精品解析：黑龙江省龙东地区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

综合检测卷 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 正方体的棱长为1，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 3. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 4. 在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设数列的前项和为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 6. 已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（ ）． A. B. C. D. 8. 已知数列满足：，（）.正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前n项和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列直线中，与抛物线只有一个公共点，且过点的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列，满足，且，则（ ） A. B. 当时，是等比数列 C. 当时，是等差数列 D. 当时，是递增数列 11. 已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成的角的余弦值为 C. 与平面所成的角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则_________． 13. 已知数列是单调递增的等比数列，且，，则=______． 14. 已知点列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，……是线段的中点，……．记，则．______；______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 16. 已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根． （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 17. 已知三棱柱，侧棱底面，底面是等边三角形，是的中点，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求的方程; （2）过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程. 19. 给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为 （1）若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由； （2）设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值； （3）设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测卷 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以,所以. 故选：D. 2. 正方体的棱长为1，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 3. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 4. 在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设点再根据斜率公式计算即可. 【详解】设，可得,x不为0， 所以. 故选：D. 5. 设数列的前项和为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可得到答案. 【详解】． 故选：C． 6. 已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心及半径后，结合正三角形的性质可计算出当为正三角形时的值，结合充分条件与必要条件定义即可判断. 【详解】由C：可得其圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 若为正三角形，则有，即， 即，解得或， 故“为正三角形”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解. 【详解】分别作，，垂足为，则． 由，可得， 所以． 因为， 则 即， 故， 故选：B． 8. 已知数列满足：，（）.正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用数列的累乘法求得，再由等比数列的中项性质可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和. 【详解】（）， 可得， 由，可得 ， 可得， 由，，成等比数列， 可得， 可得， 则， 所以 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，等比数列，累乘法，数列求和，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列直线中，与抛物线只有一个公共点，且过点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论直线的斜率，结合方程联立，以及直线与抛物线的位置关系，即可求解. 【详解】当直线的斜率存在且时,设， 与抛物线方程联立得，令，解得， 则直线的方程为； 当时,直线的方程为，此时直线平行于抛物线的对称轴,且与抛物线只有一个公共点； 当不存在时,直线与抛物线也只有一个公共点，此时直线的方程为. 故选：ABD 10. 已知数列，满足，且，则（ ） A. B. 当时，是等比数列 C. 当时，是等差数列 D. 当时，是递增数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接由已知得到，即可说明A错误；对于B，证明，结合即可验证；对于C，说明即可；对于D，验证，再利用即可验证. 【详解】对于A，由已知有，故A错误； 对于B，当时，由于，且，故是等比数列，故B正确； 对于C，当时，由，归纳即知. 所以，从而，故是等差数列，故C正确； 对于D，当时，由于，故. 所以，从而是递增数列，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成的角的余弦值为 C. 与平面所成的角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：取AC的中点F，连接PF,BF，证明出面，即可得到.对于B、C：先证明出，，.可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解；对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.即可求解. 【详解】对于A： 在三棱锥，，是边长为2的正三角形，取AC的中点F，连接PF,BF，则. 又，所以面，所以.故A正确. 对于B：因为，，,所以面，所以，. 在三棱锥，，是边长为2的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥，所以. 所以. 可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以,. 设异面直线与所成的角为，则. 即异面直线与所成的角的余弦值为.故B错误； 对于C：，. 设平面ABC的一个法向量为，则,不妨设x=1，则. 设与平面所成的角为，则. 即与平面所成的角的正弦值为.故C正确. 对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球. 设其半径为R，由正方体的外接球满足,所以. 所以球的表面积为.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线中的平方关系、离心率公式列出等式直接计算即可. 【详解】由题意， 从而双曲线的离心率为， 结合，解得满足题意. 故答案为：. 13. 已知数列是单调递增的等比数列，且，，则=______． 【答案】81 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式列方程组求出进而秋季即可. 【详解】因为数列是单调递增的等比数列，即，则解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 故答案为：81 14. 已知点列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，……是线段的中点，……．记，则．______；______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用中点坐标公式结合题意可求出，从而可求出，再由以及等比数列的定义、通项公式与求和公式即可求出. 【详解】因为是线段的中点，， 所以， 因为，，所以， ， 所以， 因为，， 所以 ， 即， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以， 所以 ， 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的定义、通项公式与求和公式的应用，解题的关键是根据已知的递推式化简变形得数列是以为公比，2为首项的等比数列，考查数学计算能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）依题意可得，利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 根据题意可得，解得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 . 16. 已知数列的前n项和为，且关于x的方程有两个相等的实数根． （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）方程有两个相等实根，即，可得，利用与的关系式即可求解. （2）由（1）知，得，利用错位相减法可得，再由对任意的恒成立，得对任意的恒成立，即，求出最小值即可求解. 【小问1详解】 方程有两个相等的实数根， 则，即， 当时，， 当时，，符合， 【小问2详解】 由（1）知，， ①， ②， ①②得， ， 整理得：. 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 故， 又单调递增，单调递增， 单调递增， 故，当且仅当时取到最小值. 所以实数的最大值为. 17. 已知三棱柱，侧棱底面，底面是等边三角形，是的中点，． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题目所给信息，求出面，再利用线面垂直推出线线垂直即可求解. （2）首先建立空间直角坐标系，再求出平面与面的法向量，再利用向量求角的公式即可求解. 【小问1详解】 ∵底面为等边三角形，为中点，∴，又面，∴，又，面，又面，∴． 【小问2详解】 取中点，∴、、两两垂直． 如下图，分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系． 设，∴，，， ∴，∴，∴， ∴设面的法向量为， ∴，令，∴， 同理面法向量，∴， ∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求的方程; （2）过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出，从而可求出椭圆方程； （2）当直线l的斜率不存在时，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程. 【小问1详解】 依题意：，解得， 所以E的方程为． 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，舍去； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设， 联立，消y得：， 整理得：， ，则， ， 则， 即， 则，即， 解得或， 则直线l的方程为或． 19. 给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为 （1）若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由； （2）设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值； （3）设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”． 【答案】（1）数列是“H数列”，理由如下： 因为，当时，， 当时，也成立， 所以， 对任意m，且，， 是“H数列”； （2）1，2，3，6； （3）设数列的公差为d， 则由题存在，对任意，，即， 当时，则，故，此时数列为“H数列”； 当时，，取，则， 所以，，当时，均为正整数，符合题意， 当时，均为正整数，符合题意， 所以，，设，，，即， 所以任意m，且，，显然， 所以为数列中的项，是“H数列”. 【解析】 【分析】（1）根据“H数列”定义判断即可. （2）由等差数列和“H数列”的定义得到公差的等式关系即可求解. （3）由等差数列的定义与求和公式，进行分情况讨论，即可证明是“H数列”. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ，，， 所以，所以， 由已知得也为数列中的项， 令，即， 所以，所以d为6的正因数， 故d的所有可能值为1，2，3，6. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题考查数列定义问题.其中关键点是理解“H数列”定义，并与已学知识等差数列进行结合，利用等差数列的定义与求和公式，分情况讨论即可证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $