选填04 排列组合与二项式定理（九大考点训练+真题模拟题练）-2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 选填04 排列组合与二项式定理 【考点01 队列、数字的排序问题】 1．有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有 种不同的站法．（用数字作答） 2．用2，3，5，6，7，8这6个数字组成无重复数字的六位数，其中，个位数为质数的六位数有（    ） A．360个 B．420个 C．480个 D．600个 3．一个三位数的百位､十位､个位上的数字依次记为，当中有两个数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213等）．现从这五个数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 4．9人身高各不相等，排成前后排，前排5人，要求每排从左至右身高逐渐增加，则不同的排法共有 种（用数字作答）． 5．第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答） 【考点02 涂色问题】 6．现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（    ）    A． B． C． D． 7．地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（    ）种. A．84 B．72 C．48 D．24 8．如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A，B，C，D，E染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有 种不同的染色方法． 9．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有（    ） A．24 B．36 C．30 D．20 10．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（    ） A． B． C． D． 【考点03 分组分配问题】 11．现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（   ） A．6 B．15 C．20 D．30 12．某高校有8名研究生要去小兴安岭采集植物样本，其中男生6人，女生2人，将这8人分成两组，若要求每组至少2人，且两名女生不单独成组，则不同的分组方案共有（    ） A．240种 B．158种 C．126种 D．118种 13．在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（    ） A．32 B．24 C．18 D．12 14．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答） 15．A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 【考点04 二项展开式的指定项系数】 16．在展开式中，常数项的二项式系数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 17．若的二项展开式中第项与第项的系数相等，则该展开式中的系数为 ． 18．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（    ） A．―4 B．84 C．―280 D．560 19．已知多项式，则 . 20．已知多项式，则 . 【考点05 二项式系数的和与各项系数的和】 21．在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 22．（多选）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 23．已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ． 24．若 ，则 . 25．在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（    ） A． B．64 C． D．32 【考点06 三项展开式的指定项系数】 26． 的展开式中的系数为 ． 27．若的展开式中，项的系数为，则的最大值为 . 28．的展开式中的系数为 . 29．在的展开式中常数项为 . 30．（多选）设，则下列关于的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点07 多项乘积展开式的指定项系数】 31． 展开式中的系数为 . 32．的展开式中，其中不含x的项为 ． 33．的展开式中的系数是（    ） A．﹣10 B．0 C．10 D．30 34．已知的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为 . 35．已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 【考点08 二项式系数与系数的最值问题】 36．若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 37．在二项式的展开式中，系数最大的一项为 . 38．（多选）已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（ ） A． B． C． D． 39．已知的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 40．已知展开式中第三项的二项式系数是10，则 ，展开式中系数的绝对值最大的项是 . 【考点09 杨辉三角】 41．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列前n项和为，则 . 42．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角． 若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ． 43．如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 44．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）. 45．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ）    A．在第10行中第5个数最大 B． C．第8行中第4个数与第5个数之比为 D．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为 一、 1．（2024·25高二上·北京昌平·期末）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2024·25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 3．（2024·25高三下·福建宁德·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．6 D． 4．（2024·25高三上·安徽阜阳·期末）已知，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2024·25高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（   ） A．180 B．360 C．450 D．540 6．（2024·25高三上·北京石景山·期末）已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏·模拟预测）若m，n为正整数且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·24高二下·广东深圳·期中）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 9．（2021·全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ） A．不同的调研安排有243种 B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种 C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种 D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种 10．（2025·广东·一模）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的中间项为 C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项 11．1．（2024·25高二上·北京昌平·期末）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2024·25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 3．（2024·25高三下·福建宁德·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．6 D． 4．（2024·25高三上·安徽阜阳·期末）已知，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2024·25高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（   ） A．180 B．360 C．450 D．540 6．（2024·25高三上·北京石景山·期末）已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏·模拟预测）若m，n为正整数且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·24高二下·广东深圳·期中）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 9．（2021·全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ） A．不同的调研安排有243种 B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种 C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种 D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种 10．（2025·广东·一模）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的中间项为 C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项 11．（2024·陕西宝鸡·二模）从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有 ；（用数字做答） 12．（2024·河南许昌·模拟预测）的展开式中，其中不含的项为 . 13．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是 （用数字作答）. 1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 2．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 4．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 6．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 10．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ． 11．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 . 12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 选填04 排列组合与二项式定理 【考点01 队列、数字的排序问题】 1．有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有 种不同的站法．（用数字作答） 【答案】56 【详解】因为共8位同学站成一排，原来6位同学的相对顺序保持不变， 所以共有种不同站法， 故答案为：56 2．用2，3，5，6，7，8这6个数字组成无重复数字的六位数，其中，个位数为质数的六位数有（    ） A．360个 B．420个 C．480个 D．600个 【答案】C 【详解】这个数字中为质数，故个位数的排法有种， 前五位的排法有种， 由分步乘法计数原理可得，个位数为质数的六位数有个． 故选：C. 3．一个三位数的百位､十位､个位上的数字依次记为，当中有两个数字的和等于剩下的一个数字时，则称这个三位数为“有缘数”（如121，213等）．现从这五个数字中任取三个数字（可以重复）组成一个三位数，其中“有缘数”的个数为（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】C 【详解】从这五个数字中任取三个不同的数，其中“有缘数”的个数为24； 从这五个数字中任取两个不同的数，其中“有缘数”的个数为， 所以全部“有缘数”的个数为． 故选：C． 4．9人身高各不相等，排成前后排，前排5人，要求每排从左至右身高逐渐增加，则不同的排法共有 种（用数字作答）． 【答案】126 【详解】从9人选5人排在前排，5人的身高不同，按要求只有1种排法，即种方法，后排4人，也只有1种排法，所以共有126种排法. 故答案为：126 5．第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答） 【答案】336 【详解】 由题意可分两种情形： ①前排含有两种不同名称的吉祥物， 首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，有种情况， 从选出的两种吉祥物中，其中一种取两个，另一种选一个，有种排法， 选出的三个吉祥物进行排列，选一个的一定放中间，名字相同的放两边， 由于属于不同的吉祥物，故有种排法， 综上，有种排法； 其次，后排剩余两个相同名字的吉祥物和另一个名字不同的吉祥物， 故有种排法，故共有种不同的排法； ②前排含有三种不同名称的吉祥物， 先从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各二选一，有种选法， 再进行全排列，故有种排法； 同理后排有种排法，此时共有种排法； 因此，共有种排法， 故答案为：336. 【考点02 涂色问题】 6．现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，每个部分都有4种涂色方法，则有种涂色方法； 若其中任意有公共边的两块着不同颜色，有两种情况：①只用三种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法；②用四种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法，所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色，共有144种涂色方法，故四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为. 故选：C 7．地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（    ）种. A．84 B．72 C．48 D．24 【答案】A 【详解】将图形区域氛围上下左右， 若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种； 若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种， 所以共有种， 故选：A 8．如图所示，有5种不同的颜色供选择，给图中5块区域A，B，C，D，E染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，则共有 种不同的染色方法． 【答案】 【详解】选择3种颜色，则B，D同色，且C，E同色，共种情况； 选择4种颜色，则B，D同色，或C，E同色，共种情况； 选择5种颜色，共种情况；故共有种情况. 故答案为： 9．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成和联系，如图，现用3种不同的颜色给五“行”涂色，要求相邻的两“行”不能同色，则不同的涂色方法种数有（    ） A．24 B．36 C．30 D．20 【答案】C 【详解】设3种不同的颜色为， 对于“火、土”两个位置有种不同的涂色方法，不妨设“火、土”两个位置分别为， 1.若“金”位涂色为，则有： ①若“水”位涂色为，则“木”位涂色为，共1种不同的涂色方法； ②若“水”位涂色为，则“木”位涂色为，共1种不同的涂色方法； 共2种涂色可能； 2.若“金”位涂色为，则有： ①若“水”位涂色为，则“木”位涂色为或，共2种不同的涂色方法； ②若“水”位涂色为，则“木”位涂色为，共1种不同的涂色方法； 共3种涂色可能； 综上所述：共种不同的涂色方法. 故选：C. 10．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，整个事件需要分四步，按照格子标号依次涂色即可； 若在1号格子涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，同时3号格子也有3种选色方案，4号格子还剩2种选色方案， 即1号格子涂灰色的方案总数为种； 若1号格子和4号格子同时涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，3号格子还有2种选色方案， 即1号和4号格子同时涂灰色的方案总数为种； 所以，在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是. 故选：A. 【考点03 分组分配问题】 11．现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（   ） A．6 B．15 C．20 D．30 【答案】D 【详解】把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，则不连续值日的三组数可列举为，， ，，， 所以符合条件的方法有种． 故选：D 12．某高校有8名研究生要去小兴安岭采集植物样本，其中男生6人，女生2人，将这8人分成两组，若要求每组至少2人，且两名女生不单独成组，则不同的分组方案共有（    ） A．240种 B．158种 C．126种 D．118种 【答案】D 【详解】根据题意，分3种情况讨论： ①分为4，4的两组时，不会出现两名女生单独成组情况，有种分组方法； ②分为3，5的两组时，有种分组方法； ③分为2，6的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女生单独成组情况， 则有27种符合条件的分组方法，故共有种分组方法. 故选：D 13．在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（    ） A．32 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【详解】按照A场地安排人数，可以分以下两类： 第一类，A场地安排1人，共种安排方法， 第二类，A场地安排2人，共种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法. 故选：B 14．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和， 人数组合是时，共有种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种； 人数组合是时，共有种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种， 所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种. 故答案为：. 15．A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 【答案】B 【详解】①A校去乙地有种； ②A校与另一所学校去丙地有种， ③A校单独去丙地有种， 所以共有种， 故选：B． 【考点04 二项展开式的指定项系数】 16．在展开式中，常数项的二项式系数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】二项式展开式的通项， 由，得，则展开式的常数项是第2项， 所以常数项的二项式系数为. 故选：A 17．若的二项展开式中第项与第项的系数相等，则该展开式中的系数为 ． 【答案】 【详解】的展开式为， 因为二项展开式中第项与第项的系数相等， 所以，所以， 令，解得， 所以该展开式中的系数为. 故答案为：6. 18．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（    ） A．―4 B．84 C．―280 D．560 【答案】B 【详解】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则 又因为的展开式的通项公式为， 令，所以展开式中的项的系数为． 故选：B. 19．已知多项式，则 . 【答案】16 【详解】令，则， 因为的展开式的通项为，， 所以令可得的展开式中一次项为，令可得的展开式的常数项为1， 又因为的展开式的通项为，， 所以令可得的展开式中一次项为，令可得的展开式的常数项为， 所以. 故答案为：16. 20．已知多项式，则 . 【答案】74 【详解】对于， 其二项展开式的通项为， 令，得， 故， 对于， 其二项展开式的通项为， 令，得，故， 所以. 故答案为：74. 【考点05 二项式系数的和与各项系数的和】 21．在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】由题得， 所以二项式的展开式的项数是. 故选：A. 22．（多选）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 23．已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于 ． 【答案】 【详解】的二项展开式的奇数项二项式系数和为64， ，即， 则的通项公式为， 令，则， 所以. 故答案为：. 24．若 ，则 . 【答案】 【详解】令，得 ， 令，得 ， 则 ， 且 ， 故 . 故答案为：. 25．在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（    ） A． B．64 C． D．32 【答案】A 【详解】设， 令可得， 令可得， 所以， 即在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为. 故选：A 【考点06 三项展开式的指定项系数】 26． 的展开式中的系数为 ． 【答案】672 【详解】由题设，含的项为, 故其系数为． 故答案为：672. 27．若的展开式中，项的系数为，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【详解】, 又， 故， 可由分别提供得到，或者提供得到，或者提供得到， 故项的系数为为， 故，即， 要使最大，则需为正数， 因此，故，当且仅当时取等号， 故答案为： 28．的展开式中的系数为 . 【答案】-30 【详解】解：因为是由5个相乘得到， 使用要想产生，则出1个，出2个，y出2个， 故所求系数为. 故答案为：-30 29．在的展开式中常数项为 . 【答案】81 【详解】 的展开式中通项公式：． 的通项公式：． 故的通项为 令，则，；，；，． 因此常数项． 故答案为：． 30．（多选）设，则下列关于的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】考虑， 则，故A正确． 考虑， 则，故B正确． 考虑， 其中含有的项为， 所以，故C错误． 考虑， 其中含有的项为， 所以，故D正确． 故选:ABD． 【考点07 多项乘积展开式的指定项系数】 31． 展开式中的系数为 . 【答案】30 【详解】二项式的展开式中，项为，项为， 因此展开式中项为， 所以所求系数为30. 故答案为：30 32．的展开式中，其中不含x的项为 ． 【答案】和 【详解】由二项式定理可得展开式的通项为， 所以多项式的展开式中不含x的项分别为： 和. 故答案为：和. 33．的展开式中的系数是（    ） A．﹣10 B．0 C．10 D．30 【答案】C 【详解】依题意可知，含的项是 ， 所以的系数是. 故选：C 34．已知的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为 . 【答案】 【详解】令，可得展开式中各项系数的和，解得； 的展开式通项为， 因为，所以展开式中常数项为， 故答案为：. 35．已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【详解】， 其中展开式的通项为，且， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得. 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把表示成，利用即可二项式定理求解. 【考点08 二项式系数与系数的最值问题】 36．若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 【答案】D 【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项， 即二项式系数中第5个即最大， 所以由二项式系数的性质可知， 展开式中共项，，又， 则二项展开式的通项公式 ，. 令，所以的系数为． 故选：D． 37．在二项式的展开式中，系数最大的一项为 . 【答案】 【详解】由题设，二项式的展开式通项为，， 易知时对应项系数为正，时对应项系数为负， 又，，， 所以系数最大的一项为. 故答案为：. 38．（多选）已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】的展开式中二项式系数最大值为， 的展开式通项公式为， 令得，， 故展开式中的系数为，故，解得. 故选：AB 39．已知的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】1120 【详解】设展开式的通项为，故第四项的系数为，倒数第四项的系数，所以，，解得，所以第五项二项式系数最大，故最大项的系数为. 故答案为:1120 40．已知展开式中第三项的二项式系数是10，则 ，展开式中系数的绝对值最大的项是 . 【答案】 5 【详解】由题意，知，所以， 又，将依次代入， 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，. 所以系数的绝对值最大的项为. 故答案为：5；. 【考点09 杨辉三角】 41．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，记这个数列前n项和为，则 . 【答案】111 【详解】由“杨辉三角”的性质，得 ， 所以. 故答案为： 42．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角． 若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ． 【答案】 【详解】依题意可知第行的数从左到右分别为， 所以，即，得，解得或（舍去）， 所以的值为. 故答案为： 43．如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知：第行数字之和构成的数列的通项为， ，； 则数列的整数项为：， 数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列；偶数项是以为首项，为公差的等差数列， ，，. 故选：B. 44．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）. 【答案】 【详解】观察知第行从左至右依次为， 由二项式系数的性质可得最大，其次为， 所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为. 故答案为：. 45．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ）    A．在第10行中第5个数最大 B． C．第8行中第4个数与第5个数之比为 D．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为 【答案】BC 【详解】对于A：第行是二项式的展开式的系数， 所以第行中第个数最大，故A错误； 对于B： ，故B正确； 对于C：第行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为， 所以第个数为，第个数为，所以第个数与第个数之比为，故C正确； 对于D：第行是二项式的展开式的系数，故第行的所有数字之和为，故D错误； 故选：BC 一、 1．（2024·25高二上·北京昌平·期末）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】由题意，先把3位男生排成一排，然后将2位女生插入3个男生中间或两边，不同的站法共种， 故选：C 2．（2024·25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 【答案】C 【详解】根据题意先将五人分成四组，共有种， 再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片， 共有种， 因此所有不同的选法种数为种. 故选：C 3．（2024·25高三下·福建宁德·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】的展开式中的系数为, 故选：B 4．（2024·25高三上·安徽阜阳·期末）已知，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】令可得， 令可得， 所以， 设，, 由可知， 是增函数，又,故. 故选：B. 5．（2024·25高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（   ） A．180 B．360 C．450 D．540 【答案】D 【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种； 当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种； 当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种； 故不同方案的种数为（种）， 故选：D 6．（2024·25高三上·北京石景山·期末）已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，即从集合中8个元素任选4个组成集合，共有个， 设，使得，则这样的集合有，，，共计5个， ∴若集合存在，使得时的个数有个. 故选：B. 【点睛】方法点睛，本题是一个有特殊要求的排列组合，正面考虑情况比较复杂，那么可以用对立事件的方式来解答. 7．（2024·江苏·模拟预测）若m，n为正整数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，左右两边不相等，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：AD 8．（2023·24高二下·广东深圳·期中）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由， 令，则原式转化为， 对于A中，令，可得，所以A正确； 对于B中，由二项式定理的展开式，可得，所以B不正确； 对于C和D中，令，可得， 令，得， 所以，所以， 所以C、D 正确． 故选：ACD. 9．（2021·全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ） A．不同的调研安排有243种 B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种 C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种 D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种 【答案】ABD 【详解】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择， 故不同的调研安排有种，故A正确； 对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组， 再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1， 分别有，种分组方法， 则不同的调研安排有种，故B正确，C错误； 对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员， 且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有种， 则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有种，D正确. 故选：ABD. 10．（2025·广东·一模）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的中间项为 C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项 【答案】BD 【详解】展开式的通项为其中且， 由于前项的系数为，，，且， ，整理可得， 解得或（舍去），故A错误； 所以展开式的通项为其中且 则展开式的中间项为，故B正确； 令，且，所以或或， 则当，，时为有理项，共项，故C错误； 由，解得， 故展开式中系数最大项为第项和第项，故D正确． 故选：BD． 11．1．（2024·25高二上·北京昌平·期末）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】由题意，先把3位男生排成一排，然后将2位女生插入3个男生中间或两边，不同的站法共种， 故选：C 2．（2024·25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 【答案】C 【详解】根据题意先将五人分成四组，共有种， 再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片， 共有种， 因此所有不同的选法种数为种. 故选：C 3．（2024·25高三下·福建宁德·开学考试）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】的展开式中的系数为, 故选：B 4．（2024·25高三上·安徽阜阳·期末）已知，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】令可得， 令可得， 所以， 设，, 由可知， 是增函数，又,故. 故选：B. 5．（2024·25高三下·山东聊城·开学考试）寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（   ） A．180 B．360 C．450 D．540 【答案】D 【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种； 当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种； 当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种； 故不同方案的种数为（种）， 故选：D 6．（2024·25高三上·北京石景山·期末）已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，即从集合中8个元素任选4个组成集合，共有个， 设，使得，则这样的集合有，，，共计5个， ∴若集合存在，使得时的个数有个. 故选：B. 【点睛】方法点睛，本题是一个有特殊要求的排列组合，正面考虑情况比较复杂，那么可以用对立事件的方式来解答. 7．（2024·江苏·模拟预测）若m，n为正整数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，左右两边不相等，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：AD 8．（2023·24高二下·广东深圳·期中）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由， 令，则原式转化为， 对于A中，令，可得，所以A正确； 对于B中，由二项式定理的展开式，可得，所以B不正确； 对于C和D中，令，可得， 令，得， 所以，所以， 所以C、D 正确． 故选：ACD. 9．（2021·全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ） A．不同的调研安排有243种 B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种 C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种 D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种 【答案】ABD 【详解】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择， 故不同的调研安排有种，故A正确； 对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组， 再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1， 分别有，种分组方法， 则不同的调研安排有种，故B正确，C错误； 对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员， 且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有种， 则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有种，D正确. 故选：ABD. 10．（2025·广东·一模）已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式的中间项为 C．展开式中有项有理项 D．展开式中系数最大项为第项和第项 【答案】BD 【详解】展开式的通项为其中且， 由于前项的系数为，，，且， ，整理可得， 解得或（舍去），故A错误； 所以展开式的通项为其中且 则展开式的中间项为，故B正确； 令，且，所以或或， 则当，，时为有理项，共项，故C错误； 由，解得， 故展开式中系数最大项为第项和第项，故D正确． 故选：BD． 11．（2024·陕西宝鸡·二模）从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有 ；（用数字做答） 【答案】120 【详解】先将“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排， 再考虑在的左边，最后“解绑”，故有种方法. 故答案为：120. 12．（2024·河南许昌·模拟预测）的展开式中，其中不含的项为 . 【答案】和. 【详解】由二项式定理可得展开式的通项为， 所以多项式的展开式中不含x的项分别为： 和. 故答案为：和. 13．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是 （用数字作答）. 【答案】 【详解】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、， 若、、都没有取到，则有种不同的取法； 若、、取到一个，则有种不同的取法； 若、、取到两个，则有种不同的取法； 若、、取到三个，则有种不同的取法； 综上可得一共有种不同的取法. 故答案为： 1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 2．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 4．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 6．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 【答案】20 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 8．（2024·全国甲卷·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为. 故选：B 9．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 10．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ． 【答案】 【详解】含的项为：，故； 令，即， 令，即， ∴， 故答案为：；． 11．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 . 【答案】15 【详解】由题意的展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】-28 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 2 学科网（北京）股份有限公司 $$