5.3 多边形和圆的初步认识（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年六年级数学下册同步精品课堂（鲁教版2024）

5.3 多边形和圆的初步认识 题型一 多边形的概念与分类 1．下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中正确的有(    ) ① 过两点有且只有一条直线．② 连接两点的线段叫两点的距离．③ 如果AB=BC,则点B是AC的中点．④一条直线可以看成一个平角．⑤多边形的边数是不小于4的自然数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．若，则点C是线段的中点 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．钟表显示9点30分，此时时针与分针的夹角是105° 4．下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正四边形 B．边数最少的正多边形是正方形 C．由正方形的顶点共可确定4条直线 D．正方形有两条对角线 题型二 多边形对角线的条数问题 5．从十二边形的一个顶点出发可引出（　　）条对角线，把十二边形分割成（　　）个三角形． A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11 6．若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 7．八边形有（    ）条对角线． A． B． C． D． 8．从一个多边形的一个顶点可以引2023条对角线，则这个多边形的边数为(   ) A．2021 B．2023 C．2025 D．2026 题型三 对角线分三角形的个数问题 9．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 10．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多边形的边数为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 11．从五边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将五边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（   ） A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．3，3 12．从一个多边形的某顶点出发，连接其余各顶点，把该多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 题型四 多边形的内角和问题 13．已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由； （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x． 14．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数． 15．一个多边形的内角和与外角和的和是1440°，通过计算说明它是几边形 16．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数． 题型五 正多边形的内角和外角问题 17．点P，分别为在正六边形内，外一点，且，，，，则的度数为 ． 18．如图，小明以0.5m/s的速度从点A出发前进10m，向右转45°，再前进10m，又向右转45°……这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，从开始到停止共用了 s． 19．若一个正多边形的每个外角度数都为60°，则从该多边形的一个顶点一共可以引出 条对角线. 20．若一个正多边形的内角是120 °，那么这是正 边形． 题型六 多边形外角和的实际应用 21．八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小聪同学从A出发前进10米后左转30°，再前进10米后左转30°，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了 米． 22．如果机器人在平地上按如图所示的程序框图规定的路线行走，那么机器人结束程序后行走的路程是 ． 23．如图，，，，，是五边形的个外角，若，则 ． 24．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于 ． 题型七 多算或少算一个角的问题 25．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是 边形． 26．一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于，原多边形的边数是 ． 27．一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线 条． 28．小明在计算内角和时，不小心漏掉了一个内角，其和为1160，则漏掉的那个内角的度数是 ． 题型八 复杂图形的内角和 29．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 30．如图，已知， ． 题型九 求圆心角和扇形面积 31．将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为，则这三个扇形的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 32．如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为．若圆的半径为3，则扇形乙的面积为（    ）    A． B． C． D． 33．在半径为1的圆中，60°圆心角所对的扇形的面积是（ ） A．2π B．π C． D．3π 34．小明将直径为的半圆绕点A逆时针旋转设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 1．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和． (1)求出表示第四条边长的代数式； (2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形． 2．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 3．课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”． （注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形） 如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（    ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 4．如图1，已知直线，点在直线上，点，在直线上，连接，，，，平分，平分，与相交于点． (1)求的度数； (2)若将图1中的线段沿向右平移到，如图2所示位置，此时平分，平分，与相交于点，，，求的度数； (3)若将图1中的线段沿向左平移到，如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时的度数（直接写出结果）． 5．现实生活中，各种各样的图形随处可见．我们知道，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．由三角形定义可知，在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形． 如图1，若有三条边的叫做三角形，有四条边的叫做四边形，有五条边的叫做五边形 通过学习，我们知道三角形三个内角的和为，现在我们类比三角形内角和来研究其他多边形图形的内角和问题． 探究：猜想并验证四边形的内角和． 猜想：四边形内角和为 验证：在四边形中，连接，则四边形被分为两个三角形（图． 所以，四边形的内角和 的内角和的内角和 请类比上述方法探究下列问题． (1)探究：猜想并探究五边形的内角和．（图 猜想：　    　 验证： (2)根据上述探究过程，可归纳出边线内角和为　　． (3)证明：①已知一个多边形的内角和为，那么这是个　　边形． ②一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他．将一个多边形截去一个角后（没有过顶点），得到的多边形内角和将会（    ） A．不变  B．增加  C．减少  D．无法确定． 6．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形，如图，就是一组正边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．     将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 的度数 ________ ________ ________ ________ 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由； 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 7．（1）如图①，射线AD，BE，CF构成，，，量出，，，的度数，并计算的度数.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和. （2）类似地，量出图②中，，，的度数，计算的度数. （3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？ 8．圆心角是120°，半径为3的扇形面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 9．如图所示，已知扇形A的圆心角和扇形B的圆心角的度数相等，则扇形A的圆心角的度数为（    ）． A． B． C． D． 10．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（　　） A．2π B．π C．π D．π 11．如图，把一个圆分成4个扇形，其中∠AOD=∠BOD=90°，∠AOC=3∠BOC，这四个扇形的面积比是（　　） A．1：2：2：3 B．3：2：2：3 C．1：2：2：1 D．4：2：2：3 12．将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为，则这三个扇形中最大的圆心角度数为 ． 13．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝35°． (1)求∠AOB的度数； (2)若OE＝6，求扇形EOF的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 多边形和圆的初步认识 题型一 多边形的概念与分类 1．下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．依据正多边形的概念进行判断即可． 【详解】解：（1）菱形各边相等，但不是正四边形，故说法错误； （2）长方形各角都相等，但不是正四边形，故说法错误； （3）等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是正多边形，故说法正确； （4）长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等，所以不一定是正多边形，故说法错误． 故正确的有：1个． 故说：A． 【点睛】本题考查了正多边形的概念，各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形． 2．下列说法中正确的有(    ) ① 过两点有且只有一条直线．② 连接两点的线段叫两点的距离．③ 如果AB=BC,则点B是AC的中点．④一条直线可以看成一个平角．⑤多边形的边数是不小于4的自然数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据直线的性质、两点的距离、线段的中点、平角以及多边形的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：根据直线的性质可知，①是正确的； 连接两点线段的长度叫做两点的距离，因此②不正确； 如果A、B、C不在同一直线上，虽然AB= BC，但点B不一定是AC的中点，因此③不正确； 直线和角是两个不同的概念，因此④不正确； 三角形也是多边形，因此多边形的边数是不小于3的自然数，因此⑤不正确； 综上所述，正确的只有①， 故选A． 【点睛】本题考查了直线的性质、两点的距离、线段的中点、平角以及多边形的定义，掌握这些定义，是正确判断的前提． 3．下列说法正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．若，则点C是线段的中点 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．钟表显示9点30分，此时时针与分针的夹角是105° 【答案】D 【分析】根据正多边形的定义、线段中点的定义、圆心角的定义、钟表问题等知识进行判断即可 【详解】解：A．各边相等，各角都相等的多边形是正多边形，故选项错误，不符合题意； B．若，点C不一定在线段AB上，故选项错误，不符合题意； C．顶点在圆心，两条边与圆有交点所形成的角叫做圆心角，故选项错误，不符合题意； D．钟表显示9点30分，此时时针与分针的夹角是105°，故选项正确，符合题意． 故选：D 【点睛】此题主要考查了正多边形的定义、线段中点的定义、圆心角的定义、钟表问题等知识，解题的关键是熟练掌握基础知识． 4．下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正四边形 B．边数最少的正多边形是正方形 C．由正方形的顶点共可确定4条直线 D．正方形有两条对角线 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的定义，正三角形的定义，正方形的性质，理解相关的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：A.四边相等的四边形是菱形，结论错误，故不符合题意； B.边数最少的正多边形是等边三角形，结论错误，故不符合题意； C.由正方形的顶点共可确定条直线，结论错误，故不符合题意； D.正方形有两条对角线，结论正确，故符合题意； 故选：D． 题型二 多边形对角线的条数问题 5．从十二边形的一个顶点出发可引出（　　）条对角线，把十二边形分割成（　　）个三角形． A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线的条数以及三角形的个数，根据n边形的对角线条数为条，把n形分割成的三角形的个数为条，据此即可作答． 【详解】解：从十二边形的一个顶点出发可引出的对角线条数为（条）， 它们把十二边形分割成的三角形的个数为（个）， 故选：B． 6．若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线问题，边形从一个顶点一共可引出条对角线，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵边形从一个顶点一共可引出条对角线， ∴，则这个多边形是七边形 故选：B 7．八边形有（    ）条对角线． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据边形的对角线条数为即可解答． 【详解】解：∵在八边形中， ∴， ∴八边形的对角线条数为， 故选． 【点睛】本题考查了边形的对角线条数为，掌握边形的对角线条数的计算公式是解题的关键． 8．从一个多边形的一个顶点可以引2023条对角线，则这个多边形的边数为(   ) A．2021 B．2023 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】根据从多边形一个顶点可以引出条对角线，即可求解． 【详解】解：设多边形有n条边， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查根据多边形对角线的条数确定多边形的边数．熟练掌握从多边形一个顶点可以引出条对角线，是解题的关键． 题型三 对角线分三角形的个数问题 9．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形对角线分成三角形个数问题．经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求解即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点的所有对角线，把边形分成了8个三角形， ∴， ∴， 故这个多边形的边数是10． 故选：B． 10．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多边形的边数为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据多边形对角线定义可知，一个边形某个顶点除了不能和自身以及左右两个相邻的顶点连成对角线外，其余的个顶点都能与其连成对角线，这个对角线将多边形分成个三角形，结合此多边形被对角线分成4个三角形，得到，解方程求出多边形边数即可得到答案． 【详解】解：根据题意，一个边形过某个顶点所有对角线条数为，这个对角线将多边形分成个三角形， 此多边形被对角线分成4个三角形， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形对角线的定义及实际应用，分析出多边形对角线条数以及将多边形分成的三角形个数，由题意列出方程是解决问题的关键． 11．从五边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将五边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（   ） A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．3，3 【答案】C 【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2． 【详解】解：对角线的数量m=5-3=2（条）； 分成的三角形的数量为n=5-2=3（个）． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2． 12．从一个多边形的某顶点出发，连接其余各顶点，把该多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【分析】根据n边形从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形解答即可． 【详解】解：设这个多边形为边形． 根据题意得：． 解得：． 故选：． 【点睛】本题主要考查的是多边形的对角线分割多边形为三角形，掌握n边形从一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形是解题的关键． 题型四 多边形的内角和问题 13．已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由； （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x． 【答案】（1）甲对，乙不对,理由见解析；（2）2 【分析】（1）根据多边形的内角和公式判定即可； （2）根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：（1）甲对，乙不对． ∵θ=360°， ∴（n-2）×180°=360°， 解得n=4． ∵θ=630°， ∴（n-2）×180°=630°， 解得n=． ∵n为整数， ∴θ不能取630°． （2）由题意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180， 解得x=2． 14．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数． 【答案】110°. 【详解】试题分析：根据四边形内角和定理求出∠1+∠2+∠3+∠4的度数，然后根据题意得出∠2+∠3的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠AOB的度数. 试题解析：根据四边形的内角和定理可得：∠1+∠2+∠3+∠4=360°-220°=140° ∵∠1=∠2  ∠3=∠4    ∴∠2+∠3=140°÷2=70°   ∴∠AOB=180°-70°=110°. 考点：(1)、三角形内角和定理；(2)、四边形内角和定理 15．一个多边形的内角和与外角和的和是1440°，通过计算说明它是几边形 【答案】八边形；证明见解析. 【分析】设它是n边形，根据多边形的内角和公式及外角和为360°列出方程，解方程即可. 【详解】解：设它是n边形，依题意得： （n-2）×180°+360°=1440°． 解得：n=8． 答：它是八边形． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角的基本知识，熟知多边形的内角和公式及外角和为360°是解题的关键． 16．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数． 【答案】该多边形每一个内角的度数为，该多边形为10边形 【分析】本题考查了多边形内角与外角的关系，用到的知识点为：各个内角相等的多边形的边数可利用外角来求，边数一个外角的度数．已知关系为：一个外角一个内角，隐含关系为：一个外角一个内角，由此即可解决问题． 【详解】解：设该多边形为边形 多边形一个外角等于一个内角的 多边形的内角和为， ， 该多边形每一个内角的度数为， 答：该多边形每一个内角的度数为，该多边形为10边形． 题型五 正多边形的内角和外角问题 17．点P，分别为在正六边形内，外一点，且，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】首先连接，过点B作于点H，由正六边形的性质，可知每个内角为，每条边相等，进而得出结论． 【详解】如图，连接，过点B作于点H， ∵六边形ABCDEF为正六边行， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为顶角为的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则，， ∴， ∴， 在中，有 ， ，， 则为直角三角形，且， ∴， 在与中， ， ∴（SAS）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，正确掌握做题的方法是解题的关键． 18．如图，小明以0.5m/s的速度从点A出发前进10m，向右转45°，再前进10m，又向右转45°……这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，从开始到停止共用了 s． 【答案】160 【分析】根据题意，按照这个走法一直走下去，最终回到出发点时，走过的路程构成一个正多边形，这个正多边形的每个外角是45°，利用多边形外角和定理求解． 【详解】解：360°÷45°=8， 这是一个正八边形， 一共走了8×10=80米， 80÷0.5=160s． 故答案为：160． 【点睛】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是能够分析出走过的路程是一个正多边形． 19．若一个正多边形的每个外角度数都为60°，则从该多边形的一个顶点一共可以引出 条对角线. 【答案】3 【分析】根据多边形外角和均为，结合题中条件求出正多边形的边数，进而根据对角线的构成特点即可得出结论． 【详解】解：一个正多边形的每个外角度数都为60°， 根据边形的外角和均为，这个正多边形为正六边形， 根据对角线的定义，从该多边形的一个顶点出发引出对角线的话，除了它自己与自己，还有它与左右相邻的两点，共三个点的连线不能形成对角线，则从该六边形的一个顶点一共可以引出条对角线， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据多边形外角和为及外角度数求正多边形的边数，解决问题的关键是掌握多边形一个定点引出的对角线条数为． 20．若一个正多边形的内角是120 °，那么这是正 边形． 【答案】六 【分析】先求出每一个外角的度数，然后根据边数=360°÷外角计算即可． 【详解】解：180°-120°=60°， 360°÷60°=6． 故答案为：六． 【点睛】本题考查了多边形的外角和与边数的关系，熟记外角和与多边形的边数的关系是解题的关键． 题型六 多边形外角和的实际应用 21．八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小聪同学从A出发前进10米后左转30°，再前进10米后左转30°，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了 米． 【答案】120 【分析】根据多边形的外角和＝360°求解即可． 【详解】∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷30°＝12， 即12×10米＝120米， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°． 22．如果机器人在平地上按如图所示的程序框图规定的路线行走，那么机器人结束程序后行走的路程是 ． 【答案】30米 【分析】利用多边形的外角和等于360°，可知机器人回到A点时，恰好沿着360°÷24°=15边形的边走了一圈，即可求得路程． 【详解】解：（米）. 故答案为：30米 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以一个外角即可． 23．如图，，，，，是五边形的个外角，若，则 ． 【答案】60o 【分析】由多边形的外角和为360度，得到，从而可求出∠5的度数． 【详解】如图所示： ∵多边形的外角和为360o， ∴, 又∵， ∴∠5＝60o. 故答案是：60o. 【点睛】考查了多边形内角和都为360度，解题关键是由多边形的外角和得到. 24．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于 ． 【答案】15 【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P． ∵六边形ABCDEF的六个角都是120°， ∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°． ∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形． ∴GC=BC=3，DP=DE=2． ∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2． ∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15． 故答案为15． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握． 题型七 多算或少算一个角的问题 25．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时，除了一个内角外其余各内角的和为1900°，则这个多边形是 边形． 【答案】十三/13 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n，则0<x<180， 则， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． 又∵n为正整数， ∴． 故答案是：十三． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0，并且小于180°． 26．一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于，原多边形的边数是 ． 【答案】8/八 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n， 则 ∵n为正整数， ∴当n=8，去掉的角的度数为， ∴多边形的边数为8， 故答案为：8 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0度，并且小于180度． 27．一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线 条． 【答案】44 【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法即可． 【详解】设这个内角度数为x°，边数为n， ∴（n-2）×180-x=1510， 180n=1870+x=1800+（70+x）， n=10+ ∵n为正整数， ∴n=11， ∴=44， 故答案为：44． 【点睛】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识． 28．小明在计算内角和时，不小心漏掉了一个内角，其和为1160，则漏掉的那个内角的度数是 ． 【答案】100° 【分析】根据n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得1160，可以解方程（n-2）•180°≥1160，由于每一个内角应大于0°而小于180度，则多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角． 【详解】解：设多边形的边数是n． 依题意有（n-2）•180°≥1160°， 解得： 则多边形的边数n=9； 九边形的内角和是（9-2）•180=1260度； 则未计算的内角的大小为1260-1160°=100°． 故答案为：100° 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键． 题型八 复杂图形的内角和 29．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 30．如图，已知， ． 【答案】/240度 【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】连接，， ∴ 又， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 题型九 求圆心角和扇形面积 31．将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为，则这三个扇形的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为，可得这三个扇形的圆心角的度数之比为，可设这三个扇形的圆心角的度数分别为，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为， ∴这三个扇形的圆心角的度数之比为， 设这三个扇形的圆心角的度数分别为，根据题意得： ， 解得：， ∴这三个扇形的圆心角的度数分别为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角，根据题意得到这三个扇形的圆心角的度数之比为是解题的关键． 32．如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为．若圆的半径为3，则扇形乙的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得扇形乙的圆心角，再根据扇形的面积公式：进行计算即可． 【详解】解：∵甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数之比为， ∴扇形乙的圆心角， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式：（n为圆心角的度数，r为半径）． 33．在半径为1的圆中，60°圆心角所对的扇形的面积是（ ） A．2π B．π C． D．3π 【答案】C 【分析】直接利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：扇形的面积为， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了扇形的面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则，熟记公式是解题的关键． 34．小明将直径为的半圆绕点A逆时针旋转设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整体思想，可知，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， 而根据旋转的性质可知， ∴， 而由题意可知，， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算扇形的面积即可． 1．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和． (1)求出表示第四条边长的代数式； (2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形． 【答案】(1)第四边的长为：cm. (2)不能，该图形是一条线段，理由见解析 【分析】（1）先列式表示第三边，第四边的长，再利用周长减去已知的三条边的长可得第四边的长度； （2）分别求解四条线段的长度，再计算前面三条线段的长，与第四条线段的长度比较，从而可得答案. 【详解】（1）解： 第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和， 第二边为cm，第三边为：cm， 第四边长为： 即第四边的长为：cm. （2）当时， 即前三条边的长的和等于第四条边的长， 所以当时，这4条线段首尾相连不能得到四边形，该图形是一条线段. 【点睛】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，多边形的含义，掌握“判断四条线段首尾顺次相连构成四边形的条件”是解本题的关键. 2．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②场 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键． （1）连接作图即可； （2）①根据所给数据规律解答即可； ②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：①，； ②（场）， 答：共需要比赛场． 3．课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”． （注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形） 如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（    ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 【答案】 【分析】根据图形分别确定出四边形、五边形、六边形可以被分成的三角形的个数，然后归纳总结即可解答． 【详解】解：三角形时，,有2个三角形， 四边形时，有3个三角形， 五边形时，有4个三角形， …… n边形时，有个三角形． 故答案为． 【点睛】本题考查了多边形内角和，读懂题目信息并准确识图，准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键． 4．如图1，已知直线，点在直线上，点，在直线上，连接，，，，平分，平分，与相交于点． (1)求的度数； (2)若将图1中的线段沿向右平移到，如图2所示位置，此时平分，平分，与相交于点，，，求的度数； (3)若将图1中的线段沿向左平移到，如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时的度数（直接写出结果）． 【答案】(1)133° (2)133° (3)43° 【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出以及的度数，进而得出答案； （2）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出以及的度数，进而得出答案； （3）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出和的度数，进而得出答案。 【详解】（1）如图1所示： 直线， ， ， ， ∵平分， 又∵ ， ∵PQ∥MN，∴， 平分， ， ； （2）如图2所示： ，线段沿向右平移到， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）如图3所示： 过点作， ，线段沿向左平移到，， ， 平分， ， ， ， 平分， ， . 5．现实生活中，各种各样的图形随处可见．我们知道，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．由三角形定义可知，在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形． 如图1，若有三条边的叫做三角形，有四条边的叫做四边形，有五条边的叫做五边形 通过学习，我们知道三角形三个内角的和为，现在我们类比三角形内角和来研究其他多边形图形的内角和问题． 探究：猜想并验证四边形的内角和． 猜想：四边形内角和为 验证：在四边形中，连接，则四边形被分为两个三角形（图． 所以，四边形的内角和 的内角和的内角和 请类比上述方法探究下列问题． (1)探究：猜想并探究五边形的内角和．（图 猜想：　    　 验证： (2)根据上述探究过程，可归纳出边线内角和为　　． (3)证明：①已知一个多边形的内角和为，那么这是个　　边形． ②一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他．将一个多边形截去一个角后（没有过顶点），得到的多边形内角和将会（    ） A．不变  B．增加  C．减少  D．无法确定． 【答案】(1)五边形的内角和为．见解析 (2) (3)①十二；②B 【分析】（1）多边形问题，通过添加辅助线，转化为三角形问题即可； （2）探究规律，理由规律即可解决问题； （3）①构建方程即可解决问题； ②一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形； 【详解】（1）解：探究：猜想：五边形的内角和为． 理由：如图3中，连接、． 由图可知，五边形的内角和的内角和的内角和的内角和 ， 故答案为：． （2）解：因为：三角形内角和为， 四边形内角和为， 五边形内角和， 所以可以推出边形的内角和， 故答案为：． （3）解：①设是边形，由题意， 解得， 这个多边形是十二边形． 故答案为十二． ②因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， 所以将一个多边形截去一个角后（没有过顶点），增加， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形综合题，多边形的内角和定理，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，学会把多边形问题转化为三角形问题解决，属于中考常考题型． 6．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形，如图，就是一组正边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．     将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 的度数 ________ ________ ________ ________ 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由； 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）表格见解析；（2）存在，12；（3）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据多边形外角和公式求出多边形的每个外角，再根据三角形的外角性质以及平角的定义求出即可； （2）根据（1）的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可； （3）根据（1）的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）如图ABCDE为正五边形，∠FAE=∠AEG=，∠1=∠2=∠3， ∴ ， 同理可求得正六边形、正七边形、正八边形中的度数； 填表如下： 正多边形的边数 的度数 （2）存在正十二边形，使其中的． 理由是：由（1）得 ∴， 解得， 即当多边形是正十二边形时，能使其中的； （3）不存在，理由如下： 假设存在正边形使得， 得， 解得， 又是正整数， 所以不存在正边形使得． 【点睛】本题考查了正多边形的外角问题以及三角形的外角性质，能求出正多边形的每个外角的度数是解此题的关键，注意：正边形的每个外角=． 7．（1）如图①，射线AD，BE，CF构成，，，量出，，，的度数，并计算的度数.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和. （2）类似地，量出图②中，，，的度数，计算的度数. （3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？ 【答案】（1）；(2）；（3）任意多边形的外角和都是. 【分析】（1）经过测量可计算得到∠1+∠2+∠3=360°，发现当三角形变化时这个值不变； （2）经过测量可计算得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，发现当四边形变化时这个值不变．由此可猜想得多边形的外角和为360°． 【详解】经测量得到∠1=120°，∠2=120°，∠3=120° ∠1+∠2+∠3=360°， 发现：三角形的外角和为360°； 如图①：∠1=150°，∠2=150°，∠3=60° ∠1+∠2+∠3=360° （2）经测量得到∠1=120°，∠2=120°∠3=30°，∠4=90° ∠1+∠2+∠3+∠4=360°， 如图②：∠1=70°，∠2=120°，∠3=60°，∠4=110° ∠1+∠2+∠3+∠4=360° 发现：四边形的外角和为360°； （3）猜想：多边形的外角和为360°． 【点睛】本题考查角的计算，根据所得出的结果对外角和进行猜想是解题关键. 8．圆心角是120°，半径为3的扇形面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】C 【分析】根据扇形面积计算公式可得答案． 【详解】解：圆心角是120°，半径为3的扇形面积为． 故选：C 【点睛】本题考查扇形面积的计算公式，掌握扇形面积公式为S=是解题的关键． 9．如图所示，已知扇形A的圆心角和扇形B的圆心角的度数相等，则扇形A的圆心角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用扇形的面积占圆面积的25%，得出扇形圆心角度数，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，扇形的面积占圆面积的25%， ∴此扇形的圆心角的度数为：360°×25%=90°， ∵扇形A的圆心角和扇形B的圆心角的度数相等， ∴扇形A的圆心角的度数为：（360°-90°）=135°， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了扇形的圆心角，正确得出圆心角的度数是解题关键． 10．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（　　） A．2π B．π C．π D．π 【答案】D 【分析】直接利用扇形的面积公式，求解即可. 【详解】解：， 故答案为D. 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，关键是熟记扇形的面积公式. 11．如图，把一个圆分成4个扇形，其中∠AOD=∠BOD=90°，∠AOC=3∠BOC，这四个扇形的面积比是（　　） A．1：2：2：3 B．3：2：2：3 C．1：2：2：1 D．4：2：2：3 【答案】A 【详解】解：∵ ∵S扇形= ∴S扇形BOC：S扇形BOD：S扇形AOD：S扇形AOC=45：90：90：135=1：2：2：3． 故选A． 12．将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角度数比为，则这三个扇形中最大的圆心角度数为 ． 【答案】160° 【分析】利用题目中所给的圆心角的度数之比去乘360°，从而可求得各个扇形的圆心角的度数． 【详解】由题意可知，三个圆心角的和为360°， 又∵三个圆心角的度数比为， ∴最大的圆心角度数为：． 故答案为：160°． 【点睛】本题考查了扇形圆心角的度数问题，掌握周角的度数即三个扇形圆心角的和是360°是解题关键． 13．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝35°． (1)求∠AOB的度数； (2)若OE＝6，求扇形EOF的面积． 【答案】(1)140° (2)14π 【分析】（1）直接利用角平分线的性质得到的度数，进而得到答案； （2）利用扇形的面积公式进行求解． 【详解】（1）解：∵OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝35°， ∴∠AOC＝2×35°＝70°， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOB的度数为：70°×2＝140°． （2）扇形EOF的面积＝＝14π． 【点睛】本题考查了扇形的面积问题，角平分线的性质，关键是利用角平分线的性质求出的度数． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$