精品解析：湖南省三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2024-2025学年高三下学期2月入学大联考数学试题

三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体 2025届高三2月入学大联考 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 已知非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 记数列的前项和为，若数列是公差为1的等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 2025 D. 2022 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面半径是上底面半径的2倍，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交于两点，连接并延长交于另一点，且，则的长轴长为（ ） A. 7或10 B. 6 C. 7或9 D. 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9 已知函数，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 10. 设，则使得“”成立一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知等比数列的公比，当取得最小值时，下列说法正确的是（ ） A. B. 不为整数 C. 中有且仅有一项为奇数 D. 中的所有整数之和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高三年级组采用随机抽样的方式抽取了20名学生在某次数学周测中解答填空压轴题的时间记录如下表： 解答时间/分钟 频数 2 8 8 2 根据上表数据估计这20名学生解答时间的平均值为_________，中位数为_________． 13. 已知为抛物线上一点，以为圆心，为半径作得圆．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最小值是________． 14. 若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值． 16. 如图四棱锥中，平面，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在直角坐标系中，已知双曲线离心率为，且的实轴长为4． （1）求的标准方程； （2）设的上焦点为，过第一象限上一点分别作直线与的垂线，垂足分别为点，直线交于另一点，当四边形的面积为8时，求的值． 18. 已知函数． （1）若，且与在切点处切线相同，求的值； （2）在（1）的条件下，求函数的单调区间； （3）若与的图象有两个不同的交点，探究与在这两个交点处是否各存在一条与两函数图象相切的公切线？若存在，求出一组满足题意的的值；若不存在，给出证明． 19. 在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设为其分布列与未知参数有关的离散型随机变量，其中的取值范围为．若对已知结果，有，且，有成立，则称为在下的一个极大似然估计． （1）（i）若服从二项分布，求在下的极大似然估计； （ii）若服从二项分布，求在下的极大似然估计． （2）若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品．已知每次点击按钮后，获得1积分的概率为，不获得积分的概率为．小丽参加这个抽奖活动后总共获得了积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数的取值为，证明：，并指出等号成立的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体 2025届高三2月入学大联考 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求出，求出集合即可求出. 【详解】由可知， 当时，， 解得或，即． 故. 故选：D． 2. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算性质求出复数，再利用虚部的定义判断即可. 【详解】由题意得， 则其虚部为，故A正确. 故选：A． 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再对目标式进行化简，得到定值即可. 【详解】易得函数的定义域为， 且， ，故B正确. 故选：B． 4. 已知非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定条件结得到，再结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】由题意得，两边平方得， 整理得，由向量数量积的公式得， 而，故， 因，所以，即，故B正确. 故选：B 5. 记数列的前项和为，若数列是公差为1的等差数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 2025 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】利用前项和与通项公式的关系求出，判断是常数列，再求解目标式即可. 【详解】因为数列是公差为1的等差数列， 所以，故， 当时，，， 两式相减得， 则， 得到， 故，即， 故为常数列，则，即，故A正确. 故选：A． 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式结合给定条件建立方程，求解即可. 【详解】因为，所以， 故， 因为， 所以，解得， 则，故C正确. 故选：C． 7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面半径是上底面半径的2倍，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出圆台及内切球的轴截面，利用切线长定理，结合勾股定理求出球半径即可. 【详解】作出圆台及其内切球的轴截面（如图），记球的半径为，两底面圆圆心分别为， 线段的中点为，，作，由切线长定理得， 则，而，解得， 由，得， 所以球的表面积. 故选：D 8. 在直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交于两点，连接并延长交于另一点，且，则的长轴长为（ ） A. 7或10 B. 6 C. 7或9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义，结合余弦定理列式求解并验证得答案. 【详解】依题意，，设椭圆的半长轴长为，则， ，在中，， 在中，， 则，整理得，即， 解得或，当时，，不满足题意， 当时，，满足题意，所以的长轴长为10. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简的解析式，结合正弦函数性质求解值域判断A，利用正弦函数的周期性判断B，利用整体代入法求解对称轴判断C，利用图象平移的性质判断D即可. 【详解】对于A，由辅助角公式得， 因为，所以， 则最小值为，故A错误， 对于B，由正弦函数性质得最小正周期，故B正确， 对于C，由已知得， 令，解得， 当时，，则的图象关于直线对称，故C正确， 对于D，将的图象向右平移个单位长度， 则， 得到的图象，故D错误， 故选：BC． 10. 设，则使得“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知构造函数根据函数的单调性得出，再结合不等式的性质及对数不等式计算，最后应用充分必要定义判断各个选项即可. 【详解】由题意可得，函数单调递增，故， 对于A，，故“”是“”的充要条件，故A错误； 对于B，由得，能推出，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，由可得，故，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，或，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确， 故选：BCD． 11. 已知等比数列的公比，当取得最小值时，下列说法正确的是（ ） A. B. 不为整数 C. 中有且仅有一项为奇数 D. 中的所有整数之和 【答案】BCD 【解析】 【分析】将用含的一元函数进行表示，再求导得到符合条件的值判断A，依据求出的数列通项公式求出判断B，求出前几项的数列值，再结合当时后续的项均不为整数判断CD即可. 【详解】对于A，由题意可得，， 令，， 要使取得最小值，则函数要取得最小值， 这等价于函数取得最小值， 易得， 由题意得，令，，令，， 则上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，故A错误； 对于C，而，将代入，得到， 解得，则，故， 而， 当时，，且与互质， 故从开始，后续的项均不为整数，只有是整数， 而是奇数，则中有且仅有一项为奇数，故C正确， 对于B，由已知得从开始，后续的项均不为整数，只有是整数， 则不为整数，故B正确， 对于D，由已知得只有是整数， 则中的所有整数之和，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：解题关键是求出数列的前三项，然后结合整数性质，判断后续的项都不是整数，得到所要求的结论即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高三年级组采用随机抽样的方式抽取了20名学生在某次数学周测中解答填空压轴题的时间记录如下表： 解答时间/分钟 频数 2 8 8 2 根据上表数据估计这20名学生解答时间的平均值为_________，中位数为_________． 【答案】 ①. 10 ②. 10 【解析】 【分析】根据平均数以及中位数的计算公式即可求解. 【详解】． 因为解答时间位于区间的频率为，所以解答时间的中位数为10, 故答案为10，10． 13. 已知为抛物线上一点，以为圆心，为半径作得圆．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆性质结合勾股定理求解边长，结合二次函数性质求解最值即可. 【详解】因为是圆心，半径为1，所以， 如图，设点，连接， 因为是圆的两条切线，所以， 由勾股定理得， 由两点间距离公式得， 因为为抛物线上一点，所以， 故， 当时，此时取得最小值，最小值为， 则，故，即，同理， 而， 故当圆心为或时，四边形周长最小，最小为. 故答案为：. 14. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的性质对左右两侧求导，再结合赋值法求解即可. 【详解】令，而 视为与构成的复合函数， 对等式左侧求导，得到， 令，同理可得， 故， 令，得到， 而. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：解题关键是利用复合函数求导的性质对左右两侧求导，然后利用赋值法得到的值，最后得到所要求的目标式取值即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求外接圆面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，运用和角公式化简求得，即得； （2）由余弦定理，结合基本不等式和条件可得，再由正弦定理求得外接圆半径的最小值即可. 【小问1详解】 由整理得：， 由正弦定理，可得 即， 因为，所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，外接圆的半径， 要使外接圆的半径最小，只需最小， 由余弦定理，， 当且仅当时取等号，此时，则． 故外接圆面积的最小值为． 16. 如图四棱锥中，平面，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，利用勾股定理逆定理得到，再利用线面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接， 因为， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以， 因为，所以，， 由平行四边形性质得，则， 由三线合一性质得， 故，则，所以， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 由已知得， 因为平面平面，所以， 因为，所以由勾股定理得，即， 则为等腰直角三角形，设其斜边上的高为， 由等面积公式得，解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴， 过作垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，， ，， 设平面的法向量为，则 取，解得，可得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 在直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且的实轴长为4． （1）求的标准方程； （2）设的上焦点为，过第一象限上一点分别作直线与的垂线，垂足分别为点，直线交于另一点，当四边形的面积为8时，求的值． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）由条件结合离心率定义，关系列方程，解方程求，可得结论； （2）设，求点到直线，的距离，再求四边形的面积，列方程可求，结合弦长公式证明结论. 【小问1详解】 由的实轴长为4，得， 由双曲线的离心率为，知，得， 故的标准方程为． 【小问2详解】 设， 点到直线的距离，同理点到直线的距离， 因为直线与互相垂直，所以四边形为矩形， 其面积为， 由点上，得，所以， 所以， 因为在第一象限，所以，代入的方程得， 所以，又， 所以直线的方程为， 与联立消整理得， 由，得， 所以． 18. 已知函数． （1）若，且与在切点处的切线相同，求的值； （2）在（1）的条件下，求函数的单调区间； （3）若与图象有两个不同的交点，探究与在这两个交点处是否各存在一条与两函数图象相切的公切线？若存在，求出一组满足题意的的值；若不存在，给出证明． 【答案】（1）． （2）单调递增区间为，无单调递减区间 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出，求出，求出、、和和即可求解； （2）求出，求出，根据导数即可求解； （3）由题意可转化为两次与轴相切，求出，可转化为存在两个变号零点，据此即可求解. 【小问1详解】 易得，则， ，， ，解得； 【小问2详解】 由题意可得， 则，等号仅在时取得， 故在单调递增， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 【小问3详解】 由题意可转化为两次与轴相切， ， 可转化为存在两个变号零点， 设，其中， ， 显然，则在区间和上为正，在区间上为负， 若，则； 若，则不可能与轴相切两次，故不存在． 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于把原问题转化两次与轴相切. 19. 在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设为其分布列与未知参数有关的离散型随机变量，其中的取值范围为．若对已知结果，有，且，有成立，则称为在下的一个极大似然估计． （1）（i）若服从二项分布，求在下的极大似然估计； （ii）若服从二项分布，求在下的极大似然估计． （2）若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品．已知每次点击按钮后，获得1积分的概率为，不获得积分的概率为．小丽参加这个抽奖活动后总共获得了积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数的取值为，证明：，并指出等号成立的条件． 【答案】（1）（i）；（ii）5或6 （2）证明见解析，等号能成立的条件为． 【解析】 【分析】（1）（i）根据二项分布的定义写出的表达式，再求其最值即得； （ii）根据二项分布的定义求得，利用数列的单调性，即得在或时取得最大值，即得； (2)先判断服从二项分布，求得，求出，判断的单调性，按照是否为整数分情况讨论推理得到即可. 【小问1详解】 （i）由题意可得， 故当时取最大值，其极大似然估计为． （ii）由题得，且， ， 令，则， 其中．当时，，则； 当时，有；当时，，故在或时取得最大值， 则在下的极大似然估计为5或6． 【小问2详解】 显然有，设次点击后获得的积分为随机变量，由题可知服从二项分布， 则， 设， 则． 当，即时，， 当时，，当时，． ① 若为整数，则对的极大似然估计为和，满足，当时等号成立， ② 若不为整数，记为小于的最大整数，则， 当时，；当时，， 则的极大似然估计为，故. 综上可得：，等号能成立的条件为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $