精品解析：河北省邢台市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024-2025学年高一期末考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集为，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数定义域求得集合，再由交集和补集运算法则可得结果. 【详解】由对数函数定义可得， 所以， 又，可得. 故选：D 2. 下列函数在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性对各个选项进行检验，把满足在上为增函数的找出来. 【详解】函数在上是减函数；在上是减函数；，当时，在上是增函数；在上是减函数. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题据指数函数、对数函数和幂函数的单调性进行判断即可，注意选项C中，在上转化为再进行判断即可. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合对数函数的单调性判断即得. 【详解】取，满足，而； 反之，，取，满足，而， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法逐次求出所有可能的区间后可得正确的选项. 【详解】用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是， 则第二次所取的区间是或， 第三次所取的区间是或或或， 故选：B. 【点睛】本题考查二分法的理解，注意二分法中每次所确定的区间的长度一定是前一次确定的区间的长度的一半，本题属于基础题. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求，结合对数函数单调性分析判断. 【详解】由题意可知，， ， 所以，故． 故选：A． 6. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终结果. 【详解】因为是奇函数排除，且当时，. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限. 7. 已知是偶函数，且在区间上递增，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的对称性结合单调性可得，从而得解. 【详解】依题意，函数为偶函数，且在轴两侧左增右减，故，解得. 故选：A. 8. 已知，则函数的零点的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：函数的定义域是（0，+∞），y==，令y=0，则，在同一直角坐标系中做出函数y=和y=的图象可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点由2个，故选B. 考点：1.函数的零点；2.函数的图像. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及已知可得且，结合指对数关系判断各项正误. 【详解】依题意，，即，则且，故C正确； 对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于D，，正确． 故选：BCD 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合对数与指数运算和指对函数性质即可计算判断各选项. 【详解】对于A，因为，且，所以， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由A知，所以， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据定义得到方程，看方程是否有解，进而判断是否是“不动点”函数. 【详解】根据定义可知：若为不动点函数，则有解． A．令，得，此时无解，故不是“不动点”函数； B．令，所以或，所以是“不动点”函数； C．当时，，无解；当时，，无解，所以不是“不动点”函数； D．令，不难看出是该方程的根，所以是“不动点”函数． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得幂函数的解析式，进而求得的值. 【详解】设， 所以，所以. 故答案为： 13. 函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法即可求解 【详解】令，则，所以，所以. 故答案为： 14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的新定义计算得出函数值即可. 【详解】在中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，. （1）若，求实数a取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可． （2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可. 【详解】（1）若，则，得； （2）由，得，即， 所以，， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 即，解得. 即实数a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式以及指数幂的运算法则即可化简求解， （2）根据对数的运算法则和性质即可求解. 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 原式 . 17. 已知函数. （1）若为奇函数，证明：； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） 的定义域为， 对，都有， 又为奇函数，则必有， 即， 整理可得， 因为，所以，命题得证． （2） 当时，为增函数； 当时，为常函数无单调性； 当时，为减函数． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明的单调性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，，且， ， 易知，，又在上为增函数，，可得， 当时，，为增函数； 当时，，为常函数无单调性； 当时，，为减函数． 18. 某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 （1）根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； （2）已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 【答案】（1）更适合作为y与x的函数模型 （2）289百棵 【解析】 【分析】（1）将代入和，求出两个函数，然后和代入，看那个算出的数据更接近选择哪个模型； （2）由（1）得，利用换元法及二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 ①若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以. 此时，当时，与表格中的7.8相差较大， 当时，与表格中的11.2相差较大， 所以不适合作为y与x的函数模型. ②若选择作为y与x的函数模型， 将的坐标分别代入，得，解得， 所以.此时，当时，， 当时，，y的值刚好与表格中的7.8和11.2相符合， 所以更适合作为y与x的函数模型. 【小问2详解】 由题可知，该果园最多可种植30000棵该品种果树，所以x的取值范围为， 当时，. 易知，当，即时，之取最大值53（万元）， 故果树数量为289百棵时，年利润最大. 19. 设函数且，已知， （1）求的定义域； （2）是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由和求得，得函数解析式，即可确定定义域； （2）假设存在实数，判断出的单调性，由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根，再由二次方程根的分布知识可得结论. 【小问1详解】 由，得，即，① 由，得，即，② 由①②得，解得，或（舍），， 所以， 由得， 故的定义域为； 【小问2详解】 假设存在实数，使得在区间上的值域是， ∵在上单调递增， ，故方程有两个大于1的不等实数根， 令，则方程的两个大于2的不等实数根， 令， 则，即，解得． 即，故存在实数符合条件，的取值范围是． 【点睛】易错点睛：小问1：在求解方程时，要特别注意代数符号的运算，特别是在代入过程中，确保正确地处理方程中的加减运算； 小问2：在假设存在时，确保正确使用辅助变量（换元法）来简化问题，特别是在处理方程时，必须注意解的符号和范围，推理步骤要严谨，特别是根的分布判断，避免因符号误差导致错误的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一期末考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集为，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象为 A. B. C. D. 7. 已知是偶函数，且在区间上递增，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则函数的零点的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则的值为______. 13. 函数，则________. 14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，. （1）若，求实数a取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知函数. （1）若为奇函数，证明：； （2）讨论的单调性. 18. 某果园占地约600亩，拟选用果树A进行种植，在相同种植条件下，果树A每亩最多可种植50棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 （1）根据上面表格中的数据判断与哪一个更适合作为y与x的函数模型； （2）已知该果园的年利润z（万元）与x，y的关系为，利用（1）中适合的模型估计果树数量x为多少时年利润最大？ 19. 设函数且，已知， （1）求的定义域； （2）是否存在实数，使得在区间上的值域是？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $