第11讲 一次函数（练习）【2大考点12大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第11讲 一次函数【2大考点12大题型】 考点一 一次函数的图象与性质 【题型1 一次函数的图象】 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）一次函数 ，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·浙江舟山·中考真题）一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 4．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【题型2 一次函数的性质】 1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 2．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 4．（2024·山东·中考真题）一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ． 5．（2024·四川成都·中考真题）在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第 象限． 6．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 7．（2024·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 【题型3 一次函数图象上点的坐标特征】 1．（2024·陕西·中考真题）若正比例函数的图象经过点O（a-1,4）,则a的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·中考真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．    4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【题型4 一次函数解析式的确定】 1．（2024·湖南益阳·中考真题）已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（　　） x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 0 2 4 … A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝x2 2．（2023·浙江舟山·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（    ） A． B．2 C． D．1 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）请写出一个过点且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 ． 4．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．    5．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数的图象经过点和，则 ． 6．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 【题型5 一次函数与几何变换】 1．（2024·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A．-5 B．5 C．-6 D．6 2．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 3．（2024·湖北黄石·中考真题）将直线向左平移（）个单位后，经过点(1，−3)，则的值为 ． 4．（2024·四川广安·中考真题）一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为 ． 5．（2024·云南昆明·中考真题）如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为 ． 6．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 7．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 8．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为﹣2．直线l2与y轴交于点D． （1）求直线l2的解析式； （2）求△BDC的面积． 【题型6 一次函数与方程（组）、不等式的关系】 1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是 ．    3．（2024·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ． 4．（2024·贵州遵义·中考真题）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为 ．    考点二 一次函数的应用 【题型7 一次函数的应用之行程问题】 1．（2024·重庆·中考真题）A，B两地相距240 km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是 ． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：    (1)甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____． (2)求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案． 3．（2024·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象． 请解答下列问题： (1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟； (2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： (1)A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分； (2)图中a= ，b= ，c= ； (3)求线段MN的函数解析式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 【题型8 一次函数的应用之销售问题】 1．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． (1)求，两种花卉的单价． (2)该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 2．（2024·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）： 次数 数量（支） 总成本（元） 海鲜串 肉串 第一次 3000 4000 17000 第二次 4000 3000 18000 针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元． (1)求m、n的值； (2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值． 3．（2024·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．    (1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 4．（2024·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台． （1）当时，完成以下两个问题： ①请补全下面的表格： A型 B型 车床数量/台 ________ 每台车床获利/万元 10 ________ ②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？ （2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润． 【题型9 一次函数的交点问题：找临界点】 1．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 2．（2024·河南安阳·中考真题）在平面直角坐标系中，将某函数的部分记为图象，经过点，图象沿直线翻折后得到的图象记为，则图象和关于y轴对称．图象和组成图象M． (1)设点在图象上，则点A在图象上的对应点坐标为 ； (2)如图1，当时，设是一次函数图象，求关于y轴对称的对应的函数表达式； (3)如图2，当时，设是二次函数图象，过点，过点的直线l与y轴垂直，当直线l和图象M有四个交点时，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点P，Q在抛物线上，其横坐标分别为，，设此抛物线在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为，求a的值． 3．（2024·贵州毕节·中考真题）如定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”． (1)若，试判断函数是否为函数，的“组合函数”，并说明理由： (2)设函数与的图像相交于点． ①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方．求的取值范围； ②若，函数、的“组合函数”图像经过点，是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数．都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在．请求出的值及此时点的坐标；若不存在．请说明理由． 4．（2024·四川广元·中考真题）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【题型10 一次函数的整点问题】 1．（2024·山东威海·中考真题）在平面直角坐标系中，放置一面平面镜，如图所示，其中，从点发射光线，其解析式为． (1)若D点为平面镜的中点， ①求D点坐标； ②若光线恰好经过D点，求的值； (2)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于E点，求E点是整点的个数． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，双曲线分别与直线和交于A，点A的坐标为，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”． (1)求双曲线的解析式； (2)若双曲线与两条直线围成的区域（不含边界上的点）为P，试求区域P内的整点个数． 3．（2024·湖北荆门·中考真题）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．    (1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围； (4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值 【题型11 一次函数与反比例函数、二次函数的综合应用】 1．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，则下列结论正确的个数为（    ）    ①， ②， ③当线段长取最小值时，则的面积为 ④若点，则 A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为 ． 4．（2024·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．    (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在x轴上，若，求点M的坐标． 5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 【题型12 一次函数与与几何图形的综合应用】 1．（2024·甘肃白银·中考真题）如图，长方形在平面直角坐标系中，若、的长满足，把沿对折 ，点B落在点处 ，线段与x轴交于点D． (1)求B、C两点的坐标 ； (2)求直线的表达式 ； (3)在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在 ，请直接写出点的坐标 ； 若不存在 ，请说明理由． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 3．（2024·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点． (1)求直线AB的函数表达式； (2)过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动． ①若直线交直线OC于点E，则线段的长为________（用含有m的代数式表示）； ②当时，S与m的关系式为________； ③当时，m的值为________． 4．（2024·辽宁沈阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B， （1）k的值是　 　； （2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上． ①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长； ②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一次函数【2大考点12大题型】 考点一 一次函数的图象与性质 【题型1 一次函数的图象】 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）一次函数 ，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象当k＜0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小，结合b=-1即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数 ，若y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴图象一定过第二、四象限， ∵b=-1， ∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键． 2．（2024·浙江舟山·中考真题）一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，由函数解析式得，根据一次函数的图象与性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数的图像经过一、三、四象限， ∴选项B符合题意， 故选：B． 3．（2024·天津·中考真题）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据正比例函数图象所经过的象限确定的符号． 【详解】解：正比例函数（是常数，）的图象经过第一、三象限， ． ∴k的值可以为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限． 4．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 【题型2 一次函数的性质】 1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 2．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键． 通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【详解】 轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 3．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（    ） A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A 4．（2024·山东·中考真题）一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意及函数的性质可进行求解． 【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大，可知该函数可以为（答案不唯一）； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 5．（2024·四川成都·中考真题）在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】先根据正比例函数中，函数y的值随x值的增大而增大判断出k的符号，求出k的取值范围即可判断出P点所在象限． 【详解】解：∵正比例函数中，函数y的值随x值的增大而增大， ∴k＞0， ∴点在第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，正比例函数的性质，根据题意判断出k的符号是解答此题的关键． 6．（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）． 【答案】< 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 7．（2024·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴． ∴． 时， ∵图象与y轴的交点在原点下方， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键． 【题型3 一次函数图象上点的坐标特征】 1．（2024·陕西·中考真题）若正比例函数的图象经过点O（a-1,4）,则a的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】把点(a-1，4)直接代入正比例函数y=-2x中求解即可. 【详解】∵函数过O(a-1,4)， ∴， ∴， 故选A. 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例函数的解析式是解题的关键. 2．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 3．（2024·四川南充·中考真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．    【答案】1 【分析】根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可． 【详解】解：， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当 时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 【题型4 一次函数解析式的确定】 1．（2024·湖南益阳·中考真题）已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（　　） x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 0 2 4 … A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝x2 【答案】A 【分析】观察表中x，y的对应值可以看出，y的值恰好是x值的2倍．从而求出y与x的函数表达式． 【详解】解：根据表中数据可以看出：y的值是x值的2倍， ∴y＝2x． 故选：A． 【点睛】本题考查了列正比例函数表达式，解题的关键是根据所给的数据找出自变量与因变量之间的关系． 2．（2023·浙江舟山·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】把代入后表示出，再根据最大值求出k，最后把代入即可． 【详解】把代入得： ∴ ∵的最大值为9 ∴，且当时，有最大值，此时 解得 ∴直线解析式为 把代入得 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为9求出k的值． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）请写出一个过点且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了函数的增减性，待定系数法求函数解析式．写出一个一次项系数为负数且经过点的一次函数即可． 【详解】解：设满足题意得的一次函数的关系式为， 代入得：， ， ∴满足题意的一次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．    【答案】5 【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答． 【详解】解：设过，则有： ，解得：，则； 同理：， 则分别计算，的最大值为值． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键． 5．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数的图象经过点和，则 ． 【答案】 【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，即， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键． 6．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值． 【详解】（1）点在直线上， ， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）①点在直线上，且的横坐标为， 的纵坐标为：， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 点，线段的长度为， ， ， ， 即； ②的面积为， ， 即， 解得， 由①知，， ， 解得， 即的值为或． 【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 【题型5 一次函数与几何变换】 1．（2024·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A．-5 B．5 C．-6 D．6 【答案】A 【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后 得到的解析式为：， 化简得：， ∵平移后得到的是正比例函数的图像， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键． 2．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 3．（2024·湖北黄石·中考真题）将直线向左平移（）个单位后，经过点(1，−3)，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据平移的规律得到平移后的解析式为，然后把点(1，−3)的坐标代入求值即可． 【详解】解：将一次函数y=-x+1的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后得到， 把(1，−3)代入，得到：， 解得m=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 4．（2024·四川广安·中考真题）一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为 ． 【答案】y=2x＋7 【分析】将点（0，2）代入一次函数解析式中,即可求出原一次函数解析式,然后根据平移方式即可求出结论． 【详解】解：将点（0，2）代入y=2x＋b中，得 2=b ∴原一次函数解析式为y=2x＋2 将函数y=2x＋2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x＋2＋5=2x＋7 故答案为：y=2x＋7． 【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和图象的平移，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数的平移规律是解题关键． 5．（2024·云南昆明·中考真题）如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为 ． 【答案】y=﹣x或y=-4x 【详解】分析：直接利用旋转的性质结合平移的性质得出对应点位置，再利用待定系数法求出正比例函数解析式． 详解：当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′， 则A′（-3，4）， 设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx， 则4=-3k， 解得：k=-， 则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x， 同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，此时A′（1，-4）， 设过点A′的正比例函数的解析式为：y=k′x， 则-4=k′， 则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-4x. 故答案为y=﹣x或y=-4x. 点睛：此题主要考查了旋转的性质、平移的性质、待定系数法求出正比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键． 6．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】先根据一次函数求得、坐标，再过作的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式求得的长度，得到点坐标，从而得到直线的函数表达式. 【详解】因为一次函数的图像分别交、轴于点、，则，，则．过作于点，因为，所以由勾股定理得，设，则，根据等面积可得：，即，解得．则，即，所以直线的函数表达式是． 【点睛】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解. 7．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一次函数由平移得到可得出k值，然后将点（1，2）代入可得b值即可求出解析式； （2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点（1，2），即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出m的取值范围． 【详解】（1）∵一次函数由平移得到， ∴， 将点（1，2）代入可得， ∴一次函数的解析式为； （2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知： 临界值为当时，两条直线都过点（1，2）， ∴当时，都大于， 又∵， ∴可取值2，即， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键． 8．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为﹣2．直线l2与y轴交于点D． （1）求直线l2的解析式； （2）求△BDC的面积． 【答案】直线l2的解析式为y=﹣x+4；（2）16. 【分析】（1）把x=2代入y=x，得y=1，求出A（2，1）．根据平移规律得出直线l3的解析式为y=x-4，求出B（0，-4）、C（4，-2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，将A、C两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线l2的解析式； （2）根据直线l2的解析式求出D（0，4），得出BD=8，再利用三角形的面积公式即可求出△BDC的面积． 【详解】（1）把x=2代入y=x，得y=1， ∴A的坐标为（2，1）． ∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3， ∴直线l3的解析式为y=x-4， ∴x=0时，y=-4， ∴B（0，-4）． 将y=-2代入y=x-4，得x=4， ∴点C的坐标为（4，-2）． 设直线l2的解析式为y=kx+b， ∵直线l2过A（2，1）、C（4，-2）， ∴，解得， ∴直线l2的解析式为y=-x+4； （2）∵y=-x+4， ∴x=0时，y=4， ∴D（0，4）． ∵B（0，-4）， ∴BD=8， ∴△BDC的面积=×8×4=16． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求出求出直线l2的解析式是解题的关键． 【题型6 一次函数与方程（组）、不等式的关系】 1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是 ．    【答案】 【分析】据函数图象，写出直线y1=k1x在直线y2=k2x+b2的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为 x＜1． 故答案是：x＜1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3．（2024·广西梧州·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1）， ∴方程组的解为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解． 4．（2024·贵州遵义·中考真题）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为 ．    【答案】x＜4 【分析】结合函数图象，写出直线在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2）， ∴x＜4时，y＜2， ∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为：x＜4． 故答案为：x＜4． 【点睛】本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是解题的关键． 考点二 一次函数的应用 【题型7 一次函数的应用之行程问题】 1．（2024·重庆·中考真题）A，B两地相距240 km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】先根据CD段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点E表示的意义，由此即可得出答案． 【详解】设乙货车的行驶速度为 由题意可知，图中的点D表示的是甲、乙货车相遇 点C的坐标是，点D的坐标是 此时甲、乙货车行驶的时间为，甲货车行驶的距离为，乙货车行驶的距离为 乙货车从B地前往A地所需时间为 由此可知，图中点E表示的是乙货车行驶至A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B地 则点E的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即 即点E的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象是解题关键． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：    (1)甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____． (2)求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度； （2）利用待定系数法求函数解析式； （3）先求得点E、F坐标，然后分情况列方程求解． 【详解】（1）解：由图可得，即甲出发3时后与地相距， ∴甲车行驶速度为； 由题意可得，，即乙车出发行驶， ∴乙车行驶速度为， 故答案为：，； （2）解：设线段所在直线的解析式为． 将，代入，得． 解得． 线段所在直线的解析式为． （3）解：在中，当时，， ∴， 由（1）可得乙车行驶速度为，甲车行驶速度为且两车同时到达目的地， 则乙到达目的地时，甲距离A地的距离为， ∴，， 设乙车出发时，两车距各自出发地路程的差是， 当时，此时甲在到达C地前， 由， 解得，（不合题意，舍去）； 当时，此时甲在C地休息，则， 解得，（不合题意，舍去）； 当时，此时甲在返回B地中，则 解得，（不合题意，舍去） 综上，乙车出发或，两车距各自出发地路程的差是． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． 3．（2024·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．    (1)求所在直线的表达式． (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？ (3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离． 【答案】(1) (2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇 (3)两地间的距离为600米 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可； （3）列出方程即可解决． 【详解】（1）∵， ∴所在直线的表达式为． （2）设所在直线的表达式为， ∵， ∴解得 ∴． 甲、乙机器人相遇时，即，解得， ∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇． （3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离， 则乙机器人分钟后到地，地与地距离， 由，得． ∴． 答：两地间的距离为600米． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键． 4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象． 请解答下列问题： (1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟； (2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案． 【答案】(1)300，800 (2)（） (3)分钟，分钟，6分钟 【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而可求甲的速度； （2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围； （3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟， ∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟， ∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟， ∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟， 故答案为：300，800； （2）解：由（1）可知G（6，2 400）， 设直线FG的解析式为， ∵过F（3，0），G（6，2 400）两点， ∴， 解得：， ∴直线FG的解析式为：， 自变量x的取值范围是； （3）解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米， ①乙从B地到A地时，两人相距600米， 由题意得：300t＋800t＝600， 解得：； ②乙从A地前往C时，两人相距600米， 由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600， 解得：或6， 答：出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： (1)A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分； (2)图中a= ，b= ，c= ； (3)求线段MN的函数解析式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 【答案】(1)1200，60 (2)900，800，15 (3)y =-20x+1200（15≤x≤20） (4)8分钟，分钟 【分析】（1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A、B两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A地，所以乙的速度为可计算出来； （2）由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，则可求出a，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，利用甲乙的速度即可算出b； （3）由（2）可知M、N的坐标，设出MN的一般解析式，将M、N的坐标代入即可求出； （4）设经过x分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出． 【详解】（1）由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从A地出发，乙从B地出发，两人最开始时的距离就是A、B两地之间的距离， 所以A、B两地之间距离为1200米； 由图像可知乙经过20分时到达A地， ∴乙的步行速度为（米/分）； 故答案为：1200，60； （2）由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，乙未到达A地，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米， 设甲的步行速度为x米/分，则， 解得：x=80（米/分） ∴（分）， （米）， （米）． 故答案为：900，800，15； （3）由（2）可知，M、N的坐标分别为M（15，900），N（20，800）， 设线段MN的解析式为y=kx+b（）， 则有 ， 解得： ∴线段MN的函数解析式是y =-20x+1200（15≤x≤20） （4）设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米， 相遇前：1200-（60+80）x=80，解得：x=8； 相遇后：（60+80）x-1200=80，解得：x=， 所以经过8分钟和分钟时两人相距80米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图像分析出各个点对应的情况． 【题型8 一次函数的应用之销售问题】 1．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． (1)求，两种花卉的单价． (2)该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株 (2)当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键． （1）设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设采购种花卉株，则种花卉株，总费用为元，根据题意列出不等式，得出，进而根据题意，得到，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株， 由题意得：， 解得：， 答：种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株． （2）解：设采购种花卉株，则种花卉株，总费用为元， 由题意得：， ， 解得：， 在中， ， 随的增大而减小， 当时的值最小， ， 此时． 答：当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元． 2．（2024·湖北襄阳·中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）： 次数 数量（支） 总成本（元） 海鲜串 肉串 第一次 3000 4000 17000 第二次 4000 3000 18000 针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元． (1)求m、n的值； (2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值． 【答案】(1)的值为3，的值为2 (2) (3)0.5 【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出、的值； （2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润每支利润数量”分别列出代数式即可求出与的函数关系式，注意写出自变量的取值范围； （3）设降价后获得肉串的总利润为元，令，先根据题意列出关于的关系式，再写出关于的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果． 【详解】（1）解：根据表格可得：， 解得：， ∴的值为3，的值为2； （2）当时，店主获得海鲜串的总利润； 当时，店主获得海鲜串的总利润； ∴； （3）设降价后获得肉串的总利润为元，令， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而减小， 当时，的值最小， 由题意可得：， ∴， 即， 解得：， ∴的最大值是0.5． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键． 3．（2024·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．    (1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)， (2)制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张 (3)A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可； （3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个， 故制作B种木盒个； ∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张， 故使用乙种方式切割的木板材张； 故答案为：，． （2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板， 使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板； 设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个， 制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个； 故 解得：， 故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个， 使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， （3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 故总成本为（元）； ∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元， 即， 解得：， 故的取值范围为； 设利润为，则， 整理得：， ∵，故随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值为， 则此时B种木盒的销售单价定为（元）， 即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键． 4．（2024·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台． （1）当时，完成以下两个问题： ①请补全下面的表格： A型 B型 车床数量/台 ________ 每台车床获利/万元 10 ________ ②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？ （2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润． 【答案】（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元 【分析】（1）①由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当时，每台就要比17万元少（）万元，所以每台获利，也就是（）万元； ②根据题意可得根据题意：然后解方程即可； （2）当0≤≤4时，W＝＋＝，当4＜≤14时， W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案. 【详解】解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元 所以每台获利，也就是（）万元 ①补全表格如下面： A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 ②此时，由A型获得的利润是10（）万元， 由B型可获得利润为万元， 根据题意：， ， ，∵0≤≤14， ∴， 即应产销B型车床10台； （2）当0≤≤4时， 当0≤≤4 A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 17 利润 此时，W＝＋＝， 该函数值随着的增大而增大，当取最大值4时，W最大1＝168（万元）； 当4＜≤14时， 当4＜≤14 A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 利润 则W＝＋＝＝， 当或时（均满足条件4＜≤14），W达最大值W最大2＝170（万元）， ∵W最大2＞ W最大1， ∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解. 【题型9 一次函数的交点问题：找临界点】 1．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． （2）令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． （3）根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 2．（2024·河南安阳·中考真题）在平面直角坐标系中，将某函数的部分记为图象，经过点，图象沿直线翻折后得到的图象记为，则图象和关于y轴对称．图象和组成图象M． (1)设点在图象上，则点A在图象上的对应点坐标为 ； (2)如图1，当时，设是一次函数图象，求关于y轴对称的对应的函数表达式； (3)如图2，当时，设是二次函数图象，过点，过点的直线l与y轴垂直，当直线l和图象M有四个交点时，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点P，Q在抛物线上，其横坐标分别为，，设此抛物线在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据关于轴对应的点的坐标特点可得答案； （2）求解， 任取图象上一点关于y轴对称的点为， 设过与的直线为，再进一步可得答案； （3）求解，可得该函数图象的顶点坐标为．由直线l过点且与图象M有四个交点，再结合图象建立不等式求解即可； （4）由（3）可知， (3) 16对称轴为直线．可得点P， Q都在上， 其中点Q在对称轴右侧．①当P在对称轴左侧时，②当P在对称轴右侧时，再利用最高点与最低点的纵坐标的差为，建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 由已知图象和关于y轴对称，所以关于y轴对称的点为； （2）解：由已知经过点， 所以当时， 图象经过点， 得， 任取图象上一点关于y轴对称的点为， 设过与的直线为， ∴，解得：， ∴为， 即关于y轴对称的对应的函数表达式为； （3）解：当时， 点C的坐标为． 把点代入二次函数中， 得， 所以． ∴， 该函数图象的顶点坐标为． ∵直线l过点且与图象M有四个交点， 当时，如图， ∴， 解得； 当时，如图，显然不符合题意． 综上，a的取值范围为； （4）解：由（3）可知， (3) 16对称轴为直线． ∵， ∴， ， 如图，∵点P， Q都在上， 其中点Q在对称轴右侧． ①当P在对称轴左侧时， ∴， ∴， 点P与点Q之间部分最高点为顶点，最低点为点Q， ， 整理解得或．都不符合题意，舍去， ②当P在对称轴右侧时，如图， ∴， ∴． ∵； 所以点 P与点Q 之间部分最高点为P 点，最低点为点Q， ， 整理解得(舍) 或． 综上，a的值为． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 3．（2024·贵州毕节·中考真题）如定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”． (1)若，试判断函数是否为函数，的“组合函数”，并说明理由： (2)设函数与的图像相交于点． ①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方．求的取值范围； ②若，函数、的“组合函数”图像经过点，是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数．都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在．请求出的值及此时点的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)①  ②存在；， 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键． （1）把，代入组合函数中，化简后进行判断即可； （2）①先求出点的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点代入“组合函数”，整理得，把代入“组合函数”，消去，把代入解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：是函数，的“组合函数”， 理由：由函数，的“组合函数”为：， 把，代入上式，得， 函数是函数，的“组合函数”； （2）解：①解方程组 得． 函数与的图像相交于点， 点的坐标为， 、的“组合函数”为， ， ，点在函数、的“组合函数”图像的上方． ，整理，得， ， 解得：， 的取值范围为； ②存在，理由如下： 函数的“组合函数”图像经过点． 将点坐标代入"组合函数"，得 ， ， ，． 将代入， 把代入，得 解得：， 设，则， ． 对于不等于的任意实数，存在“组合函数”图像与轴交点的位置不变． 4．（2024·四川广元·中考真题）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 【题型10 一次函数的整点问题】 1．（2024·山东威海·中考真题）在平面直角坐标系中，放置一面平面镜，如图所示，其中，从点发射光线，其解析式为． (1)若D点为平面镜的中点， ①求D点坐标； ②若光线恰好经过D点，求的值； (2)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于E点，求E点是整点的个数． 【答案】(1)①；②4 (2)7 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法，正确求出相关函数关系式是解答本题的关键． （1）①根据点的坐标的意义可得答案； ②把的坐标代入可得答案； （2）设关于直线的对称点为，求出直线的解析式以及直线的解析式，进而得出点的纵坐标的取值范围，从而得出答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴轴， ∵点是的中点， ， ； ②∵经过和， ， 得，， 即的值为4； （2）解：由题意得，点关于直线的对称点为， 设直线的解析式为， 把代入，得：， 解之得，， 设直线的解析式为， 把的坐标代入，得：， 解之得，， 设点的坐标为， ， ∵是整数， ∴可以取， ∴整点的个数为7个， 即点是整点的个数为7． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，双曲线分别与直线和交于A，点A的坐标为，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”． (1)求双曲线的解析式； (2)若双曲线与两条直线围成的区域（不含边界上的点）为P，试求区域P内的整点个数． 【答案】(1) (2)区域内的整点个数为3 【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，理解“整点坐标”的实际意义是正确解答的前提． （1）把点代入得到，于是得到双曲线的解析式为； （2）由双曲线与直线交于，得到，求得在区域内的取值范围为，得到在区域内的取值范围为，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线的解析式为； （2）∵双曲线与直线交于， ∴当时，， ∴， 在区域内的取值范围为， 在一次函数中，当时，， 在反比例函数中当时，， ∴在区域内的取值范围为， ∴整点有，，， ∴区域内的整点个数为3． 3．（2024·湖北荆门·中考真题）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．    (1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围； (4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值 【答案】(1)（答案不唯一） (2)函数是“整点函数”，理由见解析 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数综合： （1）求出恰好经过A、B的直线解析式即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用直线和反比例函数解析式，求出二者的交点坐标即可得到结论； （3）先利用待定系数法求出，进而得到对称轴为直线，则抛物线一定经过点，再分当，当两种情况讨论求解即可； （4）根据（3）所求分当，当两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当直线恰好经过A、B时符合题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：把代入中得， ∴反比例函数解析式为， 由题意得，，， 直线的解析式为． 联立，解得或， 与线段有两个交点，分别为和，且都是整点； 函数是“整点函数”； （3）解：当时，，， ∴中点坐标， 过， ， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意，抛物线一定经过点， 当时，抛物线是“整点函数”，且顶点坐标为， ， ， ； 当时，则抛物线与轴正半轴的交点在点右侧，即当时，，， ∴， ． 综上，的取值范围是或． （4）解：由（3）可知抛物线的对称轴为直线． ①当时，则顶点为最高点，为最低点， ， 整理得，，（舍）， ②当时，， 抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大， 最高点为点，最低点为点． ． 解得（舍），． 综上所述，的值为1． 【题型11 一次函数与反比例函数、二次函数的综合应用】 1．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 2．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，则下列结论正确的个数为（    ）    ①， ②， ③当线段长取最小值时，则的面积为 ④若点，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可． 【详解】直线与抛物线交于、两点， ∴， 整理得：， ∴， ∴正确； ∵， 解得：，， ∴，， ∴； ∴正确； ∵， 当时，即轴时，有最小值， ∴， ∴； ∴正确； 当点时，假设，则： 是直角三角形， 取的中点为点，连接， ∴， ∵， ∴，， ∴点， ∴点， ∵点， ∴， ∴时，， 即与不一定垂直； ∴错误； ∴正确的为： ． 故选：C．      【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，两点间的距离公式． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】 当P点到AD的中点时，Q到B点，此时，△PAQ的面积最大. 设正方形的边长为acm，表示出△APQ的面积即可得到直线EF对应的函数关系式． 【详解】 ∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动， ∴当P点到AD的中点时，Q到B点，此时，△PAQ的面积最大. 设正方形的边长为acm， ∵从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9， ∴，解得，即正方形的边长为6. 当Q点在BC上时，AP=6﹣x，△APQ的高为AB， ∴． ∴线段EF所在的直线对应的函数关系式为． 故答案为：y=-3x+18 【点睛】本题考查了双动点问题的函数图象；正方形的性质；由实际问题列函数关系式；分类思想和数形结合思想的应用． 4．（2024·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．    (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在x轴上，若，求点M的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 (2)M点的坐标为或 【分析】（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， 经检验，是方程的解， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， M在O点左侧时，； M点在O点右侧时，， 综上，M点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． 5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，有最大值，最大值为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴抛物线顶点P的坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 （2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于点，与直线交于点 ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②设直线与x轴交于H， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图3-1所示，当时， 过点C作于G，则 ∴点G为的中点， 由（2）得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形， ∴，即， ∴点E的纵坐标为5， ∴， 解得或（舍去）， ∴ 如图3-3所示，当时，过点C作于G， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴ 综上所述，点E的坐标为或或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【题型12 一次函数与与几何图形的综合应用】 1．（2024·甘肃白银·中考真题）如图，长方形在平面直角坐标系中，若、的长满足，把沿对折 ，点B落在点处 ，线段与x轴交于点D． (1)求B、C两点的坐标 ； (2)求直线的表达式 ； (3)在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在 ，请直接写出点的坐标 ； 若不存在 ，请说明理由． 【答案】(1)B点坐标为，C点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）先根据与满足的方程以及非负数的性质得出、的长，再由矩形对边相等可得出、的长，由A、C在坐标轴上即可得出B、C的坐标； （2）根据三角形全等，得出的长，再根据两点之间的距离公式即可得出的坐标，根据待定系数法可得出的解析式； （3）设，，得到，则，，，再根据勾股定理分情况列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据折叠可知：， ∴，， ∵，， 设的坐标为， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的坐标为， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． （3）解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ， ①当为直角时，， 故， 解得，则； ②当为直角时，， 即 此时无解； ③当为直角时，， 即， 解得，则； 综上可得，P为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，两点间距离公式，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点、、的坐标分别为：、、，，则，即可求解； （3）关于直线的对称点为，当点落在直线上时，则，解得：；当落在上时，同理可解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入得：， 解得：，即点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：由题意得，点、、的坐标分别为：、、， ， 则， 解得：或； （3）解：关于直线的对称点为， 当点落在直线上时， 则， 解得：； 当落在上时， 则， 解得：， 故． 3．（2024·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点． (1)求直线AB的函数表达式； (2)过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动． ①若直线交直线OC于点E，则线段的长为________（用含有m的代数式表示）； ②当时，S与m的关系式为________； ③当时，m的值为________． 【答案】(1)y＝﹣x+9； (2)①m；②m2；③或15﹣2． 【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可； （2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标； ②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC，利用三角形面积公式可得出本题结果； ③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可． 【详解】（1）解：将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b， ∴， 解得． ∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9； （2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9， 令y＝0，则x＝12， ∴A（12，0）， ∴OA＝12，OB＝9， ∴AB＝15； 如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F， ∴CF∥OA， ∴∠OAB＝∠FCC′， ∵∠C′FC＝∠BOA＝90°， ∴△CFC′∽△AOB， ∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15， ∵CC′＝m， ∴CF＝m，C′F＝m， ∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m）， ∵C（8，3）， ∴直线OC的解析式为：y＝x， ∴E（8﹣m，3﹣m）. ∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m． 故答案为：m． ②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m）， 解得m＝ ， ∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC， 此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2； 故答案为：m2． ③分情况讨论， 当0＜m＜时，由②可知，S＝m2； 令S＝m2＝ ，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）； 当≤m＜5时，如图2， 设线段A′D′与直线OC交于点M， ∴M（m，m）， ∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3， D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8； ∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8） ＝﹣m2+m﹣12， 令﹣m2+m﹣12＝； 整理得，3m2﹣30m+70＝0， 解得m＝ 或m＝＞5（舍）； 当5≤m＜10时，如图3， S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意； 当10≤m＜15时，如图4， 此时A′B＝15﹣m， ∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m）， ∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2， 令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2 ＞15（舍）或m＝15﹣2． 故答案为：或15﹣2． 【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积、相似三角形的性质与判定、一元二次方程、分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键． 4．（2024·辽宁沈阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B， （1）k的值是　 　； （2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上． ①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长； ②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标． 【答案】（1）；（2）①▱OCED的周长8+4；②C的坐标为（﹣3，）或（11，）． 【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值； （2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由平行四边形的性质结合点E为OB的中点可得出CE是△ABO的中位线，结合点A的坐标可得出CE的长，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出DE的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED的周长； ②设点C的坐标为（x，），则CE＝|x|，CD＝，利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为可得出关于x的方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4， 解得：k＝． 故答案为． （2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝x+4． 当x＝0时，y＝x+4＝4， ∴点B的坐标为（0，4）， ∴OB＝4． ∵点E为OB的中点， ∴BE＝OE＝OB＝2． ∵点A的坐标为（8，0）， ∴OA＝8． ∵四边形OCED是平行四边形， ∴CE∥DA， ∴， ∴BC＝AC， ∴CE是△ABO的中位线， ∴CE＝OA＝4． ∵四边形OCED是平行四边形， ∴OD＝CE＝4，OC＝DE． 在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2， ∴DE＝， ∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2）＝8+4． ②设点C的坐标为（x，+4），则CE＝|x|，CD＝|x+4|， ∴S△CDE＝CD•CE＝|﹣x2+2x|＝， ∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0． 方程x2+8x+33＝0无解； 解方程x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11， ∴点C的坐标为（﹣3，）或（11，）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k值；（2）①利用勾股定理及三角形中位线的性质，求出CE，DE的长；②利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为，找出关于x的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$