专题02函数的概念、图象与性质（16区5大考点76题）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题02函数的概念、图象与性质（5大考点） 考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02 函数基础知识 考点03 一次函数 考点04 反比例函数 考点05 二次函数 考点01平面直角坐标系 1．（2025·上海长宁·一模）在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正弦值等于（） A． B． C． D． 2．（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 3．（2025·上海杨浦·一模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 4．（2025·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 5．（2025·上海闵行·一模）已知，那么 ． 6．（2025·上海杨浦·一模）已知函数，那么 ． 7．（2025·上海奉贤·一模）函数的定义域是 ． 9．（2023·上海杨浦·三模）函数的定义域为 ． 考点03一次函数 10．（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 考点04反比例函数 12．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为 ．    13．（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 考点05二次函数 14．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，y关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·上海闵行·一模）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·上海松江·一模）已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 18．（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·上海普陀·一模）下列二次函数的图像中，以直线为对称轴的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·上海崇明·一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 23．（2025·上海虹口·一模）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 25．（2025·上海杨浦·一模）下列二次函数中，如果函数图像的顶点在轴上，那么这个函数是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·上海嘉定·一模）抛物线一定经过点（   ） A． B． C． D． 27．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 29．（2025·上海金山·一模）已知二次函数的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在轴右侧．当抛物线与轴两交点的距离为9时，若、、、这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 31．（2025·上海松江·一模）将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是 ． 32．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 33．（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 34．（2025·上海松江·一模）已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 35．（2025·上海静安·一模）抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 36．（2025·上海徐汇·一模）已知点和都在抛物线（是常数）上，那么 （填“”，“”，“”）． 37．（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”） 38．（2025·上海普陀·一模）已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第 象限． 39．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 40．（2025·上海宝山·一模）一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 41．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 42．（2025·上海宝山·一模）如果二次函数的图象开口向下，那么的取值范围是 ． 43．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 44．（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 45．（2025·上海崇明·一模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 46．（2025·上海虹口·一模）抛物线与轴的交点是 ． 47．（2025·上海虹口·一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 48．（2025·上海崇明·一模）已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 49．（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 50．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 51．（2025·上海杨浦·一模）已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么 ．（填“”、“”或“”） 52．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 53．（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 54.（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 55．（2025·上海青浦·一模）二次函数的图像与轴的交点坐标是 ． 56．（2025·上海金山·一模）已知，那么 ． 57．（2025·上海嘉定·一模）已知点、在函数的图像上，如果，那么 ．（填“>”、“=”、“<”） 58．（2025·上海闵行·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么 0．（填“>”或“<”） 59．（2025·上海嘉定·一模）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ． 60．（2025·上海嘉定·一模）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 61．（2025·上海青浦·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 62．（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ． 63．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 64．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 65．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为 ． 66．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 67．（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 68．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 69．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 70．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 71．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线（）上的两点． (1) ； (2)如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且，四边形的面积是25，求这个抛物线的表达式 72．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 73．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 74．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为， (1)为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：①它与轴交点的坐标是；②顶点的坐标为．你选择的条件是 （填写编号），并求、的值． (2)由（1）确定的抛物线与轴正半轴交于点，求的值． 75．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线上，求的正弦值． 76．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点、、． (1)求该抛物线的表达式及其对称轴l； (2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02函数的概念、图象与性质（5大考点） 考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02 函数基础知识 考点03 一次函数 考点04 反比例函数 考点05 二次函数 考点01平面直角坐标系 1．（2025·上海长宁·一模）在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正弦值等于（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查直角三角形的边角关系、勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．构造直角三角形，由坐标得出线段的长，再根据勾股定理求出斜边的长，根据余弦的意义求出结果即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 在中，由题意得：， ， ，， ， ， 故选：A． 2．（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，作轴于点M，， 根据勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 考点02函数基础知识 3．（2025·上海杨浦·一模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【分析】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据时，；时，，可得对称轴为直线，可判断；由当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值，可判断；由可知，可判断；由函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键． 【详解】解：、∵时，；时，， ∴对称轴为直线，故选项错误； 、由表可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值， ∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误； 、∵， ∴， ∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项错误； 、∵函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小， ∴沿轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确； 故选：． 4．（2025·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 【答案】正比例 【分析】本题考查函数的概念，常量与变量．由正比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数． 故答案为：正比例． 5．（2025·上海闵行·一模）已知，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查求函数值．将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：5． 6．（2025·上海杨浦·一模）已知函数，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握函数的相关知识是解题的关键． 将直接代入函数解析式求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．（2025·上海奉贤·一模）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、求函数的定义域，根据分式有意义的条件得出，求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则分母， 即， ∴函数的定义域是， 故答案为：． 9．（2023·上海杨浦·三模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】求函数的定义域就是找使函数有意义的自变量的取值范围． 【详解】解：函数要有意义，则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，关键要知道函数有意义的自变量的取值范围． 考点03一次函数 10．（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式得出其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，从而得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数，其中常数、， ∴其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 11．（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 根据“，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限”解题即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为： ． 考点04反比例函数 12．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为 ．    【答案】/ 【分析】由题意得点关于直线对称，由可得的重心在直线：上，联立函数解析式求出点坐标，即得，再根据三角形重心的性质可得，得到，设点，则，最后利用中点坐标公式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，点关于直线对称， ∵， ∴的重心在直线：上，即为点， 由，解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∵点为的重心， ∴， ∴， ∴， 设（），则， ∴， ∴， 设点，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 解得或， ∵点的横坐标大于点的横坐标， ∴点的横坐标为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，等腰三角形性质，三角形的重心，勾股定理，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 13．（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 考点05二次函数 14．（2025·上海普陀·一模）下列函数中，y关于x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：不是的二次函数，故A错误； 不是的二次函数，故B错误； ，即是的二次函数，故C正确； ，当时，不是的二次函数，故D错误； 故选：C． 15．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 16．（2025·上海闵行·一模）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，顶点坐标为．据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：D． 17．（2025·上海松江·一模）已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质判定函数值的大小，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式确定图象开口向上，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越大，再确定两点与对称轴的距离，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴离对称轴直线越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C ． 18．（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 19．（2025·上海普陀·一模）下列二次函数的图像中，以直线为对称轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，二次函数的顶点式解析式为，它的对称轴为．本题根据二次函数的顶点式解析式分别求出各项的对称轴即可． 【详解】解：A  、二次函数的对称轴是轴，故A选项不符合题意； B、二次函数的对称轴是轴，故B选项不符合题意； C、二次函数的对称轴是轴，故C选项不符合题意； D、二次函数的对称轴是轴，故D选项符合题意 故选：D． 20．（2025·上海崇明·一模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最高点得到抛物线开口向下，则，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：D 21．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得 函数开口向下，则，故A错误； 顶点在y轴右侧，则，故B正确； 图象与y轴交点在y轴正半轴，则，故C错误； 当时，，则，故D错误； 故选：B． 22．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 23．（2025·上海虹口·一模）已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为抛物线，则函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵、和都在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 24．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：， ∴抛物线有最高点，最高点的坐标是； 故选：C． 25．（2025·上海杨浦·一模）下列二次函数中，如果函数图像的顶点在轴上，那么这个函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解答本题的关键． 分别写出各个二次函数的顶点坐标，然后判断其位置即可解答． 【详解】解：A、，顶点坐标为，不在轴上，故A选项不符合题意； B、，顶点坐标为，不在轴上，故B选项不符合题意； C、，顶点坐标为，在轴上，故C选项不符合题意； D、，顶点坐标为，在轴上，故D选项符合题意； 故选：D． 26．（2025·上海嘉定·一模）抛物线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题二次函数图象上的点的特征，根据图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故函数图象不经过点； B、当时，，故函数图象经过点； C、当时，，故函数图象不经过点； D、当时，，故函数图象不经过点； 故选B 27．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 28．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A. ∵抛物线开口向下， ∴， ∴A成立，不符合题意； B. ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C. ∵抛物线交y轴正半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D. ∵抛物线过， ∴， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 29．（2025·上海金山·一模）已知二次函数的图象是开口向上的抛物线，抛物线的对称轴在轴右侧．当抛物线与轴两交点的距离为9时，若、、、这四个函数值中有且只有一个值不大于0，那么在这四个函数值中，值不大于0是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线与轴两交点的距离为9，结合二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴右侧，且抛物线与轴两交点的距离为9， ∴在对称轴的左侧随着的增大而减小，在对称轴的右侧随着的增大而增大，抛物线与轴两交点到对称轴的距离为， 若，则，不符合题意，故 若，则：抛物线与轴的一个交点范围为， ∴抛物线与轴的另一个交点的范围为：，则：，不符合题意；故 当时，则抛物线与轴的一个交点范围为， ∴抛物线与轴的另一个交点的范围为：，则：，不符合题意； 故只能是； 故选D． 30．（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 31．（2025·上海松江·一模）将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：； 故答案为：． 32．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 33．（2025·上海松江·一模）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 34．（2025·上海松江·一模）已知抛物线经过点，那么该抛物线的开口方向是 ． 【答案】向上 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向的确定方法是解题的关键． 根据题意，把点代入计算，得到解析式，根据二次项系数的正负确定图象开口即可． 【详解】解：抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴该抛物线的开口方向向上， 故答案为：向上 ． 35．（2025·上海静安·一模）抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴， 解得，， 故答案为： ． 36．（2025·上海徐汇·一模）已知点和都在抛物线（是常数）上，那么 （填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、对称轴，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 37．（2025·上海普陀·一模）已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 找出二次函数的开口方向和对称轴，即可根据位置信息求解． 【详解】解：∵ ∴开口向上，有最小值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越小， ∵ ∴ 故答案为：． 38．（2025·上海普陀·一模）已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数顶点坐标的表达式是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标为，代数分析即可． 【详解】解：∵的开口向上 ∴， ∵函数的顶点坐标为：， ∴， ∴顶点在第四象限； 故答案为：四． 39．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 40．（2025·上海宝山·一模）一个二次函数的图象经过点，则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值和点，所以3和是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个符合要求的函数解析式即可） 【答案】，答案不唯一 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“零点”的定义可知二次函数的图象经过一个点，据此写出一个函数的解析式即可． 【详解】解：∵一个二次函数有且只有一个“零点”， ∴这个二次函数的解析式可以是，答案不唯一． 故答案为：，答案不唯一． 41．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论． 本题考查了轴对称，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 【详解】解：设抛物线上一个点坐标为，其关于y轴的对称点为， 则，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 42．（2025·上海宝山·一模）如果二次函数的图象开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数，当，函数图象开口向上；当时，函数图象开口向下，进行解答，即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 43．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象，根据题意，抛物线的开口向下，可得，求出，即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：． 故答案为：． 44．（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴， ∴ 故答案为：． 45．（2025·上海崇明·一模）如果将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．根据抛物线的平移规律：“左加右减”的法则即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是，即， 故答案为：． 46．（2025·上海虹口·一模）抛物线与轴的交点是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，正确把握二次函数图象上点的特征是解题的关键．根据题意，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点． 【详解】解：令，则， 抛物线与轴的交点是． 故答案为：． 47．（2025·上海虹口·一模）如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线有最高点，得到解析式的二次项系数小于，从而得到结果． 【详解】解：抛物线有最高点 抛物线图像的开口向下 故答案为：． 48．（2025·上海崇明·一模）已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为和时的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 49．（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 50．（2025·上海虹口·一模）已知抛物线在轴右侧的部分是下降的，且经过，请写出一个符合上述条件的抛物线表达式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．根据抛物线在轴右侧的部分是下降的，确定其开口方向和对称轴所在位置，然后根据经过的点的坐标确定解析式即可． 【详解】解：抛物线在轴右侧的部分是下降的， 抛物线开口向下，且对称轴为轴或在轴的左侧， 设抛物线的解析式可以为， 抛物线经过， 抛物线的解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 51．（2025·上海杨浦·一模）已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象与性质可知抛物线对称轴为直线，结合二次函数的图象开口向上可知，当时随的增大而减小，然后由即可得出答案． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 二次函数的图像开口向上， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 52．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由抛物线有最高点可知抛物线开口向下，于是可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线有最高点， 抛物线开口向下， ， 解得：， 即：的取值范围是， 故答案为：． 53．（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线开口向下可得出，再结合二次函数的定义即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得：， 故答案为： 54.（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线开口向下可得出，再结合二次函数的定义即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得：， 故答案为： 55．（2025·上海青浦·一模）二次函数的图像与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数与坐标轴的交点问题，令，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴二次函数的图像与轴的交点坐标是； 故答案为：． 56．（2025·上海金山·一模）已知，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查求函数值，把代入函数解析式，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：7． 57．（2025·上海嘉定·一模）已知点、在函数的图像上，如果，那么 ．（填“>”、“=”、“<”） 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据开口向下的抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 58．（2025·上海闵行·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么 0．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线在对称轴左侧的部分是下降的可得出抛物线开口向上，进而即可得出，此题得解． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴． 故答案为：． 59．（2025·上海嘉定·一模）将抛物线向右平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位，得到：， ∴新抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 60．（2025·上海嘉定·一模）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【分析】本题考查根据抛物线的对称性求对称轴，找到表格中函数值相同的两个自变量的值，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：当和时，函数值相等， 即：点和关于对称轴对称， ∴对称轴为直线； 故答案为：． 61．（2025·上海青浦·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口向上，对称轴为轴， ∴在对称轴右侧随的增大而增大，也就是右侧部分是上升的， 故答案为：上升． 62．（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键. 根据抛物线的最高点在y轴上，可知，，抛物线与x轴有两个交点，可知，据此写出答案即可. 【详解】解：∵抛物线的最高点在y轴上， ∴，，， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴这条抛物线的表达式可以是：. 故答案是：（答案不唯一） 63．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点的坐标是，点、恰好在抛物线上，得到，解得，（不合题意，舍去），得到点的坐标是，得到正方形的边长为，即可求出正方形的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上， ∴， ∴可设点的坐标是， ∵点、恰好在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标是， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积是， 故答案为： 64．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 65．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，全等三角形的判定与性质等知识，先求出A、B的坐标为，，则，，，，过A作于D，过B作轴于E，利用证明，得出，，则可得出，然后解方程即可． 【详解】解∶过A作于D，过B作轴于E， ∵点、在抛物线上，、两点的横坐标分别为1和， ∴点A、B的纵坐标为、， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， 解得，（不符合题意，舍去） ∴b的值为2， 故答案为：2． 66．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线（）经过点、点、点． (1)求此抛物线的表达式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 【答案】(1) (2)向左平移4个单位，再向上平移3个单位 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式； （2）先将原抛物线化为顶点式，求得顶点坐标，然后根据平移的特点，即可写出平移的方法． 【详解】（1）解：抛物线经过点、点、点． ， 解得， 即该抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 的顶点移动到点的位置， 抛物线应向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 故答案为：向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 67．（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数的性质、两点距离公式、勾股定理逆定理等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由表格找出值相等的两个点，再根据对称关系求出对称轴和顶点坐标，进而在观察开口方向； （2）利用两点距离公式求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为， 根据表格可知，顶点坐标为， ∵顶点纵坐标比两侧数值小， ∴开口向上， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）证明：∵抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即为直角三角形． 68．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 69．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线过 ， 得 抛物线的表达式为：． （2）∵点， ， ， ∵，， ，，， ， ， ． 70．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴可得，由此即可得； ②根据二次函数的对称性求解即可得； （2）根据（1）可设二次函数的解析式为，将点代入求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得． 【详解】（1）解：①∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵二次函数的图像与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线， ∴图像与轴的另一个交点坐标为，即为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数的图像与轴的两个交点坐标是和， ∴可设二次函数的解析式为， ∵这个函数图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴它的顶点坐标为． 71．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线（）上的两点． (1) ； (2)如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且，四边形的面积是25，求这个抛物线的表达式 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式． （1）结合抛物线的对称性可得． （2）根据题意合抛物线的对称性可得，，由已知条件可得，，，进而根据四边形的面积是25得到，求得，即，，再利用待定系数法求二次函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， 且抛物线上的点，关于对称轴对称， ∴． 故答案为：2． （2）解：由（1）得，抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∵该抛物线与x轴交于点C、D， ∴点C，D关于直线对称， ∵， ∴，． ∵，， ∴，，． ∵ ∴， 解得， ∴，． ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的表达式为． 72．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 【答案】(1)，直线 (2)1或3 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； （2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或1． 73．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点坐标为 令，则， ； （2）解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 74．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为， (1)为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：①它与轴交点的坐标是；②顶点的坐标为．你选择的条件是 （填写编号），并求、的值． (2)由（1）确定的抛物线与轴正半轴交于点，求的值． 【答案】(1)②， (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）选择②，写出顶点式，再转化为一般式求出、的值即可； （2）求出点的坐标，过点作轴，利用正切的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：当选择条件为①时，只有一个点的坐标无法求出两个参数的值； 故选择②，此时：， ∴； 故答案为：②； （2）解：当时， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴， 则：， ∴， ∴． 75．（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，已知：抛物线经过点和． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线上，求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求角的正弦值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理逆定理，推出为直角三角形 ，利用正弦的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点和 解得：， 抛物线的表达式为； （2）点在抛物线上                                                                     、、 ，，                     ， 为直角三角形 ，                               在直角三角形中，． 76．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点、、． (1)求该抛物线的表达式及其对称轴l； (2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 【答案】(1)，直线 (2)24 【分析】本题考查了二次函数与三角形面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式． （1）直接利用待定系数法求函数解析式，利用对称轴公式求对称轴即可； （2）过点B作，垂足为点H，先求出，继而求出，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、三点， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为． ∵ ∴抛物线的对称轴l为直线； （2）解：过点B作，垂足为点H． ∵点A与点D关于对称轴l对称，又点， ∴， ∴轴，． ∵， ∴． ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$