精品解析：北京市中国人民大学附属中学丰台学校　 2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

人大附中丰台学校2024-2025学年第一学期期中练习 初三年级 数学 考生须知 1．本练习共三道大题28小题，共8页，满分100分，考试时间120分钟． 2．本次考试所有答案均在答题卡上完成．选择题用2B铅笔以正确方式填涂，非选择题用黑色签字笔填写，字迹要工整、清楚． 3．请严格按照答题卡上题号作答，在答题卡规定区域内书写答案，在试卷、草稿纸上答题无效．请保持答题卡清洁，不要折叠、污损． 4．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、教育ID号，本人所在年级、班级，格式：初三（X）班． 一、单选题（每小题2分，共16分） 1. 每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转°后能与原来的图案互相重合，则的最小值为（ ） A. 45 B. 60 C. 72 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为． 故选：C 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 4. 将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案． 【详解】解：根据平移规律可知，得到的抛物线的解析式是， 故选：B． 5. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数图象与系数的关系．首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在y轴右侧，可确定a与b异号，即，最后根据二次函数与y轴的交点可以确定． 【详解】解：由图象可知该二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点位于x轴上方， ∴，，， ∴， 故选：A． 6. 下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据半圆的定义即可判断． 【详解】半圆是直径所对的弧，但是不含直径， 故选B． 【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义． 7. 对于二次函数，下列描述正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 其图象的开口向下 C. 有最大值2 D. 其图象的顶点坐标为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向，顶点坐标，最值以及增减性即可求解． 【详解】解：中，的系数为，函数图象开口向上，B错误； 函数图象的顶点坐标是，D错误； 函数图象开口向上，有最小值为，C错误； 函数图象的对称轴为时，随的增大而增大，则时，随的增大而增大，故A正确． 故选：A． 8. 如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选B． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 方程的根是：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．先移项，然后直接开平方即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：． 10. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可． 【详解】∵点关于原点对称， ∴点关于原点的对称点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点关于原点对称横纵坐标互为相反数． 11. 请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________． 【答案】答案不唯一（，任何，的二次函数均可） 【解析】 【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案． 【详解】解：∵顶点在坐标原点， ∴可设抛物线解析式为y=ax2， ∵图象开口向下， ∴a＜0， ∴可取a=-1， ∴抛物线解析式为y=-x2， 故答案为：答案不唯一（，任何，的二次函数均可）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 12. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则____________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 13. 点，在抛物线上，则________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】将A，B两点代入抛物线，求出对应的y值即可． 【详解】当时，； 当时，； ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键． 14. 若函数y＝x2－x＋m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求得． 【详解】解：函数y＝x2－x＋m的图象与x轴有两个公共点， 令x2－x＋m=0，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 15. 如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于___． 【答案】8 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，再根据进而可求； 【详解】解：∵为的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 16. 《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积=大正方形的面积，得出解方程即可． 【详解】解：∵阴影部分的面积为50， ∴ 即75=（x+5）2， 解得 ∴x的正数解为： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键． 三、解答题（本题共68分．第17-19题，每题5分；第20题6分；第21-22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，25-26题，每题6分，27-28题，每题7分．） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据配方法求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ， ，． 18. 如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 【答案】 证明：连AC，取AC的中点O，连接OB、OD， ∵∠B=∠D=90°， ∴OB=AC，OD=AC．即OB=OA=OC=OD， ∴ A、B、C、D四点在同一圆上． 【解析】 【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，利用直角三角形斜边上的中线可得OB=OA=OC=OD，即可推出A、B、C、D四点在同一个圆上． 【详解】略 【点睛】本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，构造直角三角形. 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程跟的情况求参数范围以及解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，解不等式即可求解； （2）由（1）知，则方程为，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知， 解得：， 所以的取值范围是； 【小问2详解】 解：由（1）知，则方程为，即， 解得：或， 所以方程的根为或． 20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质． （1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据、时的函数值即可写出y的取值范围． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 把点代入， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，随的增大而减小， 当时， 当时，， 当时，的取值范围是． 21. 在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题： （1）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的 （2）求点B的移动路径长． 【答案】（1） 如图，为所作， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换，弧长公式，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可； （2）先利用勾股定理计算出，然后利用弧长公式计算点的移动路径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 所以点的移动路径长． 22. 如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？ 【答案】每条道路的宽为1米． 【解析】 【分析】设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，根据“草坪的面积为570”列出方程即可解答． 【详解】解：设道路的宽为，则草坪的长为，宽为， ， 解得：（不合题意，舍去） 答：每条道路的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设出未知数，列出方程，并掌握一元二次方程的解法． 23. 如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB=8，AD=4，求BF的长． 【答案】（1） 证明：∵DEBC，DFAB， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD． ∵DEBC， ∴∠CBD＝∠EDB． ∴∠ABD＝∠EDB． ∴EB＝ED． ∴平行四边形BFDE是菱形； （2）3 【解析】 【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形； （2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在RtADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵EDBF，∠C＝90°， ∴∠ADE＝90°． 设BF＝x， ∴DE＝BE＝x． ∴AE＝8﹣x． 在RtADE中，AE2＝DE2+AD2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3， ∴BF＝3． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种判定方法和性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数图象平移得到，且经过． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入，求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）当时，，根据点即可求得． 【小问1详解】 解：由图象的平移可知，， 将代入得，， 解得，， ∴这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 把点代入， 得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴． 25. 数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ， ① ， ② 由①式得，代入②式得 ． ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 【答案】①大；②或 【解析】 【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，的值的大小， ②根据函数图象求解即可 【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小， 时，,时， 半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大 故答案为：大 ②根据函数图象可知，当时，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，，有，求的值； （2）若对于，，存在，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求的对称轴即可求解． （2）根据题意可得当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，设抛物线上的四个点的坐标为，，，可得，分情况讨论是否存在即可解答． 【小问1详解】 解：由题意知，． ． ． 【小问2详解】 ， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 设抛物线上的四个点的坐标为，，，． 点A关于对称轴的对称点为． 抛物线开口向上，点是抛物线顶点， ． ⅰ．当时，． ． ． 不存在，不符合题意． ⅱ．当时，． ． ． 存在，符合题意． ⅲ．当时， 的最小值为． ， 存在，符合题意． ⅳ．当时，． ． ． 存在，符合题意． ⅴ．当时，． ． ． 不存在，不符合题意． 综上所述，的取值范围是． 27. 如图，在等腰三角形中，为边的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】 （1）解：依题意补全图形，如图． （2）60°； （3）． 证明：如图，在上取点M，使，连接． ∵AB=AC又AC=AE ∴AB=AE ∴△ABE是等腰三角形 ∴∠ABE=∠AEB又BF=EM ∴． ∴． 又∠AFE=60° ∴是等边三角形． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据画旋转图形的步骤，找旋转中心，确定旋转方向、旋转角画图即可． （2）现根据旋转得出AB=AE，再得出∠BAC+∠ABC+∠E=120°，根据△ABC是等腰三角形利用角一半的关系得出∠BAF+∠ABF=60°，利用三角形外角得出∠AFE的度数． （3）先证明，在利用旋转得出△AFM是等边三角形，得出结论． 【详解】（1） 略 （2）解：，D为边的中点， ∴． ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴． ∴， 在中，， ∴． 即． ∴． （3） 略 【点睛】本题考查旋转的知识、等腰三角形、全等三角形的知识．灵活利用角的和差倍分关系是本题的难点． 28. 在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点． （1）如图，点，，点，点为点的反转点． ①当时，在图中画出点，并写出点的坐标为________； ②当时，求线段长的取值范围； （2）已知的半径为，点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）①记点关于点的对称点为，则，过点分别作轴的垂线，垂足为，可证明，继而可求，②由得，故点的轨迹为一条线段，而，则，由得，可求，则，而，令，抛物线开口向上，当，，即，当时，，时，，，即可求解； （2）固定变量，假设点P为第一象限定点，过点P作点的对称点记为M，连接， 则为的中位线，则，故点轨迹为以M为圆心，为半径的圆，连接，将绕点B逆时针旋转得到，则，点N为定点，可证明，故，则点Q的轨迹为以N为圆心，为半径的圆，连接，由得，说明线段长的最大值和最小值的差只与半径有关，与点P的具体位置无关． 【小问1详解】 解：①当时，点，画图如下： ∵记点关于点的对称点为，而， ∴ 由旋转得， ∴，过点分别作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ②由得， ∴点的轨迹为一条线段， 而，则， 由得， ∴， ∴ ∴ 而， 令，抛物线开口向上， ∴当，，即， 当时，，时，， ∴， 的取值范围为：； 【小问2详解】 解：如图，固定变量，假设点P为第一象限定点， 过点P作点的对称点记为M，连接，则点M为定点， 则为的中位线， ∴ ∴点轨迹为以M为圆心，为半径的圆， 连接，将绕点B逆时针旋转得到，则，点N为定点， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的轨迹为以N为圆心，为半径的圆， 连接，由得 ， 说明线段长的最大值和最小值的差只与半径有关，与点P的具体位置无关． 【点睛】本题考查了新定义，旋转的不变性，全等三角形的判定与性质，二次函数求最值，三角形的中位线定理，正确理解题意，对于多变量问题采取固定变量法，将问题进行转化思考，难点在于找到动点的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中丰台学校2024-2025学年第一学期期中练习 初三年级 数学 考生须知 1．本练习共三道大题28小题，共8页，满分100分，考试时间120分钟． 2．本次考试所有答案均在答题卡上完成．选择题用2B铅笔以正确方式填涂，非选择题用黑色签字笔填写，字迹要工整、清楚． 3．请严格按照答题卡上题号作答，在答题卡规定区域内书写答案，在试卷、草稿纸上答题无效．请保持答题卡清洁，不要折叠、污损． 4．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、教育ID号，本人所在年级、班级，格式：初三（X）班． 一、单选题（每小题2分，共16分） 1. 每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转°后能与原来的图案互相重合，则的最小值为（ ） A. 45 B. 60 C. 72 D. 144 4. 将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数，下列描述正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 其图象的开口向下 C. 有最大值2 D. 其图象的顶点坐标为 8. 如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 方程的根是：______． 10. 点关于原点的对称点的坐标是______． 11. 请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________． 12. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则____________． 13. 点，在抛物线上，则________．（填“”，“”或“”） 14. 若函数y＝x2－x＋m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是__________． 15. 如图，为的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于___． 16. 《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是_________． 三、解答题（本题共68分．第17-19题，每题5分；第20题6分；第21-22题，每题5分，第23题6分，第24题5分，25-26题，每题6分，27-28题，每题7分．） 17. 解方程：． 18. 如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根． 20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，直接写出的取值范围． 21. 在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题： （1）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的 （2）求点B的移动路径长． 22. 如图，某小区计划在一块宽为20，长为32的矩形空地修建三条同样宽的道路，剩余的空地全部种植草坪，使草坪的面积为570，求道路的宽为多少米？ 23. 如图，在ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DEBC交AB于点E，DFAB交BC于点F，连接EF． （1）求证：四边形BFDE是菱形； （2）若AB=8，AD=4，求BF的长． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数图象平移得到，且经过． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 25. 数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ， ① ， ② 由①式得，代入②式得 ． ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． （1）若对于，，有，求的值； （2）若对于，，存在，求的取值范围． 27. 如图，在等腰三角形中，为边的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F． （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点． （1）如图，点，，点，点为点的反转点． ①当时，在图中画出点，并写出点的坐标为________； ②当时，求线段长的取值范围； （2）已知的半径为，点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $