精品解析：江苏省泰州市育才实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

泰州市育才实验学校九年级上学期期中考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（共6小题，每小题3分） 1. 下列在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球，每个球除颜色外其余都相同．从袋中随机摸一个球，摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据概率公式求解即可． 【详解】解：从袋中随机摸一个球共有种等可能结果，摸到红球有种， ∴摸到红球的概率是， 故选：A． 2. 关于x的方程（m为常数）的两实数根之和是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键． 由根与系数的关系可直接求得． 【详解】解：∵是一元二次方程的两实数根， ∴， 故选：A． 3. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 4. 某校发起了“圆贫困地区孩子一个读书梦”的爱心捐书公益活动，在短短一周时间内，就收到了同学们捐赠的大量书籍． 现从中随机调查了部分学生的捐赠情况，并将收集到的数据统计如下： 数量/本 30 22 16 8 6 4 人数 40 30 25 50 20 35 根据表中的信息判断，下列结论正确的是（ ） A. 该校参与调查的学生有86人 B. 该校参与调查的学生捐赠书籍的中位数为12本 C. 该校参与调查的学生捐赠书籍的众数为8本 D. 该校参与调查的学生平均捐赠书籍16本 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求样本容量，中位数，众数，平均数，熟练掌握相关定义和求法是解题的关键． 【详解】解：A、该校参与调查的学生有（人），故A不正确，不符合题意； B、∵该校参与调查的学生有200人， ∴中位数为第100个人和第101个人捐赠书籍的平均数， 由表可知，第100个人和第101个人捐赠书籍均为8本， ∴该校参与调查的学生捐赠书籍的中位数为8本，故B不正确，不符合题意； C、∵该校参与调查的学生捐赠书籍为8本的人数最多， ∴该校参与调查的学生捐赠书籍的众数为8本，故C正确，符合题意； D、该校参与调查的学生平均捐赠书籍（本），故D不正确，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论． 连接，根据直径所对圆周角可得，由同弧所对圆周角相等可求出度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵， ∴，  ， 故选：A． 6. 如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B 向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2020次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，规律型：图形的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 连接，根据矩形的性质可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后利用弧长公式分别求出顶点A前四次旋转经过的路程，再从中找到规律进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ， ， ∴第一次旋转顶点A经过的路程， 第二次旋转顶点A经过的路程， 第三次旋转顶点A经过的路程， 第四次旋转顶点A经过的路程， … 依次类推，每四次为一个循环， ， ∴连续旋转2020次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和， 故选：D． 二．填空题（共10小题，每小题3分） 7. 如图， 是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 8. 若，是方程的两个根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个根，则，，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案是：． 9. 若m是方程的解，则式子的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，m是方程的解，得，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ． 【答案】k＜9，且 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可求解 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴， ， ∴k＜9且． 故答案为：k＜9，且 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当一元二次方程无实数根时，，注意本题为一元二次方程，故要注意这一隐含条件，这是易错点． 11. 如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质及等腰三角形的性质．先利用直角三角形两锐角互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形外角性质可计算出． 【详解】∵在中，， 又 又 故答案为： 12. 某小组5名同学的英语口试成绩（满分30分）依次为：27，26，28，30、25，则这组数据的中位数为_________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查中位数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先将数据按照从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为： 25，26，27，28，30， 处于中间位置的数是27，即中位数是27， 故答案为：27． 13. 如图，下面是三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），小明转动每个转盘各一次，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，按事件发生的可能性从小到大排列为______________．（填序号） 【答案】③①② 【解析】 【分析】根据题意分别计算出①②③的概率即可求解． 【详解】解：①：“指针落在灰色区域内”的可能性为：； ②：“指针落在灰色区域内”的可能性为：； ③：“指针落在灰色区域内”的可能性为： 故答案为：③①② 【点睛】本题考查概率的计算．掌握计算方法是解题关键． 14. 如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点的位置变换是解题的关键． 如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，内接于，为的直径，为的内心，连接．若，，则的长为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”，圆周角角定理“半（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．”以及勾股定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，勾股定理． 延长交于点，连接，通过中位线定理可求出的长，再通过角的关系可求得，进而求证直角三角形为等䒼直角三角形，求得的长，的长，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，连接， 在中斜边经过圆心， ∴， 又∵， ∴为的中位线， ∴， 在中，为三个角平分线的交点 ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理可得， 即， 故答案为：． 16. 如图，半径为2的与直线相切于点，为上的一点，于点，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．延长到点D，使，则，当与相切于点C时，最大，则此时连接并延长交延长线于点E，则，根据，可得，根据勾股定理可得的长，进而可得结论． 【详解】如下图，延长到点D，使, 则， 当与相切于点C时，最大，则此时连接并延长交延长线于点E，则， ， ， ， ， 与直线l相切于点A， ， ， ， 连接，则， 在中，，根据勾股定理，得 ， ， ∴的最大值是． 故答案为：． 三．解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）（公式法） （2）．（配方法） （3）（选用适当方法） （4）（选用适当方法） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据直接开平方法解一元二次方程； （4）先化为一般形式，根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， 化简得：， ， ， 解得： ； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 故， 解得：； 【小问3详解】 解：， 移项得：， 开方得：， 解得： ； 【小问4详解】 解：， 化简得：， 因式分解得：， 即或， 解得：． 18. 如图，已知． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，若，，则的半径为　　． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，以为圆心，为半径，作即可； （2）连接，根据圆周角定理，结合已知求证是等腰直角三角形即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解三角形的外心是三角形的各边的垂直平分线的交点． 19. 如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； （2）的半径是 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 20. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）张琪购买门票在区观赛的概率为___________； （2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种， 小明和小张在同一区域观看比赛的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 由题意得，小明购买门票在区观赛的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 略 21. 如图，已知是的直径，点C在上，D为外一点，且，直线为的切线． （1）若，求的半径． （2）试说明：． 【答案】（1）2 （2） 连接，如下图： ∵直线为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，然后利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出，即可求出半径． （2）连接，根据直线为的切线得出，进而，再根据平行线的性质得出，最后根据外角性质即得 【小问1详解】 连接， ∵是的直径， ∴． ∵∠， ∴， ∴的半径为2． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为，求的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的根 （2） 【解析】 【分析】此题考查根的判别式及一元二次方程的解结合运用，解题关键在于通过判别式判断根的情况． （1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负判断根的情况即可； （2）将代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值． 【小问1详解】 解：由题意可得： 故方程有两个不相等的根； 【小问2详解】 根据题意，将代入方程得： ∴． 23. 某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车；：乘坐校车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： （1）本次调查中，一共抽取了______名学生进行调查； （2）选项对应的扇形圆心角是______度；请补全条形统计图； （3）若该校共有学生1260人，则估计该校学生放学选择乘坐校车的人数是____人； （4）若甲、乙两名学生放学时从、、、、五种方式中随机选择一种，请求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式回家的概率． 【答案】（1）200 （2）72， 补全条形图如图： （3）315 （4） 【解析】 【分析】此题考查了列表法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．正确运用列表法是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由B的人数和所占百分比求出本次调查的学生人数，即可解决问题； （2）用乘以E所占的百分百即求出圆心角，再求出C选项的人数，补全条形统计图即可； （3）由该校学生人数乘以选择乘坐校车的人数所占的比例即可； （4）列表统计结果，共有25种等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选择同一种方式的结果有5种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，（人）， ∴本次调查中，一共抽取了200名学生进行调查； 【小问2详解】 解：依题意，， E选项对应的扇形圆心角是72度； 则（人）； 【小问3详解】 解：依题意，（人）， ∴若该校共有学生1260人，则估计该校学生放学选择乘坐校车的人数是315人； 故答案为：315； 【小问4详解】 解：画表如图： 乙 甲 A B C D E A B C D E 表中共有25个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通方式回家的结果有5个，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通方式回家的概率为：． 24. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）元 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为每个元，则 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元； 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为，则： ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 25. 如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求圆的半径及的长． 【答案】 （1）证明：连接． ，，， ， ， ， 是的切线； （2）圆的半径为1.5，的长为 【解析】 【分析】（1）欲证明 CD是切线，只要证明 OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明； （2）设⊙O的半径为 r．在 Rt△OBE中，根据，可得， 推出 r＝1.5，由 ，推出，可得 CD＝BC＝3，再利用勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为． 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 圆的半径为1.5，的长为 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 26. 在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W． （1）如图1，已知点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴正半轴于点B．在，，，这四个点中，独立于的点是　　； （2）如图2，已知点，，，点P是直线l：上的一个动点．若点P独立于折线，求点P的横坐标的取值范围； （3）如图3，是以点为圆心，半径为1的圆．点在y轴上且，以点T为中心的正方形的顶点K的坐标为，将正方形在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断； （2）求出直线，直线与直线的交点坐标即可判断； （3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意可知：在，，，这四个点中，独立于的点是． 故答案为：P2． 【小问2详解】 解：∵，，， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 由 ，解得，可得直线l与直线的交点的横坐标为， 由 ，解得，可得直线l与直线的交点的横坐标为， ∴满足条件的点P的横坐标的取值范围为：或． 【小问3详解】 解：如图3﹣1中，当直线与相切于点E时，连接，则，， ∴， ∴，此时， ∴当时，上的所有点都独立于图形W； 如图3﹣2中，当线段与相切于点E时，连接， ， ∴，此时， 如图3﹣3中，当线段与相切于点E时，连接， ， ∴，此时， ∴当时，上的所有点都独立于图形W； 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰州市育才实验学校九年级上学期期中考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（共6小题，每小题3分） 1. 下列在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球，每个球除颜色外其余都相同．从袋中随机摸一个球，摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程（m为常数）的两实数根之和是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ） A. 5 B. 10 C. 4 D. 3 4. 某校发起了“圆贫困地区孩子一个读书梦”的爱心捐书公益活动，在短短一周时间内，就收到了同学们捐赠的大量书籍． 现从中随机调查了部分学生的捐赠情况，并将收集到的数据统计如下： 数量/本 30 22 16 8 6 4 人数 40 30 25 50 20 35 根据表中的信息判断，下列结论正确的是（ ） A. 该校参与调查的学生有86人 B. 该校参与调查的学生捐赠书籍的中位数为12本 C. 该校参与调查的学生捐赠书籍的众数为8本 D. 该校参与调查的学生平均捐赠书籍16本 5. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B 向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2020次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共10小题，每小题3分） 7. 如图， 是的直径，弦，若，则的度数是__________． 8. 若，是方程的两个根，则__________. 9. 若m是方程的解，则式子的值为____________． 10. 若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ． 11. 如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则的度数为______． 12. 某小组5名同学的英语口试成绩（满分30分）依次为：27，26，28，30、25，则这组数据的中位数为_________． 13. 如图，下面是三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），小明转动每个转盘各一次，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，按事件发生的可能性从小到大排列为______________．（填序号） 14. 如图，是上任意一点，点在外，已知，是等边三角形，则的面积的最大值为______ 15. 如图，内接于，为的直径，为的内心，连接．若，，则的长为________________． 16. 如图，半径为2的与直线相切于点，为上的一点，于点，则的最大值是______． 三．解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）（公式法） （2）．（配方法） （3）（选用适当方法） （4）（选用适当方法） 18. 如图，已知． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，若，，则的半径为　　． 19. 如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 20. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．张琪和李荷是电竞游戏的爱好者，她们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）张琪购买门票在区观赛的概率为___________； （2）求张琪和李荷在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 21. 如图，已知是的直径，点C在上，D为外一点，且，直线为的切线． （1）若，求的半径． （2）试说明：． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为，求的值． 23. 某数学小组为调查放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车；：乘坐校车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： （1）本次调查中，一共抽取了______名学生进行调查； （2）选项对应的扇形圆心角是______度；请补全条形统计图； （3）若该校共有学生1260人，则估计该校学生放学选择乘坐校车的人数是____人； （4）若甲、乙两名学生放学时从、、、、五种方式中随机选择一种，请求出甲、乙两名学生恰好选择同一种方式回家的概率． 24. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 25. 如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求圆的半径及的长． 26. 在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W． （1）如图1，已知点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴正半轴于点B．在，，，这四个点中，独立于的点是　　； （2）如图2，已知点，，，点P是直线l：上的一个动点．若点P独立于折线，求点P的横坐标的取值范围； （3）如图3，是以点为圆心，半径为1的圆．点在y轴上且，以点T为中心的正方形的顶点K的坐标为，将正方形在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $