精品解析：山东省青岛第五十八中学2024～2025学年高三下学期开学考试数学试卷

2022级高三调研测试6 数学试题 2025.02.05 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合，进而进行集合间的运算. 【详解】由题意可得或， 则， ， 故选：B. 2. 已知复数（其中是虚数单位），则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 3. “数列为等差数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案. 【详解】如果数列是等差数列，根据等差数列的下标性质可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列， 比如满足，但是数列不是等差数列， 所以“数列为等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求准线方程即可. 【详解】将抛物线方程转化为，则抛物线的准线方程为. 故选：C. 5. 已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式公式可得，即可根据夹角公式求解. 【详解】由于，故，故， 所以， 故， 故选：B 6. 已知，，，则mn的最小值为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的换底公式，再结合基本不等式，即可求解． 【详解】， ， 又因为，所以， 则， 当且仅当时取等， ． 故选：C． 7. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式、二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 8. 已知函数为定义在上的增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，由其单调递增，，求解即可. 【详解】当 时，则 ，记 ， 由题，函数 在 上为增函数， 对任意的 恒成立， 则有 ， 令 ，其中 ，且 ， 令 ，可得 ， 列表如下: - 0 + 减 极小值 增 所以函数 在 取得极小值，亦即最小值， 即 ， 所以 ，可得 ， 故实数的取值范围为 ， 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由不等式的性质，基本不等式以及指数函数、对数函数的单调性逐个判断即可. 【详解】由，同除以得，A选项正确； 由基本不等式，又，所以等号不成立，所以，B选项正确； 由在上单调递减，因为，所以，C选项不正确； 取，，得，，得，D选项不正确． 故选：AB. 10. 某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，则（ ） A. B. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50 C. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，由各组频率之和为求参数；对于B选项，两组求加权平均数可得；对于C选项，由频率分布直方图面积与比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；对于D选项，由两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可. 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，解得，故A正确； 对于B选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，故B错误； 对于C选项，前两个矩形的面积之和为 前三个矩形的面积之和为. 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故C正确； 对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，是边长为的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. 该几何体的体积为 C. 过四点，，，四点的外接球表面积为 D. 截面四边形的周长的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用证明四点共面；对于B，通过补形可知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，进而求体积；对于C，过，，，构造正方体，则外接球直径为正方体的体对角线，进而求表面积；对于D，利用面面平行的性质定理证明四边形为平行四边形，则周长，进而求的最小值即可. 【详解】对于A，取中点，取靠近的三等分点， 易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，，则， 所以，，，四点共面，故正确； 对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B错误； 对于C，过四点，，，构造正方体， 所以，外接球直径为正方体的体对角线， 所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确； 对于D， 由题意，平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为，故D错误. 故选：AC 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意由列式求出数列的公比，即可求得答案. 【详解】依题意，设各项为正数的等比数列的公比为， 由，即，即，而， 所以，即，解得或（舍去）． 所以． 故答案为：8 13. 甲、乙两人先后抛掷同一枚骰子，甲先抛1次，乙再抛1次，看作1次操作，然后重复上面的操作．若某次操作甲、乙抛掷向上点数之差的绝对值大于3，记本次操作无效，若连续两次操作无效，则停止抛掷骰子，则4次操作后停止抛掷骰子的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出甲、乙抛掷的向上点数之差的绝对值大于3的概率，结合独立事件和对立的事件的概率公式可求4次操作后停止抛掷骰子的概率. 【详解】每次操作共有种结果，其中甲、乙抛掷的向上点数之差的绝对值大于3的结果有： ，，，，，，共有6种， 所以每次操作无效的概率为， 若4次操作后停止抛掷骰子，则第2次不是无效操作，第3次与第4次是无效操作， 所以所求概率为． 故答案为：. 14. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，满足，则该双曲线的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先确定点在左支上，作出的内切圆，内切圆切于点， 证明点为双曲线的左顶点，从而根据得到，从而得到，求出离心率. 【详解】 因为，所以， 所以，故点在左支上， 作的内切圆，设内切圆与切于点，与切于点， 该内切圆切于点， 连接，，，，，则，，， 且平分，平分， 接下来证明点为双曲线左顶点： 由双曲线的定义可知：， 因为，，， 所以，设点坐标为， 则，解得：，故点为双曲线的左顶点， 因为， 所以，所以 所以，所以， 所以，所以． 故答案为： 四．解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的最大值及相应的取值集合； （2）设函数，若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1），的取值集合为 （2） 【解析】 分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求解即得. （2）求出函数解析式，确定相位的范围，再结正弦函数的单调性列式求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 当，即时，， 此时，的取值集合为． 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，由在区间上单调递增， 可得：，解得：， 所以的取值范围是 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 证明：取中点，连接，如图所示， 为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 ，易知，又，得. 由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有. 如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面直线为轴，建立空间直角坐标系， 则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 17. 平面上，动点到直线和的距离分别为和，且，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于M，N两点，若在轴上存在点，使得为正三角形，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出，借助点到直线的距离公式计算后化简即可得； （2）分直线斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，联立曲线可得与交点有关韦达定理，借助正三角形的性质与弦长公式计算即可得. 【小问1详解】 设，则有， 整理得，即的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，则，其与相交于椭圆的上下顶点， 坐标分别为、，则存在或， 使得为正三角形； 当直线斜率存在时，设，、， 联立，有，恒成立， 则，， ，， 即可得线段中点坐标为， ， 设，由为正三角形，则有，整理得， 亦有， 即， 即，即， 解得，即直线的方程为； 综上所述，直线可为或. 18. 某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况． 星期t 1 2 3 4 5 销售量y（张） 218 224 230 232 236 经计算可得：，，． （1）已知y关于t的经验回归方程为，求y关于t的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为． ①求、及； ②求及的最值． 参考公式：，． 【答案】（1） （2）① ，，；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）将相关数据代入和的公式，即可得经验回归方程； （2）由题意知，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 则， . 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 ①由题意，可知， ， ， （求解另一种方法：） ②当时，，即， 又， 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，又， 所以数列为首项为公比为的等比数列， 所以，即 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为，综上所述，的最大值为，最小值为. 19. 已知函数的定义域为，区间，若，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集． （1）求函数在上的不动点集； （2）若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围； （3）若函数在上的不动点集为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，求方程的根即可得解， （2）构造函数，求导，结合余弦函数的有界性，对讨论，根据函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求解， （3）根据方程的三个根，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 解得或， 故在上不动点集为． 【小问2详解】 由题可知，关于的方程在上有且只有一个实数根． 令，则． 若，则在上恒成立，在上单调递增． 因为，所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点． 若，则在上恒成立，在上单调递减． 因为，所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点． 若，易知是上的偶函数，且在上单调递增． 因为，所以存在，使得， 则当和时，单调递增，当时，，单调递减． 因为，所以要使得在上有且只有一个实数根，则解得． 综上可得或 【小问3详解】 由题可知，方程在上存在3个实数根， 则， 从而 令，则，当和时，单调递增，当时，单调递减， 则解得． 因为， 所以的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022级高三调研测试6 数学试题 2025.02.05 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数（其中是虚数单位），则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. “数列为等差数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 抛物线的准线方程是（ ） A B. C. D. 5. 已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则mn的最小值为（ ） A. 10 B. C. D. 7. 在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为定义在上的增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C D. 10. 某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，则（ ） A. B. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50 C. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 11. 如图，是边长为正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. 该几何体的体积为 C. 过四点，，，四点的外接球表面积为 D. 截面四边形周长的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，则__________． 13. 甲、乙两人先后抛掷同一枚骰子，甲先抛1次，乙再抛1次，看作1次操作，然后重复上面的操作．若某次操作甲、乙抛掷向上点数之差的绝对值大于3，记本次操作无效，若连续两次操作无效，则停止抛掷骰子，则4次操作后停止抛掷骰子的概率为______． 14. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，满足，则该双曲线的离心率为______． 四．解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的最大值及相应的取值集合； （2）设函数，若在区间上单调递增，求的取值范围. 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 17. 平面上，动点到直线和的距离分别为和，且，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点的直线与相交于M，N两点，若在轴上存在点，使得为正三角形，求直线的方程. 18. 某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况． 星期t 1 2 3 4 5 销售量y（张） 218 224 230 232 236 经计算可得：，，． （1）已知y关于t的经验回归方程为，求y关于t的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为． ①求、及； ②求及的最值． 参考公式：，． 19. 已知函数的定义域为，区间，若，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集． （1）求函数在上的不动点集； （2）若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围； （3）若函数在上的不动点集为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$