，所以，所以，所以函数的周期为8的周期函数，所以.故选：B. 3．已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义在上的偶函数，，可得，即，所以函数是以4为周期的周期函数，可得，又因为当时，，可得，所以.故选：C. 4．已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为在上的奇函数，所以，解得，所以，因为，所以的周期为6，所以.故选：D. 5.已知定义域为的奇函数，则 . 【答案】3 【详解】由题意，，是奇函数，则恒成立，即，恒成立，，，所以．故答案为：3. 6．已知函数为奇函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】函数，分母恒大于，所以函数在处有定义. 因为是奇函数，所以.可得：，即，解得.时，，经检验满足题意.故选：B. 7．已知函数是偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】由题意可得，即，整理得，即恒成立，即.故选：A. 8．若函数在定义域上为奇函数，则（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【详解】利用定义：， 化简得 因为所以.，故选C 9．已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【详解】因为是奇函数，设，则，所以，即，所以，即，则.故选：A. 10．若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的图象关于点对称，所以函数为奇函数，则，即，且为奇函数，所以，得，所以，故选A. 考点三：利用函数的单调性比较大小及求参 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，因为，且在上是增函数，所以，即.故选：C. 2．已知函数为偶函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，则即， 即对于恒成立，所以，即．当时，.而，因为在内单调递增，则，又在定义域内单调递增，则，在上单调递增，又，，即．故选：A． 3．知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,所以的对称轴为,在单调递减，则在单调递增，又因为，由对称性可得,所以, 故选：D. 4．若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，即的图象关于点对称，所以，而，即，则，又在上为增函数，故，即，，因在上单调递增，且，由，可得，即不等式的解集为.故选：C. 5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上，所以函数在上单调递增，因为函数在区间上单调递增，所以，解得.故答案为：. 6．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得或，即函数的定义域为，又因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， .故选：D. 7．若函数在上为增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，.故选：D 8．已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为时，是单调减函数，又因为在上单调，所以，故时，单调递诚，则只需满足，解得，故选：B. 9．已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设在定义域上递增，所以，而在上递增，故其值域是.故选：A 10．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数,因为函数任意且，都有，所以函数在定义域上为单调递减函数，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故选D. 考点四：函数零点与方程的根 1．已知函数的零点在区间内，则 ． 【答案】 【解析】，，由零点存在性定理． 2．函数的零点为_____. 【答案】 【详解】设, 令,去分母得：,整理得,即,∵,∴,即，∴,故答案为：. 3．设函数，则函数的零点为_______． 【答案】4 【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解.，即解得，即函数的零点为4．故答案为：4 4．函数是奇函数，则函数的零点是______. 【答案】 【详解】由奇函数知：，∴当时，则，故， ∴，令，∴当时，；当时，；故答案为. 5．已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【详解】设，即，因为，可得，所以，解得，所以，令，可得，即， 解得.故选：A. 6．已知函数若的两个零点分别为，则__________． 【答案】 【解析】由，所以令得： ，所以直线和曲线 的交点横坐标，直线和曲线的交点横坐标为，两曲线关于对称，直线和关于对称，所以。 7．已知函数，若均不相等，且==，则的取值范围是（       ） A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24) 【答案】C 【详解】函数的图象如图所示，不妨设，则，所以，，所以，，所以，故选：C 8．已知函数，当方程有两解时， 的取值范围是 . 【答案】 【详解】，作出函数与函数的图象如下图所示,由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，因此，所求的的取值范围是.故答案为：. 9．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的大致图象如图所示，函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.故选：A 10．（多选）已知函数且，则下列说法正确的有（ ） A．在区间和上单调递减 B．直线与的图象总有3个不同的公共点 C． D． 【答案】ACD 【详解】画出函数的大致图象，如图所示， A选项，由图可知在区间和上单调递减，所以A正确； B选项，由图可知，当时，直线与的图象有3个不同的公共点， 当时，直线与的图象有2个不同的公共点，所以B错误； CD选项，令， 可得直线与的图象有4个不同的交点，且交点横坐标分别为，，，， 由图可知，，由基本不等式得，， 所以，因为，所以，所以C，D正确.故选：ACD 考点五：抽象函数问题 1．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 ． 【答案】 【详解】根据题意知为偶函数，为奇函数，所以可得，，， 所以可得，，则是以为周期的函数，又因为奇函数，令，可得，所以.故答案为： 2．函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则 . 【答案】 【详解】由为奇函数，为偶函数，则有，， 故，即，即有，故函数周期为，故， 由，则有，即，故.故答案为. 3．已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则 . 【答案】 【详解】因为是偶函数，又因为，其中为奇函数，所以必为奇函数，既有，又因为，所以，， 所以函数的周期为，由函数是偶函数，可得，即， 所以.故答案为：. 4．已知函数的定义域为，若，且，则 . 【答案】 【详解】令，得，再令，得， 所以，因为，所以，令，得，所以，即，若，则代入中，，由，所以，即，且， 令，得，由，，所以，所以为偶函数，所以，，令，得， 所以，即，因为，所以，所以为周期函数，周期为4，所以，，所以. 5．（多选）已知函数的定义域为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为所以所以，取，由可知，，故A错误；取，由知，，所以，故B正确；令，由知，，即，又因为，所以，故C错误；由得，，所以，所以，所以，又，所以，所以，故D正确.故选：BD 6．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】是定义在上的奇函数，有，是定义在上的偶函数，有，的值域为，故，则有，得，所以，与有相同的值域，因此的最小值为，故选：C 7．（多选）若的定义域为，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】BCD 【详解】A中：令，得，又，所以，故A不可选； B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B可选；C中：令，得，所以，又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C可选； D中：,所以，所以，故4是的周期，又，所以，故D可选.故选：BCD. 8．（多选）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，所以，所以的图象关于直线对称.因为的图象关于点对称，所以，即，所以的图象关于点对称.所以.令，得.由，可得，故即，所以，所以函数的周期，所以，又不恒为零，所以错误，A错误，，B正确；因为的图象关于直线对称，的图象关于点对称，所以，所以为函数的对称轴，结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴，所以是函数图象的一条对称轴，C正确；因为，，所以，所以原点为函数的一个对称中心，结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心，所以点是函数图象的一个对称中心，D正确.故选：BCD. 四、强化训练： 题组一：函数与基本不等式融合 1．（多选）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为正实数，满足，所以， 当且仅当且，即，时等号成立，故A正确； 对于B，，则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 2．（多选）已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】对于选项A，由，得，所以，当且仅当，即时取等号，所以选项A正确，对于选项B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，所以选项B错误，对于选项C，因为，当且仅当，即时取等号，又，解不等式得，即，得到的最大值为8，所以选项C错误，对于选项D，由选项A知，由，得，所以 ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，所以选项D正确.故选：AD. 3．已知函数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故选：A. 4．已知函数，，若，则的最小值为（　　） A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由题设，又，得，整理得，且，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选：B 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为.故选：D 6．（多选）已知，下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B． C．在为减函数 D．不等式的解集为 【答案】BC 【详解】对于A，因为且，所以函数定义域为，A错误；对于B，因为，当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立，当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，B正确； 对于C，令，则在上单调递增，且，又在上单调递减，所以在上为减函数；因为在上单调递增，且，又在上单调递减，所以在上为减函数；所以在上为减函数，C正确； 对于D，，令，当时，解得或，所以或，当时，，所以无实数解，所以不等式的解集为，D错误. 故选：BC. 7．已知，若实数且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】函数，定义域为R，，则为奇函数，若实数且，函数单调递增，则有，即，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为： 8．已知正实数，满足方程，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】令，明显其在上单调递增，又由得， 即，所以，即，且，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：. 题组二：函数奇偶性求值（求参） 1．已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】是偶函数，，则，从而， 又是奇函数，则，，进而，所以是周期为的周期函数，又当时，，则，所以.故选：D. 2．已知函数满足：，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据题意，，显然，所以，所以，所以函数的一个周期为12，所以.故选B. 3．已知可导函数的定义域为是的导函数，且均为奇函数，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】因为为奇函数，则，即，两边求导得，所以关于直线对称， 即，∴① 又因为为奇函数，则，即，可知关于点对称，即②，由①②得，，，即8为的周期．注意到，所以，.故选：D． 4．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】因为且，可得，由，可得，所以函数的一个周期为，则. 故选：B. 5．已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，（a为常数），则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】因为在上的奇函数，所以，解得，所以，因为，所以的周期为6，所以，，故选：C 6．已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：，， 所以.故选：D 7．设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．2025 【答案】B 【详解】在上的函数的图象关于对称，则，由为奇函数，得，于是，，因此函数是以4为周期的周期函数，由，得，由，得，而，则，所以.故选：B 8．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】偶函数的定义域关于原点对称，，即，函数是偶函数，，得，因此函数在区间上的最大值是5，故答案为A. 9．函数为偶函数，则的值为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，由函数为偶函数，则 ，即，解得：.故选：D. 10．已知函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数为偶函数，所以，即， ，即，即，即，化简得，解得.故选：C. 题组三：利用函数的单调性比较大小及求参 1．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上递减，且，所以，即，所以，因为在，且，所以，即，所以.故选：D 2．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为，所以，选B. 3．设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】若在上为增函数，则函数在上为增函数，又,因为f（x）为奇函数，所以当时，当时，可以，当时，当时，可以；所以不等式解集为。 4．函数的图像关于直线对称，且在单调递减，，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，在单调递减，在单调递增，因此由得，解得，选B． 5．若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设，，是定义在,,上的奇函数，即，故，函数为偶函数，由题意当时，有，函数在上为减函数，又由为偶函数，则在上为增函数，又由，则，同时，或，必有或，即的取值范围为.故选：B． 6．已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由，得：，令，则；关于对称，，，为定义在上的奇函数；又为上的增函数，为增函数，在上单调递增，则由，得：，，解得：，即的解集为.故答案为：. 7.若函数在区间上是增函数，则a的取值范围 . 【答案】 【详解】函数图象开口向上，对称轴为，由函数在区间上单调递增，得，解得，所以a的取值范围是故答案为： 2.已知函数是减函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知，f(x)在以及x>1上分别单调递减，且f(1)=3.要使函数是减函数，则应满足，x>1时， f(x)=-2x+a<3恒成立.只需要，，即.故答案为：. 8．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，解得．故答案为：. 9．函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对且，都有，知在R上单调递减，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D 10．（多选）若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】在上为单调减函数，，解得，的值可以为或.故选CD. 题组四：函数零点与方程的根 1．方程的根，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则可知函数在单调递增，且函数在连续，，，由函数的零点判定定理可得，函数的零点区间，，故选B。 2．已知函数，则函数的零点为（       ） A． B．，0 C． D．0 【答案】D 【详解】函数，当时，令，解得，当时， 令，解得（舍去），综上函数的零点为0.故选：D. 3．设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由图可知： . 4．已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】令，则有，∴，如图，当或，，满足题意．故答案为： 5．已知函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作图可得，，所以. 6．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【详解】作出函数的大致图象，令，因为恰有6个不同的实数解，所以在区间上有2个不同的实数解，，解得， 实数的取值范围为．故答案为：． 7．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，解得或，作出的图象如图，则若，则或，设，由得，此时或，当时，，有两根，当时，，有一个根，则必须有，有个根，设，由得， 若，由，得或， 有一个根，有两个根，此时有个根，不满足题意； 若，由，得，有一个根，不满足条件. 若，由，得，有一个根，不满足条件； 若，由，得或或 ， 当，有一个根，当时，有个根， 当时，有一个根，此时共有个根，满足题意. 所以实数a的取值范围为.故选：A. 8．（多选）已知函数，则（ ） A．函数有3个零点 B．若函数有2个零点，则 C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则 D．关于的方程有5个不等实数根 【答案】BCD 【详解】根据题意，函数，由此作出函数的草图,依次分析选项：对于A：由图象易知曲线与y轴有两个交点，故函数有2个零点，故A错误；对于B：令，可得，则函数的零点个数即为与的图象的交点个数，若函数有两个零点，由图象可知，B正确；对于C：若关于的方程有四个不等实根，则与的图象有四个交点.不妨设，由图象可得：，且，，所以，故C正确；对于D：因为，解得或，结合图象可知：有一个根，有四个根，所以关于的方程有5个不等实数根，D正确． 故选：BCD. 题组五：抽象函数问题 1．已知是定义在上的奇函数，且满足，则 ． 【答案】0 【详解】函数是定义在上的奇函数，有，又由和，可得，可得函数的周期为2，则．故答案为： 2．（多选）已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（   ） A．4为的一个周期 B．8为的一个周期 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为和分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，，且，又因为，所以，即，① 用替换中的，得，即，② 由①＋②，得，所以函数关于中心对称，且，由，可得，，所以，所以为周期函数，8为周期，故A错误； 用替换且的，得，又因为， 所以，所以，所以为周期函数，8为周期，故B正确；所以，故C正确；又因为，即，令，则有，令，则有，……令，则有，所以 所以，故D正确．故选：BCD. 3．（多选）设函数与其导函数定义域均为，且为偶函数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，，即关于对称，故A错误；对于B，为偶函数，故，即关于对称，由关于对称，知，故B正确；对于C，关于对称和关于对称可得：，故，即的周期为4，所以，故C正确；对于D，由得：，即，令得，，故，故D正确.故选：BCD 4．（多选）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：把的图象向左平移1个单位，可得的图象，又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确；对于B：由为奇函数，则，又为的导函数，所以，即，则，又为奇函数，所以，即，由上得，故，故，即，即是奇函数，故B正确；对于C：由于，故，即，故4是的一个周期，又，即，所以为周期为4的周期函数，因为，令可得，即，所以，故C错误；对于D：因为是上的奇函数，故，结合得，，故，故D正确．故选：ABD 5．（多选）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】AC 【详解】对于选项C，是偶函数，所以， ，所以函数关于直线对称，选项C正确；对于选项A，因为，所以，又因为，即，，是奇函数，选项A正确；对于选项B，，将替换为，得：，所以4为函数的周期，又因为是奇函数，且函数的定义域为，，，选项B错误.对于选项D，由已知，分别代入，得：，，，同时4为的周期，，选项D错误.故选：AC. 6．（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，则（    ）． A．的图像关于点对称 B．是周期为4的周期函数 C． D． 【答案】ABCD 【详解】对于A，由，得，当时，可得；当时，，也满足；故,故是周期为4的周期函数，而为上的奇函数，故其对称中心为，故也是的对称中心，故AB正确.对于C，显然，故C正确；对于D，由是定义域为的奇函数，得，又，于是， 因此，所以，故D正确．故选：ABCD． 7．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，且，则下列选项正确的是（    ） A．是周期4的周期函数 B．图象关于点对称 C． D．图象关于点对称 【答案】AB 【详解】对于A、B，因为为偶函数，所以，即，所以函数的图象关于对称，又为偶函数，所以，两边求导得，所以，即，即，关于对称，所以，即，所以是周期为4的函数；故A、B正确；对于C，由，令，得，令，得，因为，所以，即，又周期为4，所以，故C错误；对于D，又因为周期为4，故，即，所以，因此，又，则，所以，所以，即得，所以函数的图象关于直线对称，结合A、B结论，选项D错误.故选：AB. 8．（多选）若函数是定义域为的奇函数，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABC 【详解】因为，，对于选项A：令，可得，故A正确；对于选项C：因为函数是定义域为的奇函数，则，则，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于选项B：因为，可得，则，即，所以的图象关于点中心对称，故B正确；对于选项D：因为，令，可得，令，可得，又因为，则，可知4为的周期，可得，即，因为，所以，故D错误；故选：ABC. 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$