专题03 平面向量-2025年高考数学二轮复习核心考点聚焦与强化（新高考全国卷)

专题03 平面向量 一、关键知识： （一）向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2.零向量：长度为0的向量，记作. 3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6.相反向量：长度相等且方向相反的向量． （二） 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： （三） 向量共线定理与基本定理 1.向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2.三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。2 3.平面向量基本定理 （1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． （四）平面向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. 2.几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． （五）平面向量的坐标运算 1.向量线性运算坐标表示 （1）已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （2）若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 2.向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 3.向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 二、聚焦高考： 1．（2022全国I）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024全国II）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2023全国II）已知向量，满足，，则______． 4．（2021全国II）已知向量，，，_______． 5．（2024全国I）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2023全国I）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022全国II）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 8．（2021全国I）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 三、考点精炼： 考点一：平面向量的线性运算 1．在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（    ） A． B． C． D． 4．在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 考点二：平面向量的数量积与求模求角 1．若两个单位向量，满足，则 ． 2．若单位向量满足．则的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 5．已知向量，满足，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 考点三：平面向量运算的坐标表示及向量关系求参 1．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知平面向量，不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 3．已知向量，若，则（    ） A．1或 B．或 C．或2 D．或1 考点四：平面向量与三角函数等结合 1．已知向量，，那么等于（    ） A． B． C．1 D．0 2．已知向量，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知向量，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为5 D．若，则 四、强化训练： 题组一：平面向量的线性运算 1．已知中，点，满足，，设，，则(    ) A． B． C． D． 2．如图，在中，，则等于（    ）   A． B． C． D． 3．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且，则（    ） A． B． C． D．1 5．如图，在中，，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．设O为的内心，，，，则 （    ）. A． B． C． D． 题组二：平面向量的数量积与求模求角 1．已知向量，的夹角为150°，且，，则（    ） A．1 B． C． D． 2．已知平面向量，满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 3．若向量、满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 4．向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知非零向量满足：，且，则 . 6．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．向量满足，，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量的夹角为，若，则（    ） A． B． C． D． 9．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知向量的夹角为，若在方向上的投影向量为，则 ． 题组三：平面向量运算的坐标表示及向量关系求参 1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 2．已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C．3 D．6 4．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若向量且，则（    ） A． B． C． D．4 6．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 9．已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为 ． 题组四：平面向量与三角函数等结合 1．已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D． 2．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．设向量，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为2 D．的取值范围是 6．（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量 一、关键知识： （一）向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2.零向量：长度为0的向量，记作. 3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6.相反向量：长度相等且方向相反的向量． （二） 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： （三） 向量共线定理与基本定理 1.向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2.三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。2 3.平面向量基本定理 （1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． （四）平面向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. 2.几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． （五）平面向量的坐标运算 1.向量线性运算坐标表示 （1）已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （2）若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 2.向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 3.向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 二、聚焦高考： 1．（2022全国I）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B． 2．（2024全国II）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B. 3．（2023全国II）已知向量，满足，，则______． 【答案】 【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以. 法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：. 4．（2021全国II）已知向量，，，_______． 【答案】 【详解】由已知可得， 因此，.故答案为：. 5．（2024全国I）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D. 6．（2023全国I）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D． 7．（2022全国II）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】,,即,解得,故选：C 8．（2021全国I）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 三、考点精炼： 考点一：平面向量的线性运算 1．在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示,； 即可得.故选：C 2．在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，得.故选：C. 3．如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，所以，又，所以，因为，所以，所以，解得，所以，故选：B. 4．在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【详解】由题意，在中，点为线段上任一点（不含端点）， 若，则有，设，则，所以， 则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为16．故选：D． 考点二：平面向量的数量积与求模求角 1．若两个单位向量，满足，则 ． 【答案】 【详解】由，得，因为，为单位向量，所以，则， 故答案为：. 2．若单位向量满足．则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，由得，即，所以，设与的夹角为，所以，又，所以.故选：C 3．向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由两边平方得，即， 所以，又，所以.故选：A 4．已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【详解】因为向量和的夹角为，且，则.故选：D. 5．已知向量，满足，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，因为，所以， 解得，.故选：D 考点三：平面向量运算的坐标表示及向量关系求参 1．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D. 2．已知平面向量，不共线，，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，且，所以，即， 又，不共线，所以，解得.故选：A 3．已知向量，若，则（    ） A．1或 B．或 C．或2 D．或1 【答案】D 【详解】，,， ，即, ,或.故选：D. 考点四：平面向量与三角函数等结合 1．已知向量，，那么等于（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】，，.故选：A. 2．已知向量，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，因为，所以，即， 因为，所以．故选：B. 3．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知向量，，若，则，即， 则的值为．故选：D． 4．（多选）已知向量，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为5 D．若，则 【答案】AD 【详解】因为，，所以，， 对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，又，解得或，故B错误； 对于C，，其中，当时，取得最大值，故C错误；对于D，若，则，即，所以，所以，故D正确.故选：AD. 四、强化训练： 题组一：平面向量的线性运算 1．已知中，点，满足，，设，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由得，则，，又，所以，则，故选：A. 2．如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即得. 故选：B. 3．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以.因为三点共线，所以，解得.故选：D. 4．在中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，所以，因为，所以，所以.故选：A 5．如图，在中，，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，因为是的中点，所以，所以，又，所以，，即.故选：D. 6．设O为的内心，，，，则 （    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连，因为，，所以，，所以的内心在线段上，为内切圆的半径，因为，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.故选：B. 题组二：平面向量的数量积与求模求角 1．已知向量，的夹角为150°，且，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D 2．已知平面向量，满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由可得，故，又，故，故，故选：C 3．若向量、满足：，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量、满足：，，，则，所以，，所以，，故.故选：B. 4．向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，故选：D 5．已知非零向量满足：，且，则 . 【答案】 【详解】.， ，解得，故．故答案为：. 6．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，所以，则，即，解得，设与的夹角为，则，又，所以，即与的夹角为.故选：C 7．向量满足，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，又，所以，又，则，，所以，即，所以，又，所以，综上，，故选：C． 8．已知平面向量的夹角为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，即，， .故选：A. 9．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即，解得，所以．故选：D 10．已知向量的夹角为，若在方向上的投影向量为，则 ． 【答案】 【详解】由投影向量的定义, 在方向上的投影向量, 所以.故答案为：. 题组三：平面向量运算的坐标表示及向量关系求参 1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【详解】若，有，解得．故选：B． 2．已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得，因为，，所以，得.故选：A 3．已知向量，，若与垂直，则等于（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【详解】，因为与垂直，所以，解得，所以.故选：B. 4．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，则，，所以，所以，，故.故选：C. 5．已知向量，，若向量且，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】由题知，又因为，所以，解得，所以，所以．故选：A． 6．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，因为，所以，即，故选：B． 7．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，可得，可得，则，所以，所以充分性成立；由向量，可得，当时，因为，所以，即，解得或，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A． 8．已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，，所以在上的投影向量为．故选：B. 9．已知向量，，且在上的投影向量为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以在上的投影向量为，故，则，，所以与夹角的余弦值为． 故选：A 10．已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为，可得，又因为，可得，解得，所以在上的投影向量为．故答案为：. 题组四：平面向量与三角函数等结合 1．已知平面向量，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由可得：，显然则得.故选：B. 2．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，而.故选：B 3．已知向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则，所以. 故选：B. 4．设向量，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】或或，故选：B． 5．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为2 D．的取值范围是 【详解】对于A：当时，，此时，故，即A正确； 对于B：若，则，所以，所以，，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，，所以，， 所以，因为，所以，所以，故D正确； 6．（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【详解】向量，， 对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，由，得，因此，B正确； 对于C，与的夹角为，，，因此，C错误； 对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 6 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$