第1单元圆柱与圆锥知识梳理、例题剖析、考点突破-2024-2025学年数学六年级下册北师大版

第1单元圆柱与圆锥知识梳理、例题剖析、考点突破 知识梳理 圆柱的侧面展开图 沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）。 圆柱的侧面积 圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：S侧＝Ch。 圆柱的侧面积公式的应用： （1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch； （2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝πdh； （3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2πrh 圆柱的表面积 圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：S表=S侧+2S底  或S表=2πrh+2 圆柱表面积的计算方法的特殊应用： （1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。 （2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。 圆柱的体积 一个圆柱所占空间的大小。 圆柱的体积＝底面积×高如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么V＝Sh 。 圆柱体积公式的应用： （1）计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。 （2）已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝h； 圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。 圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。 圆锥的体积 一个圆锥所占空间的大小。 圆锥的体积＝×底面积×高 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为：Sh 例题剖析 例题一：圆柱与圆锥的认识 1．一个长方形长7厘米，宽5厘米，以它的长为轴旋转一周，能够形成一个（    ）。 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】一个长方形的长是7厘米，宽是5厘米，以它的长为轴旋转一周，能够形成一个圆柱，其中圆柱的底面半径是5厘米，高是7厘米，据此解答。 【详解】一个长方形长7厘米，宽5厘米，以它的长为轴旋转一周，能够形成一个圆柱。 故答案为：C 2．下面不能围成圆柱侧面的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的侧面展开图的特点，将圆柱的侧面的几种展开方法与展开后的图形列举出来，利用排除法即可进行选择。 【详解】如果圆柱的底面周长与高相等，把圆柱的侧面展开有两种情况：①沿高线剪开：此时圆柱的侧面展开是一个长方形或者正方形；②不沿高线剪：斜着剪开将会得到一个平行四边形，如果裁剪的不规则，它们合在一起也会重合。 根据上述圆柱的展开图的特点可得：题干的四个图形中只有正六边形不能围成圆柱。 故答案为：D 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图，同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，熟记常见几何体的侧面展开图是解决本题的关键。 3．圆柱有（    ）条高，圆锥有（    ）条高。 A．1，无数条 B．2，3 C．3，1 D．无数条，1 【答案】D 【分析】根据圆柱和圆锥的特征，圆柱有无数条高，圆锥有1条高。 【详解】圆柱有无数条高，圆锥有1条高； 故答案为：D。 【点睛】本题主要考查的是圆柱和圆锥的特征。 例题二：圆柱的展开图 1．下面这些图形是圆柱展开图的有（    ）个。（单位：cm） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】圆柱的侧面沿高展开是一个长方形或正方形；如果圆柱的侧面不是沿高展开，斜着切得到的图形就是平行四边形；如果沿折线或曲线展开，展开后两端的部分必须能够完全重合；长方形的长、平行四边形的底等于圆柱底面的周长，根据圆的周长：C＝πd，据此进行判断即可。 【详解】A．底面圆的周长3.14×2＝6.28（cm），等于长方形的长，所以此选项是圆柱的展开图； B．底面圆的周长3.14×3＝9.42（cm），不等于长方形的长和宽，所以此选项不是圆柱的展开图； C．底面圆的周长3.14×2＝6.28（cm），等于平行四边形的底，所以此选项是圆柱的展开图； D．底面圆的周长3.14×2＝6.28（cm），等于梯形的下底，但是不等于梯形的上底，所以此选项不是圆柱的展开图； 所以下面这些图形是圆柱展开图的有2个。 故答案为：B 2．一个圆柱形“武夷岩茶大红袍”茶叶罐的商标纸展开是一个正方形，要给这个茶叶罐的上底面也做个标签，画圆的时候圆规两脚张开的长度应该是下面的（    ）点。 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】茶叶罐的商标纸展开是一个正方形，边长是25.12厘米，即这个圆柱的底面周长是25.12厘米。圆的周长＝2πr，据此用25.12除以2π，即可求出圆柱的底面半径，即是画圆的时候圆规两脚张开的长度。图中A点表示2厘米，B点表示4厘米，C点表示6厘米，D点表示8厘米。据此解答。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 则画圆的时候圆规两脚张开的长度是4厘米，应该是B点。 故答案为：B 3．要制作一个无盖圆柱形水桶，以下几种型号的铁皮，可选择（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】将数据代入圆的周长公式，分别求出②、④的周长，也就是水桶的底面周长，再结合①、③的长及实际情况即可选择。 【详解】②3.14×4＝12.56（dm） ④3.14×3＝9.42（dm） 所以②③组合能制作一个底面直径是4dm，高5dm的无盖圆柱形水桶，①④能制作一个底面直径是3dm，高1dm的无盖圆柱形水桶。 故答案为：C 【点睛】本题考查圆柱展开图，展开后长方形与圆柱底面周长、高的关系是解题的关键。 例题三：圆柱的侧面积 1．做一根横截面直径是4厘米，长是0.5米圆柱形通风管，需要( )平方厘米的铁皮。 【答案】628 【分析】由题意知：圆柱形通风管展开后，它的侧面积就是长方形的面积，长等于底面周长，宽等于通风管的长，利用侧面积＝底面周长×通风管的长，计算即可得需要的铁皮面积。 【详解】0.5米＝50厘米 3.14×4×50 ＝3.14×200 ＝628（平方厘米） 需要材料（628）平方厘米。 2．一个底面周长为4cm的圆柱体侧面展开后是一个正方形，这个圆柱体的高是( )cm，这个正方形的面积是( )cm2。 【答案】 4 16 【分析】圆柱的侧面展开后是正方形，说明圆柱的底面周长等于高。底面周长为4cm，则这个圆柱的高也是4cm。展开后的正方形的面积就是圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此代入数据计算。 【详解】一个底面周长为4cm的圆柱体侧面展开后是一个正方形，这个圆柱体的高是4cm；4×4＝16（cm2），这个正方形的面积是16cm2。 【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图和侧面积。理解“圆柱的侧面展开后是正方形，则圆柱的底面周长等于高”是解题的关键。 3．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.5米，前轮转动一周，压路的面积是( )平方米。 【答案】9.42 【分析】轮宽就是圆柱的高，压路机前轮转动一周，压路的面积就是圆柱的侧面积。圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此解答。 【详解】3.14×1.5×2 ＝3.14×3 ＝9.42（平方米） 【点睛】本题考查圆柱侧面积的应用。理解题意后，根据圆柱的侧面积公式即可解答。 例题四：圆柱的表面积 1．一个圆柱形的水池，底面直径20米，深2米。如果在水池的四周和底面抹一层水泥，抹水泥部分的面积有多少平方米？（π取3.14） 【答案】439.6平方米 【分析】根据已知条件，抹水泥部分的面积是圆柱形水池的四周和一个底面，根据圆柱的表面积公式进行解答即可。 【详解】3.14×＋3.14×20×2 ＝3.14×100＋3.14×40 ＝314＋125.6 ＝439.6（平方米） 答：抹水泥的面积有439.6平方米。 【点睛】本题主要考查圆柱表面积的掌握与灵活应用。 2．妈妈给笑笑的水杯做了一个带底的敞口布套，如图所示。妈妈至少用了多少平方厘米布料？（接头处忽略不计） 【答案】292.02平方厘米 【分析】求至少用多少平方厘米的布料，就是求这个圆柱形水杯的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（6÷2）2＋3.14×6×14 ＝3.14×9＋18.84×14 ＝28.26＋263.76 ＝292.03（平方厘米） 答：妈妈至少用了292.02平方厘米布料。 【点睛】本题主要考查圆柱的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．用彩带扎一个圆柱形礼盒，打结处刚好在底面圆心上，打结共用去彩带30cm。 （1）制作这个礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ （2）扎这个礼盒共用去彩带多少厘米？ 【答案】（1）6280平方厘米； （2）310厘米 【分析】根据题意和图形可知， （1）制作这个礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板即是求圆柱形礼盒的表面积，根据表面积公式：S＝πr2×2＋πdh，将数据代入计算即可； （2）所需丝带的长度等于4条直径＋4条高＋打结用的长度，由此列式解答。 【详解】（1）3.14×（40÷2）2×2＋3.14×40×30 ＝3.14×400×2＋3768 ＝2512＋3768 ＝6280（平方厘米） 答：制作这个礼盒至少需要6280平方厘米的硬纸板。 （2）40×4＋30×4＋30 ＝160＋120＋30 ＝310（厘米） 答：扎这个礼盒共用去彩带310厘米。 【点睛】此题属于圆柱的特征，解答关键是：（1）熟练掌握圆柱的表面积计算公式；（2）弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些线段的长度和。 例题五：圆柱组合体的表面积 1．如图的“博士帽”是用卡纸做成的（帽穗除外），上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径是18厘米、高是8厘米的无盖无底的圆柱。制作10个这样的“博士帽”，至少需要卡纸多少平方分米？ 【答案】135.216平方分米 【分析】根据正方形的面积公式：S＝a2，圆柱的侧面积公式：S＝Ch，把数据代入公式，先求出制作一顶需要的面积，然后乘10即可。 【详解】30×30＋3.14×18×8 ＝900＋56.52×8 ＝900＋452.16 ＝1352.16（平方厘米） 1352.16×10＝13521.6（平方厘米） 13521.6平方厘米＝135.216平方分米 答：至少需要卡纸135.216平方分米。 2．下图是爸爸的工具箱，它的下半部分是棱长20厘米的正方体，上半部分是圆柱的一半，请你算出工具箱的表面积。 【答案】2942平方厘米 【分析】圆柱中半圆的直径等于正方体的棱长，上半部分的面积＝圆柱侧面积的一半＋一个圆的面积，下半部分的面积等于正方体5个面的面积，工具箱的表面积＝上半部分的面积＋下半部分的面积，据此解答。 【详解】3.14×20×20÷2＋3.14×（20÷2）2＋20×20×5 ＝3.14×20×20÷2＋3.14×100＋20×20×5 ＝62.8×20÷2＋314＋400×5 ＝628＋314＋2000 ＝942＋2000 ＝2942（平方厘米） 答：工具箱的表面积是2942平方厘米。 【点睛】灵活运用正方体和圆柱体的表面积计算公式是解答题目的关键。 3．有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 【答案】533.8平方厘米 【分析】这个零件接触空气部分，我们既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面积，同时还要注意零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面要涂上油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，这就成了原圆柱的底面。 所以，这个零件接触空气的面积即涂漆面积＝高12厘米，底面直径是8厘米的圆柱的表面积＋直径是6厘米，高为7厘米的圆柱的侧面积。 圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高。圆的面积（底面积）＝π×半径2，据此代入数据计算。 【详解】 ＝3.14×42×2＋25.12×12＋18.84×7 ＝3.14×16×2＋301.44＋131.88 ＝100.48＋301.44＋131.88 ＝401.92＋131.88 ＝533.8（平方厘米） 答：一共需涂533.8平方厘米。 例题六：圆柱的体积 1．一个圆柱形城堡，底面周长是125.6米，高是15米，这个城堡的体积是多少立方米？ 【答案】18840立方米 【分析】先根据圆的周长公式：C＝2r，代入数值求出底面半径，再根据圆的面积公式：S＝r2，代入数值求出底面面积，最后根据圆柱体积公式：V＝Sh，求出城堡的体积即可。 【详解】由分析可得： （125.6÷3.14÷2）2×3.14×15 ＝（40÷2）2×3.14×15 ＝202×3.14×15 ＝400×3.14×15 ＝1256×15 ＝18840（立方米） 答：这个城堡的体积是18840立方米。 【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式、圆的周长公式和面积公式，解题的关键是熟记公式。 2．一个圆柱形粮囤，底面半径是2米，高90厘米，每立方米稻谷的质量约是600千克，这个粮囤存放的稻谷质量约是多少千克？如果将它的侧面围成一周铁丝网，需要多少平方米？ 【答案】6782.4千克；11.304平方米 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形粮囤的体积，再乘600，即可求出这个粮囤存放的稻谷的质量是多少千克；求需要多少平方米的铁丝网，就是求圆柱形粮囤的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】90厘米＝0.9米 3.14×22×0.9×600 ＝3.14×4×0.9×600 ＝12.56×0.9×600 ＝11.304×600 ＝6782.4（千克） 3.14×2×2×0.9 ＝6.28×2×0.9 ＝12.56×0.9 ＝11.304（平方厘米） 答：这个粮囤存放的稻谷质量约是6782.4千克，如果将它的侧面围成一周铁丝网，需要11.304平方米。 【点睛】熟练掌握圆柱的体积公式和侧面积公式是解答本题的关键，注意单位名数的统一。 3．把一个底面半径是3厘米的圆柱分成若干块，分割后拼成一个近似的长方体，表面积增加了24平方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】113.04立方厘米 【分析】根据题意可知，圆柱拼成一个近似长方体，增加的表面积是两个长是底面半径，宽是圆柱的高的长方形面积，根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，宽＝长方形面积÷长，代入数据，求出宽，即圆柱的高，再根据圆柱的面积公式：底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】24÷2÷3 ＝12÷3 ＝4（厘米） 3.14×32×4 ＝3.14×9×4 ＝28.26×4 ＝113.04（立方厘米） 答：圆柱的体积是113.04立方厘米。 【点睛】此题考查的是圆柱的体积，解题的关键是求出圆柱的高。 例题七：圆柱拼接问题 1．一个圆柱沿直径切开表面积增加12平方厘米，如果切成三个小圆柱，表面积增加48平方厘米，则原来圆柱的体积是多少立方厘米？（π取3） 【答案】18立方厘米 【分析】切成三个小圆柱，则增加了4个底面积，用求出底面积，再根据圆的面积公式的逆运算，求出半径，再用半径乘2得到直径；圆柱沿直径切开表面积增加12平方厘米，即增加了2个底面直径乘高的面积，用12除以2，再除以直径得到高；最后根据，代入数据计算即可得解。 【详解】48÷4÷3＝4（平方厘米） 因为2×2＝4，所以这个圆柱的底面半径是2厘米。 所以圆柱的高是：12÷2÷（2×2） =12÷2÷4 ＝6÷4 ＝1.5（厘米） 则圆柱的体积是：48÷4×1.5 ＝12×1.5 ＝18（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是18立方厘米。 2．在探究圆柱体积公式的过程中，宁宁把一个圆柱的底面分成若干个相等的小扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图），拼成的近似长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了200平方厘米。已知圆柱的高是10厘米，则圆柱的体积是多少？ 【答案】3140立方厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么近似长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于圆柱的体积。拼成的长方体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（即长方体的左右面）；这两个长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高；已知表面积增加了200平方厘米，先用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径。最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积。 【详解】圆柱的底面半径： 200÷2÷10＝10（厘米） 圆柱的体积： 3.14×102×10 ＝3.14×100×10 ＝3140（立方厘米） 答：圆柱的体积是3140立方厘米。 3．一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【分析】由题可知，高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，减少部分就是高4厘米的圆柱的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，即可求得这个圆柱的底面周长，从而求得这个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求得减少部分的体积；再把原来圆柱的体积看作单位“1”，根据减少部分的体积是原来圆柱体积的，利用分数除法计算即可求得这个圆柱原来的体积。 【详解】圆柱的底面半径为：125.6÷2÷3.14÷4 ＝62.8÷3.14÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 减少部分的体积为：3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 原来圆柱的体积为：314÷（1－） ＝314÷ ＝314× ＝785（立方厘米） 答： 这个圆柱形零件原来的体积是785立方厘米。 【点睛】抓住高减少4厘米时，表面积减少125.6平方厘米，从而求得这个圆柱的底面半径是解决本题的关键。 例题八：圆锥的体积 1．一个圆锥形麦堆，底面积是3.14平方米，高是1.5米，按每立方米小麦的质量为700千克计算，这堆小麦的质量有多少千克？ 【答案】1099千克 【分析】根据圆锥体积公式：V＝Sh，先求出麦堆的体积，然后用每立方米小麦的质量×麦堆的体积＝这堆小麦的总质量，据此列式解答。 【详解】×3.14×1.5×700 ＝×1.5×3.14×700 ＝0.5×3.14×700 ＝1.57×700 ＝1099（千克） 答：这堆小麦的质量有1099千克。 2．某野营部队训练时，搭建了一个近似圆锥形的帐篷，它的底面半径是3米，高是4米，帐篷里面的空间有多大？（帐篷的厚度忽略不计） 【答案】37.68立方米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方米） 答：帐篷里面的空间有37.68立方米。 【点睛】此题主要考查圆锥的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．一个圆锥形沙堆的底面周长是31.4米，高是6米，每立方米沙重1.5吨。这堆沙重多少吨？ 【答案】235.5吨 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥底面的半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积，再乘1.5，即可解答。 【详解】31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 3.14×52×6××1.5 ＝3.14×25×6××1.5 ＝78.5×6××1.5 ＝471××1.5 ＝157×1.5 ＝235.5（吨） 答：这堆沙重235.5吨。 【点睛】熟练掌握和灵活运用圆的周长公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。 例题九：圆柱与圆锥的关系 1．一个圆柱形橡皮泥，底面直径是4厘米，高是6厘米。如果把它捏成底面同样大小的圆锥，这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】18厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱形橡皮泥捏成底面同样大小的圆锥，那么这个圆锥和圆柱等体积等底面积； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆锥和圆柱等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。 【详解】6×3＝18（厘米） 答：这个圆锥的高是18厘米。 2．一个圆柱体侧面展开后是一个长6.28厘米，宽3厘米的长方形，如果把它削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的底面直径是多少厘米？削去部分的体积是多少？ 【答案】2厘米；6.28立方厘米 【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，将圆柱削成最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，削去部分的体积是圆柱体积的，底面直径＝底面周长÷圆周率÷2，削去部分的体积＝圆柱体积×，圆柱体积＝底面积×高，据此列式解答。 【详解】6.28÷3.14＝2（厘米） 3.14×（2÷2）2×3× ＝3.14×12×3× ＝9.42× ＝6.28（立方厘米） 答：这个圆锥的底面直径是2厘米，削去部分的体积是6.28立方厘米。 3．机灵狗有一块体积是753.6立方厘米的绿色橡皮泥，它用这块橡皮泥捏成了等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体。则这个圆柱体体积是多少？ 【答案】565.2立方厘米 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，设圆锥体体积为x立方厘米，则圆柱体体积为3x立方厘米；圆柱体体积＋圆锥体体积＝753.6，列方程：3x＋x＝753.6，解方程，求出圆锥体体积，进而求出圆柱体体积。 【详解】解：设圆锥体体积为x立方厘米，则圆柱体体积是3x立方厘米。 3x＋x＝753.6 4x＝753.6 x＝753.6÷4 x＝188.4 188.4×3＝565.2（立方厘米） 答：这个圆柱体体积是565.2立方厘米。 【点睛】解答本题的关键明确等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，据此设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 例题十：水中浸物问题 1．在一个从里面量底面半径为10厘米，高20厘米的圆柱形玻璃容器中，水深8厘米，现在要在容器中竖直放入一个长和宽都是8厘米、高是15厘米的长方体铁块，那么水面上升多少厘米？ 【答案】2.048厘米 【分析】铁块竖直放入水中时，铁块未浸没，且放入铁块前后水的体积不变，用水的体积除以容器的底面积与竖直的铁块底面积的差，计算出此时水面的高度，再减去原来水的高度，即可求出水面上升的高度，据此解答。 【详解】3.14×102×8÷（3.14×102－8×8） ＝3.14×100×8÷（3.14×100－64） ＝314×8÷（314－64） ＝2512÷250 ＝10.048（厘米） 10.048－8＝2.048（厘米） 答：水面上升2.048厘米。 2．将一石块放入一个底面积是1.5平方分米的圆柱形玻璃缸后，水深18厘米，拿出石块后，水面下降到15厘米。石块的体积是多少立方分米？ 【答案】0.45立方分米 【分析】石块的体积等于下降的水的体积，由于下降部分形成一个圆柱体，根据圆柱的体积公式：底面积×高，则用容器的底面积乘下降的厘米数即可。 【详解】18－15＝3（厘米） 3厘米＝0.3分米 1.5×0.3＝0.45（立方分米） 答：石块的体积是0.45立方分米。 【点睛】此题主要考查不规则物体体积的测量方法以及圆柱的体积公式，结合题意分析解答即可，要注意统一单位。 3．一个底面周长是25.12厘米，高18厘米的圆柱形容器里面装有一些水，将一个底面积是37.68平方厘米的圆锥形铁块放入容器内，完全浸没在水中，拿出铁块后水面下降了3厘米。 （1）这个铁块的体积是多少？ （2）这个铁块的高是多少？ 【答案】（1）150.72立方厘米； （2）12厘米 【分析】（1）由题意可知：圆锥的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于底面周长是25.12厘米，高是3厘米的圆柱的体积；将数据代入圆的周长公式C＝2πr求出圆柱的底面半径，再代入圆柱的体积公式：V＝πr2h计算即可； （2）将数据代入圆锥的体积公式：V＝Sh，即可求出高。 【详解】（1）25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 3.14×42×3 ＝3.14×16×3 ＝150.72（立方厘米） 答：这个铁块的体积是150.72立方厘米。 （2）150.72×3÷37.68 ＝452.16÷37.68 ＝12（厘米） 答：这个铁块的高是12厘米。 【点睛】本题考查体积的等积变形，圆柱、圆锥的体积公式的灵活运用。 考点突破 一、选择题 1．把一个实心的木圆柱，切一刀露出两个一样的平面，以下是不可能得到的平面为（    ）。 A． B． C． D． 2．圆柱有（    ）条高。 A．1 B．2 C．无数 D．4 3．下图中圆锥、圆柱、正方体的底面积相等，高也相等。下面说法正确的是（    ）。 A．正方体的体积比圆柱大。 B．圆柱的体积和圆锥的体积相等。 C．正方体的体积和圆柱的体积相等。 D．三个图形的体积都相等。 4．一个高为13厘米的圆柱形橡皮泥被截去5厘米后，圆柱的表面积减少了62.8平方厘米，原来圆柱的侧面积是（    ）。 A．81.64平方厘米 B．163.28平方厘米 C．100.8平方厘米 D．408.2平方厘米 5．一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，高的比是1∶3，则它们的体积比是（    ）。 A．1∶3 B．1∶9 C．9∶1 D．1∶1 6．下图4个圆柱中，与圆锥的体积相等的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 二、填空题 7．用一个平面去截正方体、长方体、圆柱、圆锥、球，既能够截出长方形又能截出圆的是( )；既能够截出三角形又能截出圆的是( )；无法截出三角形的是( )。 8．一个圆柱的侧面积是157cm2，高是5cm，它的底面半径是( )cm，表面积是( )cm2。 9．一个近似圆锥形的帐篷，底面半径和高都是2米，占地面积是( )平方米，帐篷内的空间约是( )立方米（保留整数）。 10．一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，它的底面周长是( )cm，侧面积是( )，体积是( )。 11．圆锥有( )条高，与圆锥等底等高的圆柱的体积是36立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 12．以下面三角形的直角边为轴旋转一周得到的图形是( )，它的体积最大是( )立方厘米。 13．一个圆柱和圆锥体积相等，它们底面半径比是4∶3，那么，圆柱和圆锥高的比是( )。 14．把一个体积是62.1m3的圆柱木块削成一个最大的圆锥。削去的体积是( )m3。 三、计算题 15．分别求下面圆柱的表面积和圆锥的体积。（单位：cm） （1）             （2） 16．计算下面图形的体积。 四、解答题 17．我校“小小厨艺班”兴趣小组要求每个学生做一个薯片筒。底面直径为10厘米，长为20厘米，制作50个这样的薯片筒，至少需要多大面积的纸板？ 18．一个圆锥形沙堆（如图），底面直径2米，高1.5米。如果用容积是0.3立方米的小车来运，需要运几次才能运完？ 19．如图所示，鹏鹏将一张长方形纸剪成如下形状，正好可以拼成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 20．如图，一个上端近似于圆锥形的饮料杯，一瓶容量是800毫升的饮料最多可以倒满几杯？ 21．妈妈在家里把一个罐头盒上的商标纸剪下来得到一个平行四边形的展开图（如图），这个圆柱形罐头盒的表面积是多少？ 22．直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1单元圆柱与圆锥知识梳理、例题剖析、考点突破》参考答案 1．D 【分析】根据题意，首先要了解圆柱的构成，圆柱是由顶面圆、底面圆和侧面构成， 顶面圆、底面圆：这两个面是完全相同的，且相互平行。侧面：连接顶面和底面的曲面称为圆柱的侧面，这个侧面是一个曲面，其展开后通常是一个矩形或平行四边形，据此解答。 【详解】 A、 这个面是个长方形，是圆柱纵向切面，2个面是一样的长方形。 B、这个面个是圆形，是圆柱的横向切面，2个面是一样的圆形。 C、这个面是个椭圆形，是圆柱的斜向切面，也称为圆柱形，2个面是是一样的椭圆形。 D、这个面是个梯形，无论在哪个面切都不符合圆柱形的构成。 故答案为：D 2．C 【分析】根据圆柱的图形特征可知：构成圆柱的上下两个面是它的底面；上、下两个底之间的距离是它的高，两个底面之间有无数个对应的点，无论从圆柱的一个底面的哪一点向另一个底面作的垂线，都是圆柱的高；据此选择即可。 【详解】由分析可得：圆柱有无数条高。 故答案为：C 3．C 【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，正方体的体积＝底面积×高，如果圆锥、圆柱、正方体的底面积相等，高也相等，说明圆柱和正方体的体积相等，圆柱的体积是圆锥的3倍。 【详解】根据分析可知，圆锥、圆柱、正方体的底面积相等，高也相等，圆柱和正方体的体积相等，圆柱的体积是圆锥的3倍。 故答案为：C 4．B 【分析】观察题意可知，圆柱的表面积减少了一部分侧面积，减少部分的侧面的高是5厘米，根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，用62.8÷5即可求出底面周长，再用底面周长乘13厘米，即可求出原来的侧面积。 【详解】62.8÷5×13 ＝12.56×13 ＝163.28（平方厘米） 原来圆柱的侧面积是163.28平方厘米。 故答案为：B 5．D 【分析】圆柱的体积＝S圆柱×高圆柱，圆锥的体积＝×S圆锥×高圆锥；由于高圆柱∶高圆锥＝1∶3，即高圆锥＝3×高圆柱，且S圆柱＝S圆锥，代入圆柱和圆锥的体积公式进行化简，即可得出它们的体积之比。 【详解】因为高圆柱∶高圆锥＝1∶3 所以高圆锥＝3×高圆柱 圆柱的体积＝ S圆柱×高圆柱 圆锥的体积＝×S圆锥×高圆锥＝×S圆锥×3×高圆柱＝S圆锥×高圆柱 又因为S圆柱＝S圆锥 所以圆柱体积∶圆锥体积 ＝ S圆柱×高圆柱∶S圆锥×高圆柱 ＝1∶1 因此它们的体积比是1∶1。 故答案为：D 6．C 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，因此，圆柱与圆锥的体积和高相等时，圆锥的底面积是圆柱的3倍；当圆柱与圆锥的体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱的3倍；据此解答。 【详解】A．该圆柱与圆锥等底等高，所以它的体积是圆锥体积的3倍； B．该圆柱与圆锥等高，底面积是圆锥的，所以它的体积是圆锥体积的； C．该圆柱与圆锥等底，高是圆锥的，所以它的体积与圆锥的体积相等； D．该圆锥的高是圆锥的，底面积是圆锥的，所以它的体积是圆锥体积的； 故答案为：C 7． 圆柱 圆锥 球、圆柱 【分析】 用一个平面沿着高截圆柱，能截出一个长方形；平行于圆柱的底面截，又能截出一个圆； 用一个平面沿着高截圆锥，能截出一个三角形；平行于圆锥的底面截，又能截出一个圆； 用一个平面无论怎样截球或圆柱，都无法截出三角形。 【详解】用一个平面去截正方体、长方体、圆柱、圆锥、球，既能够截出长方形又能截出圆的是圆柱；既能够截出三角形又能截出圆的是圆锥；无法截出三角形的是球、圆柱。 8． 5 314 【分析】根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高；底面周长＝侧面积÷高，代入数据，求出圆柱的底面周长；再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出底面半径；再根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×＋侧面积。代入数据，即可解答。 【详解】157÷5÷3.14÷2 ＝31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 3.14×52×2＋157 ＝3.14×25×2＋157 ＝78.5×2＋157 ＝157＋157 ＝314（cm2） 一个圆柱的侧面积是157cm2，高是5cm，它的底面半径是5cm，表面积是314cm2。 【点睛】熟练掌握圆柱的侧面积公式、表面积公式以及圆的周长公式是解答本题的关键。 9． 12.56 8 【分析】求占地面积就是求圆锥的底面面积；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答； 求帐篷内的空间，就是求这个帐篷的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 12.56×2× ＝25.12× ≈8（立方米） 一个近似圆锥形的帐篷，底面半径和高都是2米，占地面积是12.56平方米，帐篷内的空间约是8立方米。 【点睛】熟练掌握圆的面积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。 10． 25.12 251.2 502.4 【分析】圆柱的底面是圆形，，据此可求出圆柱的底面周长，，据此可求出圆柱的侧面积，，据此可求出圆柱的体积。 【详解】由分析可知： ＝2×3.14×4 ＝25.12（cm） ＝25.12×10 ＝251.2（） ＝3.14××10 ＝50.24×10 ＝502.4（） 所以一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，它的底面周长是25.12cm，侧面积是251.2，体积是502.4。 【点睛】本题考查圆柱侧面积和体积公式的灵活运用，记住公式是关键。 11． 1/一 12 【分析】圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，圆锥的高只有1条；当圆锥和圆柱等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，以此解答。 【详解】圆锥有1条高； 36×＝12（立方厘米） 圆锥有1条高，与圆锥等底等高的圆柱的体积是36立方厘米，圆锥的体积是12立方厘米。 【点睛】本题主要考查对圆锥高的数量和等底等高的情况下，圆锥与圆柱体积之间的关系。 12． 圆锥 628 【分析】把直角三角形以直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是以旋转轴为高，以另一直角边为底面半径的圆锥体，根据圆锥体积公式：体积＝底面积×高×，分别计算以6cm为底面半径10cm为高和10cm为底面半径6cm为高的圆锥体积，比较出较大的即可求解。 【详解】三角形的直角边为轴旋转一周得到的图形是圆锥。 3.14×62×10× ＝3.14×36×10× ＝113.04×10× ＝1130.4× ＝376.8（cm3） 3.14×102×6× ＝3.14×100×6× ＝314×6× ＝1884× ＝628（cm3） 376.8＜628，最大体积是628cm3。 以下面三角形的直角边为轴旋转一周得到的图形是圆锥，它的体积最大是628cm3。 【点睛】熟练掌握圆锥的特征以及圆锥的体积公式是解答本题的关键。 13．3∶16 【分析】一个圆柱和一个圆锥底面半径的比是4∶3，分别设圆柱和圆锥的底面半径是4r和3r，根据圆的面积S＝πr2求出它们的底面积，再设它们的体积为V，根据圆柱的体积V＝Sh，可得圆柱的高h＝V÷S，圆锥的体积V＝Sh，可得圆锥的高h＝3V÷S，由此分别得出圆柱和圆锥的高，再作比。 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径是4r和3r，它们的体积为V， 圆柱的底面积：π（4r）2＝16πr2 圆锥的底面积：π（3r）2＝9πr2 圆柱的高：V÷16πr2＝ 圆锥的高：3V÷9πr2＝ ∶ ＝3V∶16V ＝（3V÷V）∶（16V÷V） ＝3∶16 圆柱和圆锥高的比是3∶16。 【点睛】解决此题关键是根据圆柱和圆锥的体积公式，先设出数据，分别求出它们的高，进而写出对应高的比，进而化成最简比。 14．41.4 【分析】根据题干，削成的体积最大的圆锥与原来圆柱的底面积和高都相同，即这个圆柱和圆锥是等底等高的，根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，由此可得削去部分的体积就是圆柱体积的（1－），由此计算即可。 【详解】由分析可得： 62.1×（1－） ＝62.1× ＝41.4（m3） 综上所述：把一个体积是62.1m3的圆柱木块削成一个最大的圆锥。削去的体积是41.4m3。 【点睛】本题考查了同底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，熟记圆柱和圆锥的体积公式是解题的关键。 15．（1）11.304cm2； （2）1884cm3 【分析】（1）圆柱的表面积公式：S表＝S侧＋2S底，S侧＝πdh，S底＝πr2，将d＝2r＝2cm，h＝0.8cm代入公式计算即可； （2）将数据代入圆锥的体积公式：V＝πr2h计算即可。 【详解】（1）3.14×2×0.8＋3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×2×0.8＋3.14×12×2 ＝5.024＋3.14×1×2 ＝5.024＋6.28 ＝11.304（cm2） 圆柱的表面积为11.304cm2。 （2）×3.14×（20÷2）2×18 ＝×18×3.14×（20÷2）2 ＝×18×3.14×102 ＝×18×3.14×100 ＝6×3.14×100 ＝1884（cm3） 圆锥的体积为：1884cm3。 16．15.7dm3 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】3.14×（2÷2）2×6－×3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×1×6－×3.14×1×3 ＝18.84－3.14 ＝15.7（dm3） 图形的体积是15.7dm3。 17．39250平方厘米 【分析】根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，求出做一个薯片筒需要纸板的面积，再乘50，即可解答。 【详解】[3.14×（10÷2）2×2＋3.14×10×20]×50 ＝[3.14×52×2＋31.4×20]×50 ＝[3.14×25×2＋628]×50 ＝[78.5×2＋628]×50 ＝[157＋628]×50 ＝785×50 ＝39250（平方厘米） 答：至少需要39250平方厘米的纸板。 18．6次 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个沙堆的体积； 已知用容积是0.3立方米的小车来运这个沙堆，用沙堆的体积除以小车的容积，即可求出需要运的次数。注意得数采用“进一法”保留整数。 【详解】×3.14×（2÷2）2×1.5 ＝×3.14×12×1.5 ＝×3.14×1×1.5 ＝1.57（立方米） 1.57÷0.3≈6（次） 答：需要运6次才能运完。 19．7.85平方分米 【分析】设圆的直径是d分米，大长方形的长是4.14分米，等于小长方形的长加上圆的直径；小长方形的宽等于两个等圆直径之和，也就是圆柱的高；小长方形是圆柱侧面展开图，所以长应等于圆周长，根据“大长方形的长等于圆的周长与直径的和”求出圆的直径，进而求出圆柱的高，根据“圆柱的表面积＝侧面积十底面积×2”进行解答即可。 【详解】解：设圆的直径是d分米，则： 所以圆柱的底面直径是1分米，高是1×2＝2分米 圆柱的表面积： （平方分米） 答：这个圆柱的表面积是7.85平方分米。 【点睛】本题考查圆柱的侧面积和表面积，解答本题的关键是掌握根据圆柱表面积和侧面积计算公式。 20．5杯 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高×，求出杯子容积，饮料容积÷杯子容积，结果用去尾法保留近似数即可。 【详解】3.14×（10÷2）2×6× ＝3.14×52×6× ＝3.14×52×6× ＝3.14×25×6× ＝78.5×6× ＝471× ＝157（立方厘米） 157立方厘米＝157毫升 800÷157≈5（杯） 答：一瓶容量是800毫升的饮料最多可以倒满5杯。 21．602.88平方厘米 【分析】观察图形可知，平行四边形的底边长等于圆柱的底面周长，平行四边形的高等于圆柱的高；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 3.14×42×2＋25.12×20 ＝3.14×16×2＋502.4 ＝50.24×2＋502.4 ＝100.48＋502.4 ＝602.88（平方厘米） 答：这个圆柱形罐头的表面积是602.88平方厘米。 22．（1）①；② （2）150.72立方厘米（答案不唯一） 【分析】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的立体图形是沙漏模型。 （2）①立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的和；②立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的差。利用圆柱和圆锥的体积公式，代入数据即可得解。 【详解】（1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是①；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是②。 （2）求图形①的体积： （立方厘米） 立体图形①的体积是150.72立方厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$