精品解析：湖北襄阳市第五中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

襄阳五中2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 命题教师：曾文红 审题教师：岳小琦 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（    ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 8. 点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A. 复数的虚部是 B. 若复数，则 C. 若复数，满足，则 D. 复数z满足，z在复平面内对应的点为，则 10. 已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 最大值为2 B. 的图象关于对称 C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增 11. 在中，D在线段AB上，且，，若，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. 的周长为 D. 为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 13. 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2000km．则飞机从B地到C地的距离为________． 14. 欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）求向量在上的投影向量的坐标； （2）若，求． 16. 已知复数满足. （1）求复数和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 18. 如图，是函数（，，）图象的一部分 （1）求函数的解析式； （2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 19. 对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”． （1）若为等腰直角三角形，求的“分离比”f； （2）证明：“分离比”； （3）试求出“分离比”f的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳五中2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 命题教师：曾文红 审题教师：岳小琦 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合中的不等式的解集，然后利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，或， 所以，故A正确. 2. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根， 所以，即，解得或， 故选：D. 3. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式及三角函数的定义即可. 【详解】. 故选：C 4. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，，求得，进而得到的长. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图， 因为，可得，， 又的周长为，所以，即， 则，则. 故选：A. 5. 在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解. 【详解】四边形ABCD 为平行四边形， 所以，, 所以. 故选：C 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 8. 点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理推论可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，所以， 又点在线段上（不含端点），所以，且，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A. 复数的虚部是 B. 若复数，则 C. 若复数，满足，则 D. 复数z满足，z在复平面内对应的点为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先依据复数虚部为实数判定A错，再对复数分母有理化验证B成立，利用共轭复数相乘为实数平方和推出C成立，结合复数模的坐标几何意义化简等式证D成立，最终确定正确选项为BCD. 【详解】选项A：复数的标准形式为（），虚部为实数， 因此的虚部是，不是，A错误. 选项B：已知，则，分母实数化得：，B正确. 选项C：设，由得，则， 因为，所以，C正确. 选项D：复数对应点，即，， 模长，两边平方得，D正确. 10. 已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 最大值为2 B. 的图象关于对称 C. 函数为偶函数 D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，利用伸缩变换得到，再逐项判断. 【详解】因为函数， 所以将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到函数， 则的最大值为2，故A正确； 因为，所以的图象不关于对称，故B错误； 因为，所以函数为偶函数，故C正确； 因为，所以， 所以在上单调递增，故D正确； 故选：ACD 11. 在中，D在线段AB上，且，，若，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. 的周长为 D. 为钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】在中用余弦定理求出BC长及，再在中用余弦定理求出AC长，然后对各选项逐一分析计算并判断作答. 【详解】如图，在中，因，由余弦定理得， 则有，即，而，解得，， 在中由余弦定理得，故，故A错误； 在中由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， ，的面积，B正确； 的周长为，C正确； 显然AB是最大边，，角为钝角，为钝角三角形，D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 【答案】 3 【解析】 【详解】函数是定义在R上的奇函数，则 ，解得， 此时， ，函数是奇函数， 所以实数a的值为3. 13. 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2000km．则飞机从B地到C地的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，做出图像，并根据条件列出边长、角度关系，使用余弦定理即可完成求解. 【详解】如图所示， 由题意可得，km，km，， 由余弦定理可得，， 所以km. 故答案为： . 14. 欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值________________ 【答案】 【解析】 【分析】首先利用欧拉线的性质以及已知的平行关系得到一些向量关系，再根据向量的线性表示求出与的关系，最后求的最大值. 【详解】设为重心，则由欧拉线定理可知在上， 连接交于点， 所以为的中线，所以， 点在直线上，设， 所以， 所以，所以， 所以，当时取最大值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出和的代数关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）求向量在上的投影向量的坐标； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示，结合投影向量的定义求解. （2）利用向量运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求出，再利用坐标求出向量的模. 【小问1详解】 由向量，，得， 所以向量在上的投影向量 . 【小问2详解】 ，由 ，得 ，解得， 所以. 16. 已知复数满足. （1）求复数和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果； （2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值. 【小问1详解】 因为复数满足， 所以， 所以. 所以. 【小问2详解】 因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元 【解析】 【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式； （2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 即，整理得. 【小问2详解】 当时，是对称轴为且开口向上的抛物线， 所以当时，； 当时，， 因为，当且仅当即取等号， 所以； 综上所述，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 18. 如图，是函数（，，）图象的一部分 （1）求函数的解析式； （2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解； （2）令，则问题可以转换为在有且仅有两个实根求解即可； （3）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解. 【小问1详解】 由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 令，则 因为函数在区间上有且仅有两个零点 所以方程在有且仅有两个实根. 令，得或 所以方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得 【小问3详解】 由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是. 19. 对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”． （1）若为等腰直角三角形，求的“分离比”f； （2）证明：“分离比”； （3）试求出“分离比”f的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形及其内切圆、外接圆的性质，结合三角形面积公式求出，进而根据“分离比”定义求解； （2）根据正弦定理，结合三角形面积公式求出相应边角关系，进而利用“分离比”定义证明结论； （3）运用两角和与差的正余弦公式，结合二倍角公式化简为，再利用换元法，结合两角差的余弦公式及余弦函数的有界性得出，再利用换元法结合二次函数的性质求出的最大值，进而求出的最大值，从而求出“分离比”f的最小值． 【小问1详解】 设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长为， 直角三角形外接圆直径即为斜边，则， 由面积公式得 ，解得， ． 【小问2详解】 由正弦定理得， 三角形面积， 又， ， ． 【小问3详解】 ， ， ， ， ， ， ， 令，则，即， 则， ， ，故， 令，则， 则转化为，函数开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时，则，又， ，则，即为等边三角形时， 取最大值， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $